Principia Mathematica的符号（三）

8.确定的描述

倒希腊字母IOTA“ι”在PM中使用，始终是变量，以开始明确的描述。 （Ix）φx被读为“x，使x为φ”，或者更简单地，作为“φ”。 这种表达可以在对象位置发生，如在（IRX）φX中，读为“φ是ψ”。 Russell着名的“明确描述理论”的正式部分由所有公式“......（iml（ιx）φx...”的定义组成，其中发生了描述。 为了从较大的句子的其余部分（由上述椭圆指示的诸如椭圆形式的剩余部分来区分部分ψ，其中发生表达式ψ（iml）φx，通过重复括号内的明确描述来指示描述的范围：

[（ιx）φx].ψ（ιx）φx

范围的概念意味着解释罗素着名的“关于表示”（1905）的区别。 拉塞尔说，“法国国王不是秃头”的判决是两种读数之间的模糊：（1）读书在这里，他说他不是秃头的法国之王，并否认本法国国王的读数是秃头的。 前读书要求在不秃头的东西列表中有一个独特的法国王，而后者只是说没有一个独特的法国国王出现在秃头的东西上。 拉塞尔说后者，但不是前者，在没有法国之王的情况下可以是真的。 Russell分析了这种差异作为明确描述的范围的问题，尽管随着我们将看到的，一些现代逻辑学倾向于将这种情况视为否定符号范围的问题。 因此，Russell介绍了一种指示明确描述的范围的方法。

要了解罗素的范围方法，对于这种情况，我们必须了解引入明确描述的定义（即，倒置的IOTA运算符）。 白头和罗素定义：

[（ιx）φx].ψ（ιx）φx。= :(∃b）：φx.≡x.x= b：ψbdf

这种定义称为上下文定义，它与显式定义形成对比。 定义描述的显式定义必须看出以下内容：

（ιx）（φx）=：... df

这将允许在任何语境中替换的明确描述，通过将表达式填充填充在省略号中。 相反，* 14·01示出了如何在上下文中发生描述（φx）（φx）的句子，可以由等同的其他句子（涉及φ和ψ）替换。 要开发此定义的实例，请从以下示例开始：

例。

法国国王秃头。

使用PKFX代表作为法国国王的命题功能，并表示秃顶的命题功能，白头和拉塞尔将代表上述索赔：

[（ιx）（pkfx）]。b（ιx）（pkfx）

* 14·01意味着：

（∃b）：pkfx.≡x.x= b：bb

用言语，只有一个，只有一个是法国国王，B是秃头。 在现代符号中，使用B非标准，作为变量，这变成了：

（∃b）[∀x（pkfx≡x= b）和bb]

现在我们返回到榜样，显示描述的范围如何有所作为：

例。

法国国王不是秃头。

表示这句话有两个选项。

[（ιx）（kx）]。~b（ιx）（kx）

和

〜[（ιx）（kx）]。b（ιx）（kx）

首先，描述具有“宽”范围，并且在第二个中，描述具有“窄”范围。 拉塞尔表示，该描述在前者中有“主要出现”，后者中的“二次出现”。 鉴于定义* 14·01，上面的两个PM配方变为原始符号，为：

（∃b）：pkfx≡xx= b：~bb~（∃b）：pkfx≡xx= b：bb

在现代符号中，这些成为：

∃x[∀y（pkfy≡y= x）和~bx]~∃x[∀y（pkfy≡y= x）和bx]

前者说，只有一个且只有一个对象是法国的现在，这个对象不是秃头; 即，法国的恰好存在一个，他不是秃头。 这读数是假的，因为没有法国国王。 后者说出的情况是，正是法国国王的一件事，并且该物体是秃头。 这种阅读是真的，因为甚至没有一个法国国王。

虽然Whitehead和Russell在这些例子中获取描述是具有范围的表达式，但两种扩展PM符号和现代符号中的上述读数都表明了为什么一些现代逻辑管理员在这里读取读数的差异是否定符号的范围。

