Principia Mathematica的符号（二）
3.2更多例子
在下面的示例中，每个公式编号遵循Principia符号，然后是其现代翻译。 请注意，除点外，在* 1·5括号中使用标点符号。 （原始命题* 1·2，* 1·3，* 1·4，* 1·5，* 1·6在一起构成PM的命题逻辑的公理。）主题* 1·5在1926年被保罗伯尔队被Paul Bernay冗余。它可以从其他人的适当实例衍生出和Modus Ponens的规则。
* 1·3⊢：q.⊃.p∨qpp
q⊃p∨q* 1·4⊢：p∨q.⊃.q∨ppp
p∨q⊃q∨p* 1·5⊢：p∨（q∨r）.⊃.q∨（p∨r）pp
p∨（q∨r）⊃q∨（p∨r）* 1·6⊢：.q⊃r.⊃：p∨q.⊃.p∨rpp
（q⊃r）⊃（p∨q⊃p∨r）* 2·03⊢：p⊃~q.⊃.q⊃~p
（p⊃~q）⊃（q⊃~p）* 3·3⊢：.p.q.⊃.r：⊃：p.⊃.q⊃r
[（p＆q）⊃r]⊃[p⊃（q⊃r）] * 4·15⊢：.p.q.⊃.~r：≡：q.r.⊃.~p
[（p＆q）⊃~r]≡[（q＆r）⊃~p] * 5·71⊢：.q⊃~r.⊃：p∨q.r.≡.p.r
（q⊃~r）⊃{[（p∨q）和r]≡（p＆r）} * 9·04p.∨。（x）.φx：=。（x）.φx∨pdf
p∨∀xφx=df∀x（φx∨p）* 9·521⊢：:(∃x）.φx.⊃.q：⊃：。（∃x）.φx.∨.r：⊃.q∨r
[（∃xφx）⊃q]⊃[（（∃xφx）∨r）⊃（q∨r）] * 10·55⊢：。（∃x）.φx.ψx：φx⊃xψx：≡：（∃x）.φx：φx⊃xψx
∃x（φx＆ψx）和∀x（φx⊃ψx）≡∃xφx＆∀x（φx⊃ψx）
请注意，双点的两种用途：* 10·55中的两个用途表示连词。
4.命题功能
PM有两种功能。 诸如“x是自然数”的命题功能将与称为“描述性功能”（PM，第* 31章）的更熟悉的数学函数来区分。 使用关系和明确的描述定义描述性功能。 描述性功能的示例是x + y和“n的后继者”。
专注于命题函数，Whitehead和Russell区分与自由变量的表达式（例如“x是受伤”）和功能名称（例如“x是伤害”）（PM，14-15）。 通过将允许值分配给自由变量“x”来说，由公式产生的命题是函数的“模糊值”。 使用Clipfflex表示法的表达式，例如φX仅在PM技术部分中的介绍材料中出现，而不是在技术部分本身（课程理论的部分）中，促使一些学者说这些表达并没有真正发生这种表达PM的正式系统。 这个问题与围绕这些符号的解释不同。 它们是“术语形成运算符”，它将开放式公式变为函数的名称，或者只是一个句法设备，占位符，用于指示可以在开放式中进行替换的变量？ 如果要被视为术语形成的运算符，则φX的现代符号将是λxφx。 λ-符号的优点是清楚地揭示可变x由术语形成的操作员λ绑定，其采用谓词φ并产生术语λxφx（在某些逻辑中是可以在句子的主题位置发生的奇异术语，而在其他逻辑中逻辑是一个复杂的谓词表达式）。 与λ符号不同，使用恒定的PM表示法不能指示范围。 函数表达式“φ（x，y）”在λxλyφxy和λyλxφxy之间模糊，没有一些进一步的惯例。 实际上，白头和拉塞尔指定了“延伸关系”（第200页）的延期关系（* 21的介绍材料中的第200条），但是通过使用λ符号最清楚地提出了模糊性：第一个表示是作为一个的关系x和y使得φxy和第二表示是作为y和x的逆向关系，使得φxy。
5.缺少类型和订单的缺失
