混乱（一）

1. 混沌的定义：非周期性、决定论、非线性和敏感依赖性

1.1 预备知识

1.1.1 动力系统和决定论

1.1.2 非线性动力学

1.1.3 状态空间和忠实模型假设

1.2 混沌简史

1.3 混沌的定义

1.3.1 混沌的定性定义

1.3.2 混沌的定量定义

1.3.3 Lyapunov指数和混沌

1.3.4 定义问题

1.4 盘点

2.什么是混沌“理论”？

3. 非线性模型、可信度和确认

4. 混沌、决定论和量子力学

5.关于现实性和解释的问题

5.1 现实主义和混沌

5.2 混沌解释的本质

5.2.1 解释、忠实模型和混沌

5.2.2 混沌与理解

5.3 盘点

6. 混沌的一些更广泛的影响

6.1 混沌与决定论

6.2 混沌与涌现

6.3 混沌、规律和因果关系

6.4 意识和自由意志

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 混沌的定义

数学、天文学、气象学、人口生物学、经济学和社会心理学等多个学科都对混沌现象进行了研究。虽然如此不同的学科不太可能有任何共同的因果机制，但混沌的现象学行为——例如，对初始条件的最微小变化的敏感性，或看似随机和不可预测的行为，但却遵循精确的规则——出现在这些学科的许多模型中。在如此不同的领域的模型中观察类似的混沌行为，对于理解混沌作为一种现象以及什么可以算作这些现象的统一提出了挑战。

1.1 预备知识

1.1.1 动力系统和决定论

混沌通常被理解为动态系统的属性。动态系统是一个确定性数学模型，用于描述系统的可观察特性如何随时间演变。时间可以是离散的，也可以是连续的。一维动力系统称为映射（尽管文献有时偏离这种用法）。作为离散地图的示例，想象一下这样的规则：您在棋盘的第一个方格上放置一便士，在第二个方格上放置两枚硬币，在第三个方格上放置三枚硬币，依此类推。每个方块上的输出或便士数量代表时间的一步。这是一个迭代过程，意味着某个时间变量的当前值

t

�

，便士的数量应用了规则，生成下一个时间步的变量值

t

+

1

�

+

1

。然后将该规则应用于该值，在下一个时间步产生输出

t

+

2

�

+

2

等等。时间序列由每个时间步的地图输出组成。第一个方格上的便士数量 (

t

�

），平方二（

t

+

1

�

+

1

), 方三 (

t

+

2

�

+

2

）等等都是通过迭代映射生成的离散时间序列的示例。

二维或更高维度的动力系统称为流。流也可以是离散的或连续的，它们的输出也形成时间序列，尽管是二维或多维的。

此类模型可以作为数学对象来研究或用于描述目标系统（例如物理、生物或经济）。一个简单的例子是描述钟摆运动的方程。动力系统的方程描述了变量随时间的演变，以充分描述目标系统（例如，摆锤的速度随时间变化）。此类方程的初始状态的完整规范称为模型的初始条件，而模型域边界的表征称为边界条件。具有边界条件的动态系统的一个例子是模拟小炮向墙壁发射的橡皮球的飞行的方程。边界条件可能是墙壁不吸收动能（运动能量），因此球从墙壁反射而不会损失能量。初始条件是球离开炮口时的位置和速度。然后，动力系统将描述在这些条件下球往返于墙壁的飞行。

如果数学模型表现出独特的演化，那么它就是确定性的：

（独特的进化）模型的给定状态总是遵循相同的状态转换历史。给定一个特定时间的状态，只有一个符合相关法律的转变历史。

尽管一些关于混沌的流行讨论声称它使决定论无效，但混沌行为始终是确定性的。对混沌和决定论的许多困惑源于将决定论与可预测性等同起来。虽然如果用于分析混沌行为的状态空间（参见下面的§1.1.3）是粗粒度的，那么确实可以产生明显的随机性，但这只会产生一种认知形式的非确定性。基本方程仍然是完全确定性的。为了打破混沌系统中的决定论，必须引入某种非决定论，从而违反了唯一进化的性质（参见下面的§4和§6.1）。

