数学哲学中的直觉主义（一）

1.布劳威尔

2. 直觉主义

2.1 直觉主义的两种行为

2.2 创造主体

3. 数学

3.1 BHK 解释

3.2 直觉逻辑

3.3 自然数

3.4 连续体

3.5 连续性公理

3.6 条形定理

3.7 选择公理

3.8 描述集合论、拓扑和拓扑理论

4.建构主义

5.元数学

5.1 算术

5.2 分析

5.3 无法无天的序列

5.4 创造主体的形式化

5.5 基础和模型

5.6 逆向数学

6. 理念

6.1 现象学

6.2 维特根斯坦

6.3 达米特

6.4 有限论

参考书目

学术工具

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相关条目

1.布劳威尔

Luitzen Egbertus Jan Brouwer 出生于荷兰 Overschie。他在阿姆斯特丹大学学习数学和物理学，并于 1907 年获得博士学位。1909 年，他成为同一所大学的讲师，并于 1912 年被任命为正教授，一直担任该职位直至 1951 年退休。是一位才华横溢的数学家，在拓扑学方面做出了开创性的工作，并在年轻时就已成名。他一生都是一个独立的思想者，以热情的活力追求他所信仰的事物，这使他与许多同事发生冲突，尤其是与大卫·希尔伯特的冲突。他也有崇拜者，在布拉里库姆的“小屋”里，他迎来了许多当时著名的数学家。直到生命的最后，他变得更加孤立，但他对自己哲学真理的信念从未动摇过。他在布拉里库姆 (Blaricum) 因车祸去世，享年 85 岁，此时距离他的妻子莉兹·布劳威尔 (Lize Brouwer) 去世七年。

24岁时，布劳威尔写了《生活、艺术和神秘主义》（Brouwer 1905）一书，其唯我主义内容预示了他的数学哲学。在他的论文中，首次阐述了直觉主义的基础，尽管尚未以该名称命名，也未以其最终形式。在完成论文后的头几年，布劳威尔的大部分科学生涯都致力于拓扑学，在这个领域，他仍然以其维数理论和不动点定理而闻名。这项工作是古典数学的一部分；根据布劳威尔后来的观点，他的不动点定理并不成立，尽管根据他的原理可以证明以近似形式进行的模拟是成立的。

从 1913 年起，布劳威尔越来越致力于将其论文中阐述的思想发展为完整的数学哲学。他不仅完善了直觉主义哲学，而且根据这些原理重新改造了数学，特别是连续统理论和集合论。那时，布劳威尔是一位著名的数学家，他在剑桥、维也纳和哥廷根等当时的科学圣地发表了颇具影响力的直觉主义讲座。他的哲学被许多人认为是笨拙的，但他那个时代的一些最著名的数学家却将他的哲学视为经典推理的严肃替代品，即使他们对这个问题有不同的看法。库尔特·哥德尔一生都是柏拉图主义者，他就是其中之一。赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）曾写道“So gebe ich also jetzt meinen eigenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an”（Weyl 1921, 56）。尽管韦尔在晚年很少实践直觉主义数学，但他从未停止过对布劳威尔和他的直觉主义数学哲学的钦佩。

布劳威尔的一生充满了冲突，其中最著名的是与大卫·希尔伯特的冲突，最终导致布劳威尔被《数学年鉴》董事会开除。这场冲突是 20 世纪初震撼数学界的根本之争的一部分，它是由于数学中出现的悖论和高度非建设性的证明而出现的。哲学家和数学家被迫承认数学缺乏认识论和本体论基础。布劳威尔的直觉主义是一种旨在提供这样一个基础的数学哲学。

