混乱（三）

其次，它产生指数散度，因此我们得到了混沌系统预期的 SD。然而，它有一个显着的缺点，即它不能应用于可逆函数，即许多表现出哈密顿混沌系统的函数类型。哈密​​顿系统是总动能加上势能守恒的系统；相反，耗散系统通过摩擦等某种机制损失能量。那么，哈密顿混沌是哈密顿系统中的混沌行为，混沌的定义必须能够涵盖保守系统和耗散系统。

文献中已经提出了其他可能的定义。例如（Smith 1998，第 181-2 页），

（混乱

t

e

）

�

�

）

离散函数是混沌的，因为它表现出拓扑熵。

粗略地说，给定邻域内的点

氮

�

大约

x

(

0

）

�

(

0

）

少于

ε

�

彼此远离后

n

�

迭代

f

�

从点开始的轨迹

氮

�

将有所不同

ε

�

或更大，越来越多的轨迹将至少相差

ε

�

作为

n

�

增加。然而，对于地图来说，可以证明混沌

小时

ℎ

意味着混沌

t

e

�

�

，所以这看起来不是一个基本定义，尽管它通常对于证明相对于其他定义的定理更有用。

一些作者主张用遍历理论的概念来描述混沌（例如，Berkovitz、Frigg 和 Kronz 2006；Sklar 1995，第 235-4 页；参见补充：混沌层次结构）。

1.3.3 Lyapunov指数和混沌

科学家和哲学家中最流行的混沌候选定义是

（混乱

λ

�

）

如果函数具有正的全局 Lyapunov 指数，则该函数是混沌的。

该定义以SD为基础

λ

�

作为全局 Lyapunov 指数。积极性的意义在于

λ

>

0

�

>

0

对于指定集合中的几乎所有点

S

�

。此外，它为数学模型提供了实用的计算优势，并且通常可以在检查物理系统生成的数据集是否存在全局李亚普诺夫指数的意义上与实验数据相关联（有时是困难的）。

全局李亚普诺夫指数是表征任何不确定性的平均增长率的参数。该平均速率是在许多初始条件下估计的。此类指数可以被认为表示在轨迹上平均的函数的每个时间步长的拉伸率。在这种情况下，拉伸是相邻轨迹彼此远离的快速发散，并且与数学模型中非线性的存在有关。

通过将逻辑映射的 Lyapunov 指数值与其分叉图进行比较，说明了 Lyapunov 指数作为潜在诊断的有用性（例如，Bishop 2023，第 54-55 页）。全局李雅普诺夫指数的符号与分岔行为一致。对于混沌数学模型来说，这种跟踪总是如此。研究此类关系揭示了与所有动力系统的混沌相比，更大的一组参数值会导致稳定的行为。

