混乱（四）

另一种可能性是删除将模型与目标系统联系起来的假设，而只是在动态系统的数学理论精神上专注于模型本身。重点是模型及其关系，但很少强调与实际系统相关的假设，理想化或其他方式。不幸的是，这意味着混乱理论只是关于模型的理论。

理论的句法和语义观点都集中在理论的知识机构的形式结构上，并且它们与《混乱动力学》的理论“合适”似乎很有问题。相比之下，也许应该以一种更非正式或范式的方式来构想混乱理论，例如Kuhn（1996）对科学范式的分析（请参阅Thomas Kuhn条目中的范式概念的部分）关于科学理论的精确结构；相反，理论是凝聚力的，系统的知识体，这些理论是由它们在主要科学实践中所扮演的角色所定义的。在混乱文献中，一种非常强烈的意义是，“新范式”强调了不稳定而不是稳定的行为，动力学模式而不是机制，普遍特征（例如，Feigenbaum的常数），而不是法律，而不是定性的理解，而不是精确的预测。

3。非线性模型，忠诚和确认

科学家认为模型是对正在研究的目标系统的关键变量和过程的简化数学描述。例如，用于产生天气或黑子预测的模型与变量的状态空间之间有着紧密的联系。这是忠实的模型假设，是通过这些关键变量和过程中的状态空间中模型状态与实际世界可能状态之间的直接对应关系。

援引忠实的模型假设，有两种基本方法可以在哲学文献中讨论过有关建模的模型确认，以遵循一种称为零碎改进的策略。[10]一种基本的方法集中于连续的完善初始数据的准确性，同时保持模型固定（例如，Koperski 1998）。随着初始数据的不确定性减少，忠实的模型的行为应融合到目标系统的行为。忠实的模型假设意味着，如果一个人在适当的状态空间中绘制目标系统的轨迹，则同一状态空间中的模型轨迹应该单调地变成更像数据时的系统轨迹，因为数据被完善了。[11]

另一种基本方法着重于连续的模型改进，同时保持初始数据固定（例如，Koperski 1998）。毕竟，如果模型忠于重现目标系统的行为，那么精炼模型应该可以更好地符合目标系统的行为。同样，忠实的模型假设意味着，如果一个人要在适当的状态空间中绘制目标系统轨迹，则同一状态空间中的模型轨迹应该单调地变成系统，因为该模型变得更加现实。

片段策略对线性模型的直观吸引力很明显：可确保变量大小的微小变化可以产生模型输出的比例变化。在初始数据或模型中，可以通过改进的模型性能跟踪忠实的线性模型“在正确的方向上”进行小改进。借助忠实模型假设的“朝着正确的方向”的预选赛，意味着数据质量和准确性确实提高了或该模型确实更现实（以越来越准确的方式捕获目标系统的更多功能），并表示通过模型的单调提高了目标系统的性能。

尽管如此，在非线性环境中，零碎的方法在线性叠加原理失败的情况下遇到了严重的困难。在非线性模型使用的初始数据中，连续的小改进不能保证导致模型和目标系统行为之间的收敛。 “朝正确方向”的小改进不能保证导致单调捕获目标系统行为的非线性模型。它可能导致模型行为与系统行为不同。[12]

同样，保持数据固定，但不能保证进行连续的模型修补，从而导致模型和目标系统行为之间的融合。随着线性叠加的丧失，模型的小变化会导致模型行为的非比例变化。即使对“朝着正确的方向”进行了较小的完善，也无法保证非线性模型在捕获目标系统行为时会单调改善。小小的改进会导致模型行为与系统行为不同。

直观地，零碎的收敛策略看起来取决于完美的模型框架。给定一个完美的模型，完善数据的质量应导致模型和目标系统行为之间的单调收敛性，但是对于完美模型而言，这种期望并不总是合理的（参见Judd and Smith 2001； Smith 2003）。另一方面，给出良好的数据，直观地完善模型应导致模型和目标系统行为之间的单调收敛。

即使是完美的模型也无法辜负我们的直觉（Judd and Smith 2001； Judd和Smith 2004）。例如，无论系统观察次数如何，模型状态空间中都会有一组轨迹与目标系统的实际轨迹没有区别。即使对于过去的无限观察，我们也无法消除认知状态的不确定性。无论非线性模型状态空间对目标系统的物理可能性有多忠实，无论该模型状态空间多么细，对于任何计算模型来说，目标系统状态都比模型状态多得多，因为方程式必须被离散化（Bishop 2023）。