2. 直觉主义

2.1 直觉主义的两种行为

布劳威尔认为，数学是心灵的无语言创造。在康德意义上，时间是唯一先验的概念。布劳威尔区分了两种直觉主义行为：

直觉主义的第一个行动是：

将数学与数学语言完全分离，从而与理论逻辑描述的语言现象完全分离，认识到直觉数学本质上是一种无语言的心灵活动，其起源于对时间运动的感知。这种对时间移动的感知可以被描述为生命时刻分裂成两个不同的事物，其中一个让位于另一个，但被记忆保留。如果如此诞生的二元性被剥夺了所有品质，那么它就会进入所有二元性的共同基础的空形式。正是这种共同的基础，这种空洞的形式，才是数学的基本直觉。 （布劳威尔 1981 年，4-5）

正如数学部分将要讨论的那样，直觉主义的第一个行动产生了自然数，但意味着对所允许的推理原则的严格限制，最明显的是对排中原则的拒绝。由于拒绝这一原则以及连续统的逻辑基础的消失，用布劳威尔的话来说，人们可能会“担心直觉主义数学必然是贫乏和贫乏的，特别是没有分析的空间”（布劳威尔 1952 年，142​​）。然而，第二幕确立了连续体的存在，该连续体具有其经典对应物所不具备的属性。连续统的恢复依赖于第二幕中规定的选择序列的概念，即自由选择产生的无限序列的存在，因此这些序列不是预先固定的。

直觉主义的第二个行为是：

承认创建新数学实体的两种方式：首先以或多或少自由地进行先前获得的数学实体的无限序列的形式……；其次是数学物种的形式，即先前获得的数学实体所假定的属性，满足这样的条件：如果它们适用于某个数学实体，那么它们也适用于所有被定义为“等于”它的数学实体……。 （布劳威尔 1981 年，8）

直觉主义的两种行为构成了布劳威尔哲学的基础：仅通过这两个行为，布劳威尔就创造了直觉数学的领域，正如下面将要解释的那样。从这个基本原则已经可以得出结论，直觉主义不同于柏拉图主义和形式主义，因为它既不假设我们之外的数学现实，也不认为数学是根据某些固定规则玩符号的游戏。在布劳威尔看来，语言是用来交换数学思想的，但后者的存在独立于前者。直觉主义和其他数学建设性观点之间的区别在于第二幕允许构造无限序列的自由。根据其他数学建设性观点，数学对象和论证应该是可计算的。事实上，正如下面将要解释的，直觉主义第二幕的数学含义与经典数学相矛盾，因此在大多数建设性理论中并不成立，因为这些理论通常是经典数学的一部分。

因此，布劳威尔的直觉主义与其他数学哲学不同。它基于对时间的认识和对数学是自由思想的创造的信念，因此它既不是柏拉图主义也不是形式主义。它是建构主义的一种形式，但只是在更广泛的意义上如此，因为许多建构主义者并不接受布劳威尔认为正确的所有原则。

2.2 创造主体

直觉主义的这两种行为本身并不排除对数学的心理学解释。尽管布劳威尔只是偶尔谈到这一点，但从他的著作中可以清楚地看出，他确实认为直觉主义独立于心理学。布劳威尔将创造主体（Brouwer 1948）引入为理想化的思维，数学在其中发生，已经抽象了人类推理的非本质方面，例如空间和时间的限制以及错误论证的可能性。因此，要求对人类能够交流这一事实进行解释的主体间性问题不再存在，因为只存在一个创造主体。在文献中，创造性主题这个名称也用于创建主题，但这里使用的是布劳威尔的术语。在（Niekus 2010）中，有人认为布劳威尔的创造主体并不涉及理想化的数学家。对于作为胡塞尔意义上的先验主体的创造主体的现象学分析，请参见（van Atten 2007）。

布劳威尔使用涉及创造主题的论点来构造某些直觉上不可接受的陈述的反例。下面要讨论的弱反例仅表明某些陈述目前不能被直观地接受，而理想化心灵的概念则证明某些经典原理是错误的。 5.4 节给出了一个关于创建主体概念形式化的例子。其中还解释了以下原则（称为克里普克图式）可以根据创建主体进行论证：

