Principia Mathematica的符号（四）_数学联邦政治世界观

* 36与有限的领域的关系

p↾⇂α（R至α的限制）[* 36·01]

α↿p↾α

{⟨x，y⟩|x∈α＆y∈α＆rxy}

* 37多个描述性功能

R''β（将关系r对β的关系r的术语）[* 37·01] *

x {（∃y）.y∈β.xry}

{xx|∃y（y∈β＆rxy）}r∈（当α是α的关系时α是β的术语的阶段）[* 37·02]

αβ（α=r''β）

{⟨α，β⟩|x∈α＆∃z（y∈z＆z∈β＆ryz）}

* 38双描述功能。 PM使用Metal语言变量“♀”，可以由个人，类或关系之间的任何关系中的任何关系所取代，这些关系被视为他们参数的操作。交叉点的操作可以表示为其第一参数的更高阶函数。因此，∩β'α=α∩β。

♀y（x♀y到x的关系对于任何x）[* 38·02]

ux（u =x♀y）

{⟨u，x⟩|u=x♀y}

此概念将在以后使用。具有相对产品概念的示例是实例，因此：

|（R到下一个电源的关系）[* 38·02]

ps（p = r|s）

{⟨p，s⟩|p| p =r∘s}αν，，y（xy的值x为x为α）[* 38·03]

♀y“α

{Uu|∃x（x∈α＆u =x♀y）} s'k（κ的总和或联盟）[* 40·02]

x {（∃α）.α∈κ.x∈α}

∪κ，或{x |β（βκ＆x∈β）}λλ（λ的关系之和）[* 41·02]

xy {（∃r）.r∈λ.xry}

{⟨x，y⟩|∃r（r∈λ＆rxy）}

11.扩散到红衣主教算术（第二部分）

当代哲学家将考虑到数学的过渡，从集合理论（或者太大而无法设置的类），但在PM也是数学逻辑的一部分。因此，算术的ProLegoMena在明确算术概念，基数1和2的逻辑方面开始了定义。

我（身份的关系）[* 50·01]

我= xy（x = y）

{⟨x，y⟩|x|x = y} j（多样性关系）[* 50·02]

我=˙-我

由定义定义的定义[* 51·1]定义的{⟨x，y⟩|x≠y}ι'x（单位x）[* 51·1] [* 51·01]

y（y = x）

{Y |Y = X}（单例x）1（基数1）[* 52·01]

α{（∃x）.α=ι'x}

{α|α|∃x（α= {x}）}（所有单例的类）

可变X通常在此模糊，因此X可以假设的每种类型将是一个不同的数字1。

这也适用于2，以及所有自然数，因为我们将看到以下（基本号码2）[* 54·02]

α{（∃x，y）.x≠y.α=ι'x∪ι'y}

{α|∃y∃z（y≠z＆α= {y}∪{z}）}（所有对的类）x∈Y（序数x和y）[* 55·01]

ι'x↑ι'y

⟨x，y⟩（有序对⟨x，y⟩）

Parlyback销售版本的Principia Mathematica至* 56只会才能实现这一目标，因此剩余的定义仅适用于获得全部三大PM的人员。 Russell在这一点上没有决定结束1962年的删节版，但选择是可以理解的。在这里，当代设定理论开始看起来与PM更不同。设定理论跟随Norbert Wiener（1914）通过代表与订购对组的关系，自己定义为集合。（Wiener的⟨x，y⟩= DF {{{x}，∅}，{{y}}一般被Kuratowski更简单换算{{x}，{x，y}}）。剩余的PM审查了导致自然和实数的数学的关系的结构，以及可以在类型理论中进行的经细制组理论的一部分。这看起来与在公理集理论中的这些概念的发展非常不同。

CL'α（α的亚类类别）[* 60·12]

β（β⊂α）}

℘α，α，{x |x⊆α} CLE'α的电源组（α的存在子类的类）[* 60·13]

