数学哲学中的直觉主义（三）

5.3无法无天的序列

存在无法法律序列的公理，它们都包含连续性公理的扩展（Kreisel 1968，Troelstra 1977）。特别是在开放数据的公理形式下，表明（α）不包含除α以外的其他非捕捉参数：

a（α）→∃N∀β∈α（

￣

n

）a（β）。

在（Troelstra 1977）中，在直觉分析的背景下，开发了（和正当）的一项无法序列理论。除了用于基本分析的公理外，它还包含了无法序列，增强了开放数据的公理的形式，连续性，可决定性和密度（密度说每个有限序列是无法序列的初始段）。特别有趣的是，在这些理论中，可以消除量化序列的量化序列，这也可以看作是为这些理论提供类似法律序列的模型。其他法律序列理论的其他经典模型是以类别理论的形式构建的（van der Hoeven and Moerdijk 1984）。在（Moschovakis 1986）中，引入了相对于某些类似法律元素的选择序列的理论，以及一个经典模型，在该模型中，无法法律序列完全是通用的序列。

5.4创建主题的形式化

第2.2节中介绍的创建主题可以生成选择序列，这是布鲁沃直觉主义的一些最重要，最复杂的数学实体。几位哲学家和数学家试图从数学上和哲学上发展创造主题的理论。

在形式化创建主题的概念时。乔治·克雷塞尔（Georg Kreisel，1967）引入了以下三个公理，用于创建主题，共同表示由CS表示：

◻na∨nna

（在时间n，可以决定是否创建主题

有一个证明A）

◻MA→◻M+Na

（创建主题永远不会忘记其已证明的）

（∃n◻na→a）∧（a→¬∃n◻na）

（创建主题仅证明什么是真实的，没有

真正的陈述是不可能证明的

创建主题）

在Anne Troelstra（1969）的版本中，最后一个公理被加强到

∃n◻na↔a

（创建主题仅证明是真实的，什么

是真的，某些创建主题将证明

观点）

第一个公理CS1是无争议的：在任何时间点，可以确定创建主题是否具有给定语句的证明。第二个公理CS2清楚地使用了以下事实：创建主题是理想化，因为它表明证明将始终被记住。最后一个公理CS3是创建主题形式化的最争议的部分，或者更好的是，其第二个相结合（a→¬ -∃n◻na）是克雷塞尔（Kreisel）的名称。例如，戈兰·桑德霍尔姆（GöranSundholm）（2014）认为，从建设性的角度来看，基督教慈善机构的公理是不可接受的。戈德尔的不完整定理甚至意味着，当◻na被解释为在足够强大的证明系统中可证明的时，该原则是错误的，但是，这当然不是Brouwer所想到的解释。

给定一个陈述A不包含时间的任何参考，即没有出现◻n，可以根据以下规则定义选择顺序（Brouwer 1953）：

α（n）= {

0如果€◻na

1如果◻na。

从此遵循第2.2节中介绍的称为Kripke的架构KS的原理，该原理与创建主题理论的公理不同，不包含时间：∃α（a↔∃nα（n）= 1） 。

使用Kripke的架构，可以正式表示弱的反示例参数，而无需任何引用创建主题。以下示例取自（Van Atten 2018）。让A成为目前无法掌握的陈述。使用KS ONE获得选择序列α1和α2，这样

€a↔∃nα1（n）= 1-a↔∃nα2（n）= 1。

与这两个序列相关联的实数R0和R1，其中i = 0,1：

ri（n）= {

0如果αi（n）≠1

（-1）i2 -m

如果对于某些M≤n，则αI（m）= 1，并且

对于无K＜m，αi（k）= 1。

然后，对于r = r0+r1，（r＞0∨r＜0）暗示语句¬A∨ -a，这表明无法证明（r＞0∨r＜0）。

在（van dalen 1978）中，一个模型由在算术和选择序列的背景下创建主题的公理构建，从而证明它们与直觉算术和分析的某些部分一致。在（van dalen 1982）中，CS被证明是保守的。 Kripke架构的数学后果可以在（Van Dalen 1997）中找到，其中表明KS和连续性公理拒绝了Markov的原理，而KS与Markov的原理一起意味着被排除的中间原则。

