Principia Mathematica的符号（一）

Principia Mathematica [PM]由A.N. Whitehead和Bertrand Russell于1910-1913年出版的三大卷由剑桥大学出版社，包含使用符号逻辑的概念和原则的大量数学的推导。 在20世纪的逻辑开发后，这项工作的符号已经取代，即初学者根本无法读取PM的程度。 本文介绍了PM的象征主义，展示了如何使用应该熟悉符号逻辑或集合理论的概念的概念转化为更有当代的符号。 这种翻译是为了学习原始符号的援助，它本身就是学术争议的主题，并体现了实质性逻辑学说，以便它不能简单地被当代象征主义所取代。 然后，学习符号是学习Principia Mathematica的独特逻辑学说的第一步。

1.为什么要学习Principia Mathematica的象征主义？

2.原始符号

3.使用点进行标点符号

3.1一些基本的例子

3.2更多例子

4.命题功能

5.缺少类型和订单的缺失

5.1简单类型

5.2分频类型

6.变量

7.可预测功能和身份

8.确定的描述

9.课程

10.结束数学逻辑

11. ProLegoMena到红衣主教算术

12.基本算术（第III部分）

13.关系算术（第四部分）

14.系列（第五部分）

15.数量（第VI部分）

16.结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.为什么要学习Principia Mathematica的象征主义？

Principia Mathematica [PM]由Alfred North Whitehead和Bertrand Relsell在几年内联合写，并在1910年和1913年出现了三个卷。它呈现了一个符号逻辑系统，然后转向基础数学开展逻辑学项目，以逻辑概念定义数学概念，并证明数学基本公理作为逻辑定理。 虽然在逻辑的发展中非常重要，数学哲学和更广泛的“早期分析哲学”，但工作本身就不再为这些主题进行了研究。 结果，这项工作的非常符合者已经成为逻辑当代学生的外星人，这已成为普林尼岛数学研究的障碍。 我们包括一系列概念定义，如Transfinite Chinkinal Number，订购井，理性和实数。 这些在PM类型的理论中定义而不是在公理结构理论中定义。

此条目旨在帮助PM学生阅读工作的象征部分。 以下是象征主义的局部翻译成更同时的符号，这应该熟悉这一百科全书中的其他文章，并且在当代逻辑的当代教科书中是非常标准的。 没有提供完整的算法，而是各种建议旨在帮助读者学习PM的象征。 只有使用当代符号，以及PM独有的许多细节，才会判断许多解释问题取决于该符号。 下面将在符号的一些更具争议方面看到的，那种物质的教义被建立在PM的答析中。 用更现代的象征主义替换符号会大大改变本书的内容。

2.数学逻辑的原始符号（第i部分）

在读卡器下方，将找到它们在PM中引入的顺序，以下符号简要描述。 以下内容提供了更多细节：

*发音为“星星”; 表示一个数字，或章节，如* 1，或* 20.·以中心点（旧的英国十进制点）; 通过第一位数（所有1S等的所有0所述）指示订单中的编号句子，然后是第二位数，等等。 * 1的第一个定义和命题说明了这一“词典”排序：1·01,1·1,1.1,1.1·2,1·3,1·4，1·5,1·6,1·7,11·71,1·72.72.⊢the断言迹象; 在断言之前，是一个Axiom（即，一种原始命题，也是注释“PP”）或定义标志的定义标志; 遵循定义..，：：：。::, ::等。使用用于分隔标点符号的点; 在当代逻辑中，我们使用（），[]，{}等.p，q，r等。[，〜，〜，≡和。 ，：：：。等。另有熟悉的句子连接，对应于“或”，“如果 - 然后”，“不是”，“，”，“，”和“和”和“和”。 （下面将解释DOTS的双重使用点和标点符号。）在下午的第二版，1925-27，Sheffer Stroke“|”是一个原始的连接性。 它意味着“不是......和___”。x，y，z等。是一个单独的变量，将被用“典型的模糊性”读取，即，它们的逻辑类型填写（见下文）.a，b，c等。是个体常数，以及代表个人（最低类型）。 这些只是在PM的介绍中，而不是在官方System.xry，Arb，R（x）等中.are原子预测，其中由变量或常数代表的物体在关系r中或具有属性R.这些目的r。 “A”和“B”只发生在第二版中的常量。 Previesiation R（x），r（x，y）等仅在第二个版本中使用。φ，ψ，χ等，

