图（二）

2.4图为正式系统

Shin（1994）在两个方向上追随Peirce的工作。 一个是改善Peirce的Venn图表版，另一个是为了证明这个修订系统的声音和完整性。

Shin的工作改变了Peirce对Venn图的修改，实现了表现力的增加，而没有这种严重的视觉清晰度。 此修订是在两个阶段进行的：（i）Venn-i：保留Venn的阴影（用于空虚），Peirce'x'（对于存在的导入）和Peirce在'X之间的连接线（用于分析信息）。 （ii）Venn-II：该系统被证明是对Monadic谓词逻辑相同的，与Venn-i相同，除了新引入图表之间的连接线来显示分离信息。

返回欧拉的示例之一我们将清楚地看到这些不同版本之间的对比：

例3.没有A是B.有些C是A.因此，有些C不是B.

Euler承认，可以绘制单个欧拉图来表示房屋，但必须绘制三种可能的情况。 Venn的系统对存在的陈述保持沉默。 现在，Peirce和Shin的系统在单一图中代表这两个房屋，如下所示：

两个图既由标记为“A”，“B”和“C”的三个重叠圆组成。 第一个图为标题为“peirce”，在所有三个圆圈的重叠中都有一个连接到'x'的'x'，只有圆圈a和c的重叠; 它在所有三个圆圈的重叠中也具有“O”，并且在仅圈子A和B的重叠中也是'O'。第二图标题为“Shin”，在所有三个圆圈的重叠中，在仅重叠的重叠中连接到“x”的“x”。圈子a和c; A和B的重叠是阴影。

在Shin的图表中，Venn的空虚的阴影公约，而不是Peirce的'O'，更自然地将读者引导到推理“一些C不是B”而不是Peirce的图表。

但是，Venn-i无法在普遍陈述或普遍和存在的陈述之间表达析出信息。 保留Venn-I的富有效力，Venn-II允许通过一条线连接图。 Peirce的令人困惑的图表相当于以下Venn-II图：

两个矩形由一条线连接，每个线包含两个重叠圆圈; 在第一个矩形中，两个圆圈的重叠包含一个“x”，并且第一圆的非重叠部分被阴影; 在第二矩形中，两个圆圈的重叠部分被阴影，并且“x”处于第二圆的非重叠部分

除了这一修订之外，Shin（1994）除了配备自己的语法和语义的标准正式表示系统中，Shin（1994）还呈现了这两个系统中的每一个。 语法告诉我们，该图是可接受的，即，它们是良好的，并且在每个系统中允许哪些操作。 语义在图中定义了逻辑后果。 使用这些工具，证明系统是声音和完整的，同样有些符号逻辑是。

这种方法对关于代表系统的一些假设构成了一个根本的挑战。 自现代逻辑的发展以来，重要的概念，例如语法，语义，推理，逻辑后果，有效性和完整性仅应用于句子表示系统。 但是，这些都不是只有这些传统的符号逻辑的内在。 对于任何表示系统，无论是句子还是图解，我们都可以讨论两个级别，句法和语义级别。 什么推断规则告诉我们是如何操纵给定的单元，无论是符号还是图解到另一个单元。 逻辑后果的定义也没有任何特定形式的表示系统。 同样的论点是用于适当和完整性证明。 当系统被证明是声音时，我们应该能够在证明中采用它。 事实上，许多目前的研究探讨了自动定理证明中的图表的使用（见Barker-Plummer＆Bailin 1997;和Jamnik等人1999）。

2.5欧拉圈重新审视

有趣，很重要，可以注意到从欧拉圈到胫骨系统所做的逐步变化共享一个普通主题：增加系统的表现力和逻辑力，使其是声音，完整，逻辑上等于Monadic谓词逻辑。 引入主要图的euler到Venn图中的主要版本允许我们表示关于集合之间关系的部分了解。 从Venn到Peirce图的扩展是制造成使得存在性和分解信息可以更有效地表示。

Venn和Peirce都采用了相同类型的解决方案，以实现这些改进：引入新的句法对象，即Venn的阴影，并通过Peirce and'o'，'和线条。 然而，在负面方面，这些修订的系统遭受了视觉清晰度的损失，如上所示，主要是因为引入了更多的任意惯例。 从Peirce到Shin图的修改专注于恢复视觉清晰度，但不会损失表达力量。

锤子和胫骨从这些修订中采取不同的路径：恢复欧拉之间的圆形与圆圈之间的同态关系，圈子之间的集合代表集合之间的子集关系，并且区域的非重叠代表了不相交的关系 - 同时，默认采用Venn的主要图。 另一方面，这款修订后的Euler系统不是用于三段论推理的自给式工具，因为它不能代表存在的语句。 有关此修订系统的更多详细信息，请参阅（Hammer＆Shin 1998）。

