多模态逻辑的哲学方面（二）

使用这种方式（也阅读了在Baltag和Smets 2008中的安全信念），可以在最合理的世界中为真实性定义一个简单的信念的概念：

bφ：=⟨≤⟩[≤]φ。

尽可能简单，它足够强大，可以编码各种不同的认识概念，所有这些都可以通过适当的语义定义来揭示。 首先，我们通过将其作为普遍关系来定义认识可能性（或难以区分）的关系，

〜：= w×w，

因此，才能才能且仅在可以通过≤的比较，因此只有两个世界都是难以区分的。[7] 然后，可以通过引入语义解释的态度〜：

（m，w）⊩kφiffdeffor所有u∈W，如果w~u然后（m，u）⊩φ

利用这种新的模态k，可以在句法上定义条件信仰bψ的更精细的概念，直观地描述代理人所认为的代理人是真的，她知道一定的条件♥是这种情况。 事实上，

bψφ：=

k

ψ→

k

（ψ→[≤]（ψ→φ））

为

k

k的模态双量（即，

k

ψ：=¬k¬ψ）。 这种扩展语言L {[≤]，k}还可以表达强烈的信念，SBφ，在语义上理解为真，无论何时所有φ-世界都比所有¬φ - 世界都更加合理，并在语法定义为

sbφ：=⟨≤⟩[≤]φ∧k（φ→[≤]φ）

最后，请注意合理性关系如何定义，语义上，同等合理的世界层，层本身根据其合理性订购。 然后，可以将此有序的层序列视为同心球的集合。 实际上，最里面的球体的内容，球体\＃0，正是那些在最合理的层中的世界，层\＃0; 然后，球体\＃1的内容是图层\＃0中的世界中的世界，与之紧接在其下方的层中，层\＃1中的那些。 过程继续，从而定义了球体\ #i中的世界作为层\＃0的内容的联盟\ i：\ i。：通过这种方式，每个合理性对应于球形模型（Spohn 1988; Grove 1988），使其完全适合模型信仰修订。 仍然，即使在L {[≤]，k}中也有表达φ保持在最合理的球体中的φ（所提到的Bφ，由⟨≤⟩[≤]φ给出），没有公式可以表达，例如φ在大多数合理的世界旁边持有。 修复此“问题”的一种方法是定义（现在语义上）严格的合理性关系＜：=≤∪≱（≥≤≤，以标准方式定义，≥：= {（u，w）∈w×w≤u}），然后为此介绍标准的模态：

（m，w）⊩[<]φiffdeffor所有u∈W，如果u＜w那么（m，u）⊩φ

通过这种新的方式，可以为上述概念提供句法定义。 实际上，虽然公式λ0：= [＜]⊥表征最合理的世界（所以k（λ0→φ）表示最合理的世界满足φ，就像bφdo，公式λ1：=¬λ0∧[＜]λ0表征了大多数合理世界旁边（所以k（λ1→φ）表示大多数合理世界旁边满足φ）。 可以重复该过程，产生表征各层的公式λi，因此可以以定性的信仰程度句法（Grove 1988; Spohn 1988），寻找“从某个级别的内容”。 （参见Velázquez-Quesada 2017更多关于在合理性模型中使用这种方式，以及Andersen，Bolander，Van Ditmarsch，＆Jensen 2017，用于描述这些结构的不同语言之间的比较。）

这种新的模型[＜]允许我们定义更多的认知概念。 例如，公式φ是弱安全的信念（如果只有在φ∧[＜]φ保持的情况下，才会才能缺乏可能丢失但在修改真实信息时从未逆转的信令）。 在Baltag和Smets中可以找到更多详细信息（2008年：2.4小节）。

2.7通过句法构造函数的无限模式

正如一些通过扩展现有系统创建的一些多模态系统，其他一些人都始终出现多种方式。 其中，命题动态逻辑（Harel，Kozen，＆Tiuryn 2000）和布尔模态逻辑（Gargov＆Passy 1990; Gargov，Cassy，＆Tinchev 1987）值得特别提及。 原因是它们都在语言中定义，用于从一系列基本方式构建新模式的运营商。 因此，两个系统都包含无限数量的模态。

遵循伊莱人（1967年）和HOARE（1969）的课程的提前途径，命题动态逻辑（PDL），计划逻辑（Harel，Kozen，＆Tiuryn 2000），打算描述哪些节目可以实现。 语义上，程序被解释为标准关系模型，每个基本程序A都有一个二进制关系RA; 在句子上，语言包含每个这样的方式[A]。

