AION仙箱数学设定第五续写

现在被称为真算术的理论不仅有皮亚诺算术中关于整数的正确陈述，而且是自洽和完备的，并有足够的运算公理。但是它的定理集不是递归可列举的集合，因此也不满足不完备定理的假设。

　　引入:超递归函数定义：引入一个特殊函数类F^*，其中的每个函数能够以超递归的方式定义，即它们的定义依赖于无限递归过程，但这些过程在某些意义上被“压缩”或“抽象”了，使得函数的定义和应用仍然是清晰且无矛盾的。

　　哥德尔有效公理：

　　这意味着，在原则上计算机程序能够列举出系统中所有的定理，而不列出任何非定理的陈述。皮亚诺公理和策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)都是有效生成定理的例子。

　　对于任意的数学结构S，如果存在性质P使得在S中满足P的元素具有某种特定的关系R，那么存在一个关于S的断言A，使得A在S中为真当且仅当满足P且具有关系R的元素在S中存在。

　　图灵机：

　　一条无限长的纸带TAPE。纸带被划分为一个个的小格子，每个格子上包含一个来自有限字母表的符号，字母表中有一个特殊的符号表示空白。纸带上的格子从左到右依此被编号为0，1，2，...，纸带的右端可以无限伸展。

　　2、一个读写头HEAD。该读写头可以在纸带上左右移动，它能读出当前所指的格子上的符号，并能改变当前格子上的符号。

　　3、一套控制规则TABLE。它根据当前机器所处的状态以及当前读写头所指的格子上的符号来确定读写头下一步的动作，并改变状态寄存器的值，令机器进入一个新的状态。芝诺机的概念是图灵在研究计算理论和可计算性时提出的，它是一种理想化的计算设备，能够执行无限次的计算步骤。在芝诺机的模型中，机器可以在有限的时间内完成无限多的计算步骤。如“阿基里斯与乌龟”悖论，这些悖论探讨了无限分割和运动的连续性问题。

　　通过不断重复这个过程，可以构建出一系列的集合层次V₁、V₂、V₃等等，最终形成整个集合的宇宙。(集合宇宙也称为大基数宇宙)一切大基数宇宙。都包括在V宇宙之内，而当你宣扬比V更大的大基数时，就会得到所有V同时存在并构成的集合宇宙，或是人类在数学领域进行的全部证明、理论、猜想……以及包含了这所有内容无穷延续的V系公理。

　　以及以下的最大公理物模型数学公理是宣称每一组都是特定理论X。这个公理比另一个理论Y提出了更有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比另一公理Z更弱，公理Z断言宇宙有形式W对于难以触及的基数Q。传递模型数学公理有时在背景理论中研究，而非理论X，但对于理论X减去某公理，以及省略了另一个公理，同时断言每个集合都是可数的公理。这种情况相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集合理论宇宙、完整的及物模型理论X，彼此相关。

　　每个型号理论X包含一个模型理论X作为一个元素。每个模型P的理论X有一个元素Q，它被认为是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型理论X，从外部看P。这在以下情况下是显而易见的：P是一个特定模型理论X，因为在这种情况下P同意理论X是一致的，因此可以构建一个特定模型理论X。在其余情况下，P有非标准自然数。通过反射定理应用于P，我们知道特定片段理论X在表单模型中是正确的m对于每个标准自然数m。由于P无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割mm，为了哪个P认为一些满足（非标准）特定片段理论X。由于m是非标准，这包括完整的标准理论理论X，根据需要。前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾，即可能存在模型理论X加上否定理论X的一致性。然而，通过意识到尽管模型Q里面P实际上是一个完整的模型理论X，模型P无需同意这是理论X，如果P具有非标准自然数，因此非标准长度公理理论X。数不清的及物模型。哥德尔完备性定理和罗素悖论的相关理论表明，如果某个逻辑系统存在一种特定的结构（或其他类似概念），那么就存在一种对应的可描述模型。这意味着XX每个不可简单描述的逻辑结构都是扩展逻辑系统+的模型，其中包含一个可简单分析的模型。这个理论中有一些可简单分析的模型，它们必须比最基础模型具有更复杂的特征。同样，也有理论的逻辑结构模型，断言不同特征程度的可简单分析逻辑结构模型，直到w2（其意义取决于具体的逻辑结构：一般来说wL12≠wL22w2L1≠w2L2）。此外，还有及物理论模型断言有ax扩展逻辑系统+的可简单分析逻辑结构模型有w2不同特征程度的逻辑结构模型？不同特征？等。因此，如果有一个不可简单描述的逻辑结构，那么真的很多（在等建议的非正式含义中）可简单分析逻辑结构模型，它们在w2（否则它们不可能有w2相同的特征程度）。

