图（三）

自从数学和数学哲学讨论中既又根深蒂固的规范。 它是后者的根深蒂固，官员反对官员2008 [1995]。 在他开发古代几何的账户中，咨询证据中图表的必要性并不表示演绎差距。 相反，图和文本一起形成严格和演绎的数学证据。

4.2官员的确切/共同精确区别和一般性问题

4.2.1确切/共同精确区别

为了解释古代几何形式与图中的文本和图之间的分工，伪劣员将2008年官员几何图的精确和共切属性[1995]。 潜在的区别是变异的概念。 通过图表实现的共同精确条件是那些不受指定图的每一个连续变化范围的条件的条件。在图表受到最小变化的情况下，确切的条件相反。 粗略地，图的共切属性包括其部件限定了一组有限的平面区域，以及这些区域之间的容纳关系。 突出的确切关系是图中两个大的平等。 例如，需要仅对提示16的图表中的CF位置的最轻微的改变来使角度BAE和ECF不等。

伪造者的关键观察是，欧几里德的图表只通过其共切属性贡献证明。 EuclID从未在图中介绍了确切的属性，除非它直接从共切属性下面遵循。 未作为容纳所呈现的幅度之间的关系或通过文本中的推断链证明。 这很容易用命题16的证明确认。依赖图的一次推断是证明的第二个推断。 具体而言，推理是角度ACD大于角度ACF。 这是至关重要的，基于视角ACD包含角度ACF的图。 有许多其他关系被认为是为了持有证明。 虽然图表实例化了它们，但它们在文本中明确证明它们。 在这些关系中，Relata是空间分开的大小。

假设为什么欧几里德会以这种方式限制自己，这并不难。 它只是表示共同精确的属性和关系，即图表似乎能够有效地运作作为证据的象征。 图的确切属性太精细地是容易可再现的并且支持确定判断。 正如伪造者所说的那样

该实践有资源，以限制图表中分歧的风险; 但它缺乏确切归因的这种资源，因此不允许他们在不溶解违反矛盾的判决的混乱。 （官员2008 [1995]：91-92）

伪造者的见解自然地领导着欧几里德的论据可以以类似于Venn 1994在芬恩图所在的方式形式化的方式形式化。欧几里德图携带的共同精确信息是离散的。 咨询此信息的图表时，它的线条和圆圈的方式是如何将有限的平面区域分配为有限的子区域。 这将打开大门，以概念化欧几里德的图表，作为EuclID证明方法语法的一部分。

4.2.2欧几里德建筑的一般性问题

在正式的证据系统中实现这一概念，如Shin 1994，以指定图表的语法和语义。 在句法方面，这意味着精确地将euclid的图定义为正式的物体，并为欧几里德命题的推导中的正式对象数字提供规则。 在语义上，这意味着指定如何将可变表达式进行地几何解释，或者换句话说，他们究竟是如何理解为代表欧几里德的命题。

因此，欧几里德图的语义状况与Venn的不同之处不同。 Venn图用于证明逻辑结果。 与他们制作的推论是主题中性。 另一方面，欧几里德的图表用于证明几何结果。 与他们制作的推断是具体主题。 特别是，虽然平面欧几里德几何形状的物体是抽象的（例如，几何线是宽度的），但它们仍然是空间的。 因此，围绕图表和代表范围的空间性的问题不会与欧几里德的图表出现，因为它们具有欧拉图。 在几何形状的情况下，实际上，图的空间非常有利于他们。 几何配置可能的空间限制也与空间欧几里德图进行操作。

尽管如此，在古代古代几何形状的哲学评论中识别在古代的哲学评论中，有欧几里德图表的代表范围争夺。 处理单个几何图属性的理由是作为证明范围内所有配置的代表的特性？ 单一图如何证明一般结果？ 伪装的确切/共同精确区分为部分答案提供了基础。 图的共同精确属性可以通过证明范围内的所有几何配置共享，因此在这种情况下，在读取从图表中读取结合性的性质的情况下是合理的。 例如，在关于三角形的证据中，证据范围内的配置之间的变化是精确属性的变化-e.g。，三角形角度的测量，它们的侧面之间的比率。 它们都共享相同的共切属性-i.e.，它们都包括三个有界线性区域，它们一起定义一个区域。

这不是一个完整的答案，因为欧几里德的证据通常涉及初始配置类型的结构。 例如，假设16的证据16，指定了一个延伸的三角形的结构。 在这种情况下，图可以充分地表示初始配置的共切属性。 但是，不能假设将证明施工应用于图表的结果来表示由构造产生的所有配置的共切属性。 一个不需要考虑复杂的几何情况来查看此。 假设例如证明的初始配置类型是三角形。 然后图

三角形（急性三角形）

用于表示此类型的共切属性。 进一步假设证据结构的第一步是将垂直从三角形的顶点落入含有顶点的侧面的线。 然后在图中携带此步骤的结果

与前一个图像相同的三角形，垂直从一个顶点下降

不再是代表性的。 垂直落在图中的三角形内是它的共切特征。 但是，与初始图有不同的特性，与初始图不同，其中施工步长将产生垂直位于三角形外部的垂直。 例如，与三角形

一个钝的三角形

应用施工步骤的结果是

具有从一个锐角的垂直滴到三角形的延伸的钝角

4.3正式的系统FG和EU

因此，在代表性图上进行欧几里德结构可以导致一个不成绩的图表。 正式化欧几里德的图解证据的中央任务是占该-E.E的核算。，提供了其规则，其规则是将来自非将结构的总体共切特征区分开于结构的结构中的概要结合特征。 系统FG和EU对此任务采用两种不同的方法。

