数学哲学中的直觉主义（二）

选择序列

布劳威尔引入选择序列来捕捉连续统的直觉。由于对于直觉主义者来说，所有的无限都是潜在的，无限的物体只能通过逐步生成它们的过程来掌握。因此，什么被允许作为合法的构造决定了哪些无限对象将被接受。例如，在大多数其他形式的建构主义中，只允许生成此类对象的可计算规则，而在柏拉图主义中，无穷大被认为是完整的总体，即使在不知道生成规则的情况下，其存在也被接受。

布劳威尔的第二个直觉主义行为产生了选择序列，它为某些无限集提供了从经典观点来看不可接受的属性。选择序列是由自由意志创建的无限数字（或有限对象）序列。该序列可以由法则或算法确定，例如仅由零组成的序列，或由递增顺序的素数组成的序列，在这种情况下我们称之为类法则序列，或者它不能服从任何法则，在这种情况就称为无法无天。例如，可以通过重复投掷硬币来创建无法无天的序列，或者通过要求创建主体一一选择序列的连续数字，允许其选择自己喜欢的任何数字。因此，无法无天的序列永远是未完成的，并且在任何时间阶段关于它的唯一可用信息是迄今为止创建的序列的初始片段。显然，从无法无天的本质来看，我们永远无法决定其价值观是否与法治的序列相一致。此外，自由意志能够创建一开始像法律一样的序列，但在某个点上法律可能会被解除，自由选择的过程会接管以生成后续的数字，反之亦然。

根据布劳威尔的说法，每个实数都由一个选择序列表示，而选择序列使他能够通过有争议的连续性公理来捕获直觉连续统。布劳威尔在他的就职演说中首次谈到选择序列（Brouwer 1912），但当时他还没有将它们视为他的数学的基本组成部分。逐渐地，它们变得更加重要，从 1918 年起，Brouwer 开始以下一节中解释的方式使用它们。

3.5 连续性公理

选择顺序概念的接受具有深远的影响。对于直觉主义者来说，它证明了连续性公理的使用是合理的，从中可以导出经典无效的陈述。这些公理中最弱的是弱连续性公理：

∀α∃nA(α,n)→∀α∃m∃n∀β∈α(

￣

米

)A(β,n)。

这里 n 和 m 的范围是自然数，α 和 β 的范围是选择序列，并且 β∈α(

￣

米

) 表示 α 和 β 的前 m 个元素相等。尽管到目前为止，还没有对任意选择序列的大多数连续性公理给出完全令人满意的证明，甚至布劳威尔也没有给出，当限制于无法无天的序列类时，支持弱连续性公理有效性的论证如下。直觉主义者什么时候可以建立∀α∃nA(α,n)形式的陈述？根据无法无天序列概念的本质，必须在仅已知 α 的有限初始段之后才能选择 A(α,n) 所适用的数字 n。因为我们不知道 α 将如何及时进行，因此我们必须根据在我们希望固定 n 的时间点已知的 α 的初始段来选择 n。这意味着对于每个与 ​​α 具有相同初始段的无法无天序列 β，A(β,n) 也成立。

弱连续性公理已被证明是一致的，并且经常以可证明的形式应用，即谓词 A 仅指 α 的值，而不指它可能的高阶属性的情况。拥有。这里省略论证的细节，但它包含与不法序列原理的论证相同的成分，可以在 van Atten 和 van Dalen 2002 中找到。

弱连续性并没有耗尽直觉主义者关于连续统的直觉，因为给定弱连续性公理，似乎可以合理地假设数字 m 的选择使得 ∀β∈α(

￣

米

)A(β,n)，可以明确表示。因此 ∀α∃nA(α,n) 意味着存在连续函数 Φ，对于每个 α 都会产生 m，该 m 固定 α 的长度，在此基础上选择 n。更正式的是，让CF为连续函数φ的类别φ，将自然数分配给无限序列，即满足