到目前为止，PDL在技术上类似于多种子体认知逻辑（除了用于方式的符号之外，除了用于方式的符号之外，没有限制基本程序的关系）。[8] 然而，至关重要的洞察力是可以组成的基本程序，以创建更复杂的程序：人们可以想到在另一个程序之后执行一个程序，或者多次重复其中一些程序。 因此，这些基本的方式是不够的。 为此，创建了一个新的句法实体：除了公式之外，PDL的语言还包含一组基本程序，以及代表正则表达式的程序构造函数（Kleene 1956）。 正式，通过相互递归同时定义PDL语言LPDL的公式φ和程序α

φ:: =p|¬φ|φ∧φ|[α]φ

α:: =a|φ？|α;α|α∪α|α*

通过来自给定集的原子命令，以及来自给定集的基本程序。 对于公式，布尔操作员的预期读数是标准的标准，并且形式[α]φ表示“从当前状态的每次执行程序α导致满足φ”的公式。 对于程序，而基本程序只是代表自己，“φ？” 是一个程序，当φ是这种情况而是“失败”（基本上，对于φ），“α;β”表示从执行α然后执行β（它们的顺序组成），“ανβ”的程序，“α;β”。表示从执行α或否则β（它们的非确定性选择）和“α*”表示导致的程序的程序表示由重复α的有限次数（α的迭代）产生的程序。

使用这些程序构造函数，可以构建更复杂的程序。 着名的例子是

（φ≤1）∪（¬Φ？;β）“如果φ保持，则执行α，否则为β”，

（φ？;α）*;¬φ？ “φ保持，doα”，

α;（¬φ？;α）*;φ？ “重复α直到φ保持”。

然后，可以将公式构建为p→[（q？; a）∪（¬q？; b）] r（“如果p holleds，则通过根据q是否保持”）和¬p→⟨a来通过选择动作A和B之间来实现R.;（¬q？; a）*; q？⟩p（“如果所需的要求p不是真的，则可以通过重复执行a”）来实现它。

对于语义解释，每个程序α需要关系Rα。 但是，虽然基本程序的关系RA是任意的，但是复杂计划的关系应该根据其预期的含义行事。 获得此项的最简单方法是采取基本程序的关系，然后以归纳方式定义复杂程序的关系。 有关PDL的此进一步的详细信息，可以在动态逻辑的SEP条目第2节中找到。

Gargov和Passy 1990和Gargov，Cassy和Tinchev 1987的布尔模态逻辑遵循类似的策略。 不同之处在于，虽然PDL专注于正则表达式的构造函数（顺序组成，非确定性选择，有限迭代），但布尔模态逻辑侧重于布尔代数在关系中的构造函数：补充（ - ），Union（∪）和交叉口（∩），以及“全球”常量（1）。 更准确地说，

φ:: =p|¬φ|φ∧φ|[α]φ

α:: = a|1|-α|α∪α|α∩α

语义解释遵循与PDL中的相同的步骤：假设基本模式A的关系RA，并且复杂的关系的关系以预期的方式定义（有1个关于全局关系W×W解释1）。

有趣的是，通过将否定的公式和布尔的补充结合在关系中，可以定义以下操作员（通常称为窗口;参见Goldblatt 1974; Van Benthem 1979; Gargov，Cassy，＆Tinchev 1987）：

α

φ：= [ - α]¬φ

窗口是一个极其自然的运算符，补充标准的通用模型。 实际上，虽然表格的公式[α]φ表达了α的所有执行到达φ-状态，

（m，w）⊩[α]φifffor所有u∈w，如果rαwu那么（m，u）⊩φ，

形式的公式

α

φ表示所有φ状态通过执行α：

（是，w）⊩

α

φiford全部u∈w，if（m，u）⊩φ然后rαwu

不仅如此：窗口允许构造函数与∩之间的平滑交互。 如Blackburn，Rijke和Viva（2001：427）所讨论的，

[i] n是一种感觉，关系分为两个王国：普通[α]方式管理与∪，窗模式建立的关系

α

管理用∩的关系， - 构造函数充当两个领域之间的桥梁：

⊩[α∪β]φ↔（[α]φ∧[β]φ），⊩[-α]φ↔

α

¬φ

⊩

α∩β

φ↔（

α

φ∧

β

φ），⊩[α]¬φ↔

-α

φ。

当然，可以使用许多其他程序构造函数。 其中，一个值得一提的是，对于给定的关系的反演。 关于关系的时态逻辑的互动的方式已经使用了“过去”模式（H和P，P，普遍和存在的版本，分别）在语义上解释了用于解释该关系的关系“未来”模式（分别为G和F）。

