一阶模型理论（二）

3.5初始模型定理

如果它具有三种形式中的一种，则据说一种无量值的公式（在阿尔弗雷德喇叭之后）

ψ，

φ1∧...∧φn→ψ，

¬（φ1∧...φn），

其中，公式φ1，...，φn，α都是原子的。 一个通用的喇叭句（作为喇叭子句的计算机科学家也知道）是一个由通用量子组成的句子，然后是无量子的喇叭公式组成; 据说是严格的，如果没有发生否定标志（即，如果它没有来自第三种的量化喇叭公式）。

假设一个由严格的普遍喇叭句组成的理论。 然后T具有模型A，其具有来自T的每个型号B的属性，从A到B.（这样的模型A被称为T的初始模型。它是独一无二的。）

本定理是由于Maltsev的概括，由发电机和关系称为施工的群体理论结构。 这是代数规范背后的主要观点，这是计算机科学中系统规范的一种方法。 系统所需的行为被写入一组严格的通用喇叭句子，然后这些句子的初始模型是所需系统的抽象版本。

4.三个有用的建筑

建筑是建立结构的程序。 我们已经在上面的定理中看到了几种结构：例如省略类型结构和初始模型构造。 这里有三个。

4.1产品和减少产品

如果A和B是L-结构，我们将其产品C = A×B形式如下。 C的元素是排序对（A，B），其中A是A和B的元素是B的元素。谓词符号被解释为“点”，即例如这样

（a，b）如果且仅在PA和B中仅为PB，则位于PC中。

结构A和B称为×B的因素。以相同的方式，我们可以形成任何数量的结构的产品。 如果产品的所有因素是相同的结构A，该产品被称为A的权力。一种称为Feferman-Vacaughtem的定理告诉我们如何从其因素的完整理论中完成产品的完整理论。

这种结构有一些变体。 我们可以定义产品C的域上的等价关系，然后采用其元素是等价类的结构d; 谓词符号被解释为D，以使来自DOM（C）的自然地图到DOM（d）同态。 在这种情况下，结构D称为C的减少产品。如果所有因素等于a，则它是一个降低的功率; 在这种情况下，通过将每个元素A置于元素（a，a，...）的等同类来实现的对角线图是G1获得的。

假设我们使用SET I来索引产品C中的因素C.超越I OVER IS是I的I具有属性的子集合

如果设置x和y，则它们是它们的交叉x∈Y;

如果x位于U和x，那么y位于U;

对于我的每个子集x，恰好x及其补充I \ x在U.

如果我们超过I over i，那么我们可以通过制作C的两个元素来构造来自C的减少的产品，如果只有当它们相等的指数集是Ultrafilter U中的一组。这确实是C的C域的等效关系，而且导致的产品被称为C的超额。如果C是A的功率，那么这个超挑的U超自然是一个Ultapower，它有时写得U-Prod A.称为Łoń的定理的定理描述了什么句子Ultraproduct中真实。 其最有用的后果如下：

如果U是超超液，那么来自A到U-Prod A的对角线图是基本的嵌入。

如果超滤器U是非强度，即不包含有限套，则对角线图不是U形产品A的域，实际上U-Prod A通常大于A.因此我们有一种构建大型基本扩展的方法。 选择的公理保证，每种无限套装都有许多非委托超滤器。 Ultrapowers是处理综合理论中大型红线派的重要工具（参见集合理论的条目）。

撒哈拉·谢拉赫的定理典型的卓越（但实际上并不非常有用）告诉我们，只有当它们具有彼此同样的超声波时，一对结构A和B都是等同的。

4.2饱和度

假设A是L-结构，X是A的一组元素，B是A和B的基本延伸，C是B的两个元素。然后，如果对于L和每个N的每个公式φ（V1，...，Vn + 1），则据说B和C具有相同的类型。 - X的元素D，

B⊨[B，D]⇔[C，D]。

我们说，如果x是x的一组元素，并且b是a的一组元素，并且b是a的任何基本扩展，我们始终拥有b的每个元素都具有与A.某些元素相同的x。

这种相当重的定义给出了很少的线索，有用的饱和结构是有用的。 如果每个结构具有饱和的基本延伸，那么模型理论的许多结果都会更容易证明。 遗憾的是，饱和基本延伸的存在取决于集合周围宇宙的特征。 围绕这种障碍有技术方式，例如使用饱和概念的弱化。 我们有两种主要方法可以在一定程度的饱和度构建基本延伸。 一个是Ultrapowers，使用巧妙构造的超滤器。 另一个是通过支撑初级链，推广我们为UpwordLöwenheim-Skolem定理提供的证据。