∀α∃M∀β∈α（

￣

米

）φ（α）=φ（β）。

连续性的完整公理是弱连续性公理的扩展，然后可以表示为：：

∀αna（α，n）→∃φ∈Cf∀αA（α，φ（α））。

通过连续性公理，某些弱反例可以转化为经典原则的真正反驳。例如，这意味着被排除的中间原理的量化版本是错误的：

−∀α（∀Nα（n）= 0∨−∀nα（n）= 0）。

这里的α（n）表示α的第n元素。要看到这种否定存在，假设存在矛盾，认为€∀α（∀nα（n）=0∨ -∀nα（n）= 0）所持。这意味着

∀α∃K（（∀Nα（n）=0∧K= 0）∨（¬∀nα（n）=0∧K= 1））。

通过弱连续性公理，对于仅由零组成的α存在一个数字m，可以固定K的选择，这意味着对于所有β∈α（

￣

米

），k = 0。但是，第一个m元素为0的序列的存在，其中包含1个序列表明这是不可能的。

这个示例表明，被排除的中间原理不仅不存在，而且实际上是在直觉主义中是错误的，从而导致了连续体的许多基本属性的反驳。例如，考虑实际数字rα是由弱反示例中的部分中给出的序列的极限，其中定义中的a（m）被视为语句α（m）= 0。然后上面的反驳意味着−∀α（rα=0∨rα≠0），从而驳斥了三分法定律：

∀x（x＜y∨x=y∨y＜x）。

以下定理是连续性公理驳斥某些经典原理的方式的另一个例子。

定理（C-N）每个实际函数都是连续的。

确实，这个定理的经典反例，无处可连续函数

f（x）= {

0如果x是一个合理的数字

1如果x是一个不合理的数字

从直觉的角度来看，这不是合法的函数，因为在实际数字上不能确定理性的属性。上面的定理意味着连续体不可分解，在Van Dalen 1997中，这表明这甚至适用于一组非理性数字。

上面的两个示例是在直觉数学中应用连续性公理的特征。它们是直觉主义中唯一与古典推理相矛盾的公理，因此代表了布鲁维尔哲学中最丰富多彩和最有争议的部分。

邻里功能

连续功能有一个方便的表示，但在文献中已广泛使用，尽管不是布鲁维尔本人。连续函数将数字分配给无限序列的函数可以用邻域函数表示，其中邻里函数f是满足以下两个属性的自然数的函数（走为conpatenation and concatenation and f（α）（α）（

￣

n

））表示f在有限序列α的代码上的值（

￣

n

））。

α∃NF（α（α）（

￣

n

））＞ 0∀n∀m（f（n）＞ 0→f（n·m）= f（n））。

直观地，如果f表示φ，则f（α（

￣

n

））= 0表示α（

￣

n

）不够长以计算φ（α）和f（α（

￣

n

））= m+1表示α（

￣

n

）足够长以计算φ（α），并且φ（α）的值为m。如果k表示邻域功能的类

∀αna（α，n）→∃F∈K∀M（f（m）＞ 0→∀β∈MA（β，f（m -1）），），），

其中β∈M表示β初始段的代码为m。

3.6栏定理

Brouwer引入了选择序列和捕获直觉连续性的连续性公理，但是仅这些原理就不足以恢复Brouwer认为直觉上声音的传统分析的部分，例如，在封闭间隔上每个连续的真实功能都是均匀连续的定理的。因此，布鲁维尔证明了所谓的酒吧定理。这是一个经典的陈述，但是Brouwer给出的证明完全没有证据，因为它使用了对没有提供严格参数的证明形式的假设。这就是栏定理也称为条形原理的原因。

BAR定理的最著名后果是Fan定理，足以证明上述定理在统一的连续性方面，并将首先对其进行处理。风扇和栏定理都允许直觉主义者沿着某些有良好的对象集合使用诱导，称为扩散。传播是一套直觉的类似物，并捕捉了一如既往地生长且从未完成的无限物体的想法。扩散本质上是一棵具有自然数或其他有限物体的分支树，仅包含无限路径。

风扇是有限的分支传播，风扇原理表达了一种紧凑的形式，在经典上等同于科尼格的引理，从直觉的角度来看，经典的证据是不可接受的。该原则指出，对于每个分支在某个时刻满足属性a的每个粉丝，都有一个统一的绑定在满足该属性的深度上。这样的属性称为t。

∀α∈T∃NA（α（α）（

￣

n

）→∃M∀α∈T∃n≤ma（α（α）

￣

n

））。

这里α∈T表示α是T的分支。原理风扇足以证明上述定理：

定理（风扇）在闭合间隔上每个连续的实际函数都是均匀连续的。

布鲁维尔（Brouwer）对粉丝定理的理由是他普遍传播的律法原则：

[∀α∀n（a（α）（α（

￣

n

）∨a（α（α）（

￣

n

））∧∀na（α）（α）（

￣

n

）∧

∀α∀n（a（α）（α（

￣

n

）→b（α（

￣

n

））∧

∀αn（α）（α（α）（

￣

n

）仇士）→b（α（α）（

￣

n

）））→b（ε）。

这里ε代表空的序列，要串联，BI进行bar诱导，下标d指的是谓词A的可定性A。条原理提供了直觉主义，并具有树木的诱导原理。它表达了有充分的原理，用于相对于可决定的特性。可以从Brouwer的工作中提取这种可决定性要求的原则的扩展，但此处将被省略。连续性和条形原理有时以一个称为条连续性公理的公理捕获。

