supertasks（一）
SuperTask是一项任务，该任务由无限的组件步骤组成，但在某种意义上是在有限的时间内完成的。 SuperTasks由苏利亚诗人研究，并继续成为现代哲学家，逻辑学家和物理学家感兴趣的对象。 术语“超级任务”本身由J.F. Thomson（1954）创造。
在这里，我们首先概述了SuperTasks及其力学的分析。 然后，我们从一般相对性的角度讨论了超级特派团的可能性。
1.机械性能
1.1缺少最终和最初步骤：ZENO步行
1.2缺失限制：汤姆森的灯
1.3不连续数量：小屋 - 罗斯悖论
1.4古典机械超级努力
1.5 Quantum机械超级努力
2.相对论的超级空间的超级特派团
2.1相对论的时期的时间
2.2 Mally-Hogarth Spacetimes
2.3有多么合理的是Mally-Hogarth Spacetimes？
参考书目
学术工具
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1.机械性能
当一个人执行无限的任务时，会发生奇怪的事情。
例如，考虑一家酒店，拥有可选的无限数量的房间。 一天晚上酒店完全被占用，旅行者出现并要求一个房间。 “没问题，”接待员回复，“有很多空间！” 第一个占用者然后移动到第二个房间，第二个房间，第三个房间，第三个房间，等等。 结果是一家从被完全被占用的酒店免费占用一间客房，旅行者可以毕竟可以留在夜晚。 这款超级拨号在1924年由大卫希尔伯特讲授，如Gamow（1947年）报道。
有人可能会采取这种不寻常的结果作为针对超级特派团可能性的证据。 或者，我们可能会带他们看起来很奇怪，因为我们的直觉是基于有限任务的经验，并且在SuperTasks的分析中分解。 目前，让我们只需尝试掌握超级特劳可乏的一些不寻常的机械性能。
1.1缺少最终和最初步骤：ZENO步行
SuperTasks经常缺乏最终或初步步骤。 一个着名的例子是Zeno的悖论中的第一个，二分法的悖论。 赛跑者achilles从轨道的起跑线开始，并运行到终点线的距离。 然后他运行了一半的剩余距离，或¼总数。 然后他再次运行一半的距离，或总计。 他继续以这种方式宽松，越来越接近终点线（图1.1.1）。 但这任务没有最后一步。
Zeno二分法超级摊
图1.1.1。 Zeno二分法超级摊。
还有一个“回归”版本的二分法超级摊，没有初始步骤。 假设Achilles确实到达终点线。 然后他将不得不在赛道上的最后一六个轨道上旅行，并且在轨道之前，在那个赛道之前，赛道等等。 在achilles竞赛的这种描述中，我们想象绕组时间向后和观察阿基里斯越来越接近起始线（图1.1.2）。 但现在任务没有初步步骤。
Zeno Dichotomy SuperTask的回归版本
图1.1.2。 Zeno Dichotomy SuperTask的回归版本。
Zeno至少在亚里士多德的物理学中描述，认为，由于结果，行动并不存在。 由于无法完成无限数步骤，因此Achilles永远不会到达终点线（或从未在回归版本中启动）。 然而，现代数学提供了解释Achilles如何完成这款超级摊的方法。 正如Salmon（1998）所指出的那样，ZENO行走的大部分谜团被赋予了限制的现代定义。 这提供了一种精确的意义，其中以下总和会聚：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+⋯。
虽然它具有无限的术语，但这总数是一个几何系列，它在实数的标准拓扑中收敛到1。 对哲学造成的哲学讨论这一事实可以在鲑鱼（1998）中找到，以及任何实际分析教科书中的融合数学，这些教科书处理无限系列。 从这个角度来看，Achilles实际上确实完成了限制的限制中的所有超级键步骤，因为步骤到无穷大。 一个人可能只怀疑实数的标准拓扑是否提供了这个超级摊中的适当概念。 MCLaughlin（1998）给出了对拓扑选择的微妙之处的讨论。