全局李雅普诺夫指数的一个优点是，它们提供了一种方便的不确定性增长测量方法，为系统的可预测性提供了一些见解。系统可预测范围的一个常见衡量标准是倍增率

2

t

2

�

，衡量不确定性何时增长到初始数据两倍的指标

t

�

增加。在线性系统中，不确定性需要很长时间才能增长到初始数据的两倍。对于混沌行为，倍增时间为

2

λ

t

2

�

�

因为不确定性的增长被认为是一个纯粹的指数增长

λ

�

。

1.3.4 定义问题

所有讨论的定义都有反例（参见补充：混沌定义反例）：

表现出 WSD 的系统可能无法具有正的全局 Lyapunov 指数。

尝试调整混沌等定义

d

�

, SD, 混沌

t

e

�

�

，或混沌

λ

�

遍历层次结构产生具有指数发散轨迹的示例，其中所有过去状态与任何未来状态完全相关，不会产生与混沌相关的随机性。

一些全局李雅普诺夫指数为正的案例的轨迹加速到无穷大，引发了人们对需要限制的重要性的质疑。

即使对于有界系统，正全局李亚普诺夫指数的存在也可能不会导致不确定性呈指数增长。

一些系统表现出 SDIC 并产生密集的周期轨道，但缺乏拓扑传递性，引发了有关混沌的问题

d

�

, SD, 混沌

t

e

�

�

，和混沌

λ

�

。

在负曲率的紧凑表面上的大型肌曲循环流是奇异和满足条件（2）和（3）的混乱条件（3）

d

�

但是从来没有表现出WSD。

周期性的肉眼流在负曲率的紧凑表面上流动可能具有正面的全球lyapunov指数，但在子空间中并不是密度挑战的SD，混乱

t

e

�

�

和混乱

λ

�

。

KAM型系统提出了有关强烈混合的疑问，即混乱的必要条件或足够的条件。

混乱

d

�

或强烈混合将许多线性行为分类为混乱。

鉴于此，可能会建议对Devaney的定义进行修改：

（混乱

d

经验值

�

经验值

）

平滑地图

f

�

如果是混乱的

f

�

有一个不变的套件

K

⊆

S

�

⊆

�

这样

f

�

满足SD

K

�

,

一组定期轨道

f

�

密集

K

�

， 和

f

�

在拓扑上是在

K

�

。

该定义具有所有三个条件彼此独立的所有条件的优点，同时清楚地区分了线性和为后者的混乱动力学保留的非线性行为。这最符合不确定性指数增长的直觉，以及一组密集的神经性轨道，使研究人员对混乱行为的期望相匹配。

混乱

d

经验值

�

经验值

同意WSD太弱而无法捕获混乱动态的直觉。[5]指定SD加一组密集的周期点和拓扑传递性排除了（1）有（1）正全球Lyapunov指数且无随机性的情况，（2）全球Lyapunov指数且不实现不确定性的指数增长，（3）一组一组密集的周期点和拓扑传递性，但没有正面的全局Lyapunov指数，（4）KAM型系统和（5）线性动力学。尽管可能无法免疫某些反例，但此定义越来越接近表征混乱动力学的现象学。

实际上，计算出的平均Lyapunov指数证明了何时发生不确定性的指数增长（补充：全球Lyapunov指数）。这意味着真正被插入的是混乱等定义

d

经验值

�

经验值

是平均全球Lyapunov指数；人们总是可以检查分步有限的指数，以获取有关吸引子的详细信息。

最后，正如混沌动力学的现象学所示，数学模型仅显示特定参数值的SDIC（Bishop 2023）。尽管在关于定义混乱的讨论中经常被忽略，但对参数设置的敏感依赖性不应被忽略。[6]

1.4盘点

三周后，在阿根廷拍摄的蝴蝶翅膀的图像导致在德克萨斯州形成龙卷风，这表明可预测性严格限制。鉴于我们的天气模型的分辨率限制，我们无法“看到”蝴蝶翅膀打扰最终导致龙卷风的气流。但是，可预测性并不是失去的原因。

考虑具有以下行为的迭代地图：初始不确定性在第一次迭代中增长了4倍，第二次迭代在第三次迭代中提高了三倍，第三次迭代的因子为1/3，在第三次迭代中提高了四倍。第四次迭代，在第五次迭代中为两个。这是行为类似于本地Lyapunov指数。尽管不确定性在第五次迭代中增长了32倍，但不确定性的几何平均增长仅为每个迭代的两个因子。尽管不确定性增长并不统一，但几何平均值提供了有关该系统可预测性的一些有用信息。甚至在某些迭代中，不确定性也会缩小。了解涉及的动态的细节比其他迭代具有更大的可预测性。对于另一个示例，请考虑逻辑图。值的值

x

�

接近零或一个不确定性的速度迅速增长，而对于0.5的不确定性缩小的值会缩小。当逻辑图表现出混乱的行为时，这些增长率成立。即使对于洛伦兹系统，州空间中有不确定性减少的地区，即使使用混乱的动力学，在这些地区的未来也相当好（Shen等，2018）。

在实际世界的预测中，科学家处理有限的不确定性及其成长，通常不会计算Lyapunov指数。考虑典型的天气预报情况。科学家对其系统的初始状态（例如，在某些区域中的温度，压力，湿度等）进行测量，从而得出初始条件的集合。他们必须处理集团的原因之一是所有测量都具有准确的限制，将一些不确定性引入观察到的值。然后，科学家使用数据同化过程将观测值转化为模型状态空间（请记住忠实的模型假设§1.1.3）。这形成了预测模型初始条件的模型。使用这些可以运行他们的预测模型来产生整体预测：在使用合奏的30％的模型运行中，预计华盛顿特区明天将进行降雨。