本案例研究提出了一个有趣的问题，以进一步研究图解推理。 在整个欧拉图的不同发展中，提高其表达力量并增强其视觉清晰度似乎彼此互补。 根据目的，我们需要优先考虑一个人。 锤子和胫骨的替代系统为其他有效的非信箱代表系统提供了一个简单的模型，这是一种在计算机科学和认知科学中受到不断提请的主题。

3.图空间特性的后果

虽然通常可以承受与公式相同的逻辑状态（如上所述）的图表，但仍然存在重要的差异（这可以具有系统的正确性，用于图形和传统的线性证明计算之间的系统。 关于图表（CF. Russell 1923）的重要点是图中对象之间的空间关系可用于表示某些其他域中对象之间的关系。 然而，顺序语言（例如，符号逻辑，自然语言）仅使用连接关系来表示对象之间的关系。 在图表的情况下，空间关系的特殊代表性使用是直接和直观的，如上面的欧拉图所示，但也有其危险 - 正如我们要讨论的那样。 空间限制，既有图解系统，都可以预期成为其优势和缺点的重要来源。 关于人类可视化处理信息的能力的心理考虑，以及定性空间推理的技能，也具有与图表的有效性的影响，但我们不会在这里调查它们。

图的特定区别特征是由于它们使用平面表面作为表示介质，它们遵守某些“Nomic”或“内在”约束。 这个想法是，句子语言基于本质上是顺序的声学信号，因此必须具有补偿复杂的语法，以便表达某些关系 - 而是二维的图表可以在没有复杂语法的干预的情况下显示一些关系（Stenning＆Lemon 2001）。 图表利用这种可能性 - 使用空间关系来表示其他关系。 问题是; 空间关系和对象如何代表其他（可能更多的抽象）对象和关系？

利用图的逻辑推理通常借助它们描绘其所有可能模型的情况，达到图表的拓扑等价性（当然，这取决于使用中的特定图解系统）。 单个图通常是在一类情况下的抽象，并且一旦构造了合适的图，就可以简单地读取推断，而无需进一步操纵。 在一些示意性系统中（例如，欧拉圈）推断是通过正确构造图表和读取信息的图来执行推断。 在这些情况下，在符号逻辑中使用推理规则的复杂性是由正确绘制特定图的问题所替换的。[5] 例如，Euler圆圈图Ventures使用平面区域之间的拓扑关系来捕获集合之间的关系，使得它描绘了某个集合陈述的所有可能的方式可能是真的。 这有两个重要的后果：（1）如果无法绘制某个图，则所描述的情况必须是不可能的（称为“自我一致性”），并且（2）如果必须绘制图表对象之间的某个关系，则可以将相应的关系推断为逻辑上有效。 （参见第2节中的众多实例。这种现象通常被称为“自由骑行”（BarWise和Shimojima 1995）。 因此，这种曲线的理由是依赖于图的特定代表性使用 - 它们代表了模型的类。 如果特定类别的模型不能由图形系统表示，则使用系统的推断中将不会考虑这些情况，并且可能会绘制不正确的推断。 这一事实使图表系统的代表性充足，受其空间性质的限制，最重要的是，我们现在探索。

3.1关于图形表示和推理的限制

平面中的空间关系的代表性地使用示意图，从而以某种重要方式推理图表。 特别是，拓扑和几何（让我们将它们作为“空间”）属性的图表对象和关系，其限制了图解系统的表现力。 例如，在图中，已知在平面中不能绘制一些简单的结构。 例如，图形K5是由5个节点组成的曲线图，每个节点由弧线连接到另一个节点。 该图是非平面的，这意味着它不能在没有至少两个弧线的情况下绘制。 这只是对可能图的限制，这些图案限制了图解系统的表现力。 现在，由于可以通过枚举情况的枚举来发生示意性推理，因此这种代表性不足（一种不完整性）如果它们用于逻辑推理（例如，请参阅批评Englebretsen 1992年在柠檬和普拉特1998年）。

也许这是最简单的例子是由于柠檬和普拉特[6]（参见例如1997年）。 考虑euler圆圈 - 平面的凸区域代表集合，并且区域的重叠表示相应集的非空交叉点。 被称为Helly的定理状态的凸拓扑的结果（对于2维情况），如果每个三个凸区具有非空交叉点，那么所有四个区域都必须具有非空交叉点。