Max Black（1950）认为，由于无限序列没有最终步骤，因此不可能完成Zeno任务。 通过GWIAZDA（2012），类似地要求最终步骤的存在。 但正如汤姆森（1954年）和专家和诺顿（1996年）所指出的那样，这种反对意识到这一反对意识到了“完成”这个词的两个不同含义 一方面，“完整”可以参考执行最终动作。 这种完工感不会发生在Zeno的二分法中，因为任务中的每一步都有另一个稍后发生的步骤。 另一方面，“完成”可以参考执行任务中的每一步，当然会在Zeno的二分法中发生。 从黑人的论点中，人们可以看到Zeno二分法不能在第一感觉中完成。 但它可以在第二个中完成。 “完整”这个词的两个含义恰好是有限任务的等同性，其中大多数我们对任务的大部分都是开发的。 但是当涉及超级特许时，它们并不等同。
Hermann Weyl（1949，§2.7）建议，如果有人承认ZENO比赛是可能的，那么一个人应该同样承认，机器可以在有限时间内进行无限数量的任务。 然而，ZENO运行和机器之间的一个差异是ZENO运行是连续的，而机器执行的任务通常是离散的。 这ledgrünbaum（1969）考虑zeno运行的“停留”版本，其中achilles在每个间隔中连续延迟延迟。
1.2缺失限制：汤姆森的灯
SuperTasks通常由不收敛的序列描述。 J. F. Thomson（1954）介绍了现在称为汤姆森灯的这样的示例，他认为SuperTasks真正是矛盾的意义。
假设我们关闭一盏灯。 1分钟后，我们打开它。 ½一分钟后，我们再次关闭它，¼上，⅛关闭等。 这些时间的总结产生了一系列收敛到2分钟的无限几何系列，之后整个超级扫描完成。 但是当2分钟起来时，灯是否打开或关闭？
汤姆森的灯
图1.2.1。 汤姆森的灯。
声称它亮起可能似乎是荒谬的：对于灯开启的每一刻，有一个稍后的时刻它被关闭。 但声称它是OFF的似乎同样荒谬：对于灯关闭的每一刻，有一个后来的时刻它被打开。 根据Thomson的说法，这种悖论表明与灯相关联的超级键是不可能的。
要分析悖论，汤姆森建议我们表示“on”的地图状态，其中1号和“关闭”状态。然后超级扫描然后在状态序列中组成，
0,1,0,1,0,1，...。
此序列不会收敛到标准实际拓扑中的任何实数。 但是，可以重新定义序列响应于此的序列意味着什么。 例如，我们可以在算术平均值方面定义收敛。 给定序列Xn，CeSàro的均值是序列C1 = X1，C2 =（X1 + x2）/ 2，C3 =（x1 + x2 + x3）/ 3等。 这些数字将序列的平均值描述为给定术语。 一个人说序列xncesàro如果只有cn收敛（在普通意义上）到c.然后众所周知，序列0,1,0,1，...cesàro收敛到½（参见例如bashirov 2014）。
汤姆森指出，如果灯态由½表示，此论点并不是很有用。 我们想知道灯是否打开或关闭; 说其最终状态与收敛算术平均值有关½的½几乎没有回答问题。 然而，这种解决悖论的方法仍然被追求，例如由PérezLaraudogoita，Bridger和Alper（2002）和Dolev（2007）。
尽管有限制，是否有其他一致的方法来描述汤姆森灯的最终状态？
BenaCerraf（1962）指出了答案是肯定的。 汤姆森灯的描述实际上仅指定灯在2分钟之前在每个有限阶段执行的内容。 它对2分钟内的发生了一无所述，特别是缺乏融合限制。 仍有可能以一种方式“完成”汤姆森灯的描述，以便在2分钟后或在2分钟后关闭。 价格是通过收敛序列从以前的国家达成最终状态。 但这本身不适合逻辑不一致。
使用以下示例，通过弹跳球的示例明确地构建了汤姆森的描述。
假设一块金属球在导电板上反弹，每次都会稍低，直到静置在板上。 假设反弹遵循与以前相同的几何图案。 即，在第一次反弹后，球在空中持续1分钟，第二次反弹后半分钟，第三，第四，⅛分钟之后的第四个，等等。 然后整个无限的反弹序列是超级摊。
现在假设球在撞击金属板时完成电路，从而在灯上接通。 这是一种实现汤姆森灯的物理系统。 特别地，灯在有限持续时间为2分钟的过程中不确定地接通和断开。
汤姆森的灯作为物理电路实现
图1.2.2。 汤森的灯由弹跳球实现：弹跳球与板的触点打开汤姆森灯。 超级键在灯上结束。
2分钟后，这盏灯的状态是多少？ 球将在板上休息，所以灯将亮起。 在汤姆森灯的这种描述中没有谜。
或者，我们可以在与板接触时，布置球以打破电路。 这导致了汤姆森灯的另一种实施，但是当球到最终休息状态时2分钟后关闭了一个。
汤姆森的灯作为物理电路实现
