赫尔曼·冯·亥姆霍兹（三）

李比希一直关注一个问题：一个生物体的新陈代谢是否会产生所有的热量和机械能。如果是这样，那么诉诸生命力来解释这些现象将是多余的。通过用电流对青蛙肌肉进行实验，亥姆霍兹表明，青蛙肌肉产生的热量是由新陈代谢和肌肉活动引起的。他于 1845 年在穆勒的期刊《论肌肉活动期间的新陈代谢》中发表了他的研究结果（见 Bevilacqua 1993，297ff）。1845 年，亥姆霍兹再次意识到，力是否可以用机械方法来解释这个问题具有更普遍的应用。活力论的前提是存在一种取之不尽的“生命力”来驱动生命体，这导致一些研究人员认为存在一种取之不尽的力量，无论是机械的还是非机械的，都可以无限期地为机器提供动力：永动机。这一认识是由亥姆霍兹对 18 世纪数学分析经典著作的研究促成的：欧拉、伯努利、达朗贝尔和拉格朗日。正如亥姆霍兹多年后所说，到 18 世纪末，这些数学家已经证实了由机械力驱动的永动机是不可能的：

对于所有纯机械的，也就是说，对于移动的力量，……我们所有的机器和设备都不产生力，而只是释放自然力、落水、移动的风或人和动物的肌肉传递给它们的力量。上个世纪的伟大数学家们确立了这一定律之后，只有困惑和缺乏教养的人才能追求只利用纯机械力的永动机（Helmholtz 1995 [1854]，24）。

但是非机械力呢：热、光、电和磁？当 Helmholtz 开始研究非机械力的性质时，他没有寻找永动机，而是问“如果永动机是不可能的，那么自然力之间必须保持什么关系？”

1847 年 7 月 23 日，Helmholtz 在物理学会发表了题为“力的守恒”的演讲。Helmholtz 使用的“力” [Kraft] 相当于现代术语“能量”。亥姆霍兹的演讲受到了该学会的热烈欢迎，但由于波根多夫拒绝将演讲发表在他的《年鉴》上，认为其过于推测，亥姆霍兹被迫将其作为小册子出版。

亥姆霍兹在文章中总结了他的结论：

回忆录中所包含命题的推导可以基于两个准则中的任何一个；要么基于这样的准则，即不可能通过任何自然物体的组合来获得无限量的机械力，要么基于这样的假设，即自然界中的所有作用最终都可以归结为吸引力或排斥力，其强度仅取决于施加力的点之间的距离。这两个命题是相同的，这一点在回忆录本身的开头就表明了出来（Helmholtz 1853 [1847]，114-115；引自 Königsberger 1906，39）。

亥姆霍兹认为，证明所有自然作用都可以用超距普遍作用来解释，就等于驳斥了永动机。

1842-1843 年，罗伯特·迈耶和詹姆斯·焦耳提出了能量守恒定律。他们的工作主张 mv2 守恒定律，即粒子质量乘以其速度的平方。此外，焦耳和迈耶认为热和机械功是可以互换的（见 Kuhn 1969、Mach 1911）。亥姆霍兹借鉴了焦耳的工作（尽管他声称不知道迈耶的工作），取得了三个成果。正如 Bevilaqua (1993) 总结的那样，亥姆霍兹得出的结论是：

力守恒定律意味着，如果作用力不依赖于时间和速度，则系统可获得的最大功是确定的、有限的量；如果它们确实相互依赖，或者力的作用方向不是连接活性物质点的方向，那么“力”可以无限地增加或减少；在非中心力的作用下，静止物体系统可以通过自身内部力的作用而运动起来（Bevilaqua 1993, 315）。

Kenneth Caneva (2019) 认为亥姆霍兹原理是对理性力学传统的“创造性改造”，尤其是活力和其守恒原理。 Bevilacqua 认为亥姆霍兹工作的主要创新是将两个领域统一起来，并预见到势能与力学的结合：

在分析力学的传统中，强调活力的守恒；在机械工程的传统中，强调功的守恒。相比之下，亥姆霍兹强调两者的等价性。正是 Spannkraft 一词的引入带来了其含义的真正转变：对于张力，我们离功的概念很远，而离势能的概念很近（Bevilaqua 1993, 315）。

虽然亥姆霍兹的著作在德国以小册子的形式出版，但英国科学家很快注意到了这一点，并几乎立即出版了英文译本。亥姆霍兹的著作很快在英国科学和哲学界广为人知，这促使他在这两个领域都产生了持久的影响（参见 Cahan 2012）。