克里普克（Kripke）表明，KS意味着存在非捕集功能，这不是他发表的结果，而是克雷塞尔（Kreisel，1970）。显然，这意味着该理论CS也意味着存在非传递功能的存在。 CS的可能参数如下。假设X是不可汇总但可以计算的枚举集，并定义函数f如下：

f（m，n）= {

0如果不是◻M（n∉x）

1如果◻m（n∉x）。

然后，当且仅当且仅当f（m，n）= 1对于某些自然数m时，就可以得出结论，这意味着f不能计算。因为如果是这样，X的补充将是可以计算的，这意味着X的可计算性。由于从直觉的角度来看，F是一个函数，因此在直觉主义中确定并非所有函数都可以计算。

5.5基础

旨在作为建设性数学基础的形式化是一种固定理论（Aczel 1978，Myhill 1975）或类型理论（Martin-Löf1984）。前者的理论是对Zermelo-fraenkel将理论设置为建设性环境的改编，而在类型理论中，在系统中明确了构造陈述中隐含的构造。集合理论可以看作是数学的扩展基础，而类型理论通常是强度的理论。

近年来，出现了这些基础数学基础理论的许多部分模型，上面已经提到了其中一些。尤其是在Topos理论（Van Oosten 2008）中，有许多模型捕获了直觉主义的某些特征。例如，在托普上，所有总真实功能都是连续的。功能解释，例如可靠性以及类型理论中的解释也可以看作是直觉数学和大多数其他建设性理论的模型。

5.6反向数学

在相反的数学中，人们试图建立数学定理，这些定理需要公理来证明它们。在直觉的反向数学中，一个人具有类似的目的，但是就直觉定理而言：在弱直觉理论上工作，公理和定理相互比较。希望比较的典型公理是粉丝原理和条形原理，Kripke的模式和连续性公理。

在（Veldman 2011）中，研究了粉丝原理的等效物，而不是基本理论，称为基本直觉数学。结果表明，风扇原理等同于单位间隔[0,1]具有Heine-borel属性的陈述，并且得出了许多其他等效物。在（Veldman 2009）中，粉丝原理也被证明与Brouwer的近似固定点定理相当。在（Lubarsky等人，2012年）中，将反向数学应用于Kripke的模式，该模式与某些拓扑陈述相同。

直觉反向数学中还有更多此类示例。尤其是在较大的建设性反向数学领域中，从直觉的角度来看，这种性质的许多结果也与之相关。

6。哲学

布鲁维尔（Brouwer）从头开始建立自己的直觉主义，对直觉主义与其他现有哲学之间的关系没有太多评论，而是他之后的其他人的关系。在本节中讨论了其中的一些联系，特别是直觉原则可以从其他哲学方面证明是合理的。

6.1现象学

直觉主义与现象学之间的联系是埃德蒙·胡塞尔（Edmund Husserl）开发的哲学，在布鲁维尔（Brouwer）的一生和几十年后，几位作者都对几位作者进行了调查。赫尔曼·韦伊尔（Hermann Weyl）是第一个讨论布鲁维尔（Brouwer）思想与数学现象学观点之间关系的人之一。像布鲁瓦（Brouwer）一样，韦尔（Weyl）在他的书《达斯·康蒂纳姆（Das Kontinuum）》（第2章）中谈到了直觉的连续体，但韦尔的概念基于时间（意识）时间的现象学。后来，韦尔（Weyl）认为，布鲁维尔（Brouwer）对真实分析的发展比他自己的直觉连续体更为忠实（Weyl 1921），因此至少在这一方面将自己置于布鲁维尔（Brouwer）的身边（Van Atten 2002）。

Van Atten（2003 EN 2007）使用现象学来将选择序列视为数学对象的合理性。作者（2002）对布劳尔的选择序列的理由至关重要，这是在其他地方寻找哲学上理由的动机。选择序列发生在Becker（1927）和Weyl的工作中，但它们与Brouwer的概念不同，而Husserl从未公开讨论选择序列。范·阿滕（Van Atten）解释了连续体的同质性如何解释其无穷无尽和非原子性，这是布鲁维尔（Brouwer）的直觉连续体的两个关键特性。利用这两个基本特性存在于选择序列的定义中，一个人是对它们的现象学理由。

