一阶模型理论（一）
一阶模型理论，也称为古典模型理论，是数学的分支，这些分支处理一阶语言的描述与满足这些描述的结构之间的关系。 从一个角度来看，这是一个充满活力的数学研究领域，使逻辑方法（特别是定义理论）承担古典数学的深层问题。 从另一个角度来看，一阶模型理论是模型理论的其余部分的范式; 它是最初的模型理论的更广泛想法的领域。
1.一阶语言和结构
2.基本地图
3.五个大理想理
4.三个有用的建筑
5.三个成功的计划
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相关条目
1.一阶语言和结构
数学模型理论带有厚重的符号，HTML不是最好的容器。 在下文中，句法对象（语言，理论，句子）通常用罗马或希腊字母（例如L，T，φ）和诸如结构和它们的元素的设置 - 理论对象以Italic（A，A）编写。 两个例外是变量是斜体（x，y），并且用小写罗马字母（a，b）写入该元素序列。
我们回忆起并从古典逻辑和模型理论的条目中重新定义一些定义。 签名是一组各个常量，谓词符号和功能符号; 每个谓词符号和功能符号具有ARITITY（例如，如果它是2），则为二进制。 每个签名k通过与签名中的符号中的符号与逻辑符号（包括=）和标点符号一起构成公式，产生一阶语言。
如果k是签名，那么签名K的结构表示a，包括以下项目：
一个名为A域和书面DOM（A）的集合; 通常认为是非空的;
对于每个单独的常数C，Dom（a）的元素Ca;
对于ARITY N的每个谓词符号P，在DOM（a）上的n-ary关系pa;
对于ARITY N的每个功能符号F，来自DOM（A）到DOM（A）的N-ARY函数FA。
A的元素是DOM（a）的元素。 同样，A的基数或力量是其域的基数。 由于我们可以从它生成的一阶语言L恢复签名k，因此我们可以将签名K的结构称为L-结构。 我们将C作为结构A中的元素CA的名称，同样使用其他符号。
例如，实数的字段形成结构R，该结构R为该元素是实数，具有由单个常数0组成的签名，以命名为零，一个1-ary函数符号 - 对于减号，以及两个2-ary函数符号+和两个2-ary函数符号+和。 对于加号和时间。 乍一看，我们无法将符号添加到表达1 / x，因为必须在结构的整个域上定义所有命名函数，并且没有此类实数为1/0。 但在第二个想法上，这不是一个严重的问题; 任何能力的数学家都把条件'x划分在除以x之前，所以它永远不会重要1/0的价值，我们可以无害地将它带到42.但大多数模型理论家对任何类型的划分都不舒服，所以他们坚持加上，时间和减去。
如果L是签名K的一阶语言，则tarski的模型 - 理论真相定义告诉我们，当A中的L句子是真实的，并且当A变量的元素的分配满足A中的L公式时。而不是谈论满足公式的作业，模型理论家通常讲述由公式φ（V1，...，Vn）定义的A的元素的N组元元件集; 连接是N组（A1，...，A）在定义的集合中，如果才能仅当每个VI到AI的分配满足公式。
如果φ是一个句子，我们写了
a⊨
表示φ是真实的，或换句话说，a是φ的模型。 如果φ（v1，...，vn）是具有自由变量的公式，如图所示，我们写
a⊨[a]
表示n组元组A处于由φ定义的集合。 （古典逻辑上的条目使用了符号'a，s⊨'，其中s是L的所有变量的任何分配，它为每个变量Vi inφ在n-tuple a中的第i个元素中排放。）
据说，两个是具有L的模型的模型，据说是对等等同的。 基本等价是所有L-Stactures类的等价关系。 L-Surity A中的所有句子的所有句子都称为A的完整理论，在符号TH（a）中。 据说一些结构A的理论是完整的。 （通过一阶逻辑的完整性定理，在其上看到古典逻辑的条目，如果它仅在句法上是最大一致的，则才完成理论。）如果且仅当TH（a）= th（b）。
要继续实地R的实际数字的示例：是否两个给定的结构是或不是次要的等价物，它往往并不明显。 模型理论前的最大成就之一是Tarski在1930年（R）的描述（他只在战争之后全面发表;在下面的书目中看到他的书）。 这种描述暗示了与R的结构等同于R是真实封闭的字段，这是一类已经自己的代数所知的字段。
