Gottlob弗赖吉照片（二）

有四种特殊的功能表达式用于弗雷格系统以表达复杂和一般陈述：

直观的意义。功能表达。它表示的功能

声明。弗雷格符号。将true映射到true的函数并将所有其他对象映射到false; 用于表达函数的思想是一个真正的陈述。

否定。弗雷格符号。映射为false的函数并将所有其他对象映射到真实

有条件的。弗雷格符号。函数将一对对象映射到错误的第一个（即，在底部分支中命名）是真实，第二个不是真实，并将所有其他对象映射到真实

一般性。弗雷格符号。第二级功能将第一级概念φ映射到True，如果φ将每个对象映射到真实; 否则它将φ映射到错误。

理解这种符号的最佳方法是通过一些表格来，该表显示了一些具体的陈述示例以及如何在Frege的符号中和现代谓词微积分中呈现。

2.2.1真实功能连接

第一件表显示了Frege的逻辑如何表达实际功能的连接，例如不是，如果 - 那么，或者，以及唯一的 - of。

例如弗雷格的

符号现代

符号

约翰很开心。弗雷格符号。HJ

约翰很开心并非如此。弗雷格符号。¬hj

如果太阳灿烂，那么约翰很开心弗雷格符号。SS→HJ

太阳灿烂，约翰很开心。弗雷格符号。SS＆HJ

太阳灿烂或约翰很开心。弗雷格符号。ss∨hj

如果约翰很开心，阳光就会发光弗雷格符号。ss≡hj

可以看出，Frege没有使用原始的Connectives'和'，'或'，或'only且仅当''，但始终在否定和条件方面定义的规范等效表单。 注意表的最后一行 - 当Frege想要断言两个条件是物质等同的时，他使用身份符号，因为这表明它们表示相同的真实值。 在现代的句子演算中，双面内容是等效的，对于φ和ψ均为真或既为false，φ≡ψ的陈述是真的。 唯一的区别在于，在现代句子结算φ和ψ中不会被解释为表示真实值的术语，而是作为具有真实条件的句子。 当然，弗雷格可以在他的符号中，使用句子'（φ→ψ）和（ψ→φ）'来assertφ≡ψ。

2.2.2量化陈述

下表比较了弗雷格的符号中的普遍性和现代谓词微积分。 Frege在一般陈述中使用了特殊的字体（哥特式）进行变量。

例如弗雷格

符号现代

符号

一切都是凡人。弗雷格符号。∀xmx

有些东西是凡人。弗雷格符号。¬∀x¬mx

即，∃xmx

没有什么是凡人。弗雷格符号。∀x¬mx

即，¬∃xmx

每个人都是凡人。弗雷格符号。∀x（px→mx）

有些人是凡人。弗雷格符号。¬∀x（px→¬mx）

即，∃x（px＆mx）

没有人是凡人。弗雷格符号。∀x（px→¬mx）

即，¬∃x（px＆mx）

所有人都是凡人。弗雷格符号。∀x（px≡mx）

注意最后一行。 弗雷格再次使用身份标志来帮助说明两个概念的材料等价。 他可以这样做，因为物质等同的概念f和g是这样，如果g将x映射到真实，则f将对象x映射到真实; 即，对于所有参数x，f和g映射x到相同的真实值。

在现代谓性微积分中，符号'∀'（'每个'）和'∃'（'some'）分别称为“通用”和“存在的”量化，句子'∀xmx'中的变量'x'称为“量化变量”，或者“由量词绑定”。 我们将遵循这种涉及这些量词短语“量化陈述”之一的语句的这种做法。 由于可以从上表中看到，Frege没有使用存在量词。 他意识到表单'∃xφ'的陈述总是可以定义为“¬∀x¬φ”，其中φ是任何公式。

重要的是在此非常重要的是，在Frege的逻辑中可制定的谓词微积分是“二阶”的谓词微积分。 这意味着它允许通过功能量化以及对象的量化; 即，表单的陈述'每个功能f是这样...'和'某些功能f是这样...'。 因此，声明“A和B在相同的概念”下的对象A和B归属“将在Frege的符号中如下写入：