9.班级，关系和功能

在前面的公式之前的变量上的环形弹簧用于指示类，因此xψx是x的类别，这是ψx。 在现代符号中，我们将此类代表为{xx|ψx}，这是读取的：x的类是x的x。 召回“φx”，在谓词变量之后的变量上的情况下，表示作为φx的命题函数。 在PM的类型理论中，类Xφx具有与函数φx相同的逻辑类型。 这使得适合使用以下上下文定义，该定义允许其中从上下文f：f {z（ψz）}中的出现中消除类xψx。= :(∃φ）：φ！x.≡x.ψx：f {φ！z在现代符号中的d for：f {z |zz} =df∃φ[∀x（φx≡ψx）＆f（λxφx）]其中φ是x的谓词函数

注意，F必须解释为更高阶函数，该函数是φ！z的函数φ！z。 在上面使用的现代符号中，语言必须是一种键入的语言，其中λ表达式在参数位置允许。 正如稍后指出的那样（Chwistek 1924，Gödel1944和Carnap 1947）就像有明确的描述一样，应该有类表达的范围指示器。 （在介绍的最后句子（PM I，84）的最后句子中提到了关于课程主张中的范围模糊的可能性。 例如，Chwistek建议复制符号以了解明确的描述，从而替换* 20·01：

[z（ψz）]。f {z（ψz）}。= :(∃φ）：φ！x.≡x.ψx：f {φ！z}

当代的集合理论形式化利用这些上下文定义的东西，当他们需要“存在”形式的“存在”定理时，以证明一个单数项的引入{Y| ......}。。 见suppes（1960）。 鉴于扩展性定律，它遵循∃x∀y（y∈x≡......），有一个独特的这样的集合。 通过首先定义对象和命题功能之间的类似关系，在PM中定义了类别∈的关系：x∈（φ！z）。=。φ！xdfor，在现代符号中：x∈λzφz=dfφx

然后使用* 20·01和* 20·02一起用于定义类中的成员资格的更熟悉的概念。 现在可以被视为发生阶级期限的正常表达“y∈{z（φz）”y∈{z（φz）}; 然后通过上下文定义* 20·01消除它。 （行使）

PM在PM中有一类所有类，CLS，定义为：cls =α{（∃φ）。α= z（φ！z）} df

PM还具有类别的希腊字母：α，β，γ等。这些将显示为真实（自由）变量，表观（绑定）变量以及所谓的函数的摘要，如φα。 只有绑定希腊变量的定义出现在文本的正文中，其他人在引言中非正式定义：（α）.fα。=。（φ）.f {z（φ！z）} d for，在现代符号中，∀αfα=df∀φf{z|φz}其中φ是一个谓词函数。

因此，普遍定量的类变量在量化器范围内测定谓词函数而定义。 同样用于存在量化：（∃α）.fα。=。（∃φ）.f {z（φ！z）} d for，在现代符号中，∃αfα=df∃φf{z|φz}其中φ是a预测功能。

与∈左侧的希腊变量的表达式定义：α∈ψ！α。=。ψ！αdf

这些定义不涵盖所有可能的希腊变量出现。 在对PM的介绍中，提出了Fα和Fα的进一步定义，但有人评论说定义是一种特殊的方式，并且它们不会出现在工作的身体中。 考虑fα的定义是：

fα。=。（∃ψ）.φ！x≡xψ！x.f {ψ！z}

或者，在现代符号中，

λαfα=dfλφf{x|φx}

也就是说，Fα是命名函数φ的函数的表达式，该命名是围绕φs类的f的命题。 （现代符号表明，在PM符号中的Fα的定义中，我们不应该指望yemiens中的α，因为它真的是Fα中的绑定变量可能还期望像* 20·07和* 20·071的定义，以便在罗马字母“Z”被希腊字母所取代的情况下。 PM中的定义因此不完整，但有可能猜测如何扩展它们以涵盖所有出现的希腊字母。 这将完成课程的“无课程”理论的项目，通过展示如何减少到命题功能的理论。