动力系统表现出各种类型的吸引子，即轨迹在状态空间中收敛的值（或流情况下的一组值）。吸引子有四种：

固定点：动力系统重复相同的值。

周期性循环：动态系统产生周期性重复的值，例如时钟的小针每 60 秒指向 12。

准周期循环：动力系统产生的值表现出规则的模式，但没有固定的周期，例如潮汐的滚滚。此类吸引子还可以表现出具有两个或多个不可通约频率周期（即，频率彼此不是有理数倍数）的行为。

非周期性：动力系统产生的值似乎从不重复，但存在复杂的顺序。

非周期吸引子的复杂秩序是混沌现象的根源。

当动力系统的轨迹缩小到吸引子时，它被称为耗散的。耗散动力系统具有其活动收缩到状态空间中较小的面积或体积的特性（参见§1.1.3）。相反，保守动力系统（也称为哈密顿量）保留状态空间面积或体积。耗散动力系统和保守动力系统都表现出混沌行为。

1.1.2 非线性动力学

混沌研究中感兴趣的动力系统是非线性的，例如流体对流的 Lorenz (1963) 模型方程：

（洛伦兹）

d

x

d

t

=

-

σ

x

+

σ

y

;

d

y

d

t

=

r

x

-

y

+

x

z

;

d

z

d

t

=

x

y

-

乙

z

。

�

�

�

�

=

-

�

�

+

�

�

;

（洛伦兹）

�

�

�

�

=

�

�

-

�

+

�

�

;

�

�

�

�

=

�

�

-

�

�

。

动态系统的特征是线性或非线性，具体取决于描述目标系统的方程的性质。考虑微分方程组

d

x

/

d

t

=

F

x

�

�

/

�

�

=

�

�

对于一组变量

x

=

x

1

,

x

2

,

……

,

x

n

�

=

�

1

,

�

2

,

……

,

�

�

。这些变量可能代表目标系统的位置、动量、化学浓度或其他关键特征，方程组描述了这些关键变量如何随时间变化。

让

x

1

(

t

）

�

1

(

�

）

和

x

2

(

t

）

�

2

(

�

）

是方程组的解

d

x

/

d

t

=

F

x

�

�

/

�

�

=

�

�

。如果方程组是线性的，则可以容易地证明：

x

3

(

t

）

=

一个

x

1

(

t

）

+

乙

x

2

(

t

）

�

3

(

�

）

=

�

�

1

(

�

）

+

�

�

2

(

�

）

是一个解，其中

一个

�

和

乙

�

是任意常数。这就是所谓的线性叠加原理。如果线性叠加原理成立，则系统呈线性行为：变量乘以一个因子的任何乘法变化

α

�

意味着其输出的乘法或比例变化

α

�

。

假设您以低音量开始使用立体声音响，并将音量控制旋钮转动一个单位。体积增加一个单位。如果您现在将控制器转动两个单位，音量就会增加两个单位。这是线性响应的示例。在洛伦兹这样的非线性系统中，线性叠加失败，并且系统不需要与变量的变化成比例地变化。如果将音量控制转动得太远，音量不仅可能增加超过转动的单位数，而且声音中会出现口哨声和各种其他失真。这些是非线性响应的示例。

1.1.3 状态空间和忠实模型假设

物理系统的数学模型涉及状态空间，即点的抽象数学空间。每个点代表系统的一种可能状态。当系统的状态完全由位置和动量变量表征时，所得空间通常称为相空间，尽管一些作者将术语“相空间”用于任何状态空间。动态系统是模型在状态空间中如何行为的规则。状态被认为是通过被认为对于所述状态及其行为的完整描述至关重要的变量的值来表征的。状态空间的维数由表征系统状态所需的自变量的数量决定。

除了表征状态的变量之外，动力系统还具有一个或多个参数，用于确定数学模型中特定项对模型行为的贡献强度。初始状态以及数学模型及其参数对于混沌动力学非常重要。

对于映射，输入的第一个数字（初始状态）被迭代，产生状态空间中的轨迹，一系列状态转换创建时间序列。类似地，对于流来说，状态空间的维度与数量一样多的数字用作初始状态。可以通过跟踪模型从初始状态到某个选定的最终状态的轨迹来在状态空间中研究模型。这些方程描述了系统在状态空间中的路径（状态转换的历史）。通常在状态空间中工作可以研究动态系统轨迹的有用几何特性，而无需知道方程的精确解。