并且F，G等。在所谓的功能范围内，无论这些功能是否都是简单的或复杂的那样，那么φx，ψx，y）等。Open原子公式，其中“x”和“φ”是自由的。 [替代解释是将“φx”视为站立用于可变“X”是自由的公式的示意字母。]环形; 当放置在开放式中的变量上（如“φx”）导致函数的术语。 [这件事是有争议的。 请参阅Landini 1998.]当环形变量之前，结果指示了一个类，如在xφx中，它是现代符号中的x，{xφx}的x x，ψx，φ（x，z），等待命题功能。 以下是常量的这些术语的示例：“x是快乐的”，“x是bald，x是快乐的”，“4＜x＜6”等。如果我们应用，例如，函数“x是bald和x是快乐”的特定单独的b，结果是命题“b是Bald和B是快乐的”。.∃（）分别是“存在”和“全部”（“每一个”）的量词。 例如，其中φx是简单或复杂的开放式，（∃x）φxasserts“存在x使得φx”（ξφ）φxasserts“存在命题功能φ，使得φx”（x）φxasserts“每个x都是φx”（φ）φxasserts“每个命题功能φ都是φx”

[这些被PEANO使用。 最近，∀已添加用于对称性的∃。 一些学者看到Quantiers（φ）和（∃φ）作为替代。]

φx⊃xψx

φx≡xψxthis表示用于缩写普遍定量的变量。 在现代符号中，这些分别成为∀x（φx⊃ψx）和∀x（φx≡ψx）。 请参阅下面第3.2节末尾的此符号的定义。！发音为“Shriek”; 表示函数是谓词，如φ！x或φ！x。 请参见第7节=身份符号; 表达身份，这是PM中的一个定义的概念，而不是当代逻辑中的原始.IREAD为“the”; 是倒置的IOTA或描述运算符，并用于表达式，用于确定的明确描述，例如（igx）φx（读取：x，使得φx）。[（imlx）φx]括号中的明确描述; 这是一个明确描述的范围指示器。在上下文中，在* 14·02处定义！（imlx）φx，表示描述（igx）φx是适当的，即，只有一个且只有一件事φ.∃！在* 24·03中定义，在上下文中∃！α，表示α是非空的，即，有成员。

在elkind和Zach追踪了Peano象征的这种原始符号的演变在elkind和zach（2023）中。

3.在PM中使用点

读取PM的直接障碍是不熟悉的点表标点符号，而不是更常见的括号和括号。 系统精确，可以只通过一点练习学习。 使用点针对标点符号并不是PM独特的。 源自Peano，它后来用于Alonzo Church，W.V.O。 Quine等，但现在已经很大程度地消失了。 阿兰·图灵了一个研究使用点从一个计算的角度来看1942年，大概在他的备用时间后一天的工作在布莱奇利公园打破代码的谜机器。 图灵表明，使用并置来表示结合的使用类似于使用并置算法来指示乘法：

在大多数系统中，有一些操作简单地描述了并置，而没有任何特殊的操作员。 在教会的系统中，这是应用函数的论点; 在罗素的情况下，它是结合和代数，它是乘法的。 （图灵1942,151）

在他早期的工作中，例如数学原则，从1903年，罗素遵循了Peano的实践，即通过简单的并置公式来表明结合。 因此，P和Q的结合写入PQ。 罗素开始使用标点符号与1905年结合。逻辑中的点表对于标点符号的使用现在只是历史兴趣，尽管某些教科书使用凸起的点p⋅q结合使用。 下面我们将解释点的双重使用点标点符号和PM的结合。