亥姆霍兹在他的文章中承认，包括焦耳、牛顿、伯努利和朗福德在内的早期科学家已经得出了各种形式的能量守恒定律。恩斯特·马赫在他的《力学史》一书中指出，历史上“几乎所有杰出的研究者”都知道某种形式的亥姆霍兹原理（Mach 1911, 20）。托马斯·库恩 (Thomas Kuhn) 在其具有里程碑意义的能量守恒定律研究中，介绍了焦耳、迈耶等人自 19 世纪 30 年代以来的研究成果，他们认为热量和功可以定量地相互替代，这是亥姆霍兹原理的重要组成部分 (Kuhn 1969, 321)。库恩认为，能量守恒定律的发现是几位科学家共同为一个原理奠定实验和概念框架的一个例子。

库恩坚持认为亥姆霍兹提出了这一原理。罗伯特·普林顿 (Robert Purrington) 跟随库恩观察到，“人们普遍持有一种直观的观点，认为力 (或运动) 的总量可能在某种程度上是恒定的，但这并不一定意味着能够区分力或动量的矢量性质与标量能量”(Purrington 1997, 105)。赫尔姆霍兹本人在论文的“哲学导论”中指出，他在论文中的任务不是寻找新的实验证据或全新的原理，而是根据“因果律”从现象的“可见行为”中解释现象的“未知原因”：

科学的问题……首先是寻找可以参考和推导出特定自然过程的一般规律。这些规则——例如光的反射和折射定律、马略特和盖-吕萨克关于气体体积的定律——显然只不过是将属于它们的各种现象联系在一起的一般观念。找出这些是我们科学实验部分的任务。相反，理论部分则试图从过程所呈现的可见行为中演化出过程的未知原因；它试图根据因果律来理解这些过程（Helmholtz 1853 [1847]，114–115；引自 Königsberger 1906，39）。

有关 Helmholtz 关于能量守恒工作的哲学含义，请参阅 Bevilacqua (1993) 和 Hyder (2006 和 2009)。Bevilacqua 研究了两个问题：Hemholtz 将早期工作综合成一个单一原理，以及他在理论物理学和实验物理学之间的方法论区别，如上引文所示。Hyder 研究了 Helmholtz 在文章中的论点，即“力函数必须仅根据组成物理系统的质点的相对位置来定义”（Hyder 2006，1）。 Hyder 总结了康德主义的论证前因，认为亥姆霍兹对克劳修斯 1854 年《力的守恒定律》批评的回应影响了亥姆霍兹后来的几何学著作。Hyder 2009 分析了亥姆霍兹对康德几何学的“激进批评”，背景是亥姆霍兹保留了物理学中的“先验元素”，尤其是几何学与经验决定性之间的关系（2009，19）。相反，Edward Jurkowitz（2010）认为“早在他 1847 年的《关于力的实践》一书中，人们就可以发现 [亥姆霍兹] 后来经验主义的重要方面”（第 39 页）。

4.2 声学、电动力学和流体动力学：1855-1881

1857 年，亥姆霍兹在 Crelle 的《流体力学和应用数学杂志》上发表了《论表达涡旋运动的流体动力学方程的积分》。Königsberger 认为这篇论文是“天才之作，证明了他是一流的数学家”（Königsberger 1906，167）。

亥姆霍兹知道欧拉和拉格朗日之前描述流体运动的数学公式。欧拉方程将流体视为连续体或场，而拉格朗日公式将其视为离散粒子（参见 Emanuel 2000，8）。亥姆霍兹采用了欧拉方程，该方程给出了流体流动的方程，其中摩擦不会显著改变流体的运动（“无粘性”流体）。拉格朗日曾指出，欧拉方程不适用于“粘性”流体，在这种流体中，流体的摩擦会改变其运动，因为欧拉方程仅在一般守恒定律假设下起作用，而粘性力并不保守（Farge 2004，参见 Königsberger 1906，167）。

亥姆霍兹十年前在《论力的守恒定律》中提出了守恒定律，此时他进入了该领域。亥姆霍兹自己的工作集中于将势能概念应用于流体运动。但粘性力没有势能。亥姆霍兹决定忽略粘性力本身，并重新定义问题而不诉诸势能。他将流体在小区域内的“涡量”定义为该区域内的平均旋转或循环：区域边界上每个点的旋转除以区域面积，在数学上描述为流体速度的旋度。（从技术术语上讲，亥姆霍兹将其评估为欧拉方程的旋度。）流体在单个点的涡量是矢量。亥姆霍兹引入了两个进一步的理想化。“涡线”是流体中某一点的涡量矢量的切线。如果在流体区域的边界上绘制涡线，然后将每条线周围的区域无限小，这些线将收敛为“涡丝”，现在也称为“涡流”。