科学家推测用于预测天气的模型与正在跟踪的天气系统之间存在密切联系。然而，请注意一些关键的、通常未经检验的假设。例如，目标系统的状态（例如天气）由关键状态空间变量的值来表征，并且物理状态通过这些值对应于状态空间中的点。这意味着状态空间中表示的目标系统的状态对应于感兴趣的现实世界系统，并且状态空间中编码的可能性对应于现实世界系统的物理可能性。

这些假设允许开发状态空间中行为的数学模型，并且这些模型被用来表示（可能通过同构或一些更复杂的关系）感兴趣的目标系统。数学家和科学家假设我们的数学模型是目标系统的忠实表示，并且所使用的状态空间忠实地表示了目标系统的实际可能性。这一系列假设是忠实的模型假设。在其理想化的极限（完美的模型框架）下，它可以许可模型对话和系统对话之间的（也许是草率的）滑动（即，模型的真实情况也适用于目标系统，反之亦然）。

考虑到忠实性，我们可以合理地认为我们可以在同一状态空间中绘制目标系统及其模型的轨迹以进行比较。在非线性模型的背景下，忠实度似乎不够（§3）。

1.2 混沌简史

虽然 20 世纪之前的一些科学家和数学家探索了系统行为对初始条件 (SDIC) 的敏感依赖现象，但这些孤立的研究从未产生持续的探究领域。例如，James Clerk Maxwell 发现了类似 SDIC 的行为（1876 年，第 13 页）。他将此类现象描述为违反了“物理公理”的情况，即相似的前因会产生相似的后果。他认识到这种行为可以在具有足够多变量的系统中找到。但他也认为，这种敏感的依赖性可能发生在两个碰撞球体的情况下（1860）。

在不确定性的增长方面，庞加莱的气旋例子更接近我们对 SDIC 的现代概念，其中“十分之一度”的观测误差导致登陆的明显随机性，从而造成预测困难（1921，第 398 页）。

Edward Lorenz (1963) 的一篇著名论文加强了小扰动对系统行为影响的研究。他的开创性工作表明，气象模型可以表现出对初始条件微小变化的精确敏感依赖性。

表征不确定性增长的三个基准是线性增长率、指数增长率和几何增长率。线性增长由表达式表示

y

=

一个

x

+

乙

�

=

�

�

+

�

， 在哪里

一个

�

是任意正常数并且

乙

�

是任意常数。线性增长的一个特殊情况是通过在棋盘上堆叠便士来说明的

(

一个

=

1

(

�

=

1

,

乙

=

0

）

�

=

0

）

。按照在第一个方格上放置 1 便士、在第二个方格上放置 2 个便士、在第三个方格上放置 3 个便士等规则，我们最终会在最后一个方格上堆放 64 个便士。棋盘上的硬币总数为 2080。

指数增长由以下表达式表示

y

=

n

0

e

一个

x

�

=

�

0

�

�

�

， 在哪里

n

0

�

0

是一些初始数量（比如初始的便士数量）并且

一个

�

是任意正常数。回到我们堆积便士的类比

一个

=

1

�

=

1

，首先在第一个方格上放置 1 便士，在第二个方格上放置大约 2.7 便士，在第三个方格上放置大约 7.4 便士，依此类推，得到大约

6.2

×

10

27 号

6.2

×

10

27 号

最后一个方格上投入了硬币！这是非线性映射的示例。

最后，还有比指数增长更快的速度[1]，但指数不确定性增长被认为是混沌动力学的重要标志。因此，这些更快的增长率通常在混乱的讨论中被忽略。

洛伦兹模型展示的另一个行为是非周期性。非周期性解决方案不会重复其行为（至少在合理的时间范围内；在计算机上证明解决方案不会重复是非常困难的）。

非周期性被视为一种无趣的数学怪事，直到 Lorenz (1963) 的发表证明了模型解决方案不会重复其行为，因为它们与康托集有很深的关系。洛伦兹的工作表明非周期性具有实际意义。

Lorenz（1963）通常代表混沌的“发现”。最早使用“混沌”一词来描述洛伦兹报道的现象是在 David Ruelle 和 Floris Takens (1971) 中；术语“奇异吸引子”（见下文§5.1）也是首次出现在本文中。尽管如此，正是 Li Tien-Yien Li 和 James A. Yorke（1975）颇具影响力的“第三周期意味着混沌”论文导致“混沌”一词广泛用于这些数学行为。

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