原则上，当我们可以开发一个完全分析的模型时，可能的模型状态数量和目标系统状态的数量可能存在确切的匹配。但是，这种分析模型在复杂性研究中很少见。[13]回想班次地图。作为一种数学模型，它是完美的 - 指定地图的定期初始条件会导致周期性轨道没有不确定性。但是，在初始条件下，即使指定最小的不确定性也会导致地图轨道中的不确定性快速扩增。同样，即使是完美的非线性模型也会在初始条件下扩增任何不确定性。

因此，完美模型不能保证针对目标系统行为的单调改进。这是线性叠加原理失败的结果。无论模型多么忠实，都不保证非线性模型行为相对于目标系统的零散单调改善。[14]

对于非线性模型，忠诚可能会失败，无法保证零散的完美性，从而提出了有关科学建模实践的问题，以及当线性叠加失败时我们对它们的理解。同样，利用模型预测的政策评估（例如，经济和大流行建模）也受到与模型确认相同的保证缺乏的影响。在科学哲学中，此类问题在很大程度上尚未探索，但是有缓解策略（Bishop 2023; Smith 2000）。

缺乏完美的测量进一步使实际世界系统中混乱的非线性建模复杂化。在建模讨论通常认为将测量错误降低到任意准确性的原则上是可能的，但这比合理的推理更重要。假设可以任意准确的测量过程。完美的测量精度仍然无法实现，因为降低错误是一个限制过程。完美的测量精度需要任何混沌模型的无限精度。随着所提出的测量过程的完善，信息存储需求将超过宇宙的能力，因为考虑到准确性所需的信息呈指数增长而无需限制。

此外，测量精度还有另一个限制：任何测量设备都会引入对正在测量系统的小小的干扰。[15]即使测量不准确率降低到零，测量的行为也会放大被观察到的含义不确定性的系统的干扰（更不用说由于严重性和电磁场的微小波动而引起的小型干扰，这是由于科学家的运动而引起的。和他们的车辆等）。完全考虑了对混沌系统的所有影响，超过了宇宙的数据存储能力。

结果是，完美的模型框架低估了在建模表现出混乱的非线性系统时处理不确定性的困难。科学家在分析和建模实际世界情况时会意识到这一点，并通常会谨慎行事。

4。混乱，确定性和量子力学

一些作者认为，SDIC为“感染”混沌宏观系统的量子影响打开了一扇门（例如，Barone等人1993； Hobbs 1991; Kellert 1993）。[16]。中心参数如下，被称为敏感依赖参数（SD参数）：

对于表现出SDIC的系统，从高度局部的状态空间区域开始的轨迹将彼此迅速地差异。

量子效应限制了可以将物理系统指定至状态空间中的社区的精度不少于

1

/

(

2

π

/

小时

）

氮

1

/

(

2

�

/

ℎ

）

�

， 在哪里

小时

ℎ

是木板的常数

氮

�

是有关系统的维度。[17]

如果有足够的时间，同一混沌系统的两个轨迹将使未来的州本地化在更大的地区

δ

�

在相位空间（来自（1）和2））。

因此，量子效应将影响表现出SDIC的系统，从而违反独特的进化（第1.1.3节）。

作为一个具体的例子，请考虑一种表现出混沌行为的阻尼驱动的摆动的摆动，因此对小效果敏感。如果光子撞击摆，则原则上可以将光子的微小动量转移到影响宏观系统行为的摆上。

但是，SD的论点并不像倡导者所说的那样顺利进行。 QM的适当版本（例如，von Neumann，Bohmian或decermence理论；请参阅量子力学的条目），量子测量理论的性质（倒塌与非折叠理论；请参阅参赛条目中对测量问题的讨论关于量子理论中的哲学问题），必须在清楚地说明是否违反独特的进化之前（例如， Bishop 2008）。例如，如果QM中的不确定性不是本体论的，那么量子效应对表现为SDIC的宏观系统的任何贡献都不会违反独特的进化。相反，如果QM确实是不确定的，那么量子效应可能存在影响宏观系统的可能性。但是，由于引力而引起的阻尼可能对量子效应的放大的速度构成限制。另外，如果当局部李亚普诺夫指数为负时，光子沉积其对混沌对称的动量贡献，则量子效应将消散而不是放大。

5.关于现实主义和解释的问题

尽管在混乱的背景下进行了探讨，但关于现实主义并解释了进一步值得研究的有趣问题。

5.1现实主义和混乱

混乱只是数学模型的属性吗？考虑费根鲍姆的常识。计算其在物理系统（例如流体，化学反应或激光器）中的周期性增加一倍，可以产生非常接近的值

-

4.6992016091

-

4.6992016091

但是，逻辑图与这些完全不同的物理系统没有明显的关系。

考虑阻尼驱动的摇摆。描述它的数学模型表现混乱的参数值的组合，以摩擦的大小，幅度和驱动力的频率融合。用这些参数构造的吊灯值正如模型预测的那样。最终，摩擦的工作系数和电动机的驱动频率由于元件加热和破坏行为而变化。破坏行为在我们的数学模型中持续存在，而相对引起的物理钟摆则说明，即使包括相关的参数和参数，数学模型通常也可能是物质世界的表示不足。