学习使用它的最佳方法是使用括号转换为公式的一些样本，从而让它感觉到它。 以下是PM，第9-10页所呈现的解释，然后是许多示例，其示出了其每个条款：

使用点。 符号线上的点有两个用途，一个用于关闭命题，另一个用来指示两个命题的逻辑产物。 紧接在或后面的点或“∨”或“⊃”或“≡”或“⊢”，或“（x）”，“（x，y）”，“（x，y，z）”或“或”（∃x）“，”（∃x）“，”（∃x），“）”，“（∃x，y，z）”...或“[（iml）（φx）]”或“[r'y]”或类似的表达式，用于括起一个命题; 否则用于标记逻辑产品的点。 一般原理是大量点表示外部支架，较小的数字表示内部支架。 通过将点数分为三个组，可以将点数分为指示的三个组，这是指示的括号的范围。 I组由邻接含义（⊃）或等价迹象（≡）或分解（∨）或平等的点组成（= df）。 II组由括号之后的点组成，该点表示表观变量，例如（x）或（x，y）或（∃x）或（∃x，y）或[（ilx）（φx）]或类似的表达式。 第三组由在命题之间站立的点组成，以指示逻辑产品。 小组我的力量比II组更大，而第II组比第三组。 由任何点集合指示的支架的范围向后或向前延伸超过任何较少数量的点，或者从一组更少的力，直到我们到达断言的命题或更大量的点或属于一个组的相等数量平等或优越的力量。 表示逻辑产品的点具有倒退和转发的范围; 其他点只能从分数，暗示或等价的相邻符号上工作，或者从第II组中列举的其他类型之一的相邻符号转发。 一些示例将用于说明点的使用。 （PM，9-10）

对于对DOT表示法的这段经文进行更深的讨论，请参阅补充：

使用点针标点符号和结合。

3.1一些基本的例子

考虑以下一系列扩展示例，在其中我们检查下午的命题，然后讨论如何将它们逐步翻译成现代符号。 （下面的符号有时被用作自己的名称，从而避免了一些其他所需的引号。Russell经常被指控令人困惑和提及，因此这种做法可能会有一些危险。）

例1

⊢：p∨p.⊃.ppp

这是“明星”1的第二个断言。实际上是“PP”所示的公理或“原始命题”。 这是一个断言（公理或定理），而不是使用“⊢”表示定义。 （相比之下，一个定义将省略断言符号，但与“DF”标志结束。）现在翻译* 1·2进入现代符号的过程中的第一步是记下冒号。 召回从上述引用的通道中，“更大数量的点表示外部括号，较小的数字表示内部支架”。 因此，这里的结肠（由大量的点组成比* 1·2的线上发生的单点）表示外部支架。 括号“和”“]”表示* 1·2的结肠。 因此，结肠的范围延伸超过配方末端的任何较少数量的点（即，一个点）。 由于从左到右读取公式，因此表达“过去”意味着“右侧”。

因此，第一步是翻译* 1·2至：

⊢[p∨p.⊃.p]

接下来，“⊃”周围的点由括号周围的现代符号表示，并在前所未有。 回想一下，在上面的段落中，我们发现“...点只能从邻近的分离，含义或等价符号上工作......”。 因此，翻译过程中的下一步是移动到公式：⊢[（p∨p）⊃（p）]

最后，标准的现代惯例允许我们删除外括号和单个字母周围的括号，产生：

⊢（p∨p）⊃p

我们的下一个例子涉及结合：

例2

p.q。=。〜（~p∨~q）df

通过仔细检查Page 9至11的PM页面中的段落细节，可以通过仔细检查段落的细节来了解点的双重使用点为“表示”的结合和标点符号。 首先尝试将点读为标点符号，然后，如果这不起作用，那么这些点必须表示结合。

* 3·01定义使用点表示结合。 （第一个点，当读取时，当标点符号延伸到平等数量的点，即=符号之前的点，产生不连贯的表达：“（p（q）= df（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜）））”。因此，它必须，因此，它必须，因此，表示一个COMPULE

