图（一）

1.简介

2.作为代表系统的图表

2.1欧拉图

2.2 venn图

2.3 Peirce的延期

2.4图为正式系统

2.5欧拉圈重新审视

3.图空间特性的后果

3.1关于图形表示和推理的限制

3.2图的疗效

4.几何图形系统

4.1关于Euclid的图表从4世纪BCE到20世纪CE的观点

4.2官员的确切/共同精确区别和一般性问题

4.2.1确切/共同精确区别

4.2.2欧几里德建筑的一般性问题

4.3正式的系统FG和EU

5.图表和认知，应用程序

5.1一些其他图解系统

5.2作为心理表示的图表

5.3图的认知作用

摘要

参考书目

参考文献

相关文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.简介

图表或图片可能是最古老的人类交流形式的等级。 它们不仅用于代表性，而且还可以用于开展某些类型的推理，因此在逻辑和数学中发挥着特殊作用。 然而，句子表示系统（例如，一阶逻辑）在现代逻辑历史中占主导地位，而图表在很大程度上被视为边际兴趣。 图通常采用图表在探索证据时是一种启发式工具，而不是作为证明的一部分。[2] 它是哲学家，逻辑学家，认知科学家和计算机科学家之间的最近运动，专注于不同类型的代表系统，并且特别研究了很多研究尤其集中在图解系统上。

挑战对视图的长期偏见，对多种模式推理的人进行了不同类型的方法，我们可能分为三个不同的群体。 可以在思想哲学和认知科学中找到一个研究分支。 由于语言形式的限制对于那些一直致力于精神表现和推理的人来说，一些哲学家和认知科学家们充满了热情的多模态推理的新方向，并探讨了人类推理和涉及非的心理代表性语言形式（康明斯1996; Chandrasekaran等，1995）。 关于图解推理的另一条工作表明，符号和图解系统之间的内在差异，就像他们的逻辑状态一样。 一些逻辑学者已经提出了案例研究，以证明图解系统可以具有声音，并且与符号系统相同的感觉。 这种类型的结果直接驳斥了广泛的假设，即图表是固有的误导性，并废除了对证据中使用的图表的理论异议（Shin 1994; Hammer 1995a）。 计算机科学家们采取了多模态推理的第三方向，其利益比其他群体更实用。 不是那么令人惊讶的是，在计算机科学中的许多领域工作的人 - 例如，知识表示，系统设计，视觉编程，GUI设计，以及在这个新的“异构系统”概念中找到了新的和令人兴奋的机会，并在其研究领域实现了概念图表。

我们有以下目标的目标。 首先，我们想熟悉一些特定视图系统的细节。 与此同时，该条目将通过探索表达权力和正确性方面的图解表现和推理的性质来解决理论问题。 对第二部分的案例研究不仅可以满足我们的第一个目标，而且还将为我们提供坚实的材料，以便在第三部分中的更为理论和一般性讨论。 第四部分提出了另一个案例研究，并根据第三部分的一般讨论考虑它。 如上所述，图表主题引起了许多不同研究领域的重要结果的关注。 因此，我们的第五部分旨在引入各种方法，以涉及不同领域所采取的概要推理。

为了进一步讨论，我们需要阐明“图表”字样的两个相关但不同的用法：图表作为内部心理表示和作为外部表示的图表。 来自Chandrasekaran等人的以下报价。 （1995：p。xvii）简明扼要地巩固了内部与外部图形表示之间的区别：

外部视图表示：这些代理由外部世界（纸张等）中的介质中的代理构建，但是符合代理人的陈述。

内部图形或图像：这些包括（争议）内部表示，该内部表示具有一些图形属性。

正如我们将在下面那样看到的，逻辑人们专注于外部图形系统，思想哲学家和认知科学家之间的图像辩论主要是关于内部图表，并研究图表触及两种形式的认知作用。

2.作为代表系统的图表

现代逻辑史上的信条代表系统的主导地位掩盖了关于图解系统的几个重要事实。 其中一个是，在现代逻辑时代之前，几种着名的示意图是一种启发式工具。 欧拉圈，Venn图和Lewis Carroll的正方体已被广泛用于某些类型的三段学推理（欧拉1768; venn 1881; carroll 1896）。 另一个有趣但被忽视，故事是，现代象征逻辑，查尔斯佩尔斯的创始人，不仅修改了Venn图，而且还发明了一个图形系统，存在的图形，已被证明是相当于谓语语言（Peirce 1933;罗伯茨1973; Zeman 1964）。

