Kochen-Specker定理（二）
3.3原始ks参数。 技术初步。
原始KS证明在三维复杂的Hilbert Space H3上运行。 它需要两件事：（1）在H3中正交的射线组的三倍 （2）对效果的约束，每个正交三射线的效果被分配1号，另外两个0.两者都可以如下实现：
我们考虑H3上的任意操作员Q，具有三个不同的特征值Q1，Q2，Q3，其特征向量| Q1＞，| Q2＞，| Q3＞和投影算子P1，P2，P3突出这些载体跨越光线。 现在，P1，P2，P3本身是可观察的（即，PI是对应于问题的“是 - 没有可观察的”，系统是否有值Q？'）。 此外，P1，P2，P3是相互兼容的，因此我们可以应用SUM规则和产品规则，从而导出对值的分配（证明）的约束：
（VC1）V（P1）+ V（P2）+ V（P3）= 1，其中V（PI）= 1或0，
对于i = 1,2,3。
可观察Q的任意选择定义了新的可观察到P1，P2，P3，反过来，它们又选择了H3中的光线。 因此，为了施加观察到P1，P2，P3都具有值意味着将数字分配给H3中的光线，并且特别是通过选择任意Q的选择指定的任意三倍的任意三倍的射线（简要指定）在H3中的正交三倍，恰好分配了一个光线1，其他0.现在，如果我们引入不同的不兼容观察到Q，Q'，q“，...这些可观察到在H3中选择不同的正交三元组。 KS定理的假设（1）（有效地，VD）现在告诉我们，这些三元组中的每一个都有三个值，并且VC1告诉我们每个三联，恰好{1,0,0}必须为这些值。 现在ks显示的是，对于H3中的特定有限的正交三元组，对它们中的每一个（在常见光线中匹配）的数量{1,0,0}的分配是不可能的。 进一步的反射产生，而H3是复杂的，实际上足以考虑真正的三维希尔伯特空间R3。 因为我们可以表明，如果在H3上可以进行根据VC1的值的分配，则可以在R3上进行。 与R3上不可能进行矛盾，如果在H3上是不可能的。 因此，我们可以满足获得ks证明所需的条件，同时将问题减少到R3上的问题。 现在，在H3中任意正交三倍的R3中的等同物是再次是正交射线的任意三倍（简要地：R3中的正交三倍）。 因此，如果KS想要表明，对于H3中的特定N个正交三元组（其中n是自然数），对于它们中的每一个来说，数字{1,0，0}的分配是不可能的，对于特定的r3中的n正交三元组套，数字{1,0,0}的分配是不可能的。 这正是他们所做的。
应该强调的是，此时R3和物理空间之间没有直接连接。 Ks希望表明，对于需要至少三个维度的Hilbert空间中的任意QM系统，可以与条件（ks2）（sum规则和产品规则）结合值，并且为了做到这一点是足以考虑空间R3。 然而，该空间R3在问题上不代表量子系统的物理空间。 特别是，R3中的正交性并不与物理空间中的正交性混淆。 如果我们移动到坐在物理空间的QM系统的示例中，这变得显而易见，并且在H3中需要QM表示的同时，例如， 单粒子旋转1系统的自由度自由度。 给定物理空间中的任意方向α和表示旋转组分的可观察到的旋转组分的操作者Sα，通过Sα的特征向量跨越H 3，即|Sα= 1＞，|Sα= 0＞，|Sα= -1＞，在H3中相互正交。 这三个载体对应于一种空间方向上的测量结果的三个载体相互正交地示出了H3和物理空间中的正交性的不同感官。 （当然，在QM的结构中，它在QM的结构中表示观察到的H3中不同方向的不同值。）
在摘要中，KS本身以完全相同的方式进行，但它们以与物理空间建立直接连接的示例说明。 重要的是要看到这一联系，还可以清楚地清楚它是由ks的例子产生的，并且不是在数学结果中固有的。 KS建议考虑一个粒子旋转1系统，并测量物理空间SX2，SY2，SZ2中的旋转正交方向的平方组件，它们兼容（同时SX，SY，SZ本身不是）。[7] 旋转的平方组分的测量仅确定其绝对值。 在这里，它们会导致价值分配略有不同的约束，再次使用SUM规则和产品规则（证明）：
（VC2）V（SX2）+ V（SY2）+ V（SZ2）= 2，其中V（Sα2）= 1或0，
对于α= x，y，z。
现在，由于SX2，SY2，SZ2兼容，因此有一个可观察的O，使得SX2，SY2，SZ2是O的所有功能。因此，所以任意这样的o修复SX2，SY2，SZ2和后者的选择。可以直接与H3中相互正交的光线相关联，再次修复了H3中的正交三倍的选择。 此处的结果问题是将数字{1,1,0}分配给由SX2，SY2，SZ2的选择或更直接地指定的H3中的正交三倍。 当然，这是我们之前将数字{1,0,0}分配给这样的三倍的先前问题的镜像 - 我们不需要单独考虑它。