本节解释了不在普林尼亚数学的符号。 除了* 63中的“相对”类型的某些符号，并且在第II卷的早期部分，普林帕米亚数学的类型没有符号！ 句子通常被视为“通常是模棱两可”，因此站在各种类型范围的表达，因此就像没有个体或谓词常数一样，任何特定类型都没有特定的功能。 所以不仅有人不知道如何象征象征论点：
所有男人都是凡人
苏格拉底是一个男人
因此，苏格拉底是凡人
而且没有迹象表明函数“x是凡人”的逻辑类型。 PM项目是将数学减少到逻辑，并且该项目背后的逻辑观的一部分是逻辑事实都是完全一般的。 因此，来自逻辑定义和真实性的数学真理的推导将不涉及除了从纯粹逻辑概念引入的那些以外的特定常数。 结果，PM不包括表示法以描述这些类型。 希望考虑PM作为可以应用的逻辑的人的人必须补充它的一些类型。
读者应注意，下面概述的类型的解释不会与PM文本中类型的语句相对应。 Alonzo Church [1976]制定了一个简单，合理的重建，对PM案文所暗示的简单和分枝理论的符号。 （有替代的，相同的符号为类型的理论。）完整理论可以被视为简单的类型理论的发展。
5.1简单类型
简单类型的定义可以如下给出：
ι（希腊语IOTA）是个人的类型。
其中τ1，...，τn是任何类型，那么⌜（τ1，...，τn）⌝是分别τ1，...，τn类型τ1，...，τn的命题函数的类型。
⌜（）⌝是命题类型。
以下是了解类型的定义的一系列直观方式。 假设“苏格拉底”命名为个人。 （我们在这里忽略Russell被认为认为这种普通人在事实上是感觉数据的类课程，以及更高的类型。）然后单个常数“苏格拉底”是类型ι。 作为参数的一个星形命题函数是类型（ι）。 假设“致命”是表达个人财产的谓词。 功能“x是致命”将是类型（ι）。 个人之间的两个或二进制关系是类型（ι，ι）。 因此，像“父级”和函数“x的关系表达式将是类型（ι，ι）。
类型（ι）的命题功能通常被称为“第一阶”; 因此，熟悉逻辑的名称“一阶逻辑”，其中变量仅在一阶函数的参数上进行范围。 类型τ的参数的半代函数是类型（τ），因此此类功能的功能是类型的（（τ））。 “二阶逻辑”将具有此类功能参数的变量（以及个人的变量）。 类型τ的函数之间的二进制关系是类型（τ，τ）等，用于具有超过2个参数的关系。 混合类型由上述限定。 个人与命题之间的关系（例如“x认为p”）将是类型（ι，（））。
5.2分频类型
为了构建PM类型的完整分布理论的符号，必须在符号中编码另一个信息。 教堂将生成的系统称为R系列。 分割类型的关键概念是使用某种给定类型的函数定义的任何功能必须具有比那些函数更高的“顺序”。 要使用Russell的示例：
X拥有伟大的将军的所有品质
是人类（即个体）的函数，并且从简单类型理论的角度来看，它具有与个人特殊品质相同的简单逻辑类型（如勇敢和衰弱）。 然而，在分枝类型的理论中，上述功能将比个体的那些特定品质更高，因为与那些特定的品质不同，它涉及量化这些品质。 因此，虽然表达“x是勇敢的”表示R型（ι）/ 1的功能，表达“x具有大致性的所有质量”的函数将具有R型（ι）/ 2。 在这些R系列中，“/”表示函数的级别。 函数的顺序将被定义和计算，给出以下定义。
教堂定义R系列如下：
ι（希腊语IOTA）是个人的R型。
其中τ1，...，τm是任何R型，n是正整数，⌜（τ1，...，τm）/n⌝是r型; 这是N级N的r型级，其具有R型τ1，...，τm的争论。
实体的顺序定义如下（这里我们不再关注教堂，因为他定义了变量的订单，即表达式，而不是变量范围的东西的顺序）：
个人（R型ι）的顺序为0，
R型（τ1，...，τm）/ n的函数的顺序是n + n，其中n是参数τ1，...，τm的最大顺序。