然而这些现实世界现象，却引发了许多有关科学现实主义的问题，只有其中一些会在这里涉及。首先，科学现实主义通常被称为关于科学理论中不可忽视的观察术语及其现实世界实体和过程的但是，关于制定混乱理论的严重问题（第2节），更不用说确定该理论关系在科学现实主义下的方式。讨论有关混乱的一些不太雄心勃勃的现实主义问题是更合理的的：我们的混乱模型如何通过实际现象跟踪？实际上存在各种混乱的居民吗？

Lyapunov指数的问题提出了跟踪问题。虽然计算简单的数学系统（例如Logistic Map）的指数相对简单，但对于Lorenz的方程动态等系统来说，将它们计算得更困难。而且，利用其时间序列数据来测量物理系统的李亚普诺夫指数，这仍然很难（也许不可能）。

另一个跟踪问题通过消耗散乱混沌模型的特殊几何结构来形成说明，称为奇怪的吸引力子，该结构可以基于状态空间中轨迹的拉伸和折叠。奇怪的吸引力子的一个特征是自相似的结构。放大吸引子的任何一部分，放大部分外观与原始区域相同。放大区域，并再次重复相同的结构。该过程的连续重复又重复地产生相同的结果。相似之处在于状态空间中没有固有的尺寸尺度，因此任何吸引子区域的放大产生统计上相似的结构。

奇异吸引子通常以非整数或分形维数为特征。[18]我们在日常经验中遇到的维度类型以整数为特征。点的维度为零；一条线的维度为一；正方形的维度为 2；立方体的维度为三，依此类推。相比之下，图 1 中洛伦兹系统的蝴蝶奇异吸引子的维数为 2.0627160 (Viswanath 2004)。 [19]洛伦兹中奇怪吸引子的存在或实验中的时间序列数据表明所研究的混沌行为是耗散的（既不守恒状态空间体积也不守恒能量）而不是哈密顿量（两者都守恒）。

警告是有必要的，因为检测时间序列中的分形并不意味着生成该时间序列的系统的动态是确定性的。例如，康托集的分形维数约为 0.631，但可以为类康托集生成非确定性生成器。因此，仅仅关注分形并不意味着它是由确定性过程产生的。这个例子说明，检测时间序列中的分形并不能保证产生分形的系统是混乱的。虽然耗散混沌系统将具有分形吸引子，但并非所有具有分形吸引子的耗散系统都是混沌的（Ott 1992，第 233-236 页）。

尽管数学家对奇异吸引子或分形维数没有普遍接受的定义，但更严重的问题是奇异吸引子和分形维数是否仅是我们模型的属性，还是现实世界系统的属性。例如，对现实世界系统的实证研究表明，不存在像奇怪吸引子那样无限重复的自相似结构（Avnir，et al. 1998；Shenker 1994）。自相似结构仅在重建的状态空间中的两个或三个空间尺度上重复。这是预分形，其中自相似结构仅在有限数量的长度尺度上重复。

用于表征某些现实世界系统的耗散混沌模型表现出具有分形几何形状的奇怪吸引子。混沌模型状态空间中的无限分形几何与现实世界系统的前分形特征有何关系？这些模型的分形特征显然对目标系统是错误的，尽管模型本身可能仍然有助于帮助科学家找到以前分形特性为特征的有趣动态。

然而，认为分形是虚构的也有一些警告。分析数据集的前分形特征可能是分析前数据处理方式的产物，或者是由于数据分析开始之前必须进行的模数转换。将实数值数据简化为有限的数字串会破坏分形结构，就像在测量过程中将实数转换为整数一样。

量子力学提供了一个理由来怀疑物理系统不可能“一直向下”拥有这种自我重复的结构。奇异吸引子在经典状态空间中得到支持，因为支持平滑曲线的无限长度尺度是可能的。相比之下，由于普朗克常数，量子态空间无法支持无限精细的长度尺度。因此，我们正在应用一个带有大量多余的虚拟结构的经典模型来理解物理系统的特征。在混沌解释中发挥关键作用的关键结构之一——奇异吸引子的无限复杂结构——在相应的物理系统中并不存在。

