Alfred Tarski（二）

（b）假设所有可执行判决的阶级都是一致的，因此不可能在LGTC +（CF.Trski 1983b，第247页）的基础上，在“公约”T的基础上，在会议意义上建立足够的真理定义。

定理的部分（b）是部分（a）的琐碎后果，因为它是一个不包含句子及其否定的一致系统的标志。 部分（a）的证据是哥德尔对角化技术的应用。 以下是使用与更熟悉的案例和现代化的，流线型表示法所描述的基本步骤。

查看LGTC，好像它是一阶算法的标准语言L. 假设我们将其扩展到谈论L的语法（这不是Tarskian Metalanguage，因为它不包括“充分发达的数学逻辑系统”，但这一切都只是为了说明的目的）。 拨打扩展l +。 然后L +可以使用Gödelian技术在L中“解释”，通过该技术，粗略地，其中一个人可以将L +转换为L算出它，使L +的定理翻译为定理L.现在假设φ（n）是L的第n表达式（并且该函数在L +中可定义），D（x）是L的对角线函数，用于L的表达式（其在L +中是可定义的;在这里，我记得涉及免费替代数字变量），让n是n的数字。 然后，对于在L +中定义的L的表达式的每个谓词e（x）可以在L +形式的一般句子中证明∀n[¬e（φ（n）））↔ψ（n）]，其中ψ（n）是完全自由变量的公式构造在L（通过L +谓词“¬e（d（φ（n）））”）“）。 然后一个人还可以证明句子¬e（d（k）））↔ψ（k），其中k是ψ（n）的Gödel数。 d（φ（k））是句子ψ（k），所以ψ（k）是谓词¬e（x）的“固定点”：它“本身”是由¬e（x）表示的属性。 句子¬e（d（φ（k）））↔ψ（k）已经等于句子¬[e（k））↔ψ（k）]，并且证明了定理I的部分（a）。

在PostScript到1935年的德语翻译的专着真理，Tarski Abandons 1933年要求，联系的装置可在有限类型的理论中可编程，并接受使用更强大的经细制类型理论，在哪里Transfinite对象是较低类型的对象的类，或使用设定理论的使用。 Tarski注意到满足的关系和LGTC（和LGTC +）的真相谓词在这些更强大的骚扰中可定义（参见Tarski 1983b，pp.271-2）。 但他还说，无限性定理的证据可以适应，通常，一般来说，如果金属语征的顺序最多与语言本身的顺序最多不能定义真理谓词“（Tarski 1983b，p.273）。

3.合乎逻辑的后果

Tarski介绍了Tarski（1936A）的逻辑后果理论（德国版，Tarski 1936b; The Polish的英文翻译，Tarski 2002;德语翻译德语，Tarski 1983C）。 这种经典论文始于一些关于后果概念的精确定义的可能性的一般性备注。 这些言论的本质是，由于共同的概念模糊不清，因此似乎难以困难，也许是不可能的，并且可以在相应的精确概念的定义中调和其使用的所有特征。 然而，Tarski说，逻辑学者直到最近他们已经想到了他们设法定义了一个精确的概念，以完全在扩展中与直观的后果概念相互作用。 Tarski提到近几十年来了解数学逻辑的非凡发展，这表明了“如何呈现形式的形式的演绎理论形式的数学学科”（Tarski 1983C，第409页）。 在这些理论中，由推理的原理和定理提取后果，“例如替代和分离规则”（Tarski 1983c，p.410），纯粹的句法（或“结构”，Tarski的话语）自然。 “只要其他句子从其他句子中遵循，就可以从它们获得 - 所以它是通过规则规定的转变的考验”（Tarski 1983c，p.410）。 根据Tarski的说法，逻辑学的这种信念是通过“他们实际上成功地在形式的正式证据形式中复制了曾经在数学中进行的所有确切推理的事实”（Tarski 1983c，第410页）。