当数学家介绍一类结构时，他们喜欢定义它们作为这些结构之间的基本地图。 相同签名K之间的基本地图称为同态，定义如下。 来自结构A至结构B的同性态是具有来自DOM（a）至dom（b）的函数f，其具有用于每个原子公式φ（v1，...，Vn）和a的元素的任何n组α=（a1，...，a），
a⊨[a]⇒[b]
其中B是（f（a1），...，f（a））。 如果我们在引用的条件下替代'⇔'，我们说f是进入b的嵌入。由于语言包括=，进入b的嵌入始终是一对一的，但它不需要进入B的域。如果它是然后，来自Dom（B）至Dom（a）的逆图也是同态性，并且嵌入及其逆均据说是同构。 我们说，如果有一个到另一个结构，两个结构是同义的。 同构是固定签名K的所有结构类的等价关系。如果两个结构是同性恋，那么它们共享所有模型 - 理论属性; 特别是它们源于等同。
如果A和B是具有DOM（a）DOM（a）的签名K的结构，并且K中的符号中的解释只是对B中的解释的限制，然后我们说A是B的子结构，相反，B是一个扩展of。此外，如果还有一些不在A中的元素，我们说A是B和B的适当子结构是A的适当延伸。如果B是结构，并且X是DOM（B）的非空的子集，则B的独特最小的子结构域包含所有X.它被称为由X生成的B的子结构，我们通过首先添加到X所有元素CB，其中C是k的单独常数，然后在F是k的功能符号下关闭。
例如，由数字1生成的字段R的子结构由1,0（因为它由常数0命名），1 + 1,1 + 1 + 1等，-1，-2等，换句话说整数环。 （由于乘法也无需关闭，因为整数集在乘法下已经关闭。）如果我们也包含1 / x的符号，则1将由1生成的子结构是Rational Numbers的领域。 因此，子结构的概念对签名的选择敏感。
2.基本地图
让我成为一阶语言，让A和B成为L-Surructures。 假设e是一个函数，该功能是B的一些元素的函数。如果每当元素A1，......，e的域中的一个元素A1，......，a的α（x1，...，xn）在a中的公式φ（x1，...，xn）中，它们的图像均可满足于B中的配方相同; 在符号
a∈Φ（a1，...，a）⇒（e（a1），...，e（a））。
我们说E是一个基本的嵌入A进入B，如果e是基本地图，其域是A的整个域。顾名思义，基本嵌入式始终嵌入。
如果从A到B的基本嵌入，则A和B次数是等效的。 另一方面，在次要的等效结构，甚至在同构之间的嵌入，不需要是基本的。 （例如，用由0和+组成的签名，将每个整数N到2n的Z为Z为Z为Z为2N的签名是嵌入的，并且当然Z对其自身而言，Z为Z为Z为Z为Z。初级，因为1满足公式¬∃y（Y + Y = V1），但是2没有。）
我们说A是B的基本结构，B是A的基本延伸，如果A是B的子结构，并且包含图是基本的嵌入。 它是从定义即时延伸A的基本延伸，再次是A的基本延伸。
基本嵌入式是在一阶模型理论中考虑的自然地图。 1950年左右的亚伯拉罕罗宾逊被留下了深刻的印象，即代数结构之间的地图通常似乎似乎是基本的，而一些重要地图（例如两个代数封闭的领域之间的嵌入，或两个真实封闭的字段之间）变成小学。 他也很惊讶地发现这一事实是代数封闭的领域是另一种陈述称为Hilbert Nullstellenszz的定理的方式。 这些观察罗宾逊对模型理论的发展产生了巨大影响。 在罗宾逊的术语中，如果理论的模型之间的每一个嵌入是基本的，则一阶理论是模型完整的。 这个概念已经发现了许多用途，并且通常出现在代数中模型理论的应用中。
与模型完全密切相关的概念，但不应该与它混淆，是消除量子。 假设L是一阶语言，T是L中的理论，φ是L的一组公式。我们说，如果对于L的每个公式φ（x1，...，xn），则将量子消除下降到φ（x1，...，xn）有一个公式ψ（x1，...，xn）在φ中，使得在t，φ和ψ的每个模型中，通过完全相同的元素（a1，...，a）满足。 （Tarski真相定义第2.2节中讨论了“消除量化器的方法”是一种句法和预先模拟 - 用于证明消除量子向下消除一组特定的公式。）据说一个理论有量化如果它已经消除了无量子的无形式化剂，则消除。