然而，选择观察到SX2，SY2，SZ2的特定O的选择在物理空间中选择三个正交光线，即通过固定坐标系±x，±y，±z（定义垂直在物理空间中测量平方旋转部件。 因此，现在，通过选择可观察的O，在H3中的方向上有方向的方向直接连接：H3中的正交性与物理空间中的正交性相对应。 对于R3，如果为了给出H3的参数，我们认为R3也是如此。 R3中的正交性现在对应于物理空间的正交性。 值得注意的是，即使我们坚持要通过物理解释补充纯的数学事实，即使我们坚持要补充纯数学的事实，就没有必要提供这一对应关系 - 自从之前，以前，看过一个没有任何通信的例子。 这一点只是我们可以制定一个例子，以便有一个通信。 特别是，我们现在可以遵循R3中的证明，并且所有符合坐在物理空间的系统，即旋转1粒子，在测量三个物理幅度时返回三个值，与物理空间中的正交方向直接相关联，即V（SX2），V（SY2），V（SZ2），用于X，Y，Z的任意选择。 然后，KS证据表明，它是不可能的（当然，当然，当然）分配给所有这些任意选择的旋转1粒子值。 也就是说，KS参数表明（给定房地），旋转1个粒子不能在不同的测量装置中显示它的所有属性。
需要提到在KS参数中习惯的三种进一步的特征：
（1）显然，我们可以通过仅提供其中的一点来毫不含糊地指定R3中的任何光线。 因此，KS识别单位球体上的点数。KS不需要参考某一点的具体坐标，因为他们的论点是“无坐标”。 然而，我们将有时会提及具体点，然后（a）使用笛卡尔坐标检查正交关系，（b）通过不躺在E上的点指定光线（例如，点数（0,0,1），（0，0,1），（4,1,0），（1，-4,0）用于指定正交射线的三倍。）两个用法符合最近的文献（参见例如佩雷斯（1991）和克利夫顿（1993））。
（2）我们将约束（VC1）和（VC2）转换为值锐度为着色点的约束。 我们可以在（VC1）上运行（VC1）颜色，点白色（用于“1”）和黑色（对于“0”），或者，在（VC2）下工作颜色为白色（为“0”）和黑色（用于“1”）。 在任何一种情况下，约束都转化为相同的着色问题。
（3）Ks说明了据称为KS图表的图形的光线正交关系。 在这样的图中，每个光线（或指定光线）的每个射线由顶点表示。 由直线连接的顶点代表正交射线。 着色问题然后转换为着色图的顶点的问题，如白色或黑色，使得连接的顶点不能是白色，三角形具有一个白色顶点。
3.4原始ks参数。 剪影证明。
Ks进行两步。
（1）在第一个（和决定性）步骤中，他们表明，两种具有相反颜色的光线不能任意关闭。 首先示出图1中描绘的图γ1可以构造图1中所示的图1（如果我们忽略了图中指定的颜色），则只有A0和A9的角度θ分隔为0≤θ≤IN-1（1/3）（证明）。
fig1
图1：具有不一致着色的十点KS图形γ1。
立即考虑（对于索赔adsurdum），A0和A9具有不同的颜色。 我们任意彩色A0白色和A9黑色。 然后，着色约束将根据图1中所完成的图1强制为图中的其余部分。如图1所示，这要求A5和A6是正交的，两者都是禁止的。 因此，比SIN-1（1/3）更近的两点不能具有不同的颜色。 恰当地，两点不同的颜色不能比SIN-1（1/3）更近。
（2）KS现在以下列方式构建另一个相当复杂的KS图γ2。 他们考虑实现γ1的角度θ= 18°＜SIN-1（1/3）。 现在，它们在它们之间选择三个正交点P0，Q0，R0和空间互锁副本，使得γ1的一个拷贝的点A9的每个实例用下一个副本的A0的实例识别。 以这种方式，γ1的五个互锁副本间隔在P0和Q0之间，并且用R0识别A8的所有五个实例（同样，五个这种互锁副本在Q0和R0之间间隔开，识别A8的所有副本，以及使用P0在p0和r0之间，用q0识别A8的所有副本）。 该γ2是可构造的，由施工本身直接承载。 在A0的情况下间隔5个具有角度θ= 18°的γ1拷贝，将空格出5×18°的角度= 90°，这正是所需的内容。 此外，从γ1的一个副本中徘徊到接下来，比如P0和Q0等效于通过原点和R0围绕轴的副本的旋转18°，这显然节省了副本的点A0和A9之间的正交性和r0。
fig2
图2：117点ks图形Γ2
（来自Kochen和Specker 1967,69;通过印第安纳大学的许可数学杂志）