∃α(A↔∃nα(n)=1)。

在 KS 中，A 范围涵盖公式，α 范围涵盖选择序列，选择序列是由创建主体生成的自然数序列，创建主体逐一选择其元素。选择序列和 Kripke 模式将在 3.4 节中进一步讨论。

在大多数数学哲学中，例如柏拉图主义，数学陈述是无时态的。在直觉主义中，真与假都具有时间性。既定的事实将保持不变，但在某个时间点得到证明的陈述在该时间点之前缺乏真值。在对创造主体概念的上述形式化中，直觉主义的时间方面明显地呈现出来，这种形式不是由布劳威尔提出的，而是后来由其他人提出的。

尽管使用“创造主体”概念的论点可能对于进一步理解直觉主义作为数学哲学来说很重要，但它在该领域发展中的作用不如直觉主义的两个行为那么有影响力，这两个行为直接导致了直觉主义的发展。布劳威尔和他的后继者愿意接受数学真理。

3. 数学

尽管布劳威尔对直觉主义的发展在 20 世纪初数学家之间的基础性辩论中发挥了重要作用，但他的哲学对数学的深远影响只有在多年的研究之后才变得明显。直觉主义的两个最典型的属性是它在证明中允许的推理的逻辑原理和直觉主义连续体的完整概念。只是就后者而言，直觉主义就变得无法与经典数学相比。在这篇文章中，重点是直觉主义与其他数学学科的区别原则，因此它的其他建设性方面将不那么详细地讨论。

3.1 BHK 解释

在直觉主义中，知道陈述 A 为真意味着有其证明。 1934 年，布劳威尔的学生阿伦德·海廷 (Arend Heyting) 引入了一种后来被称为“布劳威尔-海廷-柯尔莫哥洛夫解释”的形式，它捕捉了直觉主义和一般建构主义中逻辑符号的含义。它通过指示如何解释连接词和量词，以非正式的方式定义了直觉证明应该包含什么。

⊥ 无法证明。

A∧B 的证明由 A 的证明和 B 的证明组成。

A∨B 的证明由 A 的证明或 B 的证明组成。

A→B 的证明是将 A 的任何证明转换为 B 的证明的构造。

通过给出域的元素 d 和 A(d) 的证明来给出 ∃xA(x) 的证明。

∀xA(x) 的证明是将 d 属于该域的每个证明转换为 A(d) 的证明的构造。

一旦证明不存在 A 的证明，公式 A 的否定 ØA 就被证明，这意味着提供一个从 A 的任何可能的证明导出假值的构造。因此 ØA 等价于 A→⊥。 BHK 解释不是一个正式的定义，因为构造的概念没有定义，因此可以有不同的解释。然而，在这个非正式的层面上，人们已经被迫拒绝经典逻辑中始终存在的逻辑原则之一：排中原则（A∨ØA）。根据 BHK 解释，如果创建主体知道 A 的证明或 A 无法被证明的证明，则该陈述直观地成立。如果 A 及其否定的证明均未知，则命题 (A∨ØA) 不成立。诸如哥德巴赫猜想或黎曼假设等开放问题的存在说明了这一事实。但是，一旦找到 A 的证明或其否定的证明，情况就会发生变化，对于这个特定的 A，原理 (A∨ØA) 从那一刻起就是正确的。

3.2 直觉逻辑

布劳威尔在其哲学的基础上拒绝了排中原则，但阿伦德·海廷（Arend Heyting）是第一个制定了从直觉主义角度可接受的全面原则逻辑的人。直觉主义逻辑也是大多数其他形式的建构主义的逻辑，通常被称为“没有排中原则的经典逻辑”。它用 IQC 表示，代表直觉量词逻辑，但文献中也出现了其他名称。希尔伯特风格中可能的公理化包括以下原则