这些现有图激发了这些研究人员，最近引起了对多模态代表性的关注。 参加该项目的逻辑人以两种不同的方式探索了主题。 首先，他们的兴趣专注于外部绘制的代表系统，而不是内部心理表现。 其次，他们的目标是建立一个系统的逻辑状态，而不是通过测试选择性表示系统的正确性和表现力来解释其启发式力量。 如果系统未能证明其声音或其表达力量过于有限，则逻辑师对该语言的兴趣将褪色（Sowa 1984; Shin 1994）。

在本节中，我们研究了欧拉和Venn图的历史发展，作为案例研究，以说明以下几个方面：首先，这个过程将向我们逐渐开发出一个数学家的简单直观，逐渐发展成为正式的代表系统。 其次，我们将观察到不同阶段的不同阶段的不同阶段的图解系统。 第三和相关的，这一历史发展说明了图解系统的表现力和视觉清晰度之间有趣的张力和权衡。 最重要的是，读者将目击逻辑人解决问题，无论是有内在的原因是否有句子系统，但不是图解系统，可以为我们提供严格的证据，以及他们在负面回答这个问题时的成功。

因此，读者对由BarWise和Etchemendy绘制的下列结论不会感到惊讶，第一个逻辑管理员在逻辑上发射探究性的探究性，

使用文本和使用图表的推断形式主义之间没有原则性的区别。 一个可以严格，逻辑上基于图表的正式系统。 （Barwore＆Etchemendy 1995：214）

这一定罪是对其创新的计算机程序诞生的诞生是必要的，它采用一阶语言和图表（在多模态系统中）来教授基本逻辑课程（BarWise和Etchemendy 1993和Barwore＆Etchemendy 1994）。

2.1欧拉图

Leonhard Euler是18世纪的数学家，采用了闭合曲线来说明三段推理（欧拉1768）。 这四种分类句子由他表示，如图1所示。

四个案例：第一个标记为“所有a是b”的内圈，在标有'b'的外圈内完全标记为'a'; 第二个标记的'否a是b'具有两个非重叠圆圈，一个标有'a'和另一个'b'; 第三个标记为“一些是B”具有两个重叠圆圈，重叠被标记为“A”，并且一个圆的非重叠位标记为“B”; 标记为“一些不是b”的第四个例例具有两个重叠圆圈，一个标记为“a”的非重叠位，另一个标记为'b'和另一个的非重叠位

图1：欧拉图

对于两个通用陈述，系统以直观的方式采用圆圈之间的空间关系：如果标记为'a'的圆圈，则标记为'b，'然后图表表示所有A是B的信息。如果两个圆圈之间没有重叠部分，则该图传达了没有A是B的信息。

该代表由以下公约管辖：[3]

域中的每个对象X都被分配了一个唯一的位置，例如，在平面中，使得L（x）在区域r中，如果x是区域R代表的集合的成员。

这种表示的力量在于，作为一个集合的对象是容易概念化的，因为作为页面内部的物体掉落，就像页面上的位置被认为是落在或外部绘制的圆圈中一样。 系统的权力也在说明，不需要额外的约定来建立涉及多个圆圈的图表的含义：通过表示它们的圈子中的相同关系，套件之间的关系持有。 两个普遍陈述的表示，“所有Aare B”和“No A是B”，说明了系统的这种强度。

继续前进两个存在陈述，不保留这种清晰度。 Euler证明了“一些是B”的图，说我们可以在视觉上推断出A中的某些东西也包含在B中，因为区域A的一部分包含在区域B（欧拉1768：233）中。 显然，欧拉本人认为，在这种情况下，可以使用相同类型的视觉遏制关系以及普遍陈述的情况。 然而，欧拉的信仰是不正确的，这一代表提出了破坏性的歧义。 在该图中，不仅是在B区域B中包含的圆圈A的一部分（作为欧拉描述），但以下是真的：（i）圆B的一部分包含在圆形A的区域A（ii）部分中不包含在圆形B（III）部分中不包含圈A.也就是说，第三图可以被读出，因为“有些B是A”，“有些是不是B”，“有些B不是”以及“一些是B” 为了避免这种歧义，我们需要设置几个约定。[4]

欧拉的自己的例子很好地说明了他的图解系统的优势和弱点。

示例1.所有A是B.所有C都是A.因此，所有C都是B.

