图表（三）

4.2 Manders的精确/共同置换区别和一般性问题

4.2.1精确/共同置换区别

为了解释古代几何形状中的文本和图之间的劳动分裂，Manders区分了Manders 2008中的几何图的确切和共同实现特性[1995]。区别的基础是变异的概念。图表“是那些不受指定图的连续变化的某些范围影响的条件。”相比之下，一旦图表受到最小的变化，就会影响确切的条件。粗略地，图的共同置换属性包括其部分定义有限的平面区域以及这些区域之间的遏制关系的方式。一个明显的确切关系是图中两个大小的平等。例如，只需要对CF的位置的丝毫变化16的命题图1.使BAE和ECF不平等。

Manders的主要观察结果是，欧几里得的图仅通过其共同策略的特性有助于证明。除非直接从共同的属性遵循，否则欧几里得永远不会从图中注入确切的属性。从一开始就假设没有表现为遏制的大小之间的关系，或者是通过文本中的一系列推论证明的。可以通过命题16的证明很容易确认。依赖图的推断是证明的第二个推断。具体来说，推断是角度ACD大于角度ACF。至关重要的是，这是从角度ACD包含角度ACF的图中的观察。在证明中，还有许多其他关系。尽管该图会实例化它们，但它们在文本中明确是合理的。借助这些关系，相关是空间分离的幅度。

不难假设为什么欧几里得会以这种方式限制自己。只有他们代表共同置换属性和关系的能力，图似乎才能够有效发挥作用的符号。图表的确切属性太完善了，无法易于重现并支持确定的判断。正如曼德斯（Manders）所说

该实践有资源限制（显式）共同实现图表的分歧风险；但是它缺乏这样的资源来确切的归因，因此不能允许它们不溶解造成不可果的判断力混乱。 （Manders 2008 [1995]：91–92）

Manders的见解自然而然地表明，欧几里得的论点可以以类似于Shin 1994年正式形式化的方式形式化的方式进行形式化。欧几里得图所携带的共同策略信息是离散的。当为此信息咨询图表时，它的线条和圆形如何将有限的平面区域分配到有限的子区域集中。这为将欧几里得的图表概念化为欧几里得证明方法的语法的一部分打开了大门。

4.2.2 Euclid构造的一般性问题

像Shin 1994中一样，在形式的证明体系中实现这一概念，以指定图表的语法和语义。在句法方面，这意味着将欧几里得的图定义为正式对象，并给出规则，将欧几里得命题派生中的形式对象形象作为形式对象形象。在语义方面，这意味着指定如何通过几何解释可衍生的表达方式，或者换句话说，这些表达式如何准确地理解为代表欧几里得的命题。

因此，欧几里得图的语义情况与维恩的语义情况不同。维恩图用于证明逻辑结果。用它们做出的推论是主题中立的。另一方面，欧几里得的图用于证明几何结果。用它们做出的推论是特定于主题的。特别是，尽管平面欧几里得几何形状的对象是抽象的（例如，几何线是无宽的），但它们仍然是空间的。因此，围绕图表的空间性和代表性范围的问题不会像欧几里得的图中一样，例如用欧拉图。实际上，在几何形状的情况下，图表的空间性对它们有利。几何配置对可能的空间约束也可以使用空间欧几里得图进行操作。

然而，正如从上古开始对欧几里得的几何形状的哲学评论中所认识的，欧几里得图有代表性范围的问题要抗衡。将单个几何图作为证明范围内所有配置的代表的属性的理由是什么？单图如何证明一般结果？ Manders的精确/共截然区别为部分答案提供了基础。图表的共同实现属性可以通过证明范围内的所有几何配置共享，因此在这种情况下，可以从图中读取图表中的共同实现属性时是合理的。例如，在有关三角形的证据中，证明范围内的配置之间的变化是确切属性的变化，例如，三角形角度的度量，两侧之间的比率。它们都共享相同的共同置换属性 - 即，它们都由三个有界线性区域组成，共同定义了一个区域。

这不是一个完整的答案，因为欧几里得的证明通常涉及初始配置类型上的构造。例如，有了命题16的证明，指定了带有一侧扩展的三角形上的构造。在这种情况下，图可以充分代表初始配置的共同实现属性。但是，不能假定将证明的构造应用于图表的结果代表了构造产生的所有配置的共同剥夺属性。人们不需要考虑复杂的几何情况就可以看到这一点。假设例如，证明的初始配置类型是三角形。然后是图