然而，尽管γ2是可构造的，但它不始终是可调性的。 从第一步开始，我们知道具有θ= 18°的γ1的副本要求点A0和A9具有相同的颜色。 现在，由于γ1的一个副本中的A9与下一个副本中的A0相同，因此第二副本中的A9必须具有与A0相同的颜色。 实际上，通过重复这个论点，A0的所有实例都必须具有相同的颜色。 现在，P0，Q0，R0用点A0识别，因此它们必须是所有白色或全黑色 - 这两者都与恰好其中一个是白色的着色约束不一致。
如果在构建γ2的过程中使用的γ1的15个拷贝，我们将彼此识别的那些点减去，我们最终得到117个不同的点。 因此，所示的KS是一组117是 - 不可观察到的可观察到根据VC1（或等效，VC2）一致地分配值。
注意，在γ1的构造中，即形成22个互锁三级的10个点，除A9之外的所有点出现在多个三倍之外。 在γ2中，每个点都显示在多个三元组中。 这里是非必须虔诚的前提是对参数至关重要的：我们假设任意点保持其值1或0，因为我们从一个正交三倍移动到下一个（即从一个最大兼容的可兼容可观察到的可兼容的观察到）。
3.5三维统计ks参数（clifton）
回想一步的第一步，建立了两点，颜色的两点不能任意关闭。 这是第一个携带争论的整个力量。 贝尔已经以不同的方式建立了它，然后争论在非Contexual的HV解释点中，颜色相反，必须任意关闭。 这是克利夫顿在一个结合贝尔和KS的想法的论据中挖掘的第一步。
fig3
图3：8点KS-CLIFTON图形γ3着色不一致。
考虑图3所示的KS图γ3，这显然是KSγ1的一部分，但这具有满足正交关系的八点的额外具体分配（因此直接证明γ3是结构的）。 从我们之前的着色约束（连接点并不是白色，三角形恰好一个白点）我们立即看到Γ3是可调氧，只有在最外部点不是白色（它需要的那样，如图3所示，两个连接点是白色的到约束）。 此外，我们很容易计算两个最外面点之间的角度，以成为COS-1（1/3）。[8] 所以我们得出结论，如果一个人想要彩色所有八点并且想要染色白色之一，那么另一个必须是黑色的。 考虑到我们可以在R3中的任何两个点之间插入图，该图在恰好角度COS-1（1/3）中分开，并从着色问题转换回KS示例（约束VC2），我们以约束VC2'结束：
（VC2'）如果对于Spin-1系统，则在空间中旋转的某个方向X被分配值0，则必须分配角度COS-1（1/3）远离X的任何其他方向X'，或者在符号中，或者在符号中：如果V（SX）= 0，然后v（sx'）= 1。
目前到目前为止已经利用了原始的KS条件KS1和KS2。 此外，我们此外，我们现在假设对价值分配的任何约束将显示在测量统计中。 特别是：
（3）如果问题[V（a）= a] = 1，并且V（a）= a意味着v（b）= b，则prob [v（b）= b] = 1。
尽管使用统计数据，但这种推理是从von neumann的论证中顽固的。 von neumann认为，值之间的代数关系应该转移到测量值的统计数据中，因此对这些统计数据的QM约束应具有值约束作为其精确镜像 - 这推理导致我们从统计约束中导出价值约束（任意观察结果）。 在这里，相反，我们从任何统计推理中独立地获得了价值约束，然后得出结论，这一约束应该转移到测量统计中。[9]
现在，VC2'和统计条件（3）仍然存在：如果问题[v（sx）= 0] = 1，则prob [v（sx'）= 1] = 1。 然而，这与QM达到了QM的统计数据，以获得问题[V（SX）= 0] = 1. [10] 实际上，概率为1/17，V（SX'= 0）。 因此，在旋转1颗粒的长期试验中，将违反约束。
如果我们接受Clifton的统计推理，我们有一个完全有效的KS论点，在QM的HV解释与QM的非常预测之间建立了矛盾。 CLIFTON也呈稍微更复杂的13个可观察到呈现略微复杂，沿着相同线，统计矛盾为1/3。
Clifton的参数使用8（或13个）观察到，修复其中一个（SX）的值，并在QM预测的差异对于第二一个（SX'）来导出HV预测。 因此，如果可以在QM系统肯定具有值V（SX）= 0的情况下，可以先验测试预测。 但是通过实验修复这种国家并不容易。 所以Clifton的论点取决于可能难以产生或孤立的状态。 最近，已经发现了13个可观察到的结构，允许具有国家无关的统计论证（yu和2012年）。
4.功能组合物原理