弗雷格-符号

在现代二阶谓词微积分中，我们将此写为：

∀f（fa≡fb）

有兴趣了解Frege的符号的更多信息可以咨询Beaney（1997，附录2），Furth（1967），Reck＆Avodey（2004,26-34），以及库克（2013）。 然而，在下面的情况下，我们将继续使用现代谓词微积分而不是Frege的符号。 特别是，我们采用以下约定：

我们经常使用'fx'而不是'f（x）'来表示x下降的事实f; 我们使用'rxy'而不是'r（x，y）'来表示x在关系r到y之间的事实; 等。

而不是使用占位符的表达式，例如'（）=（）'和'p（）'，以表示功能和概念，我们将简单地使用'='和'p'。

当一个替换一个变量中的句子中的一个完整名称时，产生的表达式将被称为打开的句子或开放式公式。 因此，虽然'3＜2'是一个句子，'3＜x'是一个开放的句子; 而且'HJ'是一个可能用于代表'John是快乐'的正式句子，表达'HX'是一个开放式公式，可能是在自然语言中呈现为“X的开放”。

最后，我们会偶尔雇用希腊符号φ作为在正式句子上的不足，可能会或可能无法开放。 因此，'φ（a）'将用于指示出现的名称'a'的任何句子（简单或复杂）; 'φ（a）'不被理解为应用于参数a的函数φ的弗基符号。 类似地，'φ（x）'将用于指示一个打开的句子，其中变量x可以或可能不自由，而不是x的函数。

再次，应该指出，对于第一次遇到它的人来说，前述是弗雷格逻辑的简化呈现。 使用这些基础知识，请参阅Frege逻辑的条目以获得更精确的演示。

2.2.3弗赖吉的量化逻辑

弗雷格的功能分析与他对普通语言句子的局限性释放他的普通语言判决的局限性的普通的职能分析，这使得他能够制定更普遍的涉及“每一个”的推论。和'有些'。 在传统的aristotelian逻辑中，句子的主题和动词的直接对象不在逻辑标准上。 管理不同但相关的主题术语之间的陈述的规则与管理不同但相关动词补言的陈述之间的规则不同。 例如，在aristotelian逻辑中，允许从'John Loves Mary'到'爱玛丽'的有效推论的规则不同于允许“John Loves Mary”到'John Loves的东西'的规则不同。 管理第一次推理的规则是仅适用于主题项的规则，而管理第二推理的规则则管理谓词内的推理，因此仅适用于传递动词补充（即，直接对象）。 在亚里士多德逻辑中，这些推论没有任何共同之处。

然而，在Frege的逻辑中，一个规则管理“John Loves Mary”的推断既是“爱玛丽”的推动，以及约翰喜欢玛丽'的推断为'John Loves'。 这是因为主题约翰和直接对象玛丽都考虑了逻辑标准，因为函数的参数喜欢。 实际上，弗雷格在主题的“约翰”和直接对象'玛丽之间没有逻辑差异。 什么是逻辑上重要的是“爱”表示两个参数的函数。 无论是量化的表达'某事'出现为主题（'爱玛丽'）或在谓词中（'John Loves'），它将以同样的方式解决。 实际上，弗雷格处理了这些量化表达式作为可变绑定运算符。 可变绑定运算符'某些x是这样，“可以在打开的句子'x·爱玛丽的X'中绑定变量'x'以及打开句子的变量'x''love x'。 因此，Frege以下列一般方式分析了上述推论：

约翰喜欢玛丽。 因此，有些X是X爱玛丽的X.

约翰喜欢玛丽。 因此，有些X是约翰喜欢X.

两个推断都是单个有效推理规则的实例。 更清楚地看到这一点，这里是上述非正式论点的正式表示：

LJM∃x（LXM）

LJM∃x（LJX）

逻辑公理均推断出来的形式：

ra1 ...爱...一个→∃x（ra1 ... x ...一个），

其中R是可以采用n个参数的关系，a1，...，a是任何常数（名称），1≤i≤n。 这种逻辑公理告诉我们，从涉及N个地方关系的简单预测，可以在任何参数中都能概括，有效地推导出存在的语句。