2.8动态认知逻辑方法

动态认知逻辑的情况，模型变化模型逻辑的研究，特别感兴趣。 在这些系统中，他们的方式之间的关系是特殊的。 在这里，我们只会回忆起基本概念，将读者通过Baltag和Renne（2016）的SEP条目，以进行深入的讨论

简而言之，动态的认知逻辑（Del）框架有两个组件。 “静态”部分由“标准”模态系统组成：一种语言，包括一个或多个在研究中的一个或多个概念的方式，以及被解释公式的语义模型。 “动态”部分由表达不同方式的模式组成，其中研究的概念可能会发生变化，这是关键的洞察力，即这些方式在语义上解释为给定的模型，而是以适当的方式转换给定的一个。

这里的讨论将重点关注帕拉维德克案例，公告逻辑（PAL），研究知识和公共交流的互动。[9] 在语法上，它的语言将基本的认识语言L {K}扩展到模态[χ！宣布，φ将是这种情况“。 在这种新的语言中，L {k ,!}可以建立描述代理在公共交流行动之后的知识的公式; 一个例子是[（p∧q）！] kq，表达“p∧q公开宣布之后，代理人会知道q”。 对于语义解释，任何给定χ的公开宣布被认为是完全值得信赖的; 因此，代理通过消除来自考虑的所有可能性来反应它。 更确切地说，给定模型m =⟨w，r，r，v⟩和公式χ∈l{k ,!}，模型mχ！=⟨wχ！，rχ！，vχ！⟩被定义为

wχ！ ：= {w∈w|（是，w）⊩χ}

rχ！ ：=r∩（wχ！×wχ！）

vχ！（p）：= v（p）∩wχ！

注意Wak！ 是χ持有的原始模型的世界一套，rχ！ 是对新域的原始认知关系的限制，新的估值函数vχ！ 然后，

（m，w）⊩[χ！]φiffdef（m，w）⊩χ意味着（mχ！，w）⊩φ。

因此，φ是在M中公开宣布的情况（在符号中，（m，w）⊩[χ！]φ），如果只有在w中的情况下，χ宣布（在符号中的情况下，（mχ！，w）⊩φ）实际上宣布χ（在符号中，（m，w）⊩χ）。[10] 请注意，由于其语义解释要求从初始模型中的语义解释需要“提取”进一步信息，就像以初始模型都使用“提取”进一步信息，以便使用用于创建分布式知识的关系。 尽管如此，它使用了这样的策略的“更高级”版本：它通过完整模型执行操作，从而创建一个新的策略，以便评估落入新模式范围内的公式。

在给出的[χ！]的语义解释中，现在可以回答这个环境中的至关重要的问题：公众公告对代理商知识的影响是什么？ 或者，更确切地说，代理商在与她的知识相关联的公告后如何？ 这是答案：

⊩[χ！]kφ↔（χ→k（χ→[χ！]φ））

这种有效性在她在行动前的知识方面的行动方面的行动之后表现了代理人的知识，了解行动的影响。 它告诉我们，在公开公告之后χ代理人会知道φ，[χ！]Kφ，如果只有，只有，提供χ可以宣布，她知道其真实的公告将使φ为true，k（χ→[χ！]φ）。 注意这两个涉及的方式的这一桥梁原理是如何“被选中”的：由于给定的知识的定义是（所有认识可能性的真理）的结果，并且对公众公告的认识（丢弃了公告的所有可能性）失败）。

对[χ！]的给定的语义解释也产生了其他有效性。 其中，考虑以下内容：

⊩[χ！] p↔（χ→p），

⊩[χ！]¬φ↔（χ→¬[χ！]φ），

⊩[χ！]（φ∧ψ）↔（[χ！]φ∧[χ！]ψ）。

这些有效性与先前的一个表征[χ！]kφ一起被称为减少公理。 这是我们的第一个扭曲：仔细看看这些公式揭示了它们中的每一个都表征了公告公式[χ！]φ（左侧的左侧）的真实性（↔的左侧），其子公式出现的子公式在[χ！]的范围内不太复杂。 此外：处理原子的公式消除了[χ！]。 因此，给定L {K，1}中的任何具体公式，这些公理的连续应用最终会产生一个语义上的公式，其中没有出现否[χ！]模态。 这表明，表达 - 明智，公开通知方式[χ！]并不真正需要：可以用它们表达的任何东西也可以由没有它们的公式表示。 更确切地说，对于L {K，如下方式的任何公式φ，在L {k}中存在公式Tr（φ），使得任何（m，w），