实地R字段R的部分饱和基本延伸的存在是亚伯拉罕罗宾逊的非标准分析后面的主要技术事实。 有关此信息，请参阅模型理论的条目第4节。 虽然模型理论提供了非标准分析中的第一步，但这分析分支迅速成为自己的权利，其与一阶模型理论的联系是相当瘦的。

4.3 ehrenfeucht-mostowski模型

让A成为L-sturity，x一组元素A和＜X的线性排序（不一定可定义是一阶公式）。 我们说（x，＜）是a如果每个自然数n，并且所有元素a1，...，a，b 1，...，b n，其中a1＜... ＜an和b1＜... ＜bn，将每个ai拍摄到相应的bi是一张基本地图。 如果T是一个具有无限模型的理论，那么T有模型，即滑雪船体（参见透明序列的古典逻辑的条目）。 这些型号被称为EHRENFEUCHT-MOSTOWSKI模型，在20世纪50年代中期首次开展这一建筑的波兰模型理论家之后。 这些型号往往与饱和的相反; 我们可以安排在它们的元素中表示超过一组元素的类型。 在这些模型中的易用序列方面可以表达不同模型之间的一些重要区别; 查看集合理论的条目。

5.三个成功的计划

每一个健康的数学分支都需要一系列问题，为其研究人员构成了严峻挑战。 我们简要介绍了一些研究程序在二十世纪下半叶推动一阶模型理论的研究计划。 参考书目的Marcja和Toffalori的书提供了有关这些计划的更多信息。 除此之外还有其他目前的程序; 参见例如Yuri Ershov编辑的手册，这是关于结构递归构建时的模型理论。

5.1。 分类和分类

1904年，奥斯沃尔德Veblen将一个理论描述为分类，如果它只有一个模型，即同构，即它有一个模型，其所有型号都是彼此的同构。 （John Dewey）的名字是向他建议的，他还建议为其他理论“沉浸”名称。这对术语来自传统逻辑作为句子类型的名称。）令人沮丧的消息是没有无限模型的分类一阶理论。 我们可以在向上的Löwenheim-Skolem定理中看到这一点。 事实上，如果T是具有无限模型的一阶理论，那么我们能够在T中所希望的最强烈的分类是，对于某些无限的红衣主教κ，t恰好具有一体的基数κ，直到同构型。 T的这种属性称为κ类。

现在有一个启发式原则，许多人已经使用过，虽然似乎没有简单的制定。 我们建议'少数很漂亮'。 该原则表示，如果一阶理论T约束其模型（特定基数）彼此相似，这只能是因为T的模型少量不规则和不正常。 因此，这些模型应该有很好的结构描述。 人们应该期望他们从古典数学的角度来看是“良好的结构”。 作为第一步，一个容易从向上和向下看到Löwenheim-Skolem定理，即如果T是κ类的一些κ至少与T的语言语言的公式数量一样大，则T必须是一个完整的理论。 从现在开始，T是一个完整的理论，具有无限型号; 为简单起见，我们将假设T的语言是可数的。

1954年，Jerzyłoć宣布，他只能找到三种是κ分类的理论T. 换句话说：

T是完全分类的，如果它是每种无限主义κ的κ类。 典型的例子是有限域上无限维矢量空间的完整理论。

T是无数分类（但不是完全分类）如果κ是不可数的κ分类。 基本上，łoś可以找到的唯一例子是代数封闭领域的完整理论; 这是Steinitz的众所周知定理的无数分类。

如果κ可数量是κ分类，则T是可数分类的（但不是不可数分类的）。 典型的例子是没有第一或最后元素的密集线性排序的完整理论; 这是由Cantor的众所周知的定理来分类。

Łoć询问除了这三个是否有其他可能性。 （当然，最完整的理论不是κ分类的任何κ。）

这一问题Łoć是对研究的巨大刺激措施，它导致了1965年迈克尔莫利的经典纸张，表明Łoń的三种可能性实际上是唯一的。 莫利分析的一个核心观点是，无数分类理论的模型具有最小的数量的元素; 这直接导致模型理论的分支称为稳定性理论，研究具有有限数量的元素类型的理论。 这些理论具有显着的财产，即在任何线性排序的任何线性排序下都可以在任何内容中都无法辨认; 因此，这些序列是矢量空间碱的一种概括。 在莫利的工作中隐含的另一个想法，但是威廉·沼泽，约翰鲍尔德温和阿里斯泰罗拉赫兰的后期工作所澄清的是，在任何无数分类理论的模型中都有一个核心核心（称为强烈最小的集合），它带来了依赖遵守类似法律与矢量空间中的线性依赖的关系。 就该依赖关系而言，可以为模型定义一个维度，以及核心外的模型的遗骸与核心紧密相关，维度决定模型达到同构。