实际上，这种公理可以更加一般。 如果φ（a）是出现常量（名称）a的任何语句（公式），并且φ（x）是替换x的一个或多个出现的结果，则以下是逻辑公理：

φ（一）→∃xφ（x）

以前展示的前提“John Loves Mary”开始的推论，对此公理的吸引力有理由。 该公理实际上是弗雷格基本法IIa（1893，§47）的定理。 基本法IIa被制定为∀xφ（x）→φ（a），其中φ（a）是代替由量化器绑定的一个或多个变量x的结果（尽管看到了对该公理的更仔细讨论）。 因此，上面显示的存在量化的公理可以使用管理条件，否定和上面讨论的∃xφ的定义来源于IIa。

Frege的定量逻辑应该提到的其他结果应该提及。 Frege申请了∃xφ的表单是存在的索赔。 他建议存在不是对象落下的概念，而是在哪个第二级概念下降的第二级概念下降。 在这个第二级概念下，一个概念f刚刚在f案例中映射到真实的一个对象。 因此，索赔的“火星人不存在”被分析为关于概念火星岛的断言，即，没有任何堕落。 因此，Frege旨在成为第二级概念，它将第一级概念f映射到真实的∃xfx。 一些哲学家认为，这种分析验证了康德的观点，即存在不是（真实的）谓词。

2.3证明和定义

2.3.1证明

Frege的系统（即，他的术语逻辑/谓词计数）由一种用于证明陈述的语言和装置组成。 后者由一组逻辑公理（被认为是逻辑真理的陈述）以及一组推断规则，阐明了可以从其他人正确推断出该语言的某些陈述的条件。 Frege展现了一个表明，在一个公理的一个公理或者是由已经证明的定理或派生规则的推论规则之一或由定理或派生规则的规则之一来说，这一命令证明的每个步骤都是合理的。

因此，作为他正式系统的一部分，Frege对“证明”的严格理解制定了。 从本质上讲，他定义了一个有限序列的证据，使得序列中的每个语句是通过有效推断规则从先前成员遵循的每个语句。 因此，逻辑定理的证据如此，因此φ是任何有限的语句（用序列中的最终语句），使得序列的每个成员：（a）是正式系统的逻辑公理之一，或（b）从先前成员下面通过推断规则的序列。 这些基本上是逻辑人们今天仍在使用的定义。

2.3.2定义

Frege对逻辑和数学概念的正确描述和定义非常谨慎。 他对数学工作的强大和富富有洞察力的批评，这是为了清晰而达到他的标准。 例如，他批评定义一个变量的数学家是一个变化而不是表达式的数字，这可以改变它可以作为值确定的数字。

然而，更重要的是，Frege是第一个权利要求正确形成的定义必须具有两个重要的传言性质。 让我们调用在定义中引入的新的定义符号，该符号介绍了Defientientum的术语，该术语用于定义Quotiens的新术语。 然后，Frege是第一个建议，适当的定义都不是可消除的（绝缘um必须始终可以通过其在前者发生的任何公式中的证明）和保守（一个定义不应使其无法证明以前的公式之间的新关系无法推动）。 关于他在Begriffssschrift（§24）中的定义之一，Frege写道：

我们可以在没有这句话引入的符号，因此没有句子本身作为其定义; 如果没有它，也无法推断出来的判决。 我们唯一目的在引入这种定义是通过规定缩写来带来外在简化。

弗赖尔格后来批评那些开发了“零碎”定义或“创意”定义的数学家。 在Grundgesetze der Arithmetik，II（1903年，第56-67节）弗雷格批评在给定范围的物体上定义概念的做法，后来在更广泛的更广泛的物体范围内重新定义概念。 通常，这种“零碎”的定义风格导致冲突，因为当一个人限制对原始对象类的范围时，重新定义的概念并不总是减少到原始概念。 在同一工作（1903年，第139-147章）中，Frege批评了将符号引入名称（独特）实体的数学实践，而不会首先证明存在（独特）此类实体。 他指出，这样的“创意定义”就是不合理的。 创造性定义无法保守，因为这是上面解释的。

2.4课程，延伸和拟议的数学基础

2.4.1价值方面和扩展

Frege的本体论包括两个基本不同类型的实体，即功能和对象（1891,1892B，1904）。 功能有些感觉“不饱和”; 即，它们是将对象作为参数占据的东西，并将这些参数映射到一个值。 这将它们与对象区分开来。 正如我们所见，对象的域包括两个特殊对象，即，真实值值真实和错误。