β（β⊂α.∃！β）}

{x |x⊆α＆x≠} rl'p（p的子关系类）[* 61·12]

r {r⊂⋅p}

{R |r|∀x∀y（⟨x，y⟩∈r⊃⟨x，y⟩∈p）}∈（课程中的成员关系）[* 62·01]

xα（x∈α）

{⟨x，y⟩|x∈y}

* 63相对类型的类。 PM中类型理论允许表达不同类型类的表达式。设立理论与PM课程理论之间的差距来自缺乏任何类型的累积类别的累积理论。这些PM系统允许个人之间的关系定义，说出个人和个人的阶层。这些是在第III卷中比率类别的实际数字的账户中所需要的。

t'x（x是成员的类型）[* 63·01]

ι'x∪-ι'x

{x}∪{Yy|y∉{x}}T0'α（包含α的类型）[* 63·02]

α∪-α

α∪{xx|x∉α}T1'κ（下面的类型在其中包含κ）[* 63·03]

t0's'κ

∪{∪{αιανκ}，{β|β|β∉∪{αιανκ}}T11'α（类型类型的类型T1'α）[* 64·022]

t'（t1'α↑t1'α）

一对给定类型的类型的类型将与这些类的类相同。此定义是在它所代表的情况下，但在当代表示法中写出非常复杂。我们将其作为读者为读者设计一个简洁的公式制剂。α→β（α和β的α和Relata中的关系）（从α到β）[* 70·01]

r（→r“德r⊂α。←r”德r⊂β）

{r|∀x∀y（rxy⊃[{z|rxz}∈α＆{u|rxu}∈β}]}

由于1是单例类的类，（1→1）将是一到一个（形状）关系的类.αssmβ（α和β之间的相似关系类别[* 73·03]

{r|r∈1→1.α=德r.β=德r}

{F |f：α1-1⟶β} SM（相似关系）[* 73·02]

αβ（∃！α¯smβ）

α≈β

* 80的选择。类κ的选择功能是使κ的每个元素x的函数f是x的成员。这些由∈δ'κ表示。两类αxβ产品的基数是从α和β中选择的所有成员的类的基数，因此保证这些选择存在于PM中的乘法公理。这现在被称为首选的公理，已被识别为1904年的Ernst Zermelo所用方法中的证据。在PM中，它被定义为断言，如果κ是一组互斥的非空类，那么然后存在包含κ的每个元素的一个成员的类μ。

∈δ'κ（选择关系∈）[* 80·01]

（1→顺式）∩rl'∈∩←德κ

{F |α（α∈κ⊃f（α）∈αα）} CLS2被公民（互斥类等级）[* 84·01]

κ（α，β∈κ.α≠β.⊃α，β.α∩β=λ）

{κγανβ（α，βκ＆αβ⊃α∩β）} CLS EX2（互相排他性非空类）[* 84·03]

cls2excl-←∈'λ

{κααα（ανκ1α≠∅）＆∀α∀β[ανκ＆βκόκο（α=βχαν=∅）]} Multi Ax（乘法Axiom）[* 88·03]

κεclsex2excl.⊃κ：（∃μ）：αεκ.⊃α.μ∩αε1

∀κ{[∀α（α∈κ⊃α≠∅）和∀α∀β（α∈κ＆β∈κ⊃（α=β∨α∩β=∅））]⊃∃μ∀α∃x（α∈κ⊃μ∩α= {x}）}

* 90归纳关系。卷的结束部分我呈现了基于数学诱导原则的自然数的结构的概括。

r *（ar的祖先）[* 90·01]

xy {x∈c'r：˘r“μ⊂μ.x∈μ.⊃μ.y∈μ}

{⟨x，y⟩|x∈f'r＆∀μ[∀z∀w[（z∈μ＆rzw）⊃w∈μ]⊃y∈μ]}

现在写的R *这跟随弗雷格的定义：Y在所有包含X.rts的R-遗传等级中（R和N＞0的电力之间的关系，即r（= R1），R2 R3等。）[* 91·02]

（|r）*

{⟨p，s⟩|p|p = rn＆s = rn + 1}罐'r（正电力，即r）[* 91·03]

→rts'r

{s || n＞0（s = rn）} RPO（R的正电源的结合）[* 91·05]

