Gottlob弗赖吉照片（三）

尽管Frege未能提供延伸概念的连贯系统化，但我们将利用以下概念来解释Frege的数量和数量陈述的分析，而不假设基本法律V.它足以利用我们对概念的非正式理解，虽然可以在现代结构理论中以各种方式恢复扩展，或者在逻辑学家发现愚蠢的系统中的各种方式。 （参见1987年，Burgess 1998，Heck 1996，Wehmeier 2002，Ferreira＆Wehmeier 2002，Ferreira＆Wehmeier 2002，Anderson＆Zalta 2004，Ferreira 2005和Antonelli和Antonelli和5月2005年。）

2.5数量陈述分析

在曾经被认为是一个精明的论述，Die Grundlagen der Arithmetik（1884年），Frege开始致力于从他认为更基本的逻辑原则和逻辑的算术中获得一些基本原则的想法概念。 哲学家今天仍然发现有洞察力的工作。 重要的想法是，数量的陈述，如“有八个行星”和“普林尼亚岛数学的作者”，真的是一个关于概念的陈述。 Frege意识到一个和相同的物理现象可以以不同的方式概念化，并且在提供概念f一旦提供了一个概念f一旦提供了概念f“才能答案。 因此，一个和相同的物理实体可能被概念化为由1军，5个部门，20个团队，100家公司等组成，所以问题“有多少？'只有一旦提供概念的概念，如陆军，师，军团或公司（1884年，§46）。

使用这种洞察力，Frege将像“有八个星球”一样的真实陈述，并“普雷普亚数学”的两个作者分别是“二级”的概念行星和普林尼亚数学概念的主张。 在第二个案例中，第二级索赔断言，第一级概念是Principia Mathematica的作者下降在第二级概念下是两个物体落下的概念。 这听起来很圆，因为它看起来像我们已经分析了

有两位提交人的Principia Mathematica，

涉及两个概念，如：

作为Principia Mathematica的作者的概念在概念下落下了两个物体下降的概念，

这也涉及两个概念。 但尽管出现了，但没有圆形，因为弗雷格分析了二阶概念，是两个物体落下的概念而不吸引概念。 他通过定义'f是一个概念，在纯粹的逻辑术语中定义了这个概念，作为满足以下条件的任何概念f：

有不同的东西x和y下降在概念f下，并且在概念f下落下的任何其他东西与x或y相同。

在现代谓词微积分的符号中，这是正式的：

∃x∃y（x≠y＆fx＆fy＆∀z（fz→z =x∨z= y））

请注意，作为Principia Mathematica的作者的概念满足了这种情况，因为有不同的物体X和Y，即Bertrand Russell和Alfred North Whitehead，他撰写了Principia Mathematica，谁是别人的别人Mathematica与其中一个相同。 通过这种方式，Frege分析了数量的陈述（'Principia Mathematica的两位作者），作为关于概念的高阶逻辑陈述。

弗赖吉然后进一步迈出一步。 他注意到，以下条件序列中的每一个条件都定义了一类'平等的'概念，每个案例中的一个'f'是一个概念的变量：

条件（0）：什么都没有落在f下

¬∃xfx

条件（1）：一件事恰好落在f下

∃x（fx＆∀y（fy→y = x））

条件（2）：究竟有两件事在f下降。

∃x∃y（x≠y＆fx＆fy＆∀z（fz→z =x∨z= y））

条件（3）：究竟有三件事在f下降。

∃x∃y∃z（x≠y＆x z＆y≠z＆fx＆fy＆fz＆fz＆∀w（fw→w =x∨w=y∨w= z））

等。

请注意，如果概念P和Q都是满足这些条件之一的概念，那么在p下降的对象与Q下降的对象之间存在一对一的对应关系，即，如果上述任何条件中的任何一个准确地描述p和q，则每个物体均落在p下与Q下的独特且不同的物体配对，在这一配对下，Q下落下的每个物体都与P.（通过逻辑学家对所有'的理解为单位掉下来配对，这最后索赔甚至适用于满足条件的那些概念P和Q（0）。）弗雷格将呼吁这样的p和q同等概念（1884，§72）。 实际上，对于上面定义的每个条件，满足条件的概念彼此等彼此成对。