6.2维特根斯坦

1928年3月10日，布鲁维尔（Brouwer）在维也纳的数学基础上演讲。路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）参加了赫伯特·费格尔（Herbert Feigl）说服的演讲，后来他写了他与维特根斯坦（Wittgenstein）和其他人在演讲后度过的时间：发生了一场伟大的活动。突然，非常有力的维特根斯坦开始谈论哲学 - 很长一段时间。也许这是1929年以来的转折点，当时他搬到剑桥大学时，维特根斯坦再次成为哲学家，并开始发挥巨大的影响力。

其他人则质疑布鲁维尔的演讲影响了维特根斯坦的思想（Hacker 1986，Hintikka 1992，Marion 2003）。如果有的话，维特根斯坦（Wittgenstein）受到布鲁维尔（Brouwer）的想法的影响并不完全清楚，但是当然，他们的观点之间存在有趣的协议和分歧。 Marion（2003）认为，Wittgenstein的数学概念如Tractatus中所述，与Brouwer的数学概念非常接近，Wittgenstein同意拒绝被排除的中间法律（1929年的手稿，PP 155-156，但在Wittgenstein 1994中）一致。有了布鲁维尔的论点。马里恩（Marion，2003）声称，维特根斯坦的立场比布鲁威尔的立场更为激进，因为在前者认为，数学中被排除的中间法律的有效性缺乏有效性，这是所有数学命题（与经验命题相对）的显着特征无限数学的特殊性，就像布鲁威尔一样。

Veldman（即将到来的）讨论了Brouwer和Wittgenstein之间（例如逻辑的危险）之间的几个（DIS）一致性，这两者都可能导致没有数学内容的构造。本文中提出的分歧之一是维特根斯坦的观点，即数学是一项普遍的事业，这与布鲁维尔的创作主题形成鲜明对比，他认为数学是一项无语的活动。

6.3 Dummett

英国哲学家迈克尔·达米特（Michael Dummett，1975年）为直觉主义发展了哲学基础，尤其是直觉逻辑。 Dummett明确地指出，他的理论不是对布鲁威尔作品的训练，而是（用他的话）否定数学中的经典推理，而不是直觉推理的哲学理论。

Dummett的方法始于这样一个想法，即一种逻辑而不是另一种逻辑的选择必须一定在于一个逻辑上的含义。在Dummett使用的意义理论中，该理论基于Wittgenstein关于语言的观念，尤其是基于他的含义是使用的想法，句子的含义取决于使用句子的使用方式。数学陈述的含义在其使用中表现出来，对它的理解是对使用该陈述能力的知识。我们获得数学知识的方式支持了这种观点。当我们学习数学概念时，我们将学习如何使用它：如何计算它，证明或从中推断出它。确定我们掌握数学陈述含义的唯一方法在于我们熟练地正确使用该陈述。

鉴于这种意义的观点，数学意义理论中的核心概念不是在柏拉图主义中，而是证明。对数学陈述的理解在于能够识别其证明时的能力。正如Dummett所说，这导致了直觉逻辑作为数学推理的逻辑。

有趣的是，正如Dummett （ 1975 ）所言，他的意义理论与Brouwer关于数学作为一种本质上无语的活动的想法相去甚远。 因此，至少有两种截然不同的思路导致采用直觉逻辑而不是经典逻辑，一种是由Brouwer开发的，另一种是由Dummett提出的。 Dummett关于直觉主义的工作已被Dag Prawitz （ 1977 ） ， Parsons （ 1986 ）和Richard Tieszen （ 1994 en 2000 ）等各种哲学家评论。

6.4有限性

各种形式的有限主义基于与Dummett表达的观点相似的观点，但其中允许证明数学陈述的结构不仅需要在原则上存在，而且需要在实践中存在。 根据后一个概念的精确实现，可以得出不同形式的有限主义，例如Alexander Yessenin-Volpin （ 1970 ）开发的Ultra-Intuitionism （超直觉主义）和Crispin Wright （ 1982 ）开发的Strict Finitism （严格有限主义）。

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