模型完整性和消除量词之间的连接如下。 罗宾逊表明，如果它仅消除了向存在式公式的量子（即，无论是无量子无关的公式，则罗宾逊才是模型 - 完全的型号 - 完全是型号的。 因此，具有量化消除的理论是模型完整的，但交谈不需要保持。 尽管如此，表明理论是模型 - 完整有时是一个有用的第一步，旨在表明它具有量化消除。
返回基本嵌入式：它们有许多使它们有用的属性。 我们有四个空间。
下行Löwenheim-Skolem定理：
假设L是具有κ配方的一阶语言，A是L-结构，λ是至少κ但小于A的基数的基本。假设X是A的一组最多λ元素。然后A有一个基本的具有基数的子结构完全λ并包含X中的所有元素。
使用Skolem Hulls，在古典逻辑上的条目中有一个证据。 请注意，λ必须是无限的，因为每一阶语言都具有无限多种公式。
基本链定理：
假设L是一阶语言和A0，a1，...是L-结构的序列（任何长度），使得序列中的任何结构是序列中所有后来结构的基本结构。 然后有一个独特的最小L结构B，其包含序列中的所有结构作为子结构; 该结构B是序列中所有结构的基本延伸。
基本的合并定理：
假设L是一阶语言，A是L-STACRIAL，B，C是A的两个基本延伸部。然后，B的基本延伸部D和C的基本嵌入e进入d，使得（i）对于a，e（a）= a的每个元素a，（ii）如果c是c的一个元素，但不是a，那么e（c）不在B.
基本融合定理是下一节紧凑性定理的结果。
UpwardLöwenheim-Skolem定理：
假设L是具有κ配方的一阶语言，A是一种L-surity，其基数是无限的基本μ，λ是基主，至少与κ和μ一样。 然后A有一个基本的延伸，其基数是λ。
这也从紧凑性定理遵循，如古典逻辑的条目所示。 定理的名称是有点不幸的，因为Tarski首先证明了定理，并且Skolem甚至不相信它（因为他不相信不可数的红衣主教）。
使用基本融合定理和基本链定理存在另一种证据。 人们可以表明结构A具有适当的基本延伸A'。 （使用紧凑性定理和图表LEMMA的证明 - 见下面的3.1和3.2;另一种证据是Ultrapowers - 见下面的4.1。）现在使用“基本合并定理”中的结构B和C的4.1。。 然后，如在定理中，在定理中的基本延伸，并且在定理中，它必须包含不在a中的元素，使其是一个适当的基本扩展。 重复以获得D的适当基本延伸，等等，直到您有一个无限的小链条。 使用基本链定理来查找坐在该链顶部的基本扩展。 继续重复这些移动，直到您具有至少λ的基数的基本扩展。 然后，如有必要，请使用向下的Löwenheim-Skolem定理将基数拉下来完全λ。 这种论点在一阶模型理论中是非常常见的。 通过仔细选择施工步骤中的汞合金，我们通常可以确保顶部结构具有我们可能想要的进一步的属性（例如饱和度，见下文4.2）。
3.五个大理想理
本节报告的五个定理在某种程度上是古典模型理论的支柱。 所有这些都是关于一阶模型理论的定理。 在二十世纪第三季度完成的大量工作致力于在一阶模型理论中致力于这些定理的后果，以及相似定理对不是一流的语言的程度。
3.1紧凑性定理
如果T是一阶理论，并且每个T的每个有限子集都有一个模型，那么T有一个模型。
在古典逻辑的条目中存在本定理证明。 定理有几种有用的释义。 例如，它相当于以下语句：
假设T是一阶理论，φ是一阶句子。 如果T =φ那么有一个有限的子集U的t，例如uφφ。
（请参阅模型理论的模型理论的进入⊨的模型理论后果。要从第一个推导第二个语句，请注意，如果才有，则为真实图T {φ}的模型，“t⊨”是真的
Anatolii Mal'tsev首先在1938年获得了紧凑性定理（用于任何签名的一阶逻辑），并在1940/1中使用它以证明几个关于群体的定理; 这似乎是古典数学中的模型理论的第一次应用。 Leon Henkin和Abraham Robinson在几年后独立重新发现定理，并提供了一些进一步的应用。 对于几乎所有无限的语言，定理失败了很大。