凭借这种等分要的概念，Frege定义了“概念F”的数量，是由与F（1884，第68节）等崇拜的所有概念组成的扩展。 要开始，Frege将定义零，是概念的数量是非自相同的（1884，第74节）。 如果我们使用符号#f表示概念f的数量，并使用λ-符号[λxφ]命名复杂概念是一个对象x，使得φ，frege的零的定义变为：

0 = df＃[λxx≠x]

因此，数字0被定义为所有概念的扩展，以概念不是自相同的。 此扩展包含满足上面条件（0）的所有概念，因此所有此类概念的数量为0.例如，概念为方圆的概念的数量为0，因为没有任何内容掉下来。 类似地，人们可以将数字1定义为由满足上述条件（1）的所有概念组成的扩展，并将数字2定义为满足上述条件（2）的所有概念的扩展。 但这虽然这将定义一系列是数字的实体，但该过程实际上并不定义概念自然数（有限数）。 然而，弗雷格对如何做到这一点有所了解。

2.6自然数

为了定义自然数的概念，Frege首先定义，对于每个2个关系R，一般概念'x是R系列中Y的祖先。 这种新关系称为“关系的祖先”。 关系R的祖先在Frege's Begriffsschrift中定义（1879，第26节，命题76; 1884，§79）。 如果我们认为关系x是y的父亲，直观的想法很容易掌握。 假设一个是B的父亲，B是C的父亲，那C是D的父亲。 然后，Frege对'x的定义是父亲系列的祖先'确保A是B，C和D的祖先在本系列中，B是本系列中的C和D的祖先，并且该系列是D的祖先。

更一般地说，如果给出了一系列表单ARB，BRC，CRD等，Frege展示了如何定义关系R *，即，X是R系列中Y的祖先，哪个弗雷所说的：Y跟随X. R系列。 为了利用本定义，在自然数量的情况下，Frege必须定义关系X之前的关系和源于这一关系的祖先，即x是前任系列中的y祖先。 他首先定义了关系概念x之前y如下（1884，§76）：

x在Y IFF之前有一个概念f和一个对象z，使得：

z落在f下，

y是概念f的（红衣主教）的数量，

x是（红衣主教）的概念对象的数量落在z以外的f下

如果我们再次使用符号#f表示fs和λ-符号的数量[λuφ]命名复杂概念是一个对象u这样φ，frege的定义变为：

前面（x，y）=df∃f∃z（fz＆y =＃f＆x =＃[λufu＆u≠z]）

要查看此定义背后的直观思想，请考虑在第2号的第1号的情况下如何满足定义：有一个概念f（例如，让f =是Principia Mathematica的作者）和对象z（例如，设Z = Alfred North Whitehead）这样的：

怀特·怀特瀑布在Principia Mathematica的概念作者下，

2是Principia Mathematica概念作者的（红衣主教）数量，以及

1是Whitehead以外的Principia Mathematica概念作者的（红衣主教）数量。

请注意，最后一个结合是真实的，因为落在Whitehead以外的Principia Mathematica的概念作者下面有1个对象（即Bertrand Russell）。

因此，Frege具有前面的定义，其适用于有序对⟨0,1⟩，⟨1,2⟩，⟨2,3⟩，......。 Frege然后定义了这一关系的祖先，即，X是前任系列中Y的祖先，或之前的*。 虽然这里不会给出确切的定义，但我们注意到它具有以下后果：从10个前面的11和11之前的第12个之前的事实中，它遵循前任系列中的10个前面的* 12。 然而，注意，尽管10之前* 12,10不在12之前，但是对于之前的前面的概念是紧接在前的。 另请注意，通过定义优先关系的祖先，弗赖格有效地定义了相对于前任系列的x <y。

