混乱（二）

1.3 混沌的定义

为了将系统识别为混沌系统，我们需要一个定义或一系列显着特征。

1.3.1 混沌的定性定义

物流地图，

x

t

+

1

=

α

x

t

(

1

-

x

t

）

,

�

�

+

1

=

�

�

�

(

1

-

�

�

）

,

在哪里

α

�

是一个参数，其取值范围为 1 到 4，变量

x

�

范围从零到一，是一个模型混沌系统。混沌的定义应该确定是什么导致了这样一个动力系统的混乱，但这却是一项艰巨的任务。 Stephen Kellert 将混沌理论定义为“对确定性非线性动力系统中不稳定非周期行为的定性研究”（1993 年，第 2 页）。他的定义指出了同时存在的两个关键特征：不稳定性和非周期性。不稳定的系统是那些对初始条件表现出敏感性的系统，其中凯勒特引用了罗伯特·德瓦尼的定义，以及性质不同行为的例子（1993，第 12 页）。我们已经遇到过非周期性。[2]

这个定义既是定性的又是限制性的。它是定性的，因为凯勒特不依赖数学上精确的不稳定性和非周期性标准。尽管可以添加这样的定义，但这种精度可能只能带来有限的改进（见下文）。该定义具有限制性，因为它将混沌限制为数学模型的属性（尽管 Kellert（1993）有时对于混沌是否只是数学模型或现实世界系统的行为含糊不清），因此实际的重要性世界体系保持开放。此时，我们必须援引忠实的模型假设，即我们的数学模型及其状态空间与现实世界的目标系统及其可能的行为密切对应，以在该定义与实际系统中的混沌之间建立联系。我们立即面临两个相关问题：

我们的模特有多忠实？与目标系统的对应性有多强？这涉及现实主义和解释（§5）以及确认（§3）的问题。

我们的数学分析的特征（例如，不稳定性的表征）是否存在问题，以至于它们在目标系统中的应用可能没有用（见下文）？

此外，凯勒特的定义过于宽泛，无法仅挑选出混乱的行为。例如，拿地图

x

n

+

1

=

c

x

n

�

�

+

1

=

�

�

�

，一张仅显示不稳定和非周期性轨道的地图。对于价值观

c

=

1.1

�

=

1.1

和

x

0

=

.5

�

0

=

.5

，连续的迭代继续增加并且永远不会返回接近

x

0

�

0

。凯勒特的定义将该地图归类为混沌，但该地图并未表现出混沌行为。

罗伯特·巴特曼（Robert Batterman，1993）讨论了有问题的混沌定义，即那些关注不可预测性概念的定义。不可预测性对于区分混沌与任何其他不可预测的行为既不是必要的也不是充分的（补充：混沌层次结构）。巴特曼没有具体说明替代定义，但表示不确定性的指数增长是一个必要条件，但是否充分尚待确定。

然而，混沌的一个重要特征是动力学中存在“拉伸和折叠”机制（Batterman 1993，p.49）。这种机制导致一些轨迹快速收敛，同时导致其他轨迹快速发散，从而导致从状态空间的某些小邻域中的各个点发出的轨迹以戏剧性的方式混合和分离。例如，洛伦兹吸引子上的一些最初相邻的轨迹（图 1）变得分离，其中一些最终在一个翼上，而另一些则很快地在另一翼上结束。另一个例子，逻辑图拉伸了区间

[

0

,

1

]

[

0

,

1

]

并将其从直线折叠成抛物线。连续迭代重复这种拉伸和折叠过程，最终产生混沌动力学以获得适当的参数值

α

�

。

纯黑色背景上的闭合黄色曲线。曲线盘旋成两大组同心椭圆，它们在底部相互连接，在顶部相互远离。

图 1. 洛伦兹吸引子。

轨迹的拉伸与不确定性的爆炸性增长有关，并与状态空间区域的限制有关。巴特曼认为，动力学中适当的拉伸和折叠机制的存在是混乱的必要条件。这种行为与非线性有关。因此，这一定义特征可以应用于数学模型和实际系统，尽管在目标系统中识别此类机制可能相当棘手：例如，在处理流体系统时，我们有几种非线性机制作为拉伸和折叠的来源得到了很好的探索。相比之下，当我们只有时间序列数据（例如芝加哥期货交易所生猪期货的每小时价格）时，识别可能的非线性机制是很困难的。

拉伸和折叠机制会导致吸引子动力学，因此在制定混沌定义时关注此类机制似乎是富有成效的。从定性的角度来看，我们将决定论、非线性、拉伸和折叠动力学、非周期性和 SDIC 作为与识别符合我们对混沌直觉的混沌行为的定义相关的因素。