图1.2.3。 汤姆森灯的另一种实施：蹦蹦球与板块的接触关闭汤姆逊灯关闭。 超级拨号以灯泡为止。
这些例子表明，可以以一种方式填充汤姆森灯的细节，以便在超级摊席之后肯定地呈现，或者绝对关闭。 出于这个原因，埃尔曼和诺顿与BenaCerraaf结束，汤姆森灯不是悖论的问题，但是描述了不完整的描述。
与Zeno二分法一样，汤姆森灯超级摊的回归版本。 uzquiano（2012）研究了这样的灯，尽管作为一组指示而不是一组任务。 考虑一盏灯在一小时后2秒后，在1秒的过去，½过去的½秒钟后，在¼秒的过去，等等。 在SuperTask开始之前，一小时的灯状况是多少？ 此超级键可以与原始汤姆森灯相同的方式被视为不完整。 作为Earman和Norton灯中描述的弹跳球和电动电路的机械电路的机械电路是时间反转不变，因此倒车系统也是一种可能性，这是自发性兴奋的开始弹跳，提供回归汤姆森灯的物理实现。 但是，逆转的汤姆森灯是否是物理可能性取决于系统是否是时间可逆的。 难度是其初始状态不会确定随后的替代无限历史。
1.3不连续数量：小屋 - 罗斯悖论
有时，超级特派团需要在时间内不连续的物理量。 John Littlewood（1953）描述为罗斯'悖论的一个例子，作为“无限悖论”，并在他众所周知的概率上扩展了谢尔顿罗斯（1988）。 它如下。
假设我们有一个罐子 - 一个非常大的罐子 - 具有无限的球的能力。 我们还具有一堆可无限的球，编号为1,2,3,4，...... 首先，我们将球1-10落入罐子中，然后移除球1. Infinitum，我们这样做的速度不断增加，因此我们将在有限时间内用尽整个无限堆球（图1.3.1）。 当这个超级拨号结束时，罐子里有多少球？
小木罗斯悖论
图1.3.1。 小屋 - 罗斯程序。
小伍德（1953年）和Ross（1976）回答说，答案为零。 他们的推理如下。
在第一阶段被移除球1。 在第二阶段被移除球2。 在第n个阶段被删除球N，and Infinitum。 由于每个球具有标签n，并且由于在超级拨号的第n阶段在第n个阶段移除了每个标签n，因此在每个阶段完成后，罐中只能留在jar中的零球。 人们甚至可以确定每个人被移除的那一刻。
有些可能诱惑对象，相反，当超级扫描完成时，罐子中的球的数量应该是无限的。 在第一阶段之后，罐子里有9个球。 在第二阶段之后有18阶段。在第三阶段有27.在限制中，随着阶段的次数接近无穷大，罐子中的球总数分叉到无穷大。 如果罐的最终状态由有限阶段状态融合到罐中的决定，那么超级掩码应该在罐子里用无数的球结束。
如果这两个响应同样合理，那么我们就有矛盾。 罐子里没有零和无限球。 这意味着小木 - 罗斯的例子可能是悖论。
Allis和Koetsier（1991）认为，由于合理的“连续性原则”，只有第一个响应是合理的：球在空间中的位置是连续的时间函数。 如果没有这样的原理，一旦超级键完成，就可以允许罐外面的球的位置在超级键完成后立即向罐子传送回到罐子中。 但是，通过这种原则，可以得出结论，罐子必须在超级拨号的末尾空。 这一原则受到Van Bendegum（1994）的挑战，并通过Allis和Koetsier（1996年）澄清了Rejoinder。
Earman和Norton（1996）遵循Allis和Koetsier（和小孩和罗斯）要求罐子中的球的普遍是连续的，但指出存在不同的不连续感，这是由于后果发展。 （这里使用'WorldLine'来描述通过空间和时间的粒子的轨迹;在相对论的时刻中的时间内，在部分中更详细地讨论。）如果一个观看罐中的罐子中的球的数量，则用函数n近似（t）时间，那么这个“数量函数”在小屋 - 罗斯超级键中是不连续的，在超级键的过程中吹到了任意大的价值，然后一旦结束，将不连续滴加到0。 从这个意义上讲，小木 - 罗斯悖论呈现我们的选择，要么选择，
拿着罐子里的每个球的世界线圈持续时间; 要么
在罐子中的球的数量n（t）近似通过连续的时间近似;
但不是两者。 因此，该示例似乎需要物理量在时间中不连续：在球的世界中，或者在罐子中的球的数量中。
Littlewood-Ross示例的变化已经成为Barrett和Arntzenius（1999,2002）的决策理论的难题。 他们提出了一个涉及无限数量的1美元票据的游戏，每个序列号为1,2,3，......，一个人从0美元开始。 然后，该人员必须在以下两个选项之间进行选择。