回想一下Frege定义了数字0，因为概念的数量是非自相同的，因此由此变得识别出所有无法示例的所有概念的扩展。 使用此定义，然后定义Frege（1884，§83）自然数如下：

x是一个数字= df x = 0或0是前任系列中的x的祖先

我们可能正式代表为：

数量（x）= dfx =0∨precedes*（0，x）

换句话说，自然数是从0开始的前任系列的任何成员。

使用此定义作为基础，弗雷格后来派生了数字理论的许多重要定理。 哲学家赞赏这项工作的重要性仅相对较近（C.Carsons 1965，Smiley 1981，Wright 1983，Booleos 1987,1990,1995）。 赖特1983年特别展示了Dedekind / Peano公理的数量如何从1884年讨论的弗雷格讨论的一致原则之一，现在称为Hume的原理（“FS的数量等于GS的数量只有在FS和GS之间存在一对一的对应关系，才会”）。 它最近被R. Heck [1993]所示，尽管Frege 1893/1903系统中的逻辑不一致，但弗雷格本人有效地从Hume的原则衍生了Dedekind / Peano公理。 虽然Frege使用了基本法v（当添加到他的二阶逻辑时产生不一致）以建立休谟的原则，一旦休谟的原则成立，Dedekind / Peano公理的后续推导就没有进一步的基本诉求法律五。在乔治布波罗的领先之后，哲学家今天称之为来自Hume的原则'Frege定理'的Dedekind / Peano公理的推导。 为了全面介绍本定理涉及的微妙和复杂的逻辑推理，请参阅入境弗雷格的定理和算术基础。

2.7弗雷格的逻辑概念

在收到来自Bertrand Russell的着名信之前，请告知他在他的系统中的不一致，弗雷格认为他已经表明算术可以降低逻辑的真实性。 然而，今天认识到，在最佳弗赖格展示算术将降低到仅由休谟的原则延伸的二阶逻辑。 一些哲学家认为休谟的原则是对的Wright 1999）。

但是，就此目的是弗雷格的工作介绍，事先有关于重点更重要的问题。 弗雷格认为算术的真实性遍布逻辑的分析真理，康德思想算术原则是合成的，在这种情况下，他们不会从分析真理中衍生来源。 他们不同的逻辑概念有助于解释为什么这两个哲学家来到这么不同的结论。 在本节中，我们转向以下问题：

Frege如何逻辑的概念与康德的概念不同？ 特别是：

康德和弗里基的资源（或法律）都认为是逻辑的？

康德和弗赖尔格是否同意逻辑的内容和主题？

Frege对逻辑的概念是如何不同的逻辑学家的思考？

第一个问题的答案设置了回答第二个问题的阶段。

2.7.1 Frege如何逻辑的概念与康德的概念不同

康德和弗赖吉之间最重要的差异是逻辑可用的资源。 康德的逻辑仅限于（a）aristotelian术语逻辑，具有简单的析取和假设命题理论，（b）代表概念的纳入关系（Macfarlane 2002,26）。 相比之下，弗雷格的逻辑包括（a）一个术语形成的运算符

，

ε

，这允许人们形成一个单数术语

，

ε

f（ε）来自函数表达式f（ξ），和（b）替换规则，它允许一个替代复杂的开放式公式，以便在逻辑定理中替代复杂的次级变量，但也允许一个来定义，并断言复杂概念的存在，包括在概念上的量词中定义的概念。 我们将讨论以下这两个资源，但首先，讨论需要一些上下文。

逻辑可用资源的差异围绕一个关键问题，即额外的资源弗赖尔格分配给逻辑，具体对“直觉”的教师，即逐个源呈现我们的思想与现象可以形成判决。 （回想一下，上面的讨论关于Frege的早期兴趣的呼吁直觉。）资源所做的辩论和不需要呼吁直觉的辩论是一个重要的辩论。 Frege继续由Bolzano（1817）开始的趋势，他消除了对微积分中的中间价值定理证明的上诉（其最简单的形式）断言具有正面和负值的连续功能必须越过起源）。 Bolzano从连续性定义证明了本定理，最近被提供了类似于限制的定义（见Coffa 1991,27）。 凯蒂安可以简单地绘制一个连续函数的曲线图，它在原点上方和下方取值，从而“演示”这样的功能必须越过原点。 但对图表的吸引力涉及对直觉的吸引力，博尔扎诺和弗赖尔格都认为这种吸引力是可能引入证明的逻辑差距。 有理由对此类吸引力有所怀疑：（1）有些功能我们无法进行图形或以其他方式构造给我们直观的教师，例如，将Rational Numbers映射到0的函数F和1），或者威尔特尔特的函数，它无处不在，但无处不在; （2）一旦我们采取某些直观的概念并在明确定义方面正式化，正式的定义可能意味着违反直觉结果; （3）从建筑和背部的陈述的推理规则并不总是明确。