10.结束数学逻辑

虽然哲学的学生通常在下午读数超过* 20，但实际上是数学的“建设”真正开始的观点。 * 21提出了“关系的一般理论”（延伸关系理论;在当代逻辑中，这些逻辑被视为有序对，追随维纳）。 xyψ（x，y）是x和y之间的关系，当ψ（x，y）为true时获得的x和y之间的关系。 在现代符号中，我们代表了这一点，如同订购对（⟨x，y⟩|ψ|（x，y）}一组，它被读取：该组有序对⟨x，y⟩，这是x与y相关的x。

以下上下文定义（* 21·01）允许一个人从上下文f中的出现中消除关系项xyψ（x，y）：

f {xyψ（x，y）}。= :.（∃φ）：φ！（x，y）.≡x，y.ψ（x，y）：f {φ！（u，v）} df

或现代符号：

f {⟨x，y⟩|ψ（x，y）} =df∃φ[∀xy（φ（x，y）≡ψ（x，y））和f（λuλvφ（u，v））]

其中φ是u和v的谓词函数。

Principia不会在订购对组方面分析关系（或数学函数），而是将命题函数的概念作为原始的概念，并在其方面定义关系和函数。 在* 21之后使用大写字母R，S和T等，以代表这些“扩展中的关系”，并且通过在参数之间写入与命题功能不同。 因此，它是具有命题功能符号之后的参数的ψ（x，y），但xry。 来自* 21功能“φ和ψ”等，消失和唯一的延伸关系，r，s和t等关系，出现在Principia页面中。 虽然命题功能可能是“普遍的”，但是两个函数可能与相同的对象真的不相同，但在所有相同的对象中都没有扩展的不同关系。 因此，Principia的逻辑是“扩展”，从体积I中的第200页，到第III的末端。

* 22关于“类微积分”提出了基本集的交叉口，工会和空集理论，通常是其他种类的基本数学中使用的集合理论。 学生正在寻找普林尼亚的集合理论，比较Zermelo-Fraenkel系统，必须在文本中查看各种数字。 选择的公理在* 88处定义，因为“乘法公理”和无穷大的公理版本出现在第II中的* 120中作为“infin斧头”。 普利浦的设定理论最接近1908年的Zermelo的公理，这意味着它缺乏替换现在标准的Zermelo-Fraenkel公理的基础和公理的基础和公理。 Principia的系统与Zermelo的重要程度不同，因为它在简单的类型理论中配制。 结果，例如，没有量子在所有集合上都没有，并且存在一组所有内容（每种类型）。

* 30“描述性功能”提供Whitehead和Russell在关系和明确描述方面对数学函数的分析。 Frege在数学意义上使用了函数的概念，作为他逻辑系统中的基本概念。 因此，Freeean“概念”是来自物体的函数作为两个“真值”作为其值的两个“真实值”之一的参数。 一个概念为所有其他对象产生的值为“true”，以及所有其他对象的值。 从发现他的描述理论之前，Russell of russell是首选在每个参数和价值之间的关系方面分析函数，以及“唯一性”的概念。 拥有现代象征主义，他的观点将表示如下。 对于每个函数λxf（x），将存在一些关系（在扩展）r，使得参数a的函数的值，即f（a），将是与关系r的唯一个体。 结果是Principia中没有功能符号。 正如Whitehead和Russell所说，将通过关系和明确的描述分析诸如“SINπ/ 2”之类的熟悉的数学表达式，作为“描述性功能”。 “描述性功能”，R'Y（y）定义如下：

r'y =（ιx）xrydf

如果关系r在人x和y之间时，x是y的y y y y y y y y之间，则该函数将作为父父作为值x作为参数。 例如，如果xry是关系'x是y的父亲'，那么R'y就是映射y的函数（如果他存在）。 请注意，左参数x对应于函数的值，而R的右参数y是参数或输入的函数R'y。 同样，如果Xsy是一个数字的关系，那么N到N + 1，那么S'y将是函数的参数，它将y映射到它成功的数字，而不是表示将数字映射到其继承者的“后续函数”。 这是在关联功能和关系时常用的顺序的反面。 如今，我们将函数减少到第一个地方的参数与第二个地方的值之间的二进制关系。 这可能导致一些混淆在诸如下面的关系的概念和范围之类的概念中。