但Tarski继续声称，对逻辑学家的信仰是错误的。 存在一些非模糊的案例，其中从该语言的一组其他句子中的一组其他句子的直观感应遵循一定的句子，但不能使用已接受的公理和规则来派生它们。 这些病例由一些Ω-不完整的理论，其中一些谓词p句子提供的理论提供

a0。 0拥有给定的属性P，

a1。 1拥有给定的属性P，

通常，可以证明所有表格的句子都可以证明，但普遍句子

答：每个自然数都拥有给定的属性P，

不能根据公认的公理和推理规则证明。 （LGTC提供了这样一个理论的一个例子。）“但直观地似乎肯定似乎在通常的特定句子A0，A1，......，......，......，......的普遍句子。 提供所有这些句子都是真的，句子A也是如此“（Tarski 1983c，p.411）。

tarski考虑将Ω-规则添加到已接受的推理规则，即允许我们从句子A0，A1等集合中推断出普遍句子的规则。然而，他说这样的规则非常不同旧规则的基本方面：它不是一个有关的统治，而常见的演绎系统中的所有接受规则都是合理的。 此外，TATSKI立即远离通过形式化的有限ω规则进行补充旧规则的进一步建议。 他指出，鉴于哥德尔的不完整结果，无论我们增加了多少新的综合规则或公理，我们都会增加一定的高阶理论，它们仍将保持不完整的理论，实际上ω-不完整的理论。 此讨论足以表明“为了获得适当的后果概念，这是对共同概念的必需品，我们必须采取完全不同的方法，并在定义它时应用相当不同的概念设备”（Tarski 1983c，p。413）。 Tarski的不同方法和不同的概念设备将成为“近年来为建立科学语义而开发的方法，以及用援助定义的概念”（Tarski 1983c，p。414;一个脚注将我们指的是Tarski的真相）。

欣赏Tarski的逻辑后果理论的最佳方式以及它如何构成Tarskian语义的方法是看它如何应用于一个简单结构的特定形式语言，这是Tarski似乎主要有介意在1936年的论文中。我们将为基本算术的片段选择这种简单的语言。 这种语言可以获得此快速描述：

Lar的原始迹象：∀，→，¬，（，），x n（一个半代谓），m（一种二元谓词）。

LAR的语法：原子公式是形式NT1和MT1T2，其中T1和T2是变量或常数0.通过否定，条件化和通用量化而获得复合公式，以“n”相对。

解释LAR：变量的范围是所有自然数的集合。 n代表一组自然数和m，用于少于自然数量的关系。 其他迹象意味着你会期待什么。

在1936年，纸张Tarski似乎正在思考，其中（如在LAR）上存在谓词（在LAR的情况下）的谓词，其完全适用于语言的预期解释的域中的个人。 他在其他地方说，这种语言的变量专门用于该集合的个人（CF.Trski 1937，第84页）。 （这并不是说Tarski与他考虑的所有语言采用这些公约。例如，他不用这样的语言，如LGTC，用于谈论任意个人，而不是它们的特定组）。[2]

在考虑到他的理论的提出初步时，Tarski表示，当正式语言的句子X（例如，LAR）是那种语言的句子的集合K的逻辑后果，与房屋k和结论x的争论具有以下财产，即tarski呼叫“条件（f）”：

（f）如果在k类的句子和句子x中，则与纯粹逻辑常数的常数 - 被任何其他常数替换（如无处不在的迹象，如符号符号），如果我们表示从k逐次获得的句子“K'”，并且从x通过“x”获得的句子，然后句子x'必须是真的，只要k'的所有句子都是真的（tarski 1983c，p.415）。

让我们用一个例子澄清条件感（f）。 考虑一种语言LAR +，它是LAR，但除了另一种单独的常量，“2”和另一个二进制谓词，“PD”，其期望的解释是分别的第二前任的第2和关系。 让K成为LAR +：{“∀x（nx→¬mx0）”的以下句子集，“n0”}（这些句子为真）; 让x成为“¬m00”句子。 附近k和结论X的论点直观地依赖于直观; 因此，根据Tarski，它必须验证条件（f）。 这意味着通过非逻辑常量统一更换非逻辑常量获得的任何参数必须是一个论据的论据，即房地是真实的，结论是错误的。 让我们假设LAR +的非逻辑常数是“0”，“N”，“M”，“2”和“PD”。 用“2”和“pd”替换为“0”，在参数中用房屋k和结论x替换为“pd”，并调用由此产生的房屋组和结论“k”和“x”。 也就是说，k'是{“∀x（nx→¬pdx2）”，“n2”}和x'是“¬pd22”。 凭条件（f），与房屋k'和结论x'的论点必须是一个争论，即房屋的情况是真实的，结论是假; 这实际上是这种情况：第一个前提是假的，第二个前提和结论是真实的。

Tarski奇迹如果可以提供条件（f）作为逻辑后果关系的定义，即我们不仅可以作为必要的，而且是一个有必要的逻辑后果实例的必要条件，也是如此。 他的答案是我们不能。 原因是条件（f）