（m，w）⊩φif，只有（m，w）⊩tr（φ）

这种真实保留的翻译，其精确定义可以在Van Ditmarsch，Van der Hoek和Kooi（2008：7.4）中找到，表明公共公告方式也可以被视为具有句法定义：任何涉及[χ！]可以在l {k}内重写。[11] 然而，这不是“一行”定义，因为它是这种情况，例如，对于'每个人知道'的模态E.这是通过递归方法给出的翻译，根据公式的方式定义了不同的方式，根据其范围。 这导致我们到第二个扭曲：由于此递归定义，即使添加[χ！]不会增加语言的表达性，它也会更改逻辑系统的属性。 实际上，在l {k ,!}中，通过任意式替代原子序的均匀替代的规则不再有效地保留。 考虑以下公式，说明“公众公告P的P之后，代理人会知道P就是这种情况”：

⊩[p！] kp。

该公式有效：P的真实公开公告丢弃来自原始模型M的世界，其中P不是这种情况。 因此，由此产生的议员！ 只有世界令人满意的世界，从而使KP True现在考虑下面的公式，这导致P�-KP在以前的有效性中取代：

[（p∧¬kp）！] k（p∧¬kp）。

现在上述公式陈述

在“P是真实和代理商不知道的”公众公告之后，她会知道“P是真的，她不知道它”。

该公式可以等效地说明（通过在[（p∧¬kp）的范围内的子公式中分配k过∧！]

[（p∧¬kp）！]（kp∧k¬kp）：

公开公告“P是真实的，你不知道它”，代理人将知道P是真的，她不知道。

但现在有些事情是奇怪的：听到P�-kp后，代理人肯定应该知道p是这种情况（kp）。 但那么，有可能的情况下，同时，她知道她不知道（k¬kp）吗？

疑似是正确的：公式无效，左下方的模型提供了一个反例。

一个图：链接到下面的扩展说明

图2 [图2的扩展说明在补充中。]

在（m，w）中，原子命令p是这种情况，但代理商不知道：（m，w）⊩p∧¬kp-kp。 因此，可以如实地宣布p∧¬kp-kp，它在右侧产生尖头模型（m（p∧¬kp）！，w）。 注意W如何在操作（满足p∧¬kp）中如何幸存（它达到p∧¬kp），但您没有（它不满足p∧¬kp，因为它使p false。 在得到的尖头模型中，代理确实知道p是这种情况：（m（p∧¬kp）！，w）⊩kp。 尽管如此，她不知道她不知道p：（m（pə¬kp）！，w）⊮k¬kp; 事实上，她知道她知道p：（m（pə¬kp）！，w）⊩kkp。[12]

重新制作，动态认知逻辑处理模型操作的模态运算符，从而允许显式的行动表示以及它们影响研究概念的方式。 “静态”概念与“动态”动作之间的特殊关系可以通过自然出现的桥梁原理来描述，但这并不具有额外成本，因为模型 - 操作和动态模态机械可以嵌入到静态基础逻辑中。 这具有重要的影响，特别是复杂性，如第3.4节将讨论。

3.组合模态系统的一般策略

上一节专注于某些方法可以使用单个模态采取系统，并从中创建具有多个模态的系统。 构建多模态系统的另一种选择是采用现有的Uni-Modal系统，然后使用特定策略将它们放在一起。 本节包含一些可能的技术的简要说明; 为了更深入的讨论，读者被Carnielli和Coniglio（2016年）结合逻辑的SEP进入。

3.1融合

模态逻辑融合方法（在Thomason 1984中引入）是通过组合基于关系的（因此正常的）模态逻辑以句法方式（通过它们各自的希尔伯特式公理系统组合）和语义方式（通过采取与每个系统的模态对应的关系，并将它们放在一个模型中）。[13] 虽然模态系统的融合是相当简单的，但是可以保证保存性质的转移结果（例如，现有系统的声音和完全公理化的组合是否确实是声音并为由结果完成）并不简单（见，例如，Kracht＆Wolter 1991,1997; Fine＆Schurz 1996; Schurz 2011）。

当遵循此策略并将技术详情留出时，最重要的决定是可能引入桥接原则，这些原则链接将系统的主要方式联系起来。 XCurz（1991），如果它包含至少一个在一个系统的模型范围内的至少一个概略的示意字母，则才是桥梁原理，并且在一个系统的模型的范围内至少发生一个概念，并且在模态的范围内至少一次出现其他。 （在David Hume的背景下给出了这个定义，就无论是否可以衍生出来;见结合逻辑的第1节。）