这两个定义补充了一种原理，它识别特定定义函数的级别，即定义函数的级别应该是一个高于具有在该函数的定义中出现的名称或变量的最高订单实体。
要了解如何使用这些定义和原则来计算函数的顺序“x具有大量旺盛的所有品质”，注意该函数可以表示如下，其中“x，y”是r型ι个体的变量（顺序0），“GEEDGANERAL（Y）”是表示R型（1）/ 1（诸如订单1）的命题功能的谓词，“φ”是r型（ι）/ 1（等等）的突出功能的变量。订单1）如伟大的一般，勇敢，领导力，技能，远见等等：
（φ）{[（y）（greatgeneral（y）⊃φ（y）]⊃φx}
我们首先注意到，考虑到上述原理，该功能的R型是（ι）/ 2; 级别为2，因为此函数的R型的级别必须是比定义中所命名的任何实体的最高排序（或在所使用的变量范围内）的级别。 在这种情况下，伟大的表示，变量“φ”的表示是订单1，并且没有其他表达名称或范围在更高阶的实体上。 因此，上面命名的函数的级别被定义为2.最后，我们计算上面表示的函数的顺序，如图所定义的函数：级别的总和加上上述功能参数的最大命令。 由于上述功能中唯一的参数是个人（订单0），我们的功能顺序仅为2。
在新功能的定义中量化r型（τ）/ n的r型（τ）/ n的功能产生R型（τ）/ n + 1的函数，因此较高的顺序函数K + 1。 两种功能，那么，可以是二阶：（1）个人的一级功能的函数，R型（（1）/ 1）/ 1，（2）r型（1）/ 2的函数，例如我们的例子“x具有伟大的所有品质将军有”。 这后，后者将是拿破仑等个人的函数，但比诸如“x是勇敢的诸如勇敢”的简单功能，这是R型（ι）/ 1的函数。
逻辑学家今天使用不同的“订单”概念。 如今，一阶逻辑是一个逻辑，只有个人变量。 二阶逻辑是一个逻辑，具有个人和个人的个人和属性的变量。 三阶逻辑是一个逻辑，其中个人，个人属性的变量和个人属性的属性。 等等。 相比之下，教堂将分别调用这些逻辑，类型（ι）/ 1和（ι，...，ι）/ 1的逻辑，类型（（ι）/ 1）/ 1和（（ι，...，ι）/ 1的逻辑，...，（ι，...，ι）/ 1）/ 1，以及类型的函数（（（ι）/ 1）/ 1）/ 1等（即，前面类型的函数的级别）。 鉴于教会的定义，这些定义分别是第一，第二阶和三阶函数的逻辑，从而与“nth阶逻辑”的现代术语吻合。
6.变量
如前所述，在PM的正式系统中没有个体或谓词常数，只有变量。 然而，引言在讨论原子事实（PM，43）的讨论中使用该示例“站立R到B”。 虽然“R”后来用作扩展关系中的变量，但“A，B，C，...”是单独的变量，让我们暂时将它们作为谓词和单个常数分别添加到系统中，以便讨论PM中的使用变量。
PM使得“真实”或自由，变量和“明显”或绑定变量之间的区别特殊使用。 由于“x”是一个变量，“xry”将是我们扩展语言的原子公式，具有“x”和“y”实变量。 当这种配方与命题连接〜，ν等结合时，结果是矩阵。 例如，“arx.∨.xry”将是矩阵。
正如我们之前所看到的那样，还有变量范围在功能范围内：“φ，ψ，...，f，g”等。表达“φx”因此包含两个变量，并且尤其包含将功能φ应用于单个x的结果。
定理用真实变量表示，这为他们提供了对理论的特殊意义。 例如，
⊢：（x）.φx.⊃.φypp
是PM量化理论的基本公理。 在该原始命题中，变量“φ”和“y”是真实的（自由），“x”是明显的（绑定）。 由于系统中没有常数，这是最接近通用实例化的规则。
Whitebhead和Russell解释“（x）.φx”作为“主张φx的所有值的命题（PM 41）。 “全部”一词在类型的理论内具有特殊意义。 他们呈现了恶性圈子原则，这是类型的理论：