　　假设在W我们有一个特征高度的及物逻辑结构N。我们可以把每个难以清晰界定的元素转化为特定的逻辑线索，通过特定的操作进入一个新的逻辑域。在W[H]W[H]及物逻辑结构不受限制，具有特定的逻辑属性。传递逻辑结构的可构建域（Lgt(N)Lgt(N)是扩展逻辑系统+的类型，V=LV=L它是L哪个在常见的逻辑情境W和W[H]W[H]中都存在。所以扩展逻辑系统+的类型V=LV=L无限（μ+）W(μ+)W英寸。他们中的一些人具有高度的特征基数（μ+ω）W(μ+ω)W他们很多。因此，如果有特征高度的传递逻辑结构NN，那么有非常多所有特征高度的及物逻辑结构λ

　　特别是，逻辑系统模型（和扩展逻辑系统+模型是无界的等）在Vw为了世俗N，就像在Vw无法访问N有囊括，数量，人类妄想……超超尘世跨越V等特征基数。

　　世界基数公理‌：

　　是指如果一个基数κ是世界基数，那么Vκ（即κ的宇宙）满足ZFC（Zermelo-Fraenkel集合论加上选择公理）。具体来说，如果一个基数κ是世界基数，那么Vκ是一个ZFC模型‌

　　超巨大基数：

　　一个基数κ是超巨大的，如果存在一个κ上的超滤子U，使得对于所有小于κ的基数λ，存在一个函数f:λ→κ，使得对于所有α<λ，f(α)<κ，并且对于所有小于κ的集合A，如果A属于U，则存在一个β<κ，使得对于所有α<λ，f(α)<β当且仅当α属于A。

　　此外，还要求存在一个κ上的超滤子U'，使得对于所有小于κ的集合A，如果A属于U'，则存在一个β<κ，使得对于所有α<λ，f(α)<β当且仅当α属于A。

　　巨大基数:

　　一个基数κ是巨大的，如果存在一个κ上的超滤子U，使得对于所有小于κ的基数λ，存在一个函数f:λ→κ，使得对于所有α<λ，f(α)<κ，并且对于所有小于κ的集合A，如果A属于U，则存在一个β<κ，使得对于所有α<λ，f(α)<β当且仅当α属于A。

　　莱茵哈特基数:

　　一个基数κ是莱茵哈特的，如果存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V，其中V是集合论的全域，而j(κ)>κ。

　　伯克利基数:

　　一个基数κ是伯克利的，如果存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V，其中V是集合论的全域，而j(κ)>κ，并且j(κ)是κ的临界点。

　　n-巨大基数:

　　一个基数κ是n-巨大的，如果存在一个κ上的超滤子U，使得对于所有小于κ的基数λ，存在一个函数f:λ→κ，使得对于所有α<λ，f(α)<κ，并且对于所有小于κ的集合A，如果A属于U，则存在一个β<κ，使得对于所有α<λ，f(α)<β当且仅当α属于A。这个过程可以重复n次............