三角形（急性三角形）

用来表示这种类型的共同剥离属性。进一步假设证明结构的第一步是将垂直线从三角形的顶点降低到包含顶点对面的侧面的线。然后在图上携带此步骤的结果

与前一个图像的三角形相同，垂直于从一个顶点掉落的三角形

不再是代表。垂直图落在图中的三角形之内是其共同的特征。但是有三角形的特性与初始图不同，在该图中，应用构造步骤会导致三角形外的垂直线。例如，使用三角形

一个钝的三角形

应用施工步骤的结果是

一个钝的三角形，垂直于从一个急性角度降低到三角形的另一侧的延伸

4.3正式系统FG和欧盟

因此，在代表图上执行欧几里得构造可能会导致无代表性图。正式化欧几里得的示意证明的一项核心任务是考虑到这一点，即在其规则中提供了一种将一般共同置换特征与非征派特征区分开以构造的示意性表示的方法。系统FG和欧盟对此任务采用了两种不同的方法。

采用FG的方法，必须用图表生产每种情况，每种情况可能是由构造产生的。然后，在每种情况下都出现了构造的一般共同关系。 FG的要求，如果没有提供所有生产方法，则当然会产生每种情况。 FG提供的方法取决于以下事实：系统图中的线和圆纯粹用拓扑术语定义。它们产生的灵活性使得在计算机程序中制定和实施成为生成案例的一般方法是可能的。[9]

欧盟图的线和圆圈并非同样灵活。因此，它无法像FG那样通过病例分析来解决一般性问题。其方法的主要思想是允许图表从一开始就保存部分信息。在欧盟派生中，通过证明的构造产生的图具有一个初始内容，其中包括证明初始图的所有定性关系。不能立即从图表上读取有关构造添加的对象的定性关系。那些可以读取的图表必须由系统的规则得出。[10]

FG和欧盟正式化欧几里得结构的方法之间的差异可以理解为代表了图表在数学中的作用的不同一般概念。 FG体现了一个概念，其中图是具体实现一系列数学可能性的概念。他们通过提供直接访问这些可能性来支持数学推断。相比之下，欧盟体现了一个概念，其中图表用单个符号表示复杂数学情况的各个组成部分。他们通过允许数学推理器在一个地方考虑​​所有这些组件，并专注于与证明相关的组件来支持数学推断。

5。图和认知，应用

尽管上述某些图形系统有正式的限制，但目前在各种环境中使用了许多不同的系统。逻辑教学，自动推理，指定计算机程序，有关物理情况的原因，计算机程序的图形用户界面等等。通常，尚不清楚（从上述意义上）许多这些图形系统的有效性。现在，我们简要调查了其他图解系统及其用途，以及有关图解推理状况的辩论提出的更哲学问题。

5.1其他一些示意系统

值得注意的是，许多数学家和哲学家经常提出了示意系统，通常是有教学动机。某些系统，例如《逻辑游戏》中的刘易斯·卡洛尔（Lewis Carroll）（1896年），是Euler和Venn提案的变体。其他人，例如弗雷格（Frege，1879年），使用了线，而不是平面区域。 （有关Frege符号的描述，请参见Gottlob Frege上条目中有关复杂陈述和一般性的部分。另请参见Englebretsen，1992年。）Carroll的系统取代Venn的System，其中集合的补充是明确表示为该图的区域，而不是该图的区域作为圆形出现的背景区域的留下。这意味着Carroll的系统能够得出有关属性补充之间关系的推断，而牺牲了某些属性为脱节区域（即，无连接）区域。这一转变密切反映了逻辑从主题推荐论证向函数指示表示的转变（Stenning 1999）。

Peirce是现代量化逻辑的创始人，也发明了一个图形系统，称为“存在图”，在逻辑上等同于谓词逻辑。除了唐·罗伯特（Don Robert）在存在图上的开创性工作以及约翰·索瓦（John Sowa）对皮尔斯（Peirce）图表的创造性应用，最近一组图解的研究人员在更广泛的理论背景下为存在图提供了更多样化的方法（Shin 2003）。