条形原理与有关连续性公理的部分中提到的邻域功能之间存在密切的联系。让IK成为归纳定义的邻域功能类别，由所有常数的非零序列λm.n+1组成，因此，如果f（0）= 0 = 0和λm.f（x·m）∈IKfor All x，然后f∈IK。语句k = ik，即邻里函数可以归纳生成的说明等同于出价。

布鲁维尔（Brouwer）的Bar定理证明是显而易见的，因为它使用了假设证明的井井有条的属性。这是基于这样的假设：任何证据表明，序列上的属性A是条形的，都可以将其分解为井井有条的规范证明。尽管它在经典上是有效的，但布鲁维尔的原则证明表明，将其作为直觉主义的有效原则的原因与支持其在古典数学中的可接受性的论点根本不同。

3.7选择公理

从建设性的角度来看，至少在某些其他集合理论的中央公理（例如扩展）的情况下，以其完整形式的选择公理是不可接受的（Diaconescu 1975）。因为让一个陈述是不知道是真实或错误的陈述。那么以下两组的成员资格是不可决定的。

x = {x∈{0,1} ^ =0∨（x =1∧A）}

y = {y∈{0,1} ^ y =1∨（y =0∧A）}

选择函数的存在f：{x，y}→{0,1}从x和y中选择一个元素会暗示（a∨ -a）。因为如果f（x）≠f（y），则遵循x≠y，因此，f（x）= f（y）意味着A。因此，{x，y}的选择函数不存在。

但是，对于直觉主义者来说，对公理的某些限制是可以接受的，例如可计数选择的公理，也被半智力主义者接受了合法原则，将在下面讨论：

∀R⊆n×n（∀m∃nMrn→∃α∈Nn∀mmrα（m））。

该方案可能是合理的，如下所示。前提的证明应提供给定M提供数字N的方法。因此，可以逐步构造自然数n上的函数α：首先选择元素m0，以使0RM0（将是α（0）的值）。然后选择一个元素M1，以使1RM1（将是α（1）的值，依此类推。

其他几个选择公理可以以类似的方式证明是合理的。这里只有一个将提及一个依赖选择的公理：

∀R⊆n×n（∀M∃NMRN→∀K∃α∈NN（α（0）=k∧

∀I≥0α（i）Rα（i+1））。

同样在经典数学中，选择公理会经过谨慎处理，并且经常明确提到证明需要多少选择。由于依赖选择的公理与经典集合理论（确定性的公理）中的重要公理一致，而选择的完整公理并非如此，因此特别关注此公理，一般而言，人们试图减少选择量如果有选择，则证明了依赖选择。

3.8描述性集理论，拓扑和拓扑理论

在对某些古典推理形式的怀疑上，布鲁维尔并不孤单。这在描述性集理论中尤其可见，该理论是对坎托里亚集合理论中出现的高度非构造概念的反应。该领域的开国元勋，包括埃米尔·鲍雷尔（émileBorel）和亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）作为两个主要人物，被称为半智慧主义者，他们对连续体的建设性待遇导致了Borel层次结构的定义。从他们的角度来看，像所有实数集的概念都毫无意义，因此必须由具有清晰描述的子集的层次结构替换。

在Veldman 1999中，制定了与Borel集合概念的直觉等效，并且表明，Borel集的经典等效的定义会引起各种直觉上不同的类别，这种情况通常在直觉主义中发生。对于直觉的borel设置了Borel层次结构定理的类似物在直觉上有效。这一事实的证据表明了上述讨论的连续性公理的必要利用，从而表明了古典数学如何指导搜索直觉的类似物，但是，必须以完全不同的方式证明这些数学，有时会使用从古典中使用的原理来证明，从看法。

通过形式或抽象拓扑的开发，已经出现了对连续体或一般拓扑空间研究的另一种方法（Fourman 1982，Martin-Löf1970，Sambin 1987）。在这种建设性的拓扑结构中，开放式和点的作用颠倒了。在古典拓扑中，一个开放式集合定义为一定的点，在建设性案例中，开放集是基本概念，并且根据它们定义了点。因此，这种方法有时称为无点拓扑。