弗里吉致力于消除算术基本命题证明的上诉的想法。 在他的职业生涯中，他明确评论了这一事实（1879年，前言/ 5，第III部分/第23部分; 1884，§§62,87; 1893，§0;和1903，附录）。 因此，他会否认康德的诡计（A51 [B75]），'不受敏感，没有对我们的对象给出'，而不是0和1是物体，但它们不能在感觉中给予我们'（1884,101）。 Frege的观点是，如果我们（a）将它们定义为概念的扩展

，

ε

F（ε）可以通过分析命题公理化。 （后者将通过基本法律v，因此根据Russell的Paradox的崩溃破坏了他计划的这一部分，以避免上诉。）

此外，哲学家质疑弗雷格的替代规则（Grundgesetze I，1893，第48项，第9项）还需要呼吁直觉。 替代规则允许在逻辑定理中替代复杂的二阶变量以产生新的逻辑定理。 Boolecs认为（1985,336-338），因为Frege的替代规则相当于理解原则的概念，它是越野的。 概念的理解原理asserts（fx≡φ），提供φ没有自由变量f; 普罗夫斯阻止了实例∃f∀x（fx≡¬fx-fx），从中可以快速推导出矛盾。 因此，概念的理解原则断言了对应于对象上的每个可表达条件的概念的存在。 从康德的角度来看，这种存在声称被认为是综合性的，需要由直觉的能力理由。 因此，虽然它是逃逸目标之一，以避免对直觉的能力上诉，但他的二阶逻辑系统（减去基本法v）有一个问题，这意味着一个原则，它暗示了各种概念的存在其范围有限于分析性质的纯粹逻辑规律。

如果我们现在抛开他们对逻辑资源的差异以及对直觉的吸引力，那么有其他方式逻辑和逻辑的逻辑概念不同。 Macfarlane（2002）和Linnebo（2003）都指出，康德的中心景观之一关于逻辑的是其公理和定理纯粹是正式的（即，从所有语义内容中抽象出来，只有判断形式）并且适用于所有物理和数学科学（1781 [1787]，A55 [B79]，A56 [B80]，A70 [B95];和1800,15）。 而康德认为逻辑规律是规范和规范性的（一个人可以出错的东西），而不仅仅是描述性（1800,16）; 他们提供了本构规范的思想（MacFarlane 2002,35; Tolley 2008）。 事实上，Linnebo需要两个论文，那个逻辑是正式的，并提供具有本构规范的法律，与康德的概念相同（Linnebo 2003,240）。

相比之下，弗雷格拒绝了逻辑是纯正正式的企业（MacFarlane 2002,29; Linnebo 2003,243）的想法。 他接受了逻辑拥有自己独特的主题，这不仅包括关于概念（关于否定，总和等）和身份的事实，而且还包括关于关系的事实（例如，他们的物业和众所周知）。 弗雷格（1906,428 [1984,338]）说：

正如概念点属于几何形状，所以逻辑也有自己的概念和关系; 它只是因为它可以拥有内容。 对此是适当的，它的关系并不正式。 没有科学完全正式; 但甚至引力力学在一定程度上是正式的，就像光学和化学性质一样。 例如，对于逻辑，例如，属于以下内容：否定，身份，归档，概念的下属。

当然，正如我们所看到的那样，Frege应该有一个特殊的逻辑对象（价值观的课程），其中他定义了，直到罗素的悖论面对 - 剥夺了自己的事实，延伸和自然数（1884年，1893/1903年）。 那么，逻辑，不纯粹是正式的，从Frege的角度来看，而是可以提供对概念和物体的实质性知识。