A∧B→A A∧B→B A→A∨B B→A∨B

A→(B→A) ∀xA(x)→A(t) A(t)→∃xA(x) ⊥→A

(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

A→(B→A∧B)

(A→C)→((B→C)→(A∨B→C))

∀x(B→A(x))→(B→∀xA(x)) ∀x(A(x)→B)→(∃xA(x)→B)

具有最后两个公理的通常附带条件以及 Modus Ponens 规则，

从 A 和 (A→B) 推断 B，

作为唯一的推理规则。自从海廷提出直觉主义逻辑以来，它就一直是研究的对象。在命题层面，它已经具有许多与经典逻辑不同的属性，例如析取属性：

IQC⊢A∨B 意味着IQC⊢A 或IQC⊢B。

这一原则在经典逻辑中显然被违反了，因为经典逻辑也证明了 (A∨ØA) 独立于逻辑的公式，即 A 和 ØA 都不是同义反复。对于那些研究布劳威尔关于该主题的评论的人来说，在直觉逻辑中包含 Ex Falso Sequitur Quodlibet (⊥→A) 原则是一个讨论点；在van Atten 2008中，认为该原理在直觉主义中无效，而根据布劳威尔的观点，有效的逻辑原理是相关逻辑的逻辑原理。有关 Brouwer 和 Ex Falso Sequitur Quodlibet 的更多信息，请参阅 van Dalen 2004。

尽管直到今天，直觉推理中使用的所有逻辑都包含在IQC中，但原则上可以想象，在某些时候，会发现一个从直觉主义观点来看可以接受但不被该逻辑涵盖的原则。对于大多数形式的建构主义来说，广泛接受的观点是情况永远不会如此，因此 IQC 被认为是建构主义的逻辑。对于直觉主义来说，情况不太清楚，因为不能排除在某些时候我们的直觉主义理解可能会引导我们得出我们以前没有掌握的新逻辑原理。

直觉逻辑被广泛使用的原因之一是它无论从证明论还是模型论的角度来看都表现良好。它存在大量的证明系统，如Gentzen演算和自然演绎系统，以及各种形式的语义，如Kripke模型、Beth模型、Heyting代数、拓扑语义和分类模型。然而，其中一些语义只是研究直觉逻辑的经典方法，因为可以证明，关于它们的直觉完整性证明不存在（Kreisel 1962）。然而，已经表明存在替代性但不太自然的模型，其完整性确实具有建设性（Veldman 1976）。直觉逻辑的构造性特征在柯里-霍华德同构中变得特别明显，它在逻辑推导和简单类型 λ 演算中的项之间建立了对应关系，即在证明和计算之间建立了对应关系。这种对应关系保留了结构，因为术语的减少对应于证明的标准化。

3.3 自然数

自然数的存在是由直觉主义的第一个行为所给出的，即通过对时间运动的感知和生命时刻分解成两个不同的事物：过去是什么，1，以及与过去一起的东西。 、 2，然后从那里到 3、 4…… 与经典数学相反，在直觉主义中，所有无穷大都被认为是潜在无穷大。特别是自然数无穷大的情况。因此，必须谨慎对待对该集合进行量化的陈述。另一方面，从直觉的角度来看，归纳原理是完全可以接受的。

由于自然数相对于实数的有限性，许多在经典数学中正确的有限性质算术陈述在直觉主义中也是如此。例如，在直觉主义中，每个自然数都有一个质因数分解；存在不可计算的可计算可枚举集； (A∨ØA) 对于所有量词自由陈述 A 成立。对于更复杂的陈述，例如范德瓦尔登定理或克鲁斯卡尔定理，直觉有效性并不那么简单。事实上，这两个命题的直觉证明都很复杂并且偏离了经典证明（Coquand 1995，Veldman 2004）。