Saharon Shelah开发了Morley的思想，具有巨大的努力和能量。 他的主要目标是延伸“少数是美丽”的理念，通过表明在分界线的一侧有明显的分界线之间存在明显的分界线是具有一些良好结构特性的理论，迫使给定基数的非形式模型的数量小。 在另一边，每个理论都有（例如）两种模型的相同基数，这些模拟不同构，但极难分开。 Shelah创造了这项研究的名称分类理论。 下面列出的Lascar的文本是从Łoō到谢拉的整个计划的优雅介绍。 与此同时，Shelah本人已经远远超出了一阶逻辑。 即使在一阶案例中，Shelah也必须发明新的定理技术（例如适当强制）来执行他的结构。

分类理论虽然从根本上截然不同的目标：分类理论的模型（或表明这种分类是不可能的），但是通过一些相对简单的组合不变，并通过他们内部存在或不存在一些基本结构来分类理论本身来分类理论的模型（或者这样的分类是不可能的）模型。 随着第二个版本的分类理论，谢拉丢弃了字幕“和非同义模型的数量”，以强调项目的更广泛的目标。 通常，如果它承认在基本不变量方面以及相对于理论上的公式的某些绝对条件方面承认表征，则可以将一类理论被认为是稳健的分类。 例如，根据定义，如果存在一些红衣主教κ≥1|语言L中的理论T是稳定的 因此，对于大多数κ的每个型号的M个型号M，M最多κ上的1种。 等效地，如果没有公式具有相对于t的顺序属性，则理论t是稳定的。即，没有l型公式φ（x; y）（其中x和y可以是变量的元组），因此对于每个自然数n，它与存在a1的t符合A1，......，......，a B1，...，Bn，使得φ（AI，BJ）保持在I≤j的情况下。

5.2。 几何模型理论

几何模型理论从迈克尔·莫利的1965篇文章中脱离了迈克尔·莫利的纸张，但从Shelah的工作中有不同的方向（尽管今天，它定期使用Shelah在他的分类计划中开发的技术工具）。 莫利表明，无数分类理论的模型具有与自己的右边有趣的结构性，无论结构的完整理论如何; 因此，它成为常规谈论无数分类结构，意味着无数分类理论的模型。 （同样完全分类结构。）在西伯利亚和Greg Cherlin在美国独立的Boris Zillber注意到任何可义的任何无数分类结构中可定义的无限群体都必须与所学习的代数组有许多共同的特征通过代数几何。 Zilber尤其表明，来自代数几何形状的许多方法推广到模型 - 理论案例。 他的秘密武器是来自几何的野外的定理，他曾经引导他引导他解决了非常困难的模型理论问题; 例如，他的定理，没有完全分类的理论可以通过有限数量的公理来公理。 （这是一个秘密的意义上，它引导了他的直觉，但从未在他的结果中明确出现。）Zilber还注意到Łoń上面的例子的第一和第二和第二次之间存在一个重要差异。 即，在矢量空间中的子空间（即，在线性依赖下关闭的子集）形成模块化格; 但是代数封闭领域的代数封闭子集形成了不是模块化的晶格。

部分原因是西伯利亚和西部之间的通信难度，Zilber的这些结果花了一些时间来消化，并且部分在西方必须重新发现。 但是，当邮件终于通过时，结果是模型理论的新分支，这已经被称为几何模型理论。 该程序广泛地分类了根据（a）的结构，其中群体或字段是什么在它们中解释哪些组或字段（在模型理论的条目中草图中的意义上）和（b）结构是否具有“模块化几何形状”; 然后使用这种分类来解决模型理论和几何中的问题。 从20世纪80年代中期，这项研究的领导者是Ehud Hrushovski。 在20世纪90年代初，使用与Zilber的联合工作，Hrushovski在所有特征中的几何Mordell-Lang猜想的模型 - 理论上（第一个完整的证据）; 这是典型的副乙胺几何形状的猜想。 Bouscaren（ed。）1998年致力于Hrushovski的证据和模型理论的必要背景。 （a）和（b）都是Hrushovski的论点的基础。

5.3。 o-极小

在这里描述的三个程序中，这是最古老的，因为它脱离了Tarski对实际领域的完整理论的描述（由量化的方法证明了）。 在赋予本说明的过程中，Tarski表明，在相关语言中，可能具有参数的每个一阶公式φ（x）与形式x＜s或t＜x的形式的公式的一些布尔组合完全相同的分配满足命名参数。 另一种说法的方式是这样的

一系列元素可定义一阶级公式是一个有限间隔的联合联盟，其中包含名为Endpoints，以及一些有限元元素。

据说具有此属性的线性有序结构是最小的。 （名称的想法是O-MIMIMALITY是一种“强大最小值”的类似形式，其形式是对携带线性排序的结构有意义的形式，WHONES'O-'订购。）