亥姆霍兹能够利用这些概念证明流体动力学中的三个定理。用现代的表达方式来说，它们是：

“最初没有涡度 [旋转] 的流体粒子仍然没有涡度。

涡线上的流体粒子停留在涡线上，因此涡线随流体移动。

涡度的强度与涡线的长度成正比”（Fuhs and Shetz 1999, 736）。

这些定律仍在流体动力学中使用，尽管它们与亥姆霍兹的原始版本略有修改（它们以当代修改后的形式引用）。

亥姆霍兹在流体动力学方面的工作具有哲学意义，因为亥姆霍兹方程需要理想流体，即没有粘度和完美连续性的流体。亥姆霍兹方程是物理学中数学理想化的典型例子。有关亥姆霍兹在此背景下的工作的讨论，包括他与古斯塔夫·基尔霍夫的讨论以及当代流体动力学中非常重要的亥姆霍兹-开尔文不稳定性（或开尔文-亥姆霍兹不稳定性）概念，请参阅 Eckert 2006，19ff。有关亥姆霍兹在物理学中使用理想化以及他在流体动力学方面的工作的发展和意义的说明，请参阅 Patton 2009 和 2012。

1863 年，作为波恩的生理学教授，亥姆霍兹在《论音调感觉作为音乐理论的生理基础》中发表了他关于声波、声学和音乐理论的开创性著作。《论音调感觉》中最重要的发现之一是对“开放圆柱管中的声音振动”的精确数学描述（Königsberger 1906，206）。亥姆霍兹在《论声调的感觉》一书中，首先描述了我们在日常生活中体验到的噪音：

我们通常认为，噪音伴随着不同种类声音感觉的快速交替。例如，想想马车在花岗岩铺路石上发出的嘎嘎声、瀑布或海浪的溅水声、树林里树叶的沙沙声（亥姆霍兹 1954 [1863]，7）。

为了将这些噪音的“快速交替”分析成它们的成分振动，亥姆霍兹构造了“亥姆霍兹共振器”。亥姆霍兹首先拆开一个空的、未开瓶塞的酒瓶的底部，在底部拉上一层膜，并用带子将膜固定。然后，他将一根线悬挂在带子上，线的末端沾有一点蜡，线悬挂在膜的一半位置。如果线被搅动，蜡就会像鼓槌敲击鼓一样击中膜。基于实验证据和数学推理，亥姆霍兹认为，根据膜的厚度和大小，将有一个单一的音调，即“原音”，即膜以最高频率振动的音调。通过进行实验，亥姆霍兹能够区分各种膜的原音。然后，如果他演奏音乐或制造噪音，膜的振动就会揭示声音的成分振动。

随后，亥姆霍兹有了制造更复杂的谐振器的想法，这种谐振器由玻璃或金属的球体或圆柱体制成。谐振器的一端变窄为一个小的空心点，另一端有一个圆形开口。亥姆霍兹在小端放一小块热蜡，等它冷却，然后将其插入自己的耳朵或受试者的耳朵中。这种谐振器的主音由其自身的成分和耳朵的共振决定。如果播放的声音不是谐振器加耳朵系统的主音，听众只会听到低沉的声音，但“如果播放谐振器的正确音调，它会最有力地刺入耳朵”（亥姆霍兹 1954 [1863]，43）。同样，使用共振器可以让实验者区分音乐或普通噪音的成分振动，方法是首先确定共振器的主要音调或正确音调，然后使用共振器确定音乐或噪音是否包含该音调。

Heller (2012) 认为亥姆霍兹最持久的贡献是他的不和谐音和音乐和谐理论 (第 441 页)。在音高理论中，Heller 分析了“亥姆霍兹和格奥尔格·欧姆与鲁道夫·科尼格和奥古斯特·塞贝克之间的争论”，这场争论几十年来一直困扰着物理学家和乐器制造商 (441ff.)。Heller 的工作从现代物理学和声学理论的角度对亥姆霍兹工作的优缺点进行了评估。Deutsch 1984 为亥姆霍兹在音乐感知生理学和心理学历史中的地位提供了补充视角。

Hui 2011 和特别是 2012 详细记录了 19 世纪德国心理物理学和声学的研究历史，不仅阐明了社会和文化背景，还阐明了关于科学进步和实验结果的争论。

亥姆霍兹的典型做法是，即使在研究声学时，他也意识到，如果辅以数学推理和实验，他对声波的研究可以应用于相关的波现象。最近关于电动力学的研究支持了电是一种波现象的结论。1845 年，法拉第证明了电现象和磁现象之间的联系。1856 年，威廉·韦伯和鲁道夫·科尔劳施发现了电磁和静电电荷单位之间的比率（Assis 1994, 18）。亥姆霍兹推断，如果他能描述圆柱管中的声音振动，类似的方程可能也能成功描述电波围绕圆形边界的运动。