选项A：接受1美元; 要么
选项B：首先接受$ 2n + 1，其中n是所做的要约的次数，然后返回玩家持有最小序列号的账单。
在游戏的每个有限阶段，它似乎是合理的选择B.例如，在阶段n = 1选项b返回$ 3，而选项a返回$ 1。 在阶段n = 2选项b返回7美元，而选项a返回$ 1。 等等。
但是，假设一个人将这个游戏作为超级摊，因此在有限的时间内播放整个无限的优惠。 那么玩家有多少钱？ 随着Littlewood-Ross Paradox完全相同的推理，我们发现答案是0美元。 对于每个账单的序列号，返回该法案的阶段。 所以，如果我们认为票据的世界必须是连续的，那么无限的比赛结束了，玩家根本没有赢得任何胜利。 这是一个游戏，其中每个有限阶段的Rational策略没有为无限游戏提供胜利策略。
这个例子有变化，对玩家具有更高的产量。 例如，专家和诺顿（1996）提出了以下金字塔营销计划。 假设代理商每次向一对代理商销售1,000美元的业务股票。 每位代理人分配两者分享，并以2,000美元的价格销售给两个代理商，从而净赚1000美元，而四个新代理人每次1,000美元。 然后，四种新代理中的每一个都是相同的，依据AD Infinitum。 这个游戏如何结束？
如果代理人的池只有大幅大，那么最后一位代理商将掩盖债务，而所有以前的代理商都取得了利润。 但是，如果池是无限的，而金字塔营销计划成为超级摊，那么所有的代理商都将在完成后收入。 在给定代理额债务的每个阶段，稍后阶段，代理商销售股票并赚1000美元。 因此，这是一个以平等的利润和债务总额而开始的游戏，但结论将债务转化为纯粹的利润。
1.4古典机械超级努力
到目前为止，对SuperTasks的讨论表明，超级努力的可能性并非如此逻辑可能性的可能性，因为它是“物理可能性” 但“物理可能性”是什么意思？ 一种自然解释是它意味着，“可以根据一些物理法则。” 因此，我们可以通过询问与古典粒子力学规律兼容的超级任务是否可以更精确地提出超级特劳的问题。
Earman和Norton的（1996）弹跳球提供一个答案是肯定的。 PérezLaraudogoita（1996,1998）引入了另一个特别简单的例子，如下所示。
假设布置相同质量的无限颗粒，使得第一和第二之间的距离在第二和第三的第二和第三之间的距离，第三和第四之间的距离，等等。 现在想象，与晶格中的第一颗粒相同的质量的新颗粒，如图1.4.1所示。 如果是完全弹性的碰撞，则进入的颗粒将静止，并且速度将转移到撞击颗粒上。 假设对于第二次碰撞需要1/2秒。 然后，第三次将需要¼次，第四个，⅛⅛等等。 因此，整个无限的过程将在1秒后完成。
jonpérezlaraudogoita's's SuperTask'
图1.4.1。 jonpérezlaraudogoita's's SuperTask'
专家和诺顿（1998年）观察了关于这个系统的几个好奇事实。 首先，与汤森的灯不同，这个超级拨号不需要无界速度。 系统的总速度永远不会超过原始移动粒子的速度。 其次，该超级拨号在有界区域的空间区域进行。 因此，可以排除超级拨号，没有边界条件“Infinity”。 第三，虽然能量在每个局部碰撞中保存，但这种系统的全球能量并不保守，因为在有限的时间之后，它变成了休息时的无限许多颗粒的格子。 最后，超级掩码在大致上取决于无限数量的颗粒，并且这些颗粒的宽度必须在保持质量固定的同时没有绑定而不会收缩。 这意味着颗粒的质量密度必须在没有绑定的情况下生长。 Atkinson（2007年，2008年），阿特金森和约翰逊（2009年，2010年）和北森堡和阿特金森（2008年）和阿特金森和阿特金森和阿特金森和阿特金森和阿特金森和阿特金森和阿特金森和阿特金森和阿特金森和atkinson等Peijnenburg（2014年）。
PérezLaraudogoita（1997）描述了另一种古典机械超级阵列。 再次考虑相同质量的无限颗粒，但是这次认为第一颗粒是微动的，即第二颗粒朝向第一速度朝向第一速度，并且每个连续粒子的速度倍增（图1.4.2）。 第一碰撞设置运动中的第一粒子。 但后来的碰撞然后将其设置得更快，稍后碰撞甚至更快，等等。