在1893/1903的工作中，弗雷格试图通过系统地关联展开对象域，每个函数f都是一个他称为f的值的对象。 函数的课程是值为每个参数的函数值的记录。 用于系统化价值课程的原理弗赖尔格是基本法v（1893 /§20;）：

概念f的课程值与概念g的值相同，如果f和g仅达到每个参数的值（即，如果每个对象x，f（x）= g（x））。

Frege使用了一个希腊epsilon，其上方具有光滑的呼吸标记，作为表示功能F的值的符号的一部分：

，

ε

f（ε）

如果希腊语ε（带有光滑的呼吸标记）的第一次出现是一个“可变绑定运算符”，我们可能会被视为“值的值”。 为了避免变量冲突的外观，我们也可以使用希腊语α（上面具有平滑的呼吸标记）作为可变绑定操作员。 使用此表示法，Frege在其系统中正式代表基本法律v：

基本法诉

，

ε

f（ε）=

，

α

g（α）≡∀x（f（x）= g（x））

（实际上，由于上述原因，Frege使用身份标志而不是Biconditional作为本原则的主要结缔组织。）

Frege称之为概念f的概念f它的扩展名。 概念f记录的概念f记录f映射到真实的对象。 因此，基本法律v同样适用于概念的扩展。 让'φ（x）'是与自由变量x的任何复杂性的打开句子（变量x可能在φ（x）中有多于一个发生，但是为了简单起见，假设它只有一次出现）。 然后frege会使用表达式：

，

ε

φ（ε），

第二epsilon替换φ（x）中的x，以表示概念φ的延伸。 其中，其中'n'是对象的名称，Frege可以定义'对象n是概念n的一个元素，以下简单术语：'概念φ映射n到true'，即φ（n）。 例如，第3号是奇数奇数的扩展元素，如果此概念映射3到真实，则才大于2。

不幸的是，基本法律v意味着一个矛盾，这是指指出Bertrand Russell的Frege，因为它的第二卷是打击了。 罗素认识到一些延伸是自己的元素，有些则不是; 概念扩展的扩展是本身的元素，因为该概念将其自己的扩展映射到真实。 概念勺的延伸不是本身的一个元素，因为该概念会将其自己的扩展映射到假（由于扩展不是勺子）。 但现在概念延伸不是本身的元素呢？ 让e代表这个概念，让e命名E的延伸。是它本身的一个元素？ 嗯，e是自身的一个元素，如果e将e映射到真实（通过前一段结束时给出的'的'元素的定义，其中e是概念e的扩展。 但是，如果e是一个不是本身的元素，则e将e映射到真实的if，即，如果e不是本身的元素，则才能成为本身的元素。 因此，我们已经推出了E是自身的一个元素，如果它没有，才能显示弗雷格概念的延伸的不一致。

关于这个问题的进一步讨论可以在Russell Paradox的条目中找到，并更完整地解释了弗雷格系统中的悖论如何在Frege的定理和算术基础上提供。

2.4.2拟议数学基金会

在他意识到罗素的悖论之前，Frege试图为数学建造一个逻辑基础。 使用包含基本法律诉（1893/1903）的逻辑系统，他试图展示称为逻辑论的哲学论文的真相，即，不仅可以在纯粹的逻辑概念方面定义数学概念，而且数学原则可以单独源自逻辑的法律。 但是，鉴于在扩展方面陈述了数学概念的关键定义，基本法V的不一致削弱了弗雷格的试图建立逻辑论的论文。 今天很少有哲学家认为，数学可以在弗雷格思想的方式中减少到逻辑。 诸如集合理论之类的数学理论似乎需要一些非逻辑概念（例如设置成员资格），这些概念不能在逻辑概念方面定义，至少当由某些强大的非逻辑公理（例如Zermelo-的适当公理 - ）公开化时Fraenkel集理论）。 尽管矛盾无效，但他的系统的一部分失效，但格雷塔斯特利中发育的定义和证据的复杂理论网络仍然提供了一种奇妙的概念框架。 Bertrand Russell和Alfred North Whitehead在Principia Mathematica的想法欠巨额债务在Frege的Grundgesetze中发现的工作。