天气系统的混乱动态是一件真实的事情，但是科学家具有在近距离和中等范围内对此类系统进行良好，有用的预测的技术。即使存在混乱的动态，您的傍晚天气预报仍然非常有用。因此，关于混乱系统是不可预测的想法是一个神话。

关于数学家和科学家的混乱行为的确切定义尚无共识，尽管数学家通常更喜欢混乱

d

�

科学家通常更喜欢混乱

λ

�

。但是，后一个定义对于实际世界系统（补充：全球Lyapunov指数）的有限不确定性而言是微不足道的，除非使用平均Lyapunov指数进行重新重新重新汇总，否则对数学模型的适用性有限。关于一般性，定理产生和证明，计算易于，反例的数量等方面的权衡，不同的定义具有不同的优势和缺点。对于混乱必要条件的最佳候选人似乎仍然是（1）类似混乱的东西

d

经验值

�

经验值

或（2）存在拉伸和折叠机制。混乱

d

经验值

�

经验值

在许多情况下，可能是混乱的充分条件。

这些定义可能仅适用于我们的数学模型，但不适用于实际世界系统。正式的定义试图在数学模型中充分表征混乱的行为，但我们也有兴趣捕获物理和生物系统中的混乱行为。从现象学上讲，实际世界系统表现出SDIC，多个周期性，预测限制，小扰动下的不稳定性和明显的随机性等特征。由于目标系统仅在有限的时间内运行，并且不确定性总是大于无限量，因此此类系统违反了推导全球Lyapunov指数所需的假设。即使我们有良好的统计措施，在数据集的不确定性中产生了未达到的指数增长，这确保这与混乱的指数增长相对应

λ

�

？毕竟，不确定性的任何增长都可以安装指数。如果对全球Lyapunov指数没有物理意义（因为它们仅适用于无限的不确定性），则可以自由选择任何参数以适合不确定性增长的指数。一个人需要通过计算本地Lyapunov指数（最好是通过变异方法）提供的控制。

我们在定义上的尝试不足吗？混乱只有一个定义，如果是的，它只是数学属性还是物理属性？我们是否需要多个定义（其中一些是不相等的）来充分表征这种复杂而复杂的行为？是否可以在精确的数学定义中捕获物理学家和应用数学家感兴趣的混乱的现象学特征是否合理，鉴于这些特征的表征可能会有不可约束的模糊性吗？从物理的角度来看，是否足以识别和探索负责轨迹拉伸和折叠的基本机制的现象学表征？这些问题的答案在很大程度上在于我们的询问目的（例如，证明严格的数学定理与检测物理数据中的混乱行为与设计系统以控制这种行为）。

混乱仅存在于非线性系统中（至少对于经典的宏观系统；有关量子混乱微妙的量子混乱，请参见量子混乱）。非线性是拉伸和折叠机制的必要条件，因此似乎是混乱行为的必要条件。然而，还有一种替代方法来表征这种伸展和折叠发生的系统：不可分割性。

如第1.1.5节所述，线性系统始终遵守线性叠加的原理。描述这种系统的哈密顿人总是可以分开的。可分离的汉密尔顿人可以转变为单独的哈密顿人的总和，其中一个元素与每个子系统相对应。实际上，可以将子系统之间的相互作用转变为使子系统彼此独立。整体是零件的总和。对于可分离的哈密顿人来说，混乱是不可能的。

相比之下，非线性系统中的相互作用不能分解为单个独立子系统。因此，整个系统及其环境不可忽视。不可分割的古典系统是混乱行为可以表现出来的地方。因此，可以说，哈密顿量的不可分割性是伸展和折叠机制的必要条件，因此对于混乱而言（例如，Kronz 1998）。哈密​​顿人的不可分割性可能与理解潜在的量子混沌行为更相关。

实际上，数学家和科学家将混乱的各种定义描述为从初始条件以及定义动态系统的方程式发出的状态空间轨迹的特征。人们想要避免的是过于简单的“测试”，即混乱的混乱风险只是在嘈杂的数据集中找到某种形式的指数增长，并说出“混乱”是一个措施，这是一个措施取决于任务（例如，Toker，Sommer和D' Esposito 2020）。

2。什么是混乱的“理论”？

人们经常在文献中发现参考“混乱理论”。例如，凯特（Kellert）将混乱理论描述为“确定性非线性系统中不稳定的上静脉行为的定性研究”（Kellert 1993，第2页）。混乱是一种理论，即电动力学或量子力学（QM）是理论吗？