1.3.2 混沌的定量定义

让我们从区分敏感依赖的弱形式和强形式开始（有点遵循 Smith 1998）。弱敏感依赖性可以表征如下。考虑传播者，

J

(

x

,

Δ

t

）

�

(

�

,

Δ

�

）

，其中轨迹

x

(

t

+

Δ

t

）

=

J

(

x

,

Δ

t

）

�

(

�

+

Δ

�

）

=

�

(

�

,

Δ

�

）

。让

x

(

0

）

�

(

0

）

和

y

(

0

）

�

(

0

）

是两个不同轨迹的初始条件。那么，弱敏感依赖为

（水务署）

∃

ε

>

0

∃

�

>

0

∀

x

(

0

）

∀

�

(

0

）

∀

δ

>

0

∀

�

>

0

∃

t

>

0

∃

�

>

0

∃

y

(

0

）

∃

�

(

0

）

,

|

x

(

0

）

-

y

(

0

）

|

<

δ

|

�

(

0

）

-

�

(

0

）

|

<

�

和

|

x

(

t

）

-

y

(

t

）

|

>

ε

。

|

�

(

�

）

-

�

(

�

）

|

>

�

。

无论距离有多近

x

(

0

）

�

(

0

）

和

y

(

0

）

�

(

0

）

轨迹是从

y

(

0

）

�

(

0

）

最终将分歧为

ε

�

从轨迹开始于

x

(

0

）

�

(

0

）

。然而，WSD 没有指定发散率（它与线性发散率兼容），也没有指定周围有多少个点

x

(

0

）

�

(

0

）

将产生不同的轨迹（它可能是一组零度量）。

另一方面，混乱通常以更强烈的敏感依赖为特征：

（标清）

∃

λ

∃

�

这样对于几乎所有的点

x

(

0

）

�

(

0

）

,

∀

δ

>

0

∀

�

>

0

∃

t

>

0

∃

�

>

0

这样对于几乎所有的点

y

(

0

）

�

(

0

）

在一个小社区

(

δ

）

(

�

）

大约

x

(

0

）

�

(

0

）

,

|

x

(

0

）

-

y

(

0

）

|

<

δ

|

�

(

0

）

-

�

(

0

）

|

<

�

和

|

x

(

t

）

-

y

(

t

）

|

≈

|

x

(

0

）

-

y

(

0

）

|

e

λ

t

|

�

(

�

）

-

�

(

�

）

|

≈

|

�

(

0

）

-

�

(

0

）

|

�

�

�

,

其中“几乎全部”被理解为适用于状态空间中除一组测量零之外的所有点。这里，

λ

�

通常被解释为最大的全局李亚普诺夫指数（补充：全局李亚普诺夫指数），并被用来表示以某个小邻域为中心的相邻轨迹的平均发散率

x

(

0

）

�

(

0

）

。如果满足以下条件，则意味着指数增长

λ

>

0

�

>

0

（收敛如果

λ

<

0

）

�

<

0

）

。一般来说，这种增长不可能永远持续下去。如果系统在空间和动量方面受到限制，那么附近的轨迹彼此偏离的距离就会受到限制。

设计混沌定义的一种策略是从离散模型开始，然后推广到连续情况。如果从连续系统开始，使用庞加莱截面曲面（粗略地定义一个二维平面，并绘制流轨迹与该平面的交点），则可以生成离散模型。如果截面表面生成的离散模型表现出混沌行为，则原来的连续系统也将是混沌的。

让

f

�

是状态空间上定义的平滑函数

S

�

。

f

�

可以迭代或重新应用多次。[3]为了表明这一点，我们可以写

f

n

(

x

）

�

�

(

�

）

， 意义

f

�

迭代应用

n

�

次。例如，

f

3

(

x

）

�

3

(

�

）

会表明

f

�

已申请3次，因此

f

3

(

x

）

=

f

(

f

(

f

(

x

）

）

）

�

3

(

�

）

=

�

(

�

(

�

(

�

）

）

）

。逻辑图是该迭代过程的一个简单示例。此外，让

K

�

是一个子集

S

�

。然后

f

(

K

）

�

(

�

）

代表

f

�

应用于点集

K

�

， 那是，

f

�

发送集合

K

�

进入

f

(

K

）

�

(

�

）

。如果

f

(

K

）

=

K

�

(

�

）

=

�

， 然后

K

�

是一个不变量集

f

�

。

现在 Devaney（1989）对混沌的定义可以表述如下：

（混乱

d

）

�

）

平滑的地图

f

�

是混乱的，如果

f

�

有一个不变集

K

⊆

S

�

⊆

�

这样

f

�

满足水务署的要求

K

�

,

周期轨道的集合

f

�

密集于

K

�

， 和

f

�

是拓扑传递的

K

�

。

拓扑传递性是以下概念：考虑开集

U

�

和

V

�

围绕点

你

�

和

v

�

分别。不管多小

U

�

和

V

�

是，一些轨迹起始于

U

�

最终访问

V

�

。该条件保证轨迹从以下点开始

U

�

最终将探索所有

S

�

。

德瓦尼的定义经常受到数学家的青睐，并且具有精确和紧凑的优点。自从他提出他的定义以来，已经证明（2）和（3）意味着（1）如果集合

K

�

具有无限数量的元素（Banks et al. 1992），尽管这个结果不适用于具有有限元素的集合。这个定义是违反直觉的，因为它强调周期性轨道而不是非周期性，而后者是混沌的更好表征。毕竟，正是缺乏周期性才是混沌行为的特征。然而，如果非稳定周期点的集合是密集的

K

�

，则给定（3）保证了混沌非周期轨道特征的丰富性。有些人认为 (2) 甚至对于描述混沌来说并不是必要的（例如，Robinson 1995，第 83-4 页）。此外，德瓦尼的定义中没有任何暗示轨迹的拉伸和折叠（例如，线性模型可以表现出 WSD），从定性的角度来看，这似乎是混沌的必要条件。 Peter Smith（1998，第 176-7 页）认为混沌

d

�

是混乱的结果而不是混乱的标志。[4]

捕获轨迹拉伸和折叠概念（混沌动力学特征）的可能性如下：

（混乱

小时

）

ℎ

）

离散函数

f

�

是混乱的，如果对于某些迭代

n

≥

1

�

≥

1

，发送单位间隔

我

�

变成马蹄铁。

考虑 Smale 马蹄形：从单位平方开始。首先，将其拉伸到

y

�

方向超过两倍。然后将其压缩到

x

�

方向超过两倍。现在，折叠生成的矩形并将其放回正方形上，以便结构重叠并保留初始单位正方形的中间和垂直边缘未被覆盖。重复这些拉伸和折叠操作会产生 Smale 吸引子。

这个定义至少有两个优点。首先可以证明混沌

小时

ℎ

意味着混沌

d

�

。

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