（p.Q）= DF（〜（〜（〜（〜（〜（〜（〜~p∨~q））然后，我们删除右侧的外括号并留下不必要的解释公式，因此我们在现代注释中具有：p.q = df〜（~p∨~q），= q = DF〜（~p∨~q）

请注意，* 3·01中的否定符号“〜”的范围未用点表示，即使在PM系统中也不指示，但相当使用括号。

例3

〜{（x）.φx}。=。（∃x）.~φxdf

我们应用规则“点只能远离分离，暗示或等价的相邻符号，或者从第II组中列举的其他类型之一的相邻符号（其中第II组包括”（∃x）“）。 在这种情况下，第一点延伸到标点符号}，其可选地允许替换点。 在数量（否定之后）发生在现代等效性之后没有这样的标点符号，这将是：〜（x）φx= df（∃x）~φxor~∀xφx=df∃x~φx

在相对“武力”或范围方面，联系的排名是当代逻辑的标准公约。 如果没有显式括号以指示最优先于排名的连接的范围被认为是主结缔组织，依此类推。 因此，反而制定了以下DemORAN的法律作为麻烦：

[（~p）∨（~q）]≡[〜（p＆q）]

我们现在写它：

~p∨~q≡~（p＆q）

这种更简单的配方随着≡具有更广泛的范围而不是∨和＆，而且后者的范围比〜更广泛。 确实括号通常不需要左右，鉴于≡具有更广泛的范围的进一步公约。 因此，公式p⊃q≡~p∨q变成明确。 我们可能会通过将群组列入群体的群组，其中包含最广泛的范围：

≡⊃＆，∨~

然而，对于Whitehead和Russell，符号⊃，≡，∨和... = ... df，在i群中，具有相同的力量。 第II组包括用于明确描述的可变绑定表达式，量词和范围指标，第三组由连词组成。 否定在所有这些之上。 所以下午的排名将是：

⊃，≡，∨和... = ... df（x），（x，y）...（∃x），（∃x，y）... [（ιx）φx] p.q~

这是白头和罗素似乎意味着当他们说“我的力量比II组的力量更大，而不是第三组。” 考虑以下内容：

例4

⊢：~p.∨.~q.∨.p.q

本定理说明了如何在一个公式中读取相同数量的点的多个使用。 将“左侧”分组为点和一系列障碍，从左到右的阅读公约和定义：

p∨q∨r。=。（p∨q）∨rdf

在* 3·12中，第一个两个点∨∨只需“从结缔组织开始工作”。 第二“延伸”直到它遇到相同的数字（第三单点）。 第三个点和第四个“工作离开”从第二次，并且最终点表示与最小力的结合。 结果为最大明确性的所有可能标点符号，是：

{[（~p）∨（~q）]∨（p＆q）}

如果我们雇用丢弃括号的所有标准约定，这将成为：

（~p∨~q）∨（p＆q）

这示出了上述引号中的通道，该引号说：“由任何集合指示的括号的范围，向后或向后延伸超过任何较少数量的点，或者从一组较少的力，直到我们达到断言的命题或更大的末端点数或等于一组等于或优势的数量。”

在我们查看更广泛的示例之前，涉及量化变量的详细示例将被证明是有效的。 Whitehead和Russell遵循Peano的练习表达普遍定量的条件（例如“所有φs是ψs”），其中包含条件标志下的绑定变量。 与普遍定量的Biconditionals（“所有和仅φs是ψs”）类似。 也就是说，表达式“φx⊃xψx”和“φx≡xψx”定义如下：

φx⊃xψx。=。（x）.φx⊃ψxdfφx≡xψx。=。（x）.φx≡ψxdf

并分别对应于以下更多现代公式：

∀x（φx⊃ψx）∀x（φx≡ψx）

作为练习，读者可能倾向于制定一个严格的算法，用于将PM转换为特定的当代符号中（具有丢弃括号的约定），但学习系统的最佳方式是要查看翻译的更多例子，然后简单地开始读取公式直接。