1861 年，亥姆霍兹在海德堡自然历史和医学学会发表了题为“电分布问题变换的通用方法”的讲座。亥姆霍兹不知道威廉·汤姆森（开尔文勋爵）在写给刘维尔的信中取得了与他相同的成果，但他随后立即获悉了这一点。亥姆霍兹于 1855 年结识了开尔文，并从 1856 年开始与他通信，他在 1862 年的《海德堡学会会刊》中承认了开尔文的优先权，并写信给开尔文，询问他是否愿意发表关于“圆形边缘的电分布”的成果（Königsberger 1906，206）。开尔文用自己的成果回应。1861 年至 1864 年间，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦假设光是以太中的电磁波（Assis 1994，18）。 1864 年，亥姆霍兹前往英国。在旅途中，亥姆霍兹会见了开尔文、约翰·廷德尔、乔治·斯托克斯、詹姆斯·焦耳、迈克尔·法拉第、托马斯·赫胥黎、托马斯·格雷厄姆、马克斯·穆勒和麦克斯韦。他参观了格雷厄姆、麦克斯韦和开尔文的实验室。到 19 世纪 60 年代末，亥姆霍兹已经充分了解了英国新电动力学理论的实验和理论基础。

Alisa Bokulich (2015) 探讨了麦克斯韦和亥姆霍兹在流体动力学和电动力学之间做出的类比，认为他们的方法“洞察了关于数学模型的表征和解释能力的争论”（第 28 页）。Susan Sterrett (2017)“提供了物理相似系统概念的批判性历史”，包括该概念在亥姆霍兹理论流体动力学中的使用。

1870年，亥姆霍兹在克雷勒的《王与应用数学杂志》上发表了《电动力学》的第一部分《静止导体中电的运动方程》。在文章中，亥姆霍兹支持麦克斯韦的工作，但批评了威廉·韦伯的电动力学方程，指责韦伯方程假定动能无限，这与亥姆霍兹1847年提出的守恒定律相矛盾。韦伯和亥姆霍兹在整个十九世纪七十年代一直在争论这个问题。在接下来的几年里，亥姆霍兹发表了另外两部分《电动力学》，回应了韦伯的观点，并继续支持麦克斯韦关于光是以太中的电磁波的论断。直到 19 世纪 80 年代末，亥姆霍兹和韦伯之间的争论才有了结果，当时，用以太中粒子间远距离作用来解释电磁力的说法让位于场论。

5. 热力学、最小作用原理和自由能：1881-1887

1880 年，亥姆霍兹成为柏林物理研究所所长。1881 年至 1884 年间，亥姆霍兹致力于研究如何将能量守恒和莫佩尔蒂的最小作用原理结合起来描述热力学和化学过程。

在整个 19 世纪，最小作用原理的应用主导了分析动力学解决物理问题的方法。拉格朗日力学试图通过求解系统的拉格朗日方程来确定粒子系统随时间变化的轨迹。这些方程是使用最小作用原理制定的。在拉格朗日形式中，粒子系统遵循一条最小化随时间作用的路径。拉格朗日方程可以很容易地应用于极坐标和笛卡尔坐标系统，这也是拉格朗日形式在 19 世纪被优先采用的原因。

虽然拉格朗日形式非常适合评估粒子的机械系统，但它不太适合评估某些能量转移，这涉及对大量分子的计算。汉密尔顿形式更适合这项任务。汉密尔顿方程也评估系统中的作用，但使用系统元素动量的积分和。在最简单的情况下，拉格朗日处理粒子的速度，汉密尔顿处理粒子的动量。给定作用的初始状态和最终状态，汉密尔顿量为任何路径上的函数给出最小值。因此，汉密尔顿形式得出相同的结果，即系统所采用路径的数学确定。

系统动量的哈密顿表达式可以通过拉格朗日量推导出来，反之亦然，只需使用勒让德变换即可。事实上，对于任何给定系统，哈密顿量就是拉格朗日量的勒让德变换。它们的形式是等价的，但在某些情况下，包括评估热传递，哈密顿量是首选。

1882 年，亥姆霍兹在柏林科学院发表了题为“化学过程的热力学”的演讲。在亥姆霍兹发表演讲之前，化学反应一直由化学物质之间的“化学力”或“亲和力”来解释，通过化学反应过程中产生的热量来定量测量。古斯塔夫·科里奥利在 1821 年阐明了功是力与距离的乘积的概念，这一概念在 19 世纪末得到了普遍使用。在他的演讲中，亥姆霍兹“证明了亲和力不是由化学反应中放出的热量决定的，而是由反应可逆进行时产生的最大功决定的”（Kragh 1993，405）。然而，虽然动能和机械能在任何情况下都可以转化为热量，但只有在特定情况下，热量才能转化为动能和机械能。因此，描述涉及热量的化学过程的方程并不总是可以逆转的。在这些条件下，勒让德变换无法应用，因此无法确定该系统的哈密顿量。