在一个更实用的主题上，AI研究人员的主要关注者是代表体系的启发式力量，除了表达能力之外，数十年来一直在辩论不同形式的代表性（Sloman 1971，1985，1995）。因此，他们欢迎讨论视觉推理的独特作用，最近在AI会议上举办了跨学科研讨会。[11]同时，意识到人类采用不同的代表形式，具体取决于他们面临的各种问题，一些AI研究人员和设计理论家已经实践了特定领域的方法来引入问题尾声的代表形式。[12]

例如，哈雷尔（Harel，1988）发明了移民，以代表计算机科学中的系统规范。这个想法已在工业应用中提出（例如，在Booch等人，1998年）。 Barker-Plummer＆Bailin（1997）在开发计算机中提出了一个案例研究，该案例可以执行人类在证明某些数学定理时执行的类似推理。最近，爱丁堡的艾伦·邦迪（Alan Bundy）数学推理小组的Mateja Jamnik提出了一个有趣的结果（Jamnik 2001）。 Jamnik展示了半自动形式证明系统如何执行人类认为如此自然的某些感知推断。例如，通过将n×n网格分解为“ ells”，很容易看到第一个n奇数的总和是n平方的（Jamnik等，1999）。

布莱顿大学的学者在开发图形系统和在软件开发中应用视觉工具方面一直在进行有趣的项目，请参阅其他Internet资源部分中的链接。

还应该提到的是，诸如化学家和物理学家之类的科学家还使用图表来执行某些计算。例如，Feynman图用于在亚原子物理学中执行计算。最近，已经为量子理论开发了形式的图解推理（Coecke＆Kissinger 2017）。在结理论（在物理学中有应用，Kauffman 1991）中，这三个雷迪德举动是图解操作，构成了证明结的完整微积分。毫不奇怪，结图引起了研究人员的兴趣（De Toffoli＆Giardino 2014）。也已经研究了图和图理论抽象数学中图和图解推理的关键作用（Halimi 2012； de Toffoli 2017）。

5.2图作为心理表示

我们的心理表示形式是否具有图表或类似图像的实体作为组成部分？

这个问题在哲学和心理学中都有着悠久的历史，彼此独立。然而，最近，一些哲学家参与了这场“意象辩论”，这是心理学中最古老的争论之一，一些认知心理学家发现哲学中的某些认识论理论有助于支持他们对这个问题的看法。

心理表征的本质一直是哲学中经久不衰的话题之一，我们可以很容易地将关于图像和心理表征的哲学讨论追溯到古代。 [13]霍布斯、洛克、贝克莱和休谟的著作在很大程度上关注心理话语、词语的意义、心理图像、特定观念、抽象观念、印象等等。笛卡尔对想象和构思事物之间的著名区别引发了许多关于视觉图像在心理表征中的独特作用的讨论。 20世纪认知科学的发展自然拉近了某些哲学家和心理学家群体的距离，我们发现许多作者的作品很容易属于这两个学科（Block 1983；Dennett 1981；Fodor 1981）。

基于内省的意象是心理学早期发展的主要焦点，直到行为主义方法在该学科中占据主导地位。在行为主义时代，任何与心理检查有关的东西，包括图像，都被排除在任何严肃的研究议程之外。最后，当心理意象这个话题在 20 世纪 60 年代在心理学中卷土重来时，研究人员对心理意象采取了比以前更加谦虚的议程：并非所有心理表征都涉及意象，而意象是在头脑中操纵信息的多种方式之一。此外，由于行为主义的影响，人们承认内省不足以探索意象，但关于心理意象的主张需要通过实验来证实，才能表明我们成功地将心理事件外化。也就是说，如果某种心理内省告诉我们的是真实的，那么该心理状态就会产生可观察到的外部后果。

因此，当代认知科学家之间关于图像的争论是关于像图片一样的图像作为心理表征存在的主张以及我们如何解释某些实验。 [14]

Kosslyn (1980, 1994) 和其他绘画画家 (Shepard & Metzler 1971) 提供了实验数据来支持他们的立场，即我们的一些心理图像更像是图片，而不是线性形式的语言（例如，自然语言或人工符号语言）。一些重要的方面，尽管并非所有视觉心理图像和图片都完全相同。相比之下，Pylyshyn (1981) 和其他描述主义者 (Dennett 1981) 提出了关于心理图像的图像状态的问题，并认为心理图像是由结构化描述形成的。对他们来说，心理意象以语言的方式而不是图片的方式表现，因此，不存在像图片一样的视觉心理意象。