要了解此内部的后果，请考虑以下问题：

示例4.使用欧拉圈，代表以下场所：

a∩c≠

b∩d

C≠D∩a≠∅

请注意，就设定理论而言，只有这些前提下的琐碎后果。 然而，如图5所示的房屋的欧拉图导致了不正确的结论，即∩（由于图中的四分之侧）（由于图中的四倍重叠区域）：

四个重叠圆圈标记为'a'，'b'，'c'和'd'

图5：欧拉圈表示呈现赫利的定理

换句话说，强迫欧拉圈的用户[7]表示未逻辑上所需的集合之间的关系。 这意味着系统中存在逻辑上可能的情况，系统不能代表，并且如果依赖于系统以推理，则用户将产生不正确的推断。 更一般地，可以针对许多不同类型的示意系统生成这种类型的结果，具体取决于他们在代表中使用的特定空间关系和对象 - 正在进行的研究程序。

例如，使用非凸区域（例如，“Blob”而不是圈子）导致类似的问题，只有非平面图涉及而不是Helly定理。 类似的结果涉及Syllogisms Englebretsen 1992的线性图，其中用于表示集合的线，点表示单个，点线交叉点表示设置成员资格，并且线条表示设置的单元。 同样，平面性限制限制了系统的表现力，导致不正确的推论。

atsushi shimojima的“约束假设”也许是最好的总和：

表示是世界上的对象，因此他们遵守某些结构限制，该结构限制了他们可能的形成。 不同表示模式的推理潜力的方差主要是归因于不同方式，其中这些结构约束与表示表示目标的约束（Shimojima 1996a，1999）匹配。

3.2图的疗效

如上所述，在索赔中，在某些任务类型的传统逻辑表现中，它们的索赔已经产生了大部分兴趣。 例如，例如，地图是导航的辅助和景观的口头描述。 然而，虽然通过使用图表肯定会获得心理的优势，但它们（如欧拉圈的情况）通常无效，因为抽象对象和关系的表示。 一旦纯粹直观的概念，可以在语言的标准正式属性方面检查关于图解系统的“疗效”的非心理声明（Lemon等人1999）。 特别是，许多图解系统是自我一致的，不正确的，不完整的，并且对图表的推理复杂性是NP-HARD。 通过对比度，大多数主管逻辑，同时能够表达不一致，是完整的和正确的[8]。

另一方面，无法代表矛盾可以为我们提供有趣的关于图解表现性质的有趣洞察力。 如果一种语言的核心目标是代表世界或事态，那么代表矛盾或Tautologies被召入问题。 矛盾和tautolicies都没有是世界的一部分。 我们如何绘制一张照片或拍照，“正在下雨并且没有下雨”的矛盾？ 析出信息的图片如何“下雨或未下雨”？ 现在，我们似乎更接近Wittgenstein的语言典型图片理论（Wittgenstein 1921）。

4.几何图形系统

数学家已经使用，并继续使用，并继续使用绘图。 数学概念和校样教科书的通信，在黑板上 - 并不统一。 数字和图片很常见。 然而，符合逻辑的普遍概念，作为基本上的句子，通常不会被认为在严格的数学推理中发挥作用。 他们的使用受到限于加强对证据的理解。 他们并不是标准据信，以形成证据本身的任何部分。

态度通过对元素中的Euclid方法的标准评估进行了很好的说明。 在没有数学主题的情况下，图表比文本中的基本几何欧几里德在初学欧几尔德开发中更突出。 主题的证据似乎有关于与它们一起出现的三角形和圆圈的图表。 这是元素的几何样本尤其如此。 欧几里德的图表不仅仅是说明性的。 他的一些推理步骤取决于一个适当构造的图表。 在标准故事上，这些步骤表明了欧几里德证明的差距。 他们展示了Euclid如何在公理地开发几何形状的项目。

Ken Marders出发了他用他的精彩作品“欧几里德图”（2008 [1995]）爆炸这个故事。 他对EuclID的图解方法的分析表明，EuclID以受控系统的方式采用图表。 因此，呼吁质疑元素严格的共同负面评估。 此外，伪造者分析的具体细节表明文本的证明可以理解为遵守正式的示意逻辑。 随后通过开发旨在表征这种逻辑的正式图解系统来证实了这一点。 其中的第一个是FG（在Miller 2007上呈现），其次是系统EU（Mumma 2010）。

本部分致力于阐述伪造的分析和从中出现的正式系统。 简要介绍了通过几个世纪以来一直观看了Euclid的图表，伪造者在几何证明中的角色描绘了它们的作用。 系统FG和EU如何以正式的术语呈现此图片并表征欧几里德图的逻辑之后的描述。