事实上，可能只满足，因为我们处理的语言没有足够的逻辑常数库存。 如果所有可能对象的名称发生在有关语言中，才能将条件（f）视为足够的句子x遵循。 然而，这种假设是虚构的，永远无法实现（tarski 1983b，pp.415-6）。

tarski注意到，为了成为一个逻辑后果的实例，它不必足够的是相同形式的所有参数都是论据的论点，而这些房屋是真实的并且结论假。 可以想到，可以通过某种对象（个人，设置等）来解释参数的非逻辑常数，以这样的方式，使得因此重新解释的前提变为真实并且结论变为假，而且（一些）这些物品不是由正在考虑的语言的非逻辑常数表示; 在这种情况下，我们不会说该论点是逻辑后果的一个例子，尽管它会满足条件（f）。

举例说明，假设我们考虑的语言是Lar +。 由于缺少的关系和在基于自然数的域中的即时前任是反叛的，因此句子“∀x（nx→¬mxx）”是标准上每组房屋的逻辑后果（f）：没有用Lar +的其他非逻辑常数替换非逻辑常数“n”和“m”，这句话变成虚假。 但显然“∀x（nx→¬mxx）”不是一个逻辑的后果，例如“n0”。 这可以是合理的，例如，保持固定的通常解释“0”和“n”，但观察“m”可以通过反射关系来解释为小于或等于; 在这种解释下，“∀x（nx→¬mxx）”是假的，虽然“n0”是真的。 （Tarski的备注说明所有对象都有语言中的名称不能实现，例如，通过观察有不可燃烧的自然数量，但他认为只有可恶劣的语言，只有不可否认的语言。）

Tarski的提案包括更严格的条件（f）所表达的要求，以便纳入逻辑上正确的论点不能以这样的方式重新解释，即所以的情况成为真实的方式，结论假; 换句话说，句子x是一组句子k的逻辑结果，当k的所有句子都是真实的每一个解释都是一个x真实的解释（或者，使用常见术语，当每个解释都保留了真实性时在结论中的场所）。

正如Tarski所说，通过对所有解释的概念理解逻辑后果的概念的想法并不是他的时间的原始想法，而是他的时间的逻辑和数学实践中隐含了一个（特别是对兴趣的数学家独立证明）。 Tarski的提议是什么新的，即他使用他开发的令人满意和真理的数学表征的装置精确的想法。 他没有提供详细的例子，但它似乎是合理的，他如何从他（1936A），（1936B）和（1937）中所提供的迹象开始。

Tarski使用一定的精确解释对正式语言的概念。 在我们的示例中，对LAR的解释是将适当的对象分配给LAR的非逻辑常数的适当对象：一组各个A到“n”，单个A到“0”和各个R到“M”之间的二进制关系。 此外，他总是要求通过分配给非逻辑谓词的设置的解释分配给其他非逻辑常数分配的对象，该非逻辑谓词将量化范围限制为特定的个体集（在LAR的情况下）（CF.Trski 1937，§34）; 因此，在分配给“0”的情况下，分配给“0”的单个必须属于分配给“n”的集合，分配给“m”的关系必须是分配给“n”的集合中的对象之间的关系。

tarski介绍了句子功能的概念。 句子S的句子函数s'是统一替换在s中出现的非逻辑常量的结果，其具有相应的类型的类型（以及与语言中已经存在的变量不同）。 例如，由句子“∀x（nx→¬mx0）”确定的围绕函数是表达式“∀x（px→¬yxy）”（其中“p”，“y”和“y”是新的变量）。 同样可以以类似的方式定义公式功能的更一般的概念，不同之处在于现在S可以是开放式公式。 Lar的句子的句子函数通常是句子，因此它们并不总是是真或假的。 但对于对LAR的解释，他们将永远是真实的或虚假的; 或者，正如Tarski所说的那样，他们将通过对LAR的解释来满足。

可以使用解释来满足句子功能的满足概念，可以使用Tarskian方法来定义满意度。 例如，Lar的解释＜a，a，r＞相对于序列f满足公式函数x（如果才有才能为序列f（从a为lar的原始变量分配值）

（i）x是pxn（一些n）; 或x是py; （ii）x是yxnxm（对于一些m和n）和＜f（xn），f（xm）＞∈r; 或x是YYXN（对于某些n）和＜a，f（xn）＞∈r; 或x是yxny（对于某些n）和＜f（xn），a＞∈r; 或x是yyy和＜a，a＞∈r; 要么