˙s'pot'r

{⟨x，y⟩|∃s∃ny⟩|∃s∃n＞0（s = rn＆sxy）} xb'p（x开始关系p）[* 93·01]

x∈d'p-d'p

{x || xy＆〜~∃zpzx} xminp'α（x是α的最小成员，相对于p）[* 93·02]

x∈α∩c'p-˘p''α

x∈α＆xīfp＆~∃z（pzx＆z∈α）↔r'x（r，r，祖先和后者的家庭）[* 97·01]

→r'x∪（ι'x∩c'r）∪←r'x

{y|rxy∨（y = x＆x∈f'r）∨rxy}

12.基本算术（第III部分）

在第II卷开始时，Principia Mathematica最终开始在弗雷格罗罗素的数量定义为基本的数量，作为班名级别的班级。

NC（类与基数之间的关系）[* 100·01]

→sm

{⟨α，βχιβ= {γ|γ≈α}} NC（基数）[* 100·02]

德nc

{α|∃β（α= {γ|γ|γ≈β}} 0（基数0）[* 101·01]

0 =nc'λ

{∅}

所有课程的班级与空集一样，只是包含空集合的单身.N0C'α（α的均质基数）[* 103·01]

nc'α∩t'α

{β|β≈Anaβaβa0c（均相红衣主教）的β[* 103·02]

德n0c

{αββ（α）αα}α+β（α和β的算术和）[* 110·01]

↓（λ∩β）“ι”α∪（λ∩α）↓“ι”β

这是通过将β与{β}的每个元素与α}的每个元素与α}和α的每个元素配对之后α和β的结合。类α和β与空类，λ相交，以调整总和的元素的类型。

{⟨{a}，∅⟩|a∈αανα}∪{{b}⟩|b∈β⟩|b∈β}μ+ c 1（μ和ν的主要总和）[* 110·02]

ξ{（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.ξsm（α+β）}

基本加法是均匀红衣主教的算术和：

{γβανβ[γ≈（α+β）]}当α和β是均匀的红衣主教时。

读者现在可以欣赏为什么没有证明这个小学定理，直到PM卷II的第83页：

1 + c1 = 2

白头和罗素备注的是“上述命题偶尔有用。它至少使用三次，......“。这个笑话提醒我们，自然数字理论，如此繁荣的作品，似乎是PM作为基本和序数一般理论的特殊情况，甚至更一般的同构阶级。

β×α（类产品）[* 113·02]

s'α↓,,''β

{⟨x，y⟩|x∈β＆y∈α}μ×c 1（均匀基数的乘积）[* 113·03]

ξ{（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.ξsm（α×β）}

如果μ=ˉˉα＆ν=ˉˉβ那么μ×ν= {β|β≈（α×β）}αExpβ（类别的指数）[* 116·01]

刺激'α，'β

{F| DF =β＆rf⊆α}μν（基数的指数）[* 116·02]

γ{（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.γsm（α进出口β）}

{γ|∃α∃β（μ=ˉˉα＆ν=ˉˉβ＆γ≈αβ）}

以下定理，即α的电力集的基数为2升至α，¯¯℘α=2ˉˉα的基数的力量，被称为“陈列司列”，并且据说是“非常有用”（PM II，140）：

nc'cl'α=2nc'α

接下来，大于任意红衣主教，有限和无限的概念。在α的α的子集中具有β的α的子集，基数α的基数大于β的基数，但没有α的β的子集。陈克斯着名的“对角论”表明，基本数量的实数ℵc大于χ0，基本数量的自然数。

μ＞（大于）[* 117·01]

（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.∃！cl'α∩nc'β.~∃！cl'β∩nc'α

∃δ（δ∈℘α＆δ∈ˉˉβ）和~∃γ（γ∈℘β＆γ∈ˉˉα）

结果越来越熟悉的官方的定理，证明了α的功率集是严格较大的，2ˉˉα＞ˉˉα。

μ∈n0c.⊃.2μ＞μnc电动（电感红衣主教）[* 120·01]

α{α（+ c1）* 0}

{x|0s * x}

归纳红衣主教是“自然数”，即0和所有由“继承关系关系”的0的基数，其中XSY在y = x + 1.infin ax（无穷大的公理）[* 120·03]