3.2图引理
如果A是L-结构，则我们形成如下所示的图。 首先，添加到一个新的个人常量供应作为A的所有元素的名称。（这说明了在一阶模型理论中，我们如何轻松地使用不可数签名来找到自己。这些签名中的“符号”是抽象的设置对象，不是页面上的标记。。）然后使用L和这些新常数，A的图表是A的所有原子句子和否定的否定原子句子中的否定。
如果b'是a的图表的模型，并且b是b'，并且从签名中取出的新常数，然后嵌入到b中。
即，如果A的元素由新的常量C命名，则将该元素映射到名为C的B'元素。 该引理的变体用于基本汞合作定理的证明。
3.3 Lyndon插值定理
本定理可能具有模型理论的任何定位的最长媒体，因为它概括了三段的分配规律，至少回到早期的文艺复兴时期。 如果我们假设我们的一阶语言具有符号∧，∨和¬，但不是→或⇔，则定理最容易陈述。 然后，公式φ中的谓词符号R的发生是正的（RESP。否定）如果它位于偶数（奇数）的出现次数的范围内。
假设L和M是一阶语言，m是包含L和M的最小的一阶语言，L≠M是由L和M中的所有公式组成的语言，假设T是L，U是M的理论，而且否（l∪m） - 结构既是u的模型，那么在所有型号的所有模型中都有一个句子φ，在所有模型中的所有模型中都是如此。（这个句子φ称为插值。）还有每个谓词符号φ的阳性发生在T的某些句子中存在阳性发生以及在U的某些句子中发生负面发生，并且相反，在φ中的负面发生的每个谓词符号都有在T的某些句子中存在负面发生以及在U的某些句子中的阳性发生。
本定理有几种证明，并非所有这些都是模型理论。 如果没有最后一句话，定理被称为克雷格的插值定理，因为威廉·克雷格在罗杰林登找到了1959年的全面陈述前几年。正如当时克雷格指出的那样，他的插值定理给出了Evert Beth的可命定定理的简洁证明，如下所示。
假设L是一阶语言，M是通过添加到一个新的谓词符号R.的一阶语言。假设T是一个在M中的理论。我们说T隐含地定义R，如果它是假的，那么有两个是T的模型有两个M-结构相同的元素，并以相同的方式解释L的所有符号，但以不同方式解释符号r。 我们说，如果存在L的公式φ（x1，...，xn），则在每个模型中定义R，使得在T的每个模型中，通过完全相同的n组（a1，...，a）满足公式φ和r（x1，...，xn）元素。 很容易看出，如果t明确定义R，那么它隐含地定义R. （这一事实被称为PADOA的方法; PADOA使用了隐性可定定性的失败，作为证明明确可定定性的失败的方式。）Beth的定理是匡威：
假设L，M，R和T如上所述。 如果t隐含地定义R，则T明确定义R。
3.4省略类型定理
本定理需要一些初步定义。 假设L是一阶语言，T是L中的完整理论，并且φ是L的一组公式，其中所有具有自由变量x（和没有其他自由变量）。 我们说，如果存在满足φ中的所有公式的A的元素，则L-Surruction A实现φ; 如果A没有这样的元素，我们说省略φ。 如果T包括句子∃xψ（x）和句子∀x（ψ（x）→φ（x））是φ（x）是a的φ中的公式。 如果在T中存在φ的支持，则不难以看出，每个模型都实现了φ。 交谈并不总是如此，但省略类型定理告诉我们，如果我们将自己限制为可数一阶语言，则为真实：
假设L是一阶语言，它具有多阶语言，这些语言是许多公式。 假设T在L中是一个完整的理论，并且φ是L的一组公式，所有这些都具有自由变量x。 终于假设只有几个元素的每个模型都实现了φ。 然后在T中存在φ的支持（换句话说，存在有限的原因，为什么在T.的任何模型中不能省略“类型”φ）
省略类型定理回到20世纪50年代中期。 它非常肯定取决于一阶和可数的语言。 它具有几种有用的概括，例如模型 - 理论强制，这是设定理论中的迫使结构的类似物。 事实上，用于模型 - 理论强制的游戏（参见逻辑和游戏的条目）可以调整以证明省略类型定理。 对于不可数的一阶语言，有类似但更复杂的定理; 其中一些可以释放为无数语言的省略类型定理。