4.1关于Euclid的图表从4世纪BCE到20世纪CE的观点

元素的基本几何形状被认为是从古希腊的初始到19世纪的基础。 因此，关注数学性质的哲学家发现自己有义务对文本的图解证明发表评论。 一个核心问题，如果不是中央问题，是一般性问题。 具有欧几里德证明的图表，提供了凭证的几何配置类型的单一实例化。 然而，看到在图中保持的属性被采用给定类型的所有配置。 这是什么证明这跳跃的特定一般？

作为图示，考虑提出元素的提案16的证据。

这个命题是：

在任何三角形中，如果产生一个侧面，外角大于内部和相对的角度的外部角度。

欧几里德的证据是：

三角形ABC具有段BC延伸到DIACT D和与段AC相交的线路BF

让ABC成为三角形，让它的一侧BC产生D;

我说角度ACD大于内部和相反的角度BAC。

让AC在e [i，10]方面被分，并允许在直线上加入并生产;

让EF等于[I，3]，让FC加入。

然后，由于AE等于EC，并且等于EF，两侧AE，EB分别等于两侧CE，EF; 角度AEB等于角度FEC [I，15]。

因此，基本AB等于基础Fc，并且三角形ABE等于三角形CFE [I，4];因此，角度BAE等于角度ECF（也是角度ACF）;

但角度ACD大于角度ACF;

因此，角度ACD大于BAE。

证明似乎是指用证明给出的图表的部分。 尽管如此，证据并不意味着在图中的三角形中建立某些东西，但是关于所有三角形的东西。 因此，该图以某种方式表示所有三角形。

图中的亚里士多德在后部分析的第10章中的亚里士多德撰写了图表的作用：

几幅度基于他所描述的特定线路没有结论，而是[指的是图所示的内容。 （翻译是T. Heath，在Euclid 1956中发现：Vol。I，P.119）

亚里士多德在段落中并不是对几家如何使用图表的问题来推理他们说明的东西。 几个世纪以后，Proclus对这些要素进行了评论。 Proclus断言，从特定实例传递给通用结论是合理的，因为几何计数是合理的

...使用图中规定的对象不像这些特定数字，而是与类似于同一排序中其他人的数字。 它不是那么尺寸，即我之前的角度是分化的，而是没有直线，而是没有......假设给定的角度是直角......如果我不使用其正确性并仅考虑其直线字符，则该命题将同样适用于所有直角侧的角度。 （关于欧几里德第一章的评论，20170：207上帝

几何图形地点仍然存在于早期现代期间的问题。 第17岁及第18世纪的主要哲学数据提前阵地。 莱布尼兹断言，预期占地现代观点：

......这不是用几何提供证据的数字，尽管博览会的风格可能会让你这么认为。 示范的力量独立于绘制的图形，仅绘制，以促进我们的含义的知识，并提请注意; 它是已经证明的普遍主张，即，定义，公理和定理，这使得推理，并且虽然这些数字不是那里的推理。 （1704新散文：403）

在介绍他的人类知识原则（1710，第16条）中，伯克利重申13世纪以后，普鲁斯对一般性问题进行了。 虽然在通过关于三角形的演示时，但在工作时始终有一个特定的三角形“窥探”，但演示中特定三角形的特定细节的特定细节有“不可能提及”。 根据Berkeley的说法，示威证明了三角形的一般主张。

在康德中可以找到最开发，可预测的最复杂和最复杂的，难以陈述的几何图。 康德在几幅画使用特定图表中看到了一些深入的认识论意义，以理由对几何概念。 通过这种方式推理，几幅

认为混凝器中的概念虽然是非经验的，但相当于其所示，即，所构造的，并且在构造的一般条件下，其遵循的是构造概念的对象。 （1781，纯粹原因批评，A716 / B744。）

有关这些段落的对比，如这些段落揭示了在康德的几何哲学中适应的图表，参见Shabel 2003和Friedman 2012。

在19世纪的几何和数学中，整个革命了。 概念远远比在元素（例如非欧几里德几何形状，集）中发现的概念更为摘要和一般。 不仅有关欧几里德的图解方法的性质的问题失去了紧迫性，该方法将被理解为数学上有缺陷。 后者认为，在莫里茨帕索的开创性工作中发现了它最精确的表达，他提供了帕西基（1882）中的基本几何形状的第一个现代公理化。 在它中，PASCH显示了如何开发主体而不参考图表甚至是实例化的几何概念图。 指导工作的方法常态很好地表达了以下经常引用的段落：

事实上，如果几何形状真正演绎，则扣除的过程必须完全独立于几何概念的感觉，就像它必须独立于数字一样; 只有在关联的命题（分别定义）中使用的几何概念之间的关系应该考虑到。 （PASCH 1882：98;重点是原版。这里的翻译来自Schlimm 2010）