α∈ncinduct.⊃α.∃！α

∀α（α∈{x|0s * x}⊃α≠∅）

Infinity的公理断言所有归纳红衣主教都是非空的。（再次召回0 = {∅}，所以0不是空的。）无穷大的公理不是一个“原始命题”，而是被列为使用的“假设”，而是作为条件的前所未有的“假设”据说取决于公理。从技术上讲，它不是PM的公理，如[* 120·03]是一个定义，所以这只是PM的进一步符号！

PROG（进展，或ω订单）[* 122·01]

（1→1）∩r（德r =←r *''b'r）

{R |r是祖先的同构，域的每个子集具有第一个元素。 }

“通过”进展“，我们的意思是一个系列，就像幅度的归型红衣主教的系列（假设存在所有归纳红衣主教）即一个系列，其术语可以称为1R，2R，3R，......νr，......。将进度定义为一个系列的级数与电感红衣主教的系列相似，这两者都是因为这种定义仅适用于无限远的公理，因为我们在任何情况下都显示（假设无限的公理）该系列归纳红衣主教具有一定的属性，可用于提供直接定义进展。“ （PM II，245）

0（最小的Cantor的Transfinite Cardinals）[* 123·01]

德“进展

ˉˉω

13.关系算术（第四部分）

关系数的概念，是对任意关系的顺序概念的概念。正如在PM作为一类同等的类别中定义的基本号，任意关系数量是一类属性相似的关系。

S; Q（s是Q的相关器）[* 150·01]

s|q|˘s

s∘q∘s-1p¯smorq（p与q之间的相似性等级）[* 151·01]

s {s∈1→1.c'q =德s.p = s; q}

{f|fp1-1⟶fq＆∀x∀y[（x∈df）⊃pxy≡qf（x）f（y）]} p smor q（p是普通的q）[* 151·02]

{⟨p，q⟩|∃！p¯smorq}

p≅q（p是Q的同性Q）.nr'p（p的关系数）[* 152·01]

→smor'p

{q|p≅q}

* 170根据其成员的订购，第一差异订单课程的关系。该方法是类别的词典排序概念的变化，如字典中的字母顺序排序。查看Fraenkel（1968年）。 PM使用两个版本的概念。

PCL（通过P）通过第一差异排序课程[* 170·01]

αβ{α，β∈cl'c'p.∃！α-β-˘p''（β-α）}

对于≺个体的订购，α≺clβ是

{⟨α，β⟩|α|α，β⊆f（≺）＆αβ＆∀x∀y（x∈β＆y∉α⊃y≺x）}这在* 170：“α和β的概要中解释了每个拾取术语C'P，这些条款有P的订单; 我们假设α和β选择的早期术语可能是相同的，但如果α≠β，我们必须来到属于一个但不是另一个的术语。我们假设此类最早的条款属于α，而不是β; 在这种情况下，α至β关系PCL。也就是说，其中α和β开始差异，是我们来的α的术语，而不是β的术语。我们不认为有一个属于α但不是β的第一项，因为这将在P不是齐全的限制时引入不良限制。“ （PM II，399）PLC（通过第一次差异的P）（P）（P）逆序差异[* 170·02]

血管'（˘p）cl

{⟨α，β⟩|α≺clβ}

“因此，αplcβ意味着，粗略地说，β-α比α-β更长，就像αpclβ意味着α-β更早开始。如果P是及时又一次及以后的关系，并且α和β分别是α和b分别的时间，“αpclβ”将意味着比b早熟，“αplcβ”将意味着B比a晚睡觉。“ （PM II，401）

14.系列（第五部分）

PM中的“系列”是线性排列。第II卷通过这一部分结束，第III卷从* 250开始，井排序理论。这些概念以现在标准的方式定义。由于符号，这一部分仅为现代读者而异。

Trans P（p是传递关系）[* 201·1]

p2⊂⋅p

∀x∀y∀z（pxy＆pyzəpxz）连接P（p连接）[* 202·1]

x∈c'p.⊃x.↔p'x= c'p

∀x∀y[（x，y∈fp）＆y⊃pxy∨pyx] ser（系列）[* 204·01]

rl'j∩反式∩connex

{p |p|∀x∀y（pxy⊃x≠y）＆p是传递的＆p连接}或p是线性排列（部分）[* 211·01]