AION仙箱数学设定第六续写

SIMH(ω1，ω2)意味着CH失败，因为任何模型都具有基数保留外部模型，其中有从ω2到实数的注入。有类似的吗？(R)保留ω1和ω2有M*形式的进一步外部模型(S)，也具有相同的ω1和ω2？如果是这样，那么我们可以建立SIMH(ω1，ω2)的一致性。SIMH最通用的形式使用绝对参数。如果某个公式在保留的所有外部模型中定义了参数p，则该参数p是绝对的基数达到并包括p的遗传基数，即p的传递闭包。那么绝对参数p的SIMH(p)表明如果带有参数p的句子保存在保留基数向上的外部模型中到p的遗传基数，则它在内部模型中成立。完整的SIMH（强内模型假设）指出这对于每个绝对参数都成立p。SIMH与莱维绝对性的增强密切相关。

　　例如，将Lévy(ω1)定义为带有参数ω1的Σ1公式是绝对值的陈述，对于ω1保留的外部模型；这是从SIMH(ω1)得出的，因此是持续的。但Lévy(ω1，ω2)的一致性，即Σ1与参数的绝对性，保留这些基数的外部模型的ω1、ω2是开放的。具有#代的SIMH的综合可以表述如下：V如果V是#生成的并且每当句子phi具有绝对值时，则满足SIMH#参数保存在#生成的外部模型中，其基数与V up相同。

　　对于这些参数的遗传基数， phi也适用于五。

　　一个特殊情况是SIMH#(ω1)，其中唯一涉及的参数是ω1，我们只关心ω1保留的外部模型。

　[15]假设大基数，SIMH#(ω1)是一致的。

　　证明。假设有一个“伍丁皇道主教”，上面有一个不可访问的。对于每个实数R令M#(R)为Lα[R]，其中α最小，因此Lα[R]是#生成的。伍丁上面不可访问的基数意味着有足够的投射确定性来启用。我们使用马丁引理来找到一个实数R，使得M#(S)的理论是常数对于S Turing-above R。我们声称M#(R)满足SIMH#(ω1)：事实上，令M为#生成的ω1保留M#(R)的外部模型，满足某个句子phi(ω1)。令α为M#(R)的序数高度（=M的序数高度）。从结果来看，之前引用的Jensen的观点（[6]的定理9.1），M有一个#生成的ω1保留。对于一些实S，且R≤T S，外模型W的形式为Lα[S]。当然α是最小的。因此Lα[S]是#生成的。所以W等于M#(S)并且W的ω1等于ω1M#(R)。通过R的选择，M#(R)也有一个可定义的内模型，满足ψ(ω1).然而，与SIMH(ω1，ω2)一样，SIMH#(ω1，ω2)的一致性是开放的。该协议旨在将高度和宽度最大值的研究组织为三个阶段。第1阶段：最大化序数（高度最大值）。第2阶段：最大化序数后，最大化基数。第3阶段：最大化序数和基数后，最大化幂集（宽度最大）。第1阶段由#代负责。所以我们现在关注第二阶段，即基数最大化。

　根据第一阶段，我们现在假设V是#生成的，并且在讨论时，V的外部模型我们只考虑那些也是#生成的模型。

　　我们想要一个标准，它表示对于每个基数κ，κ+一样大。首先，让我们考虑κ=ω的情况，因此我们想要最大化ω1。当然，基本问题如下。作为#-的集合通用扩展生成的模型也是#生成的：事实。V有一个#生成的外部模型，其中ω在1是可数的。但我们肯定想要这样的东西：ωL[x]1。对于每个实数x都是可数的。这样做的原因是ωL[x]1，与ω不同在1，一般来说，在V和所有的之间是绝对的。它的外部模型。令p为V中的一个参数，P为V中的一组参数。然后如果存在参数来自P的公式phi，则p相对于P是强绝对的。定义V中的p以及所有#生成的V保留基数的外部模型。直到并包括中提到的参数的遗传基数。通常我们会取P由某个无限基数κ的所有子集组成，在这种情况下，上述定义中的基数保留指的是基数最多并包括κ。k最大(κ+)（对于κ来说是无限基数）。假设序数α是强的。相对于κ子集的绝对值。那么α的基数最多为κ。可以证明，如果κ是正则的，则在哪个CardMax(先生+)成立。CardMax是否一致，其中CardMax表示CardMax(κ+)为所有无限基数κ，无论是正则基数还是奇异基数？

　　内部基数极大性:实现基数极大性的另一种方法是将V的基数与那些相关联其内部模型。两个大的内部模型是HOD，遗传性的阶级，序数可定义集，以及较小的内部模型S，即[13]的稳定核心。V是每个模型的类通用性。令M表示内部模型。M-基本违规。对于每个无限基数k， k+大于κ+M。在[9]中表明HOD-基数违规是一致的。我们能否加强？对于每个无限基数κ，κ是否一致+无法访问，HOD中可测量甚至超紧凑？这与HOD替换为一致吗？Shelah的结果表明，对于某些固定的情况，κ的所有子集都属于HODx，当κ是不可数共尾性的奇异强极限基数时，κ的子集x。较弱的参数绝对性假设是不一致的。类似的现象与弱绝对参数出现在[18]的定理10，HOD和S之间的一个主要区别是，虽然任何集合都是集合通用的，HOD，S的情况并非如此。