直觉的功能分析已被Brouwer之后的许多人开发，但是由于大多数方法不是严格的直觉主义，而是在更广泛的意义上也是建设性的，因此在这里不会再解决这项研究。

4。建构主义

直觉主义与大多数其他形式的建构主义分享了核心。建构主义通常关注建设性的数学对象和推理。从建设性的证据中，至少从原则上可以提取计算元素并模拟在证明中建立存在的构造的算法。大多数形式的建构主义都与经典数学兼容，因为它们通常是基于对量化器和连接剂和允许的结构的更严格的解释，而没有做出其他假设。几乎所有建设性社区接受的逻辑都是相同的，即直觉逻辑。

经典数学中的许多存在定理具有建设性的模拟，其中存在陈述被有关近似值的陈述所代替。我们在上面的弱反例上的部分中看到了一个示例，即中间值定理。数学的大部分可以以类似的方式进行建设性的恢复。不进一步对待他们的原因是，本条目的重点放在直觉主义的那些方面，这些方面使它与其他数学的建设性分支区分开来。为了对建构主义进行彻底处理，读者被称为本百科全书中的相应条目。

5。元数学

尽管布鲁维尔以一种精确而基本的方式发展了他的数学，但正如我们所知的那样，正式化仅在后来才由其他人进行。的确，根据布鲁沃（Brouwer）的观点，即数学在内部展现出来，正式化虽然不可接受，但这是不必要的。他之后的其他人则是其他的，直觉数学的形式化及其对元数学特性的研究，尤其是算术和分析，都吸引了许多研究人员。上面已经对所有形式化的直觉逻辑的形式化已得到处理。

5.1算术

Arend Heyting所制定的Heyting Arithmetic Ha是对自然数字的直觉理论的形式化（Heyting 1956）。它具有与Peano算术PA相同的非逻辑公理，但基于直觉逻辑。因此，它是对经典算术的限制，它是几乎所有建设性数学领域的自然数学理论。 Heyting Arithmetic具有许多反映其建设性特征的属性，例如也具有直觉逻辑的分离属性。 PA无法共享的HA的另一个属性是数值生存属性：（（

￣

n

是对应于自然数n的数字）

ha⊢∃xa（x）⇒∃n∈Nha⊢a（

￣

n

）。

该属性不存在于PA中，这是因为PA证明了∃X（a（x）∨∀Y -a（y））。例如，考虑A（x）是公式t（e，e，x）的情况，其中t是可决定的kleene谓词，表达x是用输入e上的代码e终止程序计算的代码。如果每个e都存在一个数字n，以便通过检查t（e，e，y）的pa⊢t（e，e，n），然后检查t（e，e，n）是否持有确定程序是否终止输入e。但是，这通常是不可决定的。

马尔可夫的规则是一个经典和直觉上既有的原则，但仅出于哈哈，这一事实的证明是不平凡的：

ha⊢∀x（a（x）∨ -a（x））∧ -∃xa（x）⇒ha⊢∃xa（x）。

由于HA证明了每个原始递归谓词的排除中间定律，因此因此，HA中的€∃xa（x）的衍生性也意味着∃xa（x）的衍生性。由此遵循PA为π

0

2

- 保守性ha。也就是说，对于原始递归a：

pa⊢∀x∃ya（x，y）⇒ha⊢∀x∃ya（x，y）。

因此，HA的可证明的递归功能类别与PA的可证明的递归功能类别相吻合，PA的属性属性，基于建构主义和直觉主义的思想，这种属性可能并不令人惊讶。

5.2分析

直觉数学的形式化不仅仅是算术。从建设性的角度来看，大部分分析已被公理化（Kleene 1965，Troelstra 1973）。这些系统的建设性可以使用功能，类型的理论或可靠性解释来建立，其中大多数基于Gödel的辩证法解释的或扩展（Gödel1958，Kreisel 1959），Kleene Crolizizability（Kleene 1965），或类型的理论（Martin---- Martin--- Löf1984）。在这些解释中，以各种方式向∀x∃ya（x，y）中每个X分配y的函数，例如以各种方式向每个x分配y的功能。

在（斯科特（Scott）1968年和1970年）中，介绍了二阶直觉分析理论的拓扑模型，其中将实物解释为从贝尔（Baire）空间到经典实物的连续函数。在此型号中，Kripke的模式以及某些连续性公理所具有。在（Moschovakis 1973）中，该方法适应了以选择序列构建直觉分析理论的模型。同样在此模型中，Kripke的架构和某些连续性公理。在（van dalen 1978）中，贝丝模型用于提供算术和选择序列的模型，这些模型满足选择模式，弱连续性实例和Kripke的模式。在此模型中，每个节点的域都是自然数，因此不必像Kripke模型一样使用非标准模型。此外，可以在其中解释创建主题的公理CS1-3，从而表明该理论是一致的。

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