一个困难的回答这样的问题是关于理论是什么，缺乏共识（请参阅科学理论结构的条目）。科学家通常将理论视为系统的知识体，为实际世界现象提供了解释和预测。比这更精确，为如何概念化理论带来了重大差异。选项范围从逻辑经验家的公理或句法观点（请参阅维也纳圈子上的条目）到语义或模型理论观点（请参阅科学模型的条目），再到库恩安（请参阅托马斯·库恩（Thomas Kuhn）的条目）和不太严格理论的概念。公理视图似乎不适合混乱。没有混乱的公理 - 没有混乱的法律，没有演绎结构，也没有将观察性陈述与混乱文献中理论陈述的联系。同时，有许多混乱的模型，但这些模型出现在多种科学理论中，不乏普通话，将混乱视为“新范式”。

凯勒特（Kellert）（1993年）对混乱模型的关注表明语义观点，许多混乱文献都集中在模型上。简而言之，就语义观点而言，理论的特征是（1）一组模型和（2）假设将模型与理想化的物理系统联系起来。文献中讨论的数学模型是具体且相当了解的，但是将混乱模型与理想化的物理系统联系起来的假设呢？在混乱文献中，关于各种强大或通用模式以及使用混乱模型可以做或不能做出的预测的种类进行了很多讨论。此外，人们非常重视定性预测，几何机制和模式，但这一切都没有拼出将混乱模型与理想化的物理系统联系起来的假设。

混沌模型被部署以确定有关分叉点，周期序列序列，混乱动力学的发作，奇怪的吸引子和其他混乱动物园居民的各种信息。如果我们要充分利用语义概念，将混乱模型与实际世界系统连接到实际世界系统的假设需要填写（例如，从物理数据中重建的奇怪吸引者与最初记录数据的物理系统有关）。

目前，与古典物理学法则相比，尚无良好的混乱法律候选人，凯勒特（Kellert）明确否认存在混乱法律（1993年，第4章）。此外，混乱模型的状态空间与理想化物理系统的空间之间的关系非常微妙，与分析力学相似。在分析力学中，我们似乎能够在模型和状态空间之间翻译。[7]在混乱的动力学中，我们可以从完整的非线性模型（例如，使用部分的庞加莱表面）中得出混乱模型的状态空间，但是我们无法使用该生成的混乱模型扭转该过程并回到非线性模型状态空间。人们可能会期望将混乱模型与理想化的物理系统连接起来的假设回到将古典物​​理模型及其相应理想化的物理系统连接的假设上。但是目前尚不清楚在古典物理学中非线性模型的情况下，这将如何起作用，更不用说生物学，经济学和其他学科的混乱模型。[8]

考虑忠实的模型假设引起的问题：模型和目标系统之间的关系是什么？标准假设是一对一吗？或者是一对多的（同一目标系统的几种不同的非线性模型，或者反之亦然），或者是多对多的？[9]当牛顿第二定律中使用线性模型或力函数时，模型和目标系统之间的翻译似乎是一对一的。在非线性环境中，可以通过观察系统生成的数据构建模型，可能会构建许多非线性模型，而每个模型在经验上都足以满足系统行为。每个目标系统真的只有一个独特的模型，我们根本不知道真正的模型（例如，由于不确定的问题，请参阅科学现实主义的条目，并看到科学理论不确定的条目）？还是数学模型和目标系统之间真的没有一对一的关系？

此外，语义观点的一个重要特征是模型仅旨在捕获目标系统的关键特征，并且始终涉及各种形式的抽象和理想化（请参阅科学模型的条目）。对于此类系统的非线性模型中的任何错误，无论我们的初始数据如何准确，随着时间的推移预测实际世界系统时会出现错误。这突出了在线性系统的背景下掩盖的忠实模型假设的问题：通过忽略“可忽略的”因素，模型可能是错误的，并且至少在合理的时期，我们的模型预测与目标系统行为没有显着差异（等待（等待等待）但是，尽管时间长度可能超过了感兴趣的时间尺度），但这种预测将大大差异。相比之下，在非线性背景下，尚不清楚存在任何“可忽略的”因素。非线性模型中最小的遗漏可能会导致灾难性影响，因为这些术语与其缺席所产生的差异（请参阅第3节）。

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