因此，在自然数的背景下，直觉主义和经典数学有很多共同点。只有当考虑实数等其他无限集合时，直觉主义才开始与经典数学以及大多数其他形式的建构主义有更大的不同。

3.4 连续体

在直觉主义中，连续统既是其经典对应物的延伸，又是其限制。就其完整形式而言，这两个概念是无法比较的，因为直觉实数具有经典实数所没有的属性。下面要讨论的一个著名的例子是这样的定理：在直觉主义中，连续统上的每个总函数都是连续的。通过弱反例可以很容易地看出直觉连续统不满足某些经典性质。它还包含经典实数不具有的属性，这源于直觉主义中选择序列的存在。

弱反例

布劳威尔在 1908 年提出的弱反例是布劳威尔用来表明从经典数学概念到直觉主义数学概念的转变对于根据这些哲学可以建立的数学真理并非没有影响的第一个例子。他们表明，从直觉主义的角度来看，某些经典陈述目前是不可接受的。例如，考虑以下定义给出的实数序列：

rn={

2−n 如果 ∀m≤nA(m)

2−m 如果 ØA(m)∧m≤n∧∀k＜mA(k)。

这里 A(n) 是一个可判定的属性，∀nA(n) 不知道是真还是假。可判定性意味着目前对于任何给定的 n 都存在（可以构造）A(n) 或 ØA(n) 的证明。在撰写本文时，我们可以让 A(n) 表示 n（如果大于 2）是三个素数之和； ∀nA(n) 则表达了（原始）哥德巴赫猜想：每个大于 2 的数字都是三个素数之和。序列 ⟨rn⟩ 定义了一个实数 r，其中语句 r=0 等价于语句 ∀nA(n)。由此可见，命题 (r=0∨r≠0) 不成立，因此三分法 ∀x(x＜y∨x=y∨x＞y) 在直觉连续统上不成立。

请注意“A 不是直觉上正确的”和“A 是直觉上可反驳的”之间的微妙区别：在第一种情况下，我们知道 A 不能有直觉证明，第二个陈述表示我们有 ØA 的证明，即构造从 A 的任何可能的证明中导出假值。对于三分法，我们刚刚表明它在直觉上不是正确的。下面将表明，即使是第二种更强的形式，即法律是可反驳的，在直觉上也是成立的。然而，对于存在弱反例的所有陈述来说，情况并非如此。例如，哥德巴赫猜想是排中原理的弱反例，因为目前尚不知道上面的∀nA(n)是真还是假，因此我们不能断言∀nA(n)∨Ø∀直觉上是 nA(n) ，至少目前不是。但这一命题的反驳 Ø(∀nA(n)∨Ø∀nA(n)) 在直觉主义中并不正确，因为我们可以证明，对于任何命题 B，可以从假设 ØB 和ØØB 成立（因此也来自 B 和 ØB）。换句话说，ØØ(B∨ØB)在直觉上是正确的，因此，尽管排中原理存在微弱的反例，但它的否定在直觉上是假的，即它在直觉上是可反驳的。

直觉主义者无法确定实数 r 是否为正的存在表明，某些经典总函数在直觉主义环境中不再如此，例如分段常数函数

f(r)={

如果 r≥0 则为 0

如果 r＜0，则为 1。

许多经典有效的陈述都存在弱反例。这些弱反例的构造通常遵循与上述示例相同的模式。例如，表明中间值定理在直觉上不是有效的论证如下。令 r 为 [−1,1] 中的实数，其中 (r≤0∨0＜r) 尚未确定，如上例所示。定义 [0,3] 上的一致连续函数 f：

f(x)=min(x−1,0)+max(0,x−2)+r。

显然，f(0)=−1+r 和 f(3)=1+r，因此 f 在 [0,3] 中的某个点 x 处取值 0。如果可以确定这样的x，则1≤x或x≤2。由于 f 在 [1,2] 上等于 r，因此在第一种情况下 r≤0，在第二种情况下 0≤r，与语句的不可判定性 (r≤0∨0≤r) 相矛盾。

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