辩论双方有时都会使用哲学理论作为支持因素。例如，在意象争论中，画意派发现现代哲学中的感觉材料理论与他们的观点非常接近。出于同样的原因，感觉材料理论的批评者认为，对心理图像的错误图像观主要源于我们对日常语言的困惑，并声称心理图像是附带现象。

5.3 图表的认知作用

一些研究人员并未深入参与图像辩论，而是专注于图表或图片（与传统句子形式相反）在我们的认知活动中发挥的独特作用。 （Shin 2015；Hamami & J. Mumma 2013）基于人类在推理具体或抽象情境时采用图解或空间内部心理表征的猜想（参见 Howell 1976；Sober 1976），一些认知科学家将注意力集中在我们各种认知活动中的图像或图表，例如记忆、想象、感知、导航、推理、解决问题等。在这里，通过内部心理图像或外部绘制图表获得的“视觉信息”的独特性质已成为研究的主要课题。尽管这些作品大多数都假设存在心理图像（也就是说，他们接受了绘画家的主张），但严格来说，他们不必承认这些图像作为我们认知中的基本单位而存在。描述主义者不必放弃对图像功能的讨论，而只需要补充一点，这些图像不是存储在我们记忆中的原始单位，而是由结构化描述组成，更像是语言的句子（参见Pylyshyn 1981）。

对图表独特作用的探索促使研究人员探索不同形式的外部或内部表征之间的差异，主要是图表表征和​​句子表征之间的差异。认知科学已经产生了许多重要成果。 Lindsay 的工作从 Larkin 和 Simon 的经典案例研究（1987）开始，说明了表示系统之间信息等价性和计算等价性之间的差异，并找到了这种计算差异所在，他称之为“非演绎”方法。正如上面简要指出的，这种推理过程被 Barwise 和 Shimojiima (1995) 称为“搭便车”，即结论似乎是从前提的表示中自动读出的一种推理。在 Gurr、Lee 和 Stenning (1998) 以及 Stenning 和 Lemon (2001) 中，从解释的“直接性”程度角度解释了图解推理的独特性，并认为这种属性是相对的，因此“有些游乐设施比其他游乐设施便宜”。考虑到图表的作用，Wang 和 Lee（1993）提出了一个正式的框架作为正确视觉语言的指南。目前，通过为这些学科提供视觉推理的计算支持，我们已经非常接近多模态推理研究的应用方面——设计理论和人工智能研究。

与意象心理表征问题相关的是对各种图解系统的语义的检查以及它们可以教给我们关于一般语言本质的知识（例如，Goodman 1968）。例如，罗伯特·康明斯（Robert Cummins，1996）等人认为，对图解表示的关注太少，而关注更类似于图解表示的“结构表示”概念可以帮助解释表示本身的本质。我们相信，上述考虑至少为我们提供了对此类主张的一些经验处理——根据所使用的意象对象和关系，错误推理的模式应该是可预测和可检测的。关于这一主题的一篇重要但鲜为人知的文章是 Malinas 1991。在这篇文章中，Malinas 通过相似的概念探讨了图像表征和图像中的“真相”的概念，并考虑了有关图像表征的各种语义难题。他发展了皮科克关于描绘的“中心论点”（Peacocke 1987），其中图像对象的属性与其在视野中的所指对象之间的经验相似性产生了描绘的关系。他继续为图片提供了一种形式语义，“类似于理想语言的语义”。

百年

我们首先通过图表在人类推理中的作用以及它们与一般语言研究和多模式信息处理的关系来激发人们对图表的哲学兴趣。然后，我们通过研究从欧拉和维恩到皮尔士的工作，再到辛和哈默最近的工作的图表系统的历史发展，解释了图表系统的表达能力和视觉清晰度之间的权衡。有人认为，图解系统可以具有与传统线性证明演算相同的逻辑地位。然后，我们通过检查图解系统的空间约束以及它们如何影响正确性和表达能力，解释了图解表示和推理的一些潜在陷阱。我们通过调查其他图表系统来结束对计算机科学和认知科学中产生的图表的兴趣，并介绍了心灵哲学中的图像辩论。

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