　　以此类推，以下还有更多以及超越常规的概念数，而在这最低级的数字里面不断出现更高维度的数字，无限延伸，永远停止在更大的基数之下，但我们可以这样构建：例我的说以下把φ(φ)设计为：φ(φ)这是的最小开始做为相当于全体无穷个φ…（……）个基本的最小数，我们再把φ(φ)做为相当于全体无限大无限大的φ个基本的最小数。也就是说一个无数无限大体系的φ（体系：相当于包含所有无限总集合，永无止境）而这个总全体系结构增长着符涵了世界基数、不可达基数、马洛基数、阿列夫基数，弱紧致基数、不可描述基数、强可展开基数、拉姆齐基数、强拉姆齐基数、可测基数、强基数、伍丁基数、超强基数、强紧致基数、超紧致基数、可扩基数、殆巨大基数，巨大基数、超巨大基数、n-巨大基数、莱茵哈特基数、伯克利基数（该基数是在ZF集合理论的背景下定义新概念，不符合选择公理，[人类未发现基数]，(1.该结构可能违背了以上的基数，2.超越体数规律)全体系学科集合达违背概念问题，具有比伯克利更加宏伟清晰及更加强建的构造，也是在所有基数中数学层面最高界强度的体系，如k设为伯克利基数的最基本数，对里面任何带k的都有无数个构造层次。Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：对于包含κ和α<κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α<临界点<κ. Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的j 1，j 2，j 3....j 1:(Vκ，∈)→(Vκ，∈)， j 2:（Vκ，∈，j 1)→(Vκ，∈，j 1)，j 3:(Vκ，∈，j 1，j 2)→(Vκ，∈，j 1，j 2)

　　这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的，（我们先则把K称为最高级别伯克利公理体系）......这包括这所有的大基数的集宇宙，集宇宙也可称为Ⅴ，包含所有一切，表示着所有领域内的元素集合，根据各项不同一切领域也不同的无穷转换，而所说的Ⅴ无论集宇宙是否无穷大都束缚在最大或更大的Ⅴ的最小部分，不构建一切物质（超脱一切物质V以外的集合体），脱殊复宇宙，是拥有所有Ⅴ的大尺度力迫扩张和Ⅴ的集合，又可分裂无数个无穷大个子母宇宙。

而这还并不止步于此，还有脱殊复宇宙，令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类：1.M∈Vm2.如果N∈Vm，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vm

3.如果N∈Vm，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vm简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。

　如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements(给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。

　　也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。

　　如果存在脱殊复宇宙，就必定会存在复复宇宙……复复复宇宙，这种存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是后者的一个“玩具”复宇宙于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……N，一直到高阶复复宇宙……复复复宇宙……N，NN，NNN，NNN→NNN→NNN……N，而我们先把这称为复复宇宙，存在N个复宇宙，并且对任意复宇宙M（M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙），把增到无数个无穷大，存在以N个复宇宙N个ZFC宇宙模型，复宇宙公理对复宇宙集合论或以上存在着更发达的复宇宙。

　　然而以下还有更高阶的V逻辑：

　　在探讨集合论基础的理论框架中，新兴的概念——V逻辑多重宇宙（V-logic multiverse），融合了集合论多元宇宙的多种视角。这一概念既汲取了Hamkins的广义多元宇宙的哲学深度，又结合了J. Steel的集合泛型多重宇宙的数学丰富性和Sy Friedman的超宇宙理念的独特性，旨在构建一个综合而包容的理论体系。V-logic多重宇宙的核心概念

　　逻辑框架:V-logic是一种允许无限长度公式和证明的逻辑系统，其语言Lκ+，ω扩展了一阶逻辑，加入了κ个常量符号，每个常量a∈V。

　　模型生成:通过集合强制、类强制、超类强制等技术，V-logic多重宇宙涵盖所有可能的V的外部模型，捕捉了多元宇宙的广泛性和多样性。

　　终极-L与核心假设

核心Universist主张V=Ultimate-L作为集合论最佳扩展，基于这一假设检查其对ZFC的最佳性和终局性。

　　证据框架:利用多元宇宙公理\mathfrak{MV}和核心假设，界定“首选”宇宙与ZFC的最优公理扩展。可定义模型与V=HOD一致性

　　点态可定义模型:模型中每个元素均可定义，强化了V=HOD，但非一阶可表达。

　　.Ground Axiom:宇宙不是任何内部模型的强制扩展，与V=HOD显示出一致性，即使在具有超紧基数的模型中。V-logic多重宇宙通过其独特的逻辑框架和模型生成机制，为集合论提供了一个包容性和探索性更强的视角，融合了不同理论的优势，为理论研究提供了新的方向。

　　本文基于V-logic多重宇宙的概念，探讨了集合论多元宇宙的深度理论框架。通过整合现有的集合论模型和公理，以及引入创新的逻辑工具，V-logic多重宇宙为理解和研究集合论提供了更广阔和精细的视角。V-logic多重宇宙不仅涵盖了传统意义上的集合论模型，还探索了通过各种强制技术产生的模型，