我们通过呈现来自这些剩余的卷I的许多突出示例来结束本节，其直观的意义，PM，PM的定义和现代版本。 （这些数字中的一些是定理而不是定义。但是，现代制剂有时会逻辑上与PM的原始版本不同，例如通过将关系视为有序对的类别等。更突出的是PM定义概念的实践，或者关系之间的更高阶关系，而不是那些关系确定的职能。 在他对Principia，W.V的逻辑的说明。 与公理集理论相比，Quine（1951）对象的复杂性甚至冗余甚至冗余。 然而，这些公式可以用逐步施加定义来解决这些公式。

对于每个公式编号，我们提供以下格式的信息：

PM符号（直观含义）[位置]

PM定义

现代版本

* 22课程微积分

α⊂β（α是β的子集）[* 22·01]

x∈α.⊃x.x∈β

α⊆βα∩β（α和β的交叉点）[* 22·02]

x（x∈α.x∈β）

α∩βα∪β（α和β的结合）[* 22·03]

x（x∈α∨x∈β）

α∪β-α（α的补体）[* 22·04]

x（x〜α）[即，x〜（x∈α）by * 20·06]

{xx|x∉α}α-β（α减去β）[* 22·05]

α∩-β

{x|x∈α＆x∉β}

* 23关系微积分

r⊂·s（r是子纹理s）[* 23·01]

xry.⊃x，y.xsy

∀x∀y（xry⊃xsy）r˙∩s（R和S的交叉点）[* 23·02]

xy（xry.xsy）

{⟨x，y⟩| rxy＆sxy}˙-r（r的否定）[* 23·04]

˙-r = xy {〜（xry）}

{⟨x，y⟩| ~rxy}

* 24课程的存在

v（普遍等级）[* 24·01]

x（x = x）

v或{x |x = x}λ（空类）[* 24·02]

-v

∅∃！α（存在类别α）[* 24·03]

（∃x）.x∈α

∃x（x∈α）

* 25关系的存在

˙∃！R（存在关系）[* 25·03]

（∃x，y）.xry

∃x∃yrxy

* 30描述功能

R'Y（y r）（描述功能）[* 30·01]

（ιx）（xry）

R'y是（可能是部分）的函数，如果x ry and这个x是唯一的fr（y）= x且否则是未定义的。

* 31关系的对话

CNV（关系与逆转的关系）[* 31·01]

qp {xqy.≡x，y.ypx}

{⟨q，p⟩|∀x∀y（qxy≡pyx）}˘r（r的逆转）[* 31·02]

xz（zrx）

{⟨x，z⟩|rzx}

* 32引用和给定术语的Relata

→r'y（y的r-feedersors）[* 32·01]

x（xry）

{x |rxy}←r'x（x的r-tarkentors）[* 32·02]

z（xrz）

{z|rxz}

* 33个域名和关系领域

d'r（r的域名）[* 33·01]

x {（∃y）.xry}

{x || yrxy}也：d'rd'r（逆域（范围）的r）[* 33·02]

z {（∃x）.xrz}

{z| xrxz}也是r'rc'r（r）[* 33·03]

x {（∃y）：xry.∨.yrx}

{x|∃y（rxy∨ryx）}也f'r

* 34两个关系的相对产物

R |s（R和S的相对乘积）[* 34·01]

xz {（∃y）.xry.ysz}

r∘s或{⟨x，z⟩|∃y（rxy＆纯水蒸馏器）}

* 35个有限的域和匡威域

α↿r（限制R至α）[* 35·01]

xy [x∈α.xry]

{⟨x，y⟩|x∈αy⟩|x∈α＆rxy}r↾β（限制R至β）[* 35·02]

xy [xry.y∈β]

{⟨x，y⟩|rxy＆y∈β}ανβ（α的构件与β构件的关系）[* 35·02]。

xy [x∈α.y∈β]

{⟨x，y⟩|x∈α＆y∈β}，α和β的笛卡尔级产物。