　　对于每个无限基数κ，κ的某个子集是否一致+对于κ的任何子集x来说，Sx不是集合通用的吗？

　　对这三个问题中任何一个的积极回答都会产生强大的内部影响力。V的基数极大原则。第三阶段：最大化序数和基数后，最大化幂集。这是我们重新审视SIMH的地方，但仅限于#代和基本保存。再次假设V是#生成的。如果存在无参数公式，则V中的参数p是基数绝对的。

　　在V的所有#生成的外部模型中定义p，这些模型与V具有相同的基数。SIMH#(CP)（保留基数SIMH#）。假设p是绝对基数参数，V∗是#生成的V的外部模型，与V和具有相同的基数。是一个带有参数p的句子，它在V中成立∗。那么ψ在内模型中成立V的。SIMH#(CP)是否一致？请注意，SIMH#(CP)意味着CH的严重故障。

　　极大协议的替代方案（理想情况下应与它）是宽度不可辨别性。动机是提供V宽度的描述。通过#-Generation，我们得出以下结论：V0≺V1≺···≺V=V∞≺V∞+1≺···

　　其中i

　　类似地，我们引入宽度反射。我们想说V有正确的内部模型是“V中的基本模型”。当然，这不可能是字面上的意思正确，就好像V0是V的基本子模型，其序数与V相同，那么它是容易看出V0等于V。相反，我们使用基本嵌入。宽度反射。对于每个序数α，都有一个适当的基本子模型H。

　　V使得Vα⊆H且H是服从的，即H∩Vβ对于每个序数都属于Vb.宽度反射。对于每个序数α，都有一个不平凡的基本嵌入j:V0→V，临界点至少为α，使得j是可以接受的，即j↾(Vβ)

　　对于每个序数β都属于V。如果存在一个不平凡的服从j：V0→V，如第二个所示，我们写V0

　　从V到V的基本嵌入，(b)假设κ是拉姆齐。那么可以得出以下形式的任何结构。M=(Vκ，ε，...)具有无界的不可辨别集合，即无界子集，

I的κ使得对于每个n，来自I的任意两个递增n元组满足相同的条件。

　处了以上这些，还有以下的更高阶的V-逻辑(V-logic)，V-逻辑具有以下的常元符号：a ̄表示V的每一个集合a V ̄表示宇宙全体集合容器V在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：

作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号a¯和表示V本身的常元符号V¯，而且还有一个常元符号W¯来表示V的“外模型我们增加以下新公理。 1.宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。 2. W¯是ZFC的一个传递模型，包含V¯作为子集，并且与V有相同的序数。因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中V¯被正确地解释为V， W¯被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在V+=Lα(V)内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“W¯满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）