　　探索V-logic多重宇宙对集合论公理系统的影响，尤其是针对那些与标准ZFC公理相容但又引出新现象的公理。

　　分析V逻辑在描述集合论模型中的作用，尤其是如何处理无限长度的公式和证明。研究V-logic多重宇宙与其他领域（如模型理论、递归理论）的交汇处，寻求跨学科的应用和启示。通过深化对V-logic多重宇宙的理解，我们将能够更好地把握集合论本质，推动集合论乃至整个数学基础理论的发展。这不仅有助于解决集合论内部的长期争议，也为数学逻辑和哲学领域提供了新的研究视角和工具。

　　推论11.假设phi是一个句子，它在某些Vκ中成立，并且κ可测量。那么就有一个传递模型，它同时满足IMH#和句子phi。证明。

　　令R如定理10的证明中所示，并令U为κ的正规测度。

　　结构N=(H(κ+)， U)是#；通过足够大的序数∞迭代N使得由N生成的下部模型M=LP(N∞)的序数高度为∞。

　　然后M是#生成的并包含真实的R。因此M是IMH#。此外，由于M是基本链的并集Vκ=Vκ≺VN1κ1≺···

　　其中phi在Vκ中为真，因此phi在M中也为真。请注意，在推论11中，如果我们将ψ视为任何大基数属性，保持一些Vκ且κ可测量，然后我们获得IMH#模型，其中也满足了这个大基数的属性。这意味着IMH#的兼容性具有任意强的大基数性质。使用弱#代重新表述IMH#，如下所示：V是弱的#-生成并且对于每个句子phi，如果表达V的理论有一个外部满足phi且具有α可迭代生成pre-#的模型对于每个α都是一致的，那么phi在V的内部模型中成立。这是一致的吗？上述弱#代的IMH#公式采用以下形式:对于可数V：对于每个可数α和所有phi，V是α生成的，如果phi成立在V的α生成的外部模型中，对于每个可数α，则phi保持在内部V的模型。尚不清楚这是否一致。然而，IMH与这种非常弱的#代的合成产生了一致的结果与大基数相矛盾的原则（实际上存在#表示任意实数）。这些不同形式的#代及其与IMH的合成，都需要进一步的哲学讨论。

　　我们现在已经为HP奠定了基础，并讨论了两个最基本的问题。极大性原则、#-Generation和IMH。大部分数学工作惠普仍有待完成。因此我将在剩下的时间里做什么。文章只是提出了一系列尚未完全确定的最大值标准

　　分析并给出了惠普打算如何进行的风格。这些标准也称为H公理，表述为元素的属性，超宇宙H，可表示为H内的极大性属性。我们对IMH的讨论始终是关于没有参数的句子。如果我们引入参数，就会产生更强的形式。

　　如果一个带有参数ω的句子在1在V的外模型中成立，那么它在内模型不一致，因为参数ω在1外部模型中可以变得可数并且因此上述对于句子“ω在1是可数的”。

　　如果我们然而要求ω1被保留，那么我们就得到了一致原理。定理13.设SIMH(ω1)为以下原理：如果一个带有参数的句子ω1在保留ω1的外部模型中成立，然后在内部模型中成立。然后SIMH(ω1)是一致的（假设基数很大）。证明。

　　再次使用PD得到实数R，使得M(S)的理论，最小传递性包含S的ZFC模型对于R之上的所有S图灵来说是固定的。现在假设phi(ω1)是M(R)的ω1保留外模型N中的句子为真，其中ω1表示M(R)的ω1。那么就像IMH的一致性证明一样，我们可以将N编码为M(S)对于R之上的某个实S图灵，而且这种编码是ω1保留的。

　　由于phi(ω1)在M(S)的可定义内模型中成立，并且ω1在M(R)中是相同的，并且M(S)，由此可知M(R)也有满足phi(ω1)的内模型。上述论点利用了Jensen编码保留ω1的事实。

　　这是然而，除非CH成立，否则ω2不保持，因此我们有以下开放式问题：设SIMH(ω1，ω2)为以下原则：如果一个带有参数ω1，ω2的句子在ω1保留和ω2保留的外模型中成立，那么它成立在内部模型中。那么SIMH(ω1，ω2)是否一致（假设基数很大）？

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