...一般来说，给定任何一组对象，使得如果我们假设设置为总共，它将包含预先假定此总计的成员，然后诸如集合不能总共。 通过说集合有“没有总体”，我们的意思是，主要是可以对“所有成员的”进行重大陈述。 （PM，37）
具体而言，然后，量化的表达式，因为它谈论（预先假定）“全部”成员，必须表达与那些成员不同，更高，逻辑类型的成员，以便观察恶性循环原理。 因此，在解释绑定变量时，必须假设它在特定类型的实体上范围，因此必须将类型分配给公式中的表达式所示的其他实体，以便与类型的理论遵守。
然而，一旦意识到，一旦意识到PM等PM等PM的原始命题和定理的陈述被认为是“通常是模棱两可”的原始命题和定理的陈述（即，关于类型的含糊不清）。 这些陈述实际上是示意性的，并且代表了可以通过适当解释类型来源的所有可能的特定断言。 但是，如果像* 10·1一样的语句是架构，但具有绑定变量，我们如何将类型分配给绑定变量范围的实体？ 答案是首先确定语句范围内的自由变量的类型。 例如，假设* 10·1的变量Y在个体（类型ι）上方，那么变量φ必须在类型（ι）/ n的功能上，对于某些n。 然后，绑定变量X也将在个体上进行范围。 但是，如果我们假设的变量Y在* 10·1的范围内，则变量φ必须在某些m的类型（（ι）/ 1）/ m的功能上。 在这种情况下，绑定变量X将在类型（ι）/ 1的功能上。
所以y和φ称为“真实”变量* 10·1不仅是因为它们是免费的，而且因为它们可以在任何类型上进行范围。 Whitehead和Russell经常说，真实变量模糊地表示他们的实例的“任何”，而绑定变量（也暧昧地表示）其实例的“全部”（合法总数，即类型）。
7.可预测功能和身份
感叹号“！” 在函数的变量之后，在参数之前，如“f！x”，“φ！x”，“φ！x”，表示该函数是谓词，即可以应用于其参数的最低顺序。 在教会的符号中，这意味着谓词函数是所有第一级，表单类型（...）/ 1。 因此，谓词函数将是一个比任何参数的最高阶数的顺序。 此分析基于以下引文，如下所示，在PM介绍中：
当它在上方的下一个订单中，我们将定义一个变量的函数，即其参数的下一个订单，即，与其具有该参数兼容的最低顺序。 （PM，53）
遗憾的是，在* 12的概要中，我们发现“谓词函数是不包含明显变量的函数，即，是矩阵”[PM，167]。 在介绍中重新调整此声明，介绍中的定义是学者的问题。
要查看ACRIEK表示法，请考虑以下对身份的定义：
x = y。= :(φ）：φ！x.⊃.φ！ydf
也就是说，x与y相同，如果y具有由x所拥有的每个谓词函数φ。 （当然第二发生“=”表示一个定义，并且没有独立地具有含义。它是第一次出现，与定义的个人x和y相关。）
要了解此定义如何降低到更熟悉的身份定义（在它们共享相同属性的IFF上的对象上的哪些对象上），我们需要可还原性的公理。 可重复性的公理状态，对于任何功能，存在等效函数（即，所有相同的参数中的一个真实），这是预测的：
减少性的公理：⊢：（∃f）：φx.x.f！xpp
要了解此Axiom如何意味着更熟悉的身份定义，请注意，身份的更熟悉的定义是：
x = y。= :(φ）：φx.⊃.φydf
对于“任何”类型的φ。 （请注意，这与* 13·01不同，即不再出现尖叫声。）现在要证明这两个* 13·01以及还原性的公理，并假设通过还原证明，x = y和φx，而不是φY，对于任意类型的某些功能φ。 然后，还原性的公理* 12·1保证会有一个预测函数ψ！，它与φ共同延伸，使得ψ！x但不是ψ！y，矛盾* 13·01。