　　而更高阶的Ω逻辑与Ω猜想无穷或无限，永无止境之上，它在科学/神学/哲学/数学/文学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。在神学方面，根据书面记载无穷这个符号最早被用于某些秘密宗教，通常代表人类中的神性，而书写此符号时两圆的不对等代表人神间的差距，例如神学家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金无限集合、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。[1]摘要在[12]中，Hugh Woodin介绍了Ω-逻辑，一种方法集合宇宙中的真理，灵感来自最近在大基数中的工作。对Ω-逻辑出现在[13，14，1，15，16，17]中。在这个本文给出了关于Ω-逻辑，相对到已发表的文献，导致Ω-逻辑和Ω-猜想。介绍现代集合论中的一个结果族，称为绝对性结果，表明某些大基数的存在意味着真理强制不能改变某些句子的值1.另一个家庭结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些正则性性质，这反过来意味着满足其他大型基数性质的模型。第一种类型的结果提出一种逻辑，在这种逻辑中，如果语句在每个强制扩展。经过一些技术修改，这是Woodin的Ω-逻辑，最早出现在[12]中。第二种类型的结果表明在Ω-思维方式Woodin提出了这样一个表征success被称为Ω-猜想关于Ω-思维方式以及Ω-猜想已经发表[1，13，14，15，16，17]。给我们简要讨论的技术背景Ω-逻辑，并证明这方面的基本定理。本文假定了集合论的基本知识，包括可构造性和强迫性。所有未定义的概念都可以在[4]中找到。1.1.准备工作给定V中的一个完整布尔代数B，我们可以通过对序数类on的递归来定义布尔值模型V B：V0B=∅VλB=[β＜λVβB，如果λ是极限序数VαB+1=｛f:X→B|X⊆VαB}，然后，V B=Sα∈在VαB上。V B的元素被称为B名称。每一个V的元素x有一个标准的B名称x，归纳定义为：∅=∅，和x：{y：y∈x}→｛1B｝。对于每个x∈VB，设ρ（x）=min{α∈On|x∈VαB+1}，中x的秩V B。给定参数为VB的集合论语言的一个公式，如果其布尔值为1B。V B²iff[[ξ]]B=1B，其中[[·]]B由对（ρ（x），ρ（y））上的归纳定义，在正则序数对的良好排序以及公式的复杂性（参见[4]）。VB可以被认为是通过迭代B值幂集而构造的活动模由[[x=y]]B=1给出的等价关系，VαB为精确地说，在布尔值模型VB的意义上的Vα（参见[4]）：1.1号提案。对于每个序数α和每个完全布尔代数B、VαB lect（Vα)V B即对于每个x∈VB，（y∈VαB[[x=y]]B=1）iff[[x∈Vα]]B＝1B。推论1.2。对于每个序数α和每个完全布尔代数B，VαB²ξiff V B²“VᲓ。符号：i）如果P是偏序，那么我们写V对于V B，其中B=r.o.（P）是P的正则开完备（参见[4]）。ii）给定M是集合论的模型，我们将为（Vα）M和MαB写Mα对于（VαB）M=（Vα）MB。iii）Sent表示的是集合论。iv）在集合论语言中，TŞ{ξ}将始终是一组句子，通常扩展ZF C。v）我们将为可数传递∈-模型写c.t.m。vi）我们将为完全布尔代数编写c.B.a。vii）对于A⊆R，我们将L（A，R）写成L（{A}ŞR），最小的传递性ZF的模型，包含所有序数、A和所有实数。像往常一样，实数将是Baire空间的一个元素N=（ωω，τ），其中τ是乘积拓扑，离散拓扑在ω上。因此实数的集合R是从ω到ω的所有函数的集合。自始至终在这篇论文中，我们经常用一般滤波器来代替布尔值滤波器模型。每一种谈话方式都可以在另一种方式中被常规地重新解释。设P是一个强迫概念。我们说*x是实数的一个简单P名称数字，如果：i）*x的元素具有以下形式(（n，m)，p），其中p∈p和n，m∈ω，使得p°px（n）=m。ii）对于所有n∈ω，{p∈p|∃m使得(（n，m)，p）∈x}是最大值P。对于任何强迫概念P和对于实数的所有P-名称τ，存在一个简单的P-名称*x，使得°Pτ=*x。因此，任何P-通用滤波器用同样的方法解释这两个名字。设WF:={x∈ωω|Ex是成立的}，其中给定x∈Ωω，Ex:={（n，m）∈ω×ω|x（Γω和ω之间。回想一下W F是一个完全的π11.设置（请参见[4]）。设T是一个理论，其模型自然包含Peano的子模型N算术T的模型M是ω-模型，如果NM是标准的，即同构于ω。在这种情况下，我们自然地用它的同构来识别M复制M0，其中NM0为ω。Woodin在20世纪80年代推出的“固定塔强制”将用来证明关于Ω-逻辑：定义1.3。（参见[6]）（固定塔强制）i）一套δ=∅是平稳的，如果对于任何函数F:[Şa]＜ω→∪a、那里存在b∈a使得F“[b]＜ω⊆b。ii）给定一个强不可访问基数κ，我们定义了平稳Tower Forcing概念：其条件集κ={a∈Vκ：a是平稳的}，并且该顺序由以下定义：a≤b iffŞb⊆õa和{ZŞ（Şb）|Z∈a}\8838b。事实1.4。给定γ＜δ是强不可及的，a=Pω1（Vγ）∈P＜δ。证明：给定F:[Vγ]＜ω→Vγ，设x∈[Vγ]＜ω，并设：A0=x，An+1=AnŞ{F（y）：y∈[An]＜ω}设b=S n∈ωAn。因此，b∈Pω1（Vγ）和F“[b]＜ω⊆b。回想一下Woodin基数的大基数概念：定义1.5。（[10]）基数δ是Woodin基数，如果对于每个函数f:δ→δ存在κ＜δ与f“κ⊆κ，并且存在一个初等嵌入j:V→M具有临界点κ，使得Vj（f）（κ）⊆M。定理1.6。（参见[6]）假设δ是Woodin基数，并且G⊆P＜δ是一个V型一般滤波器。那么在V[G]中存在一个初等嵌入j:V→M、M传递，使得V[G]²M＜δ⊆M和j（δ）=δ。此外，对于所有的a∈P＜δ，a∈G iff j“Şa∈j（a）

　　当然，既然以上有无穷构造的定义，以下就会有格罗滕迪克宇宙的集

ZFC宇宙v的子类u是格罗滕迪克宇宙:1.如果x∈u，y∈x，则y∈u(关于∈的推移性)2.如果x，y∈U，则{x，y}∈U(关于配对的结构是闭合的)3.如果x∈U，则Pow(x)∈u(关于幂集合是闭的)4.I∈U，f:I→U，则∪(f)∈U(关于族的合并是封闭的)5.U∈V(V的元素)6.ω∈U(具有无穷集)∪(f)是⋃i∈If(i)的缩写。ω是整个自然数的集合。如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。也可以制作只包含有限集合的预宇宙。也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数κ会使得Vκ⊨ZFC.它可以断言Con(ZFC)。

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