Peter Smith（1998，ch.3）认为这种错误模型是合理的，因为奇异吸引子的无限复杂结构（1）是拉伸和折叠机制的结果，（2）感兴趣的状态空间中的许多点是不变的在这种拉伸和折叠机制下。无限结构只是几何上的额外包袱，但导致倍周期序列、混沌开始等的拉伸和折叠是足够真实的。这是关于混沌解释的一些关键要素的反实在论举动（§5.2），并因此受到批评（Koperski 2001）。 Jeffrey Koperski (2001) 也对当我们需要准周期吸引子的结构时丢弃看似多余的数学结构（例如奇怪吸引子的拓扑传递性）的策略提出了挑战。

我们回到忠实的模型假设：模型方程忠实地捕捉目标系统的行为，模型状态空间忠实地代表目标系统的实际可能性。忠实感是数学模型与现实世界系统特征之间的实际对应吗？或者可以仅从经验充分性（主要是工具主义的解释）来理解忠诚度吗？现实主义的忠实解释是否会受到模型和系统之间潜在的一对多或多对多映射的威胁？

一个相关的问题是数学模型是在模拟还是仅仅模仿目标系统的行为。模拟系统表明模型与其要捕获的实际目标系统之间存在一些真正的对应关系。相反，仅仅模仿目标系统的行为表明，除了相关性之外，与目标系统的实际属性没有真正的对应关系。这些问题对于从大型时间序列数据集构建非线性动力学模型的现代技术至关重要（例如，Smith 1992）。在这种情况下，在对数据集执行一些测试后，建模者构建一个数学模型，将时间序列再现为模型的输出。这些模型仅模仿目标系统的行为吗？现实主义呢？

现实主义的另一种解释——结构现实主义——关注已得到充分证实的科学假设和理论中的因果结构呢？在物理学、生物学和经济学等不同领域的混沌现象中发现的普遍结构特征暗示了某种形式的结构实在论，并有望在混沌解释中发挥关键作用。关于无限重复自相似结构在物理系统中尚未实现的重大问题仍然存在。人们仍然面临这样的困难：我们的数学模型中的奇怪吸引子往好里说是对物理吸引子结构的过于粗略的近似，往坏了说是非常具有误导性。

与混沌相关的其他类型的几何结构符合结构现实主义的观点。毕竟，混沌模型的真实性似乎更多地与过程有关，即目标系统中工作的拉伸和折叠机制。但在这里，与现实主义和混沌模型的联系将通过诉诸代表物理系统的完整非线性模型中的因果过程来间接实现。也许有一种方法可以通过前分形吸引子获得更真实的混沌模型。

5.2 混沌解释的本质

混沌被用来解释或对现实世界的行为产生重大影响，例如癫痫发作、心颤、神经过程、化学反应、天气和工业控制过程。混沌动力学也被用来解释诸如给定状态空间中显示的实际轨迹之类的特征。但混沌在这些不同的解释中扮演什么角色呢？

关于混沌的文献中科学解释的本质（参见科学解释条目）的讨论完全没有得到充分讨论。覆盖律、因果力学和统一模型等科学解释的传统解释在应用于混沌现象时都存在缺陷。例如，如果混沌解释的核心不存在普遍规律，那么覆盖律模型看起来不太适合作为混沌解释的候选者。

解释的因果机械模型认为，科学通过展示不同的事实和事件如何适应世界的因果结构来提供对这些事实和事件的理解。如果混沌是非线性系统表现出的一种行为，那么有理由认为这种行为背后存在一些机制或过程。混沌通常被理解为此类系统的动力学特性，而动力学大概反映了工作过程及其相互作用。因果机制和因果机制模型中的行为之间的联系应该是沿着以下路线的可靠联系：如果机制

C

�

存在、行为

乙

�

通常如下。那么，混沌解释提供了机制与包含此类机制的系统所表现出的混沌行为之间的可靠联系。

解释的统一解释认为，科学通过展示这些事实和事件如何由较小的一组解释因素（例如法律或原因）产生，从而提供对不同事实和事件的理解。人们可以认为混沌是一组有限数量的模式和工具（例如拉伸和折叠），用于解释物理、化学、生物学、经济学、社会心理学等领域的不同现象中发现的特征行为。

5.2.1 解释、忠实模型和混沌

典型的因果和统一解释预设了理论的存在，这些理论的模型发挥着解释作用。在因果账户中，流程是模型的关键组成部分。在统一解释中，定律可能是最终的解释因素，但我们经常通过过程将定律与物理系统联系起来。然而，为了便于解释，此类账户必须做出忠实的模型假设；也就是说，我们的模型和状态空间是现实世界系统的忠实表示。

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