三个同心圆，最内心的一个标记为'c'，下一个标记为'a'，最外面的一个标有'b'

举例2.没有A是B.所有C都是B.因此，没有C是A.

在左边一个圆圈标记为“A”和右侧的两个同心圆，内部标记为'C'和外部标记为'B'

在两个示例中，读者可以容易地推断得出结论，这示出了欧拉图的视觉上强大的特征。 然而，当存在存在性陈述时，如上所述，事情变得更加复杂。 例如：

例3.没有A是B.有些C是A.因此，有些C不是B.

没有单图可以代表两个场所，因为设置B和C之间的关系不能在一个图中完全指定。 相反，欧拉建议以下三种可能的情况：

三种情况：案例1在左两个重叠圆圈上，重叠被标记为'C'，第一个圆圈的非重叠部分标记为“a”; 在右边并分开是标有'B'的第三个圆圈。 案例2具有三个圆圈，两个圆圈重叠和重叠部分被标记为'C'，并且第一圆的非重叠部分标记为“a”; 在第二圆的非重叠部分中，标有“B”的第三圆。 壳体3类似于外壳2，除了第三圆圈不是完全在第二圆的非重叠部分内; 第二个圆圈外的第三个圆的部分标记为“b”

Euler声称，可以从所有这些图中读出这个命令'某些c不是b'。 然而，远视清楚的是前两个案例如何引导用户读取该命题的方式，因为用户可以从壳体1读取“No C是B”，并且来自壳体2的“所有B是C”。

因此，存在陈述的表示不仅掩盖了欧拉圈的视觉清晰度，而且对系统提出了严重的解释问题。 欧拉本人似乎认识到这一潜在问题，并引入了一个新的句法设备，'*'（代表不空虚）作为修复这个缺陷的尝试（1768：letter 105）。

但是，当此系统未能代表单个图中的某种兼容（即一致）信息时，发现更严重的缺点。 例如，Euler的系统可以防止我们绘制表示以下对语句对的单个图表：（i）“全A是b”和“否a是b”（如果a是空集是一致的）。 （ii）“所有A是B”和“所有B是A”（当A = B时是一致的）。 （iii）“有些是b”和“全部是b”。 （假设我们为前一个命题提供了一个欧拉图，并尝试添加一个新的兼容信息，即后者。）这种缺点与Venn为自己的图解系统的动机密切相关（参见第3.1节欧拉系统的其他缺点）。

2.2 venn图

Venn对欧拉圈的批评总结在以下段落中：

这一[欧拉图]和所有类似方案中的弱点包括：它们仅在严格地说明彼此的实际关系中，而不是我们可能拥有的这些关系的不完美知识，或者可能希望通过命题来传达。 （Venn 1881：510）

由于其严格，欧拉的系统有时在单个图表中表示一致的信息，如上所示。 除了这种表达限制之外，由于平面图上的拓扑限制，欧拉的系统还遭受了相对于非空集的其他相关限制（参见第3.1节）。

Venn的新系统（1881）是为了克服这些表达限制，以便可以代表部分信息。 解决方案是他对“主要图”的想法。 主图表示许多集合之间的所有可能的定理关系，而不会对它们进行任何存在的承诺。 例如，图2显示了关于设置A和B的主要图。

两个重叠的圆圈，第一个标记为'a'和第二个标记的'b'

图2：Venn的主要图

根据Venn的系统，该图不会传达关于这两套之间关系的任何特定信息。 这是欧拉和Venn图之间的主要区别。

对于普遍陈述的代表，与欧拉图的视觉清晰的空间遏制关系不同，Venn的解决方案是“将它们的[适当的区域]出来'（Venn 1881：122）。 通过使用此语法设备，我们获取通用语句的图表，如图3所示。