有一个公式函数Y，使得X是¬Y和＜a，a，r＞不满足y相对于序列f; 要么

有公式函数y和z使得x是（y→z），并且＜a，a，r＞相对于序列f或＜a，a，r＞不满足y满足z相对于序列f; 或者，最后，

有一个公式函数z和一个数字n，使得x是∀xn（pxn→z），并且每个序列g为lar的（原始）变量分配来自f的（最初）与它分配给xn的f最多，这使得＜a，a，r＞满足Z相对于g. [3]

这是一种递归定义，完全平行于通过序列在Tarski专着关于真理的对LCC的满意度定义的定义中的定义，我们在上文第1节中看到。 以与该定义相同的方式，可以通过相同的方法将刚刚给出的那个刚刚给出的。

句子功能满意度的概念易于在公式功能的定义概念方面表征。 说解释＜a，a，r＞满足句子函数x，如果且仅当＜a，a，r＞相对于每个序列满足公式函数x。 这个定义类似于Tarskian的真理定义。

就定义了满足概念而言，Tarski介绍了句子模型的概念。 句子S的模型是满足S的句子功能S'的解释; 更一般地，一组句子K的模型是满足由k的句子确定的所有句子函数的解释。并且就模型的定义概念，tarski提出了他定义的逻辑后果的概念。 一个句子x是set k中的句子的逻辑结果，如果设置k的每个模型也是句子x的模型，则只有当x（cf. tarski 1983c，p.417）。 Tarski也提出了一个逻辑事实的定义概念（他使用相同的装置使用表达“分析真理”）：句子是一个（tarskian）逻辑真理，如果虽然是S是Trskian的类似概念的模型。可以使用相同的方法对其他语言定义逻辑后果和逻辑真理，我们遵循了LAR，只需做出明显的变化。

在介绍他对逻辑后果的定义之后，Tarski立即增加了条件（f）可以显示持有在定义的概念下的参数：

在此定义的基础上，可以证明，这是真正句子的结果必须是真的，并且还有在给定句子之间持有的后果关系完全独立于这些句子中发生的额外逻辑常量的意义。 简而言之，可以表明，如果句子X从k（Tarski 1983c，p.417）的句子中遵循句子x是遵循的，则需要上面制定的条件（f）。

（证明Tarski似乎铭记：假设X是k的tarskian逻辑后果;然后没有k的模型，这不是x的模型;所以没有＜k，x，x＞没有替换实例＜k'，x'＞K'中的句子是真实的，x'是假的;如果有一个这样的话，它将很容易地提供由＜k'，x'＞的额外逻辑常数的扩展构成的解释 - 这将构成一个不是模型的k模型X.但是这是否是Trsski的验证是一个有争议的卓越问题。）

因此，正如要期望的那样，如果逻辑后果的定义关系保持给定对＜K，X＞，那么条件（F）也适用于它。 （虽然这可以显示，但逆转不能;也就是说，如果x和k满足（f），那么根据Tarski的定义，x遵循x。但这是正确的，因为Tarski已经指出，（f）不是充分的条件对于普通的后果概念。）

4.逻辑常数

Tarski并没有认为第3节的建设完全解决了提供“一种物质充分定义的后果概念”（Tarski 1983C，第418页）的问题。 根据Tarski的说法，仍然是解决这个问题的最重要的困难是由“我们的整个施工是逻辑和额外逻辑和逻辑”（Tarski 1983c，第418页）的所有语言的划分的划分的问题而产生的最重要的困难。 这种情况是可忍受的，因为Tarski在1944年的字母中说：“很明显，对于我们对我们熟悉的所有语言来说，可以给出（或者相反：已经给出了”逻辑术语“和”逻辑事实“）的定义; 而且，他们证明富有成效，这真的是最重要的。 我们可以定义“逻辑术语”，例如枚举“（tarski 1987，p.29）。 但由于该部门不是基于一般适用于任意语言的逻辑术语的先前特征，因此逻辑后果的定义并不完全一般，因此不满意。 在最近段落的后果案例中，Tarski说，问题的积极解决方案将“使我们能够证明逻辑和逻辑表达式之间的传统边界”（Tarski 1983c，p.420）。 事实上，这是Tarski的边界是“我们整个讨论的潜在讨论”。