KS定理的关键成分是（2）中拼写的价值分配的约束：总和规则和产品规则。 它们可以从更一般的原则中得出，称为功能组成原则（Func）。[11] 这一原理交易了对自伴随运营商在希尔伯特空间运行的数学事实，以及任意函数f：r→r（其中r是实数的集合），我们可以定义f（a）并显示它也是一种自我 - 伴随运营商（因此，我们写f（a））。 如果我们进一步假设每个自伴随操作员对应于QM可观察的QM，那么原理可以配制：
Func：让A成为可观察到A相关的自伴随操作员，让F：R→R是任意函数，使得F（a）是另一个自伴随的操作员，并且让|φ＞是任意状态; 然后F（a）唯一地与可观察的f（a）相关联：
V（f（a））|φ＞= f（v（a））|φ＞
（我们介绍上面的状态上标以允许对系统中准备的特定量子状态的值可能的值依赖。）总和规则和产品规则是Func [证明]的直接后果。 Func本身不会导致QM的形式主义，但它的统计版本（称为Stat Func）是[证明]：
Stat Func：鉴于Func中定义的f，|φ＞，然后，对于任意实数b：
prob [V（f（a））|φ＞= b] = prob [f（v（a））|φ＞= b]
但Stat Func不能衍生自QM形式主义; 它还从Func [证明]遵循。 这可以被视为为“Func的合理性论证”（Redhead 1987：132）提供：Stat Func是真实的，作为QM数学的问题。 现在，如果Func是真的，我们可以派生统计资格，因此理解QM的数学的一部分。[12]
但是，如果不是统计资格，我们怎样才能获得Func本身？ 它是Stat Func的直接后果，三个假设（其中两个是熟悉的介绍）：
价值现实（VR）：如果存在与自伴随操作员A相关的可操作定义的实数α，并且对于给定状态，QM的统计算法与β= prob（v（a）=α）产生实数β然后，存在具有值α的可观察到的a。
值肯定（VD）：为QM系统定义的所有观察到始终具有明确的值。
noncontextuality（nc）：如果qm系统拥有属性（可观察到的值），则它独立于任何测量上下文。
VR和NC需要进一步的解释。 首先，我们需要解释VR的内容。 QM的统计算法告诉我们如何计算来自给定状态的概率，给定的可观察到的可观察和其可能的值。 在这里，我们将其视为仅仅是没有任何物理解释的数学设备：给定赫尔伯特空间矢量，操作员及其特征值，该算法告诉我们如何计算新的数字（具有概率的属性）。 此外，通过“从业务定义”我们这里只是意思是“从我们知道的数字组成，我们知道要指定一个真实的财产”。 因此，VR有效地说，如果我们有一个真实的属性γ（可观察到的值的值γ），并且我们能够从γ为一个新的数字α构成并找到操作员A，使得α是a的特征值，然后（我们有满足应用统计算法所需的一切;因此）表示可观察到的A，其值α是真实的属性。
其次，可以通过两种方式理解NC的失败。 虽然可观察到的本身不是;但是可以依赖于上下文的值 或者可观察到的值可能是依赖的，因为可观察到的本身是。 在任何一种情况下，可观察到的上下文的独立性意味着观察到和运营商的对应关系。 NC的这种含义是我们将目前在Func推导中使用的。 我们确实认为，如果NC持有，这意味着可观察 - 并且由此也是它的价值 - 与测量上下文无关，即与测量方式无关。 特别地，可观察到的上下文的独立性意味着观察到和操作者的1：1对应关系。 NC的这种含义是我们将目前在Func推导中使用的。 相反，NC的失败将被视为1：1对应的故障。
来自VR，VD，NC和Stat Func，我们可以如下派生Func。 考虑系统的任意状态和任意观察Q.通过VD，Q具有值V（Q）= a。 因此，我们可以针对任意函数f形成数字f（v（q））= b。 对于此号码，通过Stat Func，prob [f（v（q））= b] = prob [v（f（q））= b]。 因此，通过根据Stat Func转换概率，我们拥有概率，创建了一个新的自伴随操作员F（Q），并将其与两个实数b和prob [f（v（q））= b]相关联。 因此，通过VR，有一个观察到对应于F（Q），其值为B，因此F（v（q））= V（f（q））。 通过NC，可观察到的是独特的，因此有趣的是。
5.逃避KS论点
前一节澄清了HV理论家必须逃脱KS参数的可能性：否认共同需要Func（因此总和规则和产品规则）的三个地区中的一个。