两个venn图。 第一个标题为“所有A是B”，并由标有两个重叠圆圈的“A”和'B'组成，该部分与B不重叠的部分是阴影。 第二个标题为“否a是b”，也包括标有两个重叠圆圈的“a”和'b'组成，两个圆圈的重叠是阴影。

图3：Venn的阴影

Venn的色调的选择可能不是绝对任意的，因为阴影可以被解释为可视化空虚的可视化。 但是，应该指出的是，着色是欧拉没有使用的新句法设备。 该修订对系统具有灵活性，使得某些兼容的信息可以在单个图中表示。 在下文中，左图中的图组合了两条信息，“所有A是B”和“否A是B”，以在视觉上传到信息“没有是A.”的信息 右侧的图表，它表示“所有A是B”和“所有B是A”，清楚地表明A与B：

两个venn图：第一个有两个重叠圆圈标记为'a'和'b'; 圈子A阴影。 第二个也是两个重叠圆圈标记为'a'和'b'，两个圆圈都是阴影，除非它们重叠

事实上，使用主图还避免了下面讨论的一些其他表达性问题（与图对象的空间属性），在第3节中，令人惊讶的是，Venn对存在性陈述的表示沉默，这是欧拉图的另一个难度。 我们只能想象venn可能引入了代表存在承诺的另一种句法对象。 这是Charles Peirce在大约二十年后做了什么。

2.3 Peirce的延期

Peirce指出，Venn的系统无法代表以下类型的信息：存在陈述，析出信息，概率和关系。 Peirce旨在扩展venn的系统，以表达权力相对于前两种命题，即存在和分析陈述。 通过以下三个设备完成此扩展。 （i）用新的符号'o'代替表示空虚的venn的阴影。 （ii）介绍存在导入的符号“x”。 （iii）用于析出信息，引入连接'o'和'x'符号的线性符号'-'。

例如，图4表示语句，“所有a是b或者是b”，它既不在单个图表中代表。

两个重叠的圆圈标记为'a'和'b'; 在重叠内部是一个标签'x'和圆圈的非重叠位的内部a是一个标签'o'; 一条线将“x”连接到'o'

图4：Peirce图

Peirce用符号'o'替换Venn的空虚遮荫的原因似乎是显而易见的：连接阴影或阴影和x x以表示分析信息并不容易。 通过这种方式，Peirce增加了系统的表现力，但这种变化并非没有成本。

例如，下图表表示命题'所有A是B，有些是a是b，或者没有a是b，一些b不是a'：

两个重叠的圆圈标记为'a'和'b'; 首先，在圆圈A的非重叠部分内部是一个由一条线连接到重叠内部的“O”; 其次，也是圆形A的非重叠部分中的另一个“o”在圆圈'b'的非重叠部分中的一行连接到“x”; 在两个圆圈的重叠部分中的第三是由一条线连接的'x和'o'; 重叠部分中的第四个“x”在圆b的非重叠部分中的一行连接到“x”。

读取此图需要读取圆圈（如欧拉图中的视觉遏制）或阴影（如在Venn图中），但也需要额外的约定来读取符号'O，''X，'和线路的组合。 Peirce的新公约增加了单一图的表现力，但其惯例的任意性和更令人困惑的陈述（例如，上图）牺牲了欧拉原始系统享有的视觉清晰度。 此时，Peirce自己承认“对意义至关重要的表达”（Peirce 1933：4.365）存在巨大复杂性。 因此，当Peirce的修订完成后，大多数Euler关于可视化的原始想法都丢失了，除了几何对象（圆圈）用于表示（可能为空）集。

对图表研究的另一个重要贡献Peirce从以下评论开始：

“规则”在这里使用的是我们谈到代数的“规则”的意义; 也就是说，作为严格定义的条件下的许可。 （Peirce 1933：4.361）

Peirce可能是第一个讨论非信赖表示系统中转型规则的人。 以同样的方式告诉我们允许哪些符号转换，这是图表的规则，因此应该操作规则。 Pierce的六条规则需要更多澄清，结果是不完整的 - 佩雷斯本人预期的问题。 然而，更重要的是，Peirce没有任何理论工具 - 在语法和语义之间清楚地区分 - 说服读者每个规则是正确的或确定是否需要更多规则。 也就是说，他的重要直觉（可能是图表的转型规则）仍然是合理的。