1982年，Lou Van Den Dies表明，实数是O-Minimal领域的事实给出了关于可定义的更高尺寸集的大量有用信息，例如真正平面的可定义子集的系列。 在此之后，朱莉娅骑士，Anand Pillay和Charles Steinhorn注意到，如果结构A是最小的，那么任何构造都是等于A的任何结构，并且Van DEN干燥的高维可定义集合适用于所有这些结构。 这些结果导致了模型理论与功能理论之间的前沿的活动。 解决了模型理论和功能理论的几个旧问题。 Alex Wilkie表明，具有指数符号的实数为O-Minimal，具有模型完整的完整理论，从而对Tarski的旧问题进行了肯定的答案，虽然他的方法远离了宪法分析，tarski铭记。 （这是我们需要记住模型完整和具有量化消除之间的差异的一种情况;请参见上面的第2节。这个特定理论是否具有量化的问题更加困难，并且与称为Schanuel的猜想的数字理论的深刻猜想密切相关;看Macintyre和Wilkie。）我们现在以这样的方式了解到实数为实际数字的有趣功能的广泛方式，使得所得到的结构仍然是O-最小的（并且因此在数学上易行的某种意义上）。 van Den Dries敦促O-Minimal结构为开发亚历山大·格罗罗敦克服的“驯服拓扑”程序提供了良好的环境。

2006年，Jonathan Pila和Alex Wilkie表明，只要仅使用多项式不等式定义的子集，RN可定数在真实领域的O最小扩展中的亚群具有很少的合理点。 随后，遵循由Pila和Umberto Zannier谴责的策略，谴责Manin-Mumford猜想各种作者使用这种O最小的计数定理来解决蒸番啶几何形状中的一些重要开放问题。

Kobi Peterzil和Sergei Starchenko开发了一种o - 最小复杂分析的理论。 正如与复杂分析的经典方法一样，可以将复数数解释为一组有序的实数，并通过涉及其真实和虚部的通常规则定义的加法和乘法。 它们的结果在该地区，它们的代数定理，它断言，如果CN的子集是复杂的分析（意味着它被关闭并且通过有限的许多复杂的分析函数的消失而被局部地定义），并且在一些O最小的扩展中可定义在真实场中，它必须是代数，这是由多项式方程的消失定义，是最引人注目的结果，并且在功能超越和均匀动态的研究中已经存在强烈的后果。

所有三个程序都会为证明，结构和分类产生新技术。 正如我们所期望的那样，研究人员探讨了每种技术的应用范围。 其中一个结果是出现了几个有用的一阶层的一阶层理论，与三个方案中的一个以上有关。 例如，Shelah分类理论的核心工具是他对分叉的概念，是依赖关系的早期代数概念的深远泛化。 简单理论的阶级由叉子具有一定的良好特性而定义，而玫瑰色理论的阶级的特征在于存在良好的独立概念，来自forking叉的进一步普通的概括; 简单理论的几个自然例子来到几何模型理论中的光，并且O最小结构的完整理论是玫瑰色理论的示例。 其他阶段的理论，通过增加模糊缩写，如“不是更强大的订单财产，一个”的理论，已经被孤立，其中一些看似特征的稳定理论的特征持续到修改形式。 例如，上述NSOP1由不存在某种树配置来定义，而是通过存在良好的独立理论的特征，这是以“金独立”的名义。 与这些技术进步平行，一阶模型理论继续在数量理论，功能分析和纯粹的和甚至应用的数学的数学中的问题中更加密切地参与。

在Shelah的分类理论方案中，通过分界线播放中央Rôle。 也就是说，所有理论的类都应分为那些拥有一些财产的人和那些没有，这个划分为这两个课程的那些应该是真实的，因为课程应该承认不同字符的各种定义。 例如，可以以许多基本相差的方式描述稳定的理论的类，例如，关于每个类型是可定义的那些理论，那些没有公式的理论，其中没有公式的订单属性，或者至少有一些无限主位κ的那些。这些语言在每个大小κ上的语言都不超过κ多于1型。 许多这些分类理论类别由禁止存在某些组合配置的存在来定义。 例如，依赖或nip的类（对于“不是”不是独立性“）理论是通过说不公式φ（x，y）来定义的，可以找到模型m和序列（ai）i =0∞（bs），其中b序列被索引。自然数的子集如此，如此，如果距离Shelah孤立的同一时间，那么，才是唯一，只有当我坐在孤立的独立财产时，Vladimir Vapnik和Alexey Chervonenkis在机器学习中发现了同样的概念理论。 尼波特的模型理论分析的后果已经在神经网络，极值组合，差异隐私理论和机器学习理论的理论中绘制。