采用FG的方法，必须在每个案例中产生可能由构造产生的图。 施工的一般共同关系是一个出现在各种情况下的联合关系。 当然，FG的要求当然，如果它没有提供制作它们的方法，那么就会产生每种情况。 方法FG提供取决于系统图中的线条和圆圈的事实是纯粹的拓扑术语。 它们由此产生的灵活性使得可以在计算机程序中制定和实现一种用于产生案例的一般方法。[9]

欧盟图的线条和圆圈并不类似地灵活。 因此，它不能通过案例分析来解析一般性问题作为FG。 其方法的核心思想是允许图表从一开始就保持部分信息。 在欧盟推导中，校验结构产生的图具有初始内容，其包含在证明初始图的所有定性关系中。 通过施工添加的对象的定性关系无法立即读取图表。 可以通过系统的规则读取图表的那些。[10]

FG和欧盟正式化欧几里德结构之间的差异可以理解为代表数学图中的角色的不同一般概念。 FG体现了一个概念，其中图具体地实现了一系列数学可能性。 它们通过提供直接访问这些可能性来支持数学推理。 欧盟相反体现了一个概念，其中图中用于在单个符号中表示复杂数学情况的各种组件。 它们支持数学推理，允许数学推理在一个地方考虑所有这些组件，并专注于与证明相关的这些组件。

5.图表和认知，应用程序

尽管上述一些示意系统的正式限制，但许多不同的系统目前用于各种各样的上下文; 逻辑教学，自动推理，指定计算机程序，在物理学中的情况下推理，图形用户界面到计算机程序，等等。 通常，尚不知道如何有效（在上面的意义上）这些图解系统中的许多。 我们现在简要介绍了其他图解系统及其用途的调查，以及通过辩论的辩论提出的更为哲学问题，而不是图解的方法。

5.1一些其他图解系统

值得注意的是，许多数学家和哲学家提出了诡略性系统，通常具有教学动机。 一些系统，如Lewis Carroll在“逻辑游戏”（1896）中是欧拉和伦纳的建议上的变体。 其他人，像Frege（1879年），使用的线，而不是平面区域。 （有关弗雷格的说明，请参阅Gottlob Frege的条目中的复杂陈述和一般性部分。参见Englebretsen 1992.）Carroll的系统取代Venn，因为套装的补充被明确表示为地区该图，而不是作为圈子出现的背景区域留下。 这意味着Carroll的系统能够借助对属性补充之间的关系的推论，以代表一些属性作为脱节（即，非连接）区域。 这次移位密切镜像从主题谓词论证到函数参数的逻辑转变（Stenning 1999）。

Peirce是现代量化逻辑的创始人，也发明了一个称为存在图形的图形系统，它逻辑上等同于谓词逻辑。 随着唐罗伯特在存在图表和John Sowa的Peirce图表的创意应用程序上，最近一组图表研究人员在更广泛的理论背景下提供了更多样化的存在性图表（Shin 2003）。

在一个更实用的主题，AI研究人员，其中一个主要问题是除了表现力之外的代表系统的启发式力量，几十年来讨论了不同形式的代表（Sloman 1971,1985,1995）。 因此，他们欢迎讨论视觉推理的鲜明作用，并在AI会议上举办了关于图解推理的跨学科研讨会。[11] 与此同时，意识到人类采用不同的代表表格，具体取决于他们面临的各种问题，一些AI研究人员和设计理论家们练习了具体的域的方法，以提出问题量身定制的代表形式。[12]

例如，Harel（1988）发明了父母，以代表计算机科学的系统规范。 这种想法已在工业应用（例如，uml，在Booch等人。1998）中。 Barker-Plummer＆Bailin（1997）展示了开发计算机的案例研究，该计算机可以执行人类在证明某些数学定理时进行的类似种族推理。 最近，Alan Bundy在爱丁堡（Jamnik 2001）的数学推理组的Mateja Jamnik of Mateja Jamnik介绍了一个有趣的结果。 Jamnik显示了半自动正式证明系统如何执行人类发现如此自然的一些感知推断。 例如，通过将n×n网格分解为“ells”（jamnik等，1999），通过将n×n栅格分解来容易地看到第一个n个奇数自然数的总和。

布莱顿大学的学者一直在开发型材系统中进行有趣的项目，并在软件开发中应用视觉工具，请参阅其他Internet资源部分中的链接。

还应该提到的是，化学家和物理学家等科学家也使用图表来执行某些计算。 例如，Feynman图用于在子原子物理中执行计算。 最近，已经为量子理论（Coecke＆Kissinger 2017）开发了正式的图解推理。 在结理论（具有物理学中的应用，Kauffman 1991），三个ReideEister移动是用于证明结的完整微积分的方法。 毫不奇怪，结图引起了研究人员的兴趣（De Toffoli＆Giardino 2014）。 图表和图解在类别理论的抽象数学中的图表和图解原理的关键作用（Halimi 2012; De Toffoli 2017）。

5.2作为心理表示的图表

我们的心理表征是否具有与组件的图形或图片实体？ 这个问题在哲学和心理学中历史悠久，彼此独立。 然而，最近，一些哲学家参加了这个“意象辩论”，这是心理学中最历史最悠久的争议之一，一些认知心理学家在哲学中发现了某些有助于支持他们对这个问题的看法的认识论理论。

心理代表的性质一直是哲学的多年生议题之一，我们可以轻松地追溯到古代图像和心理表征的哲学讨论。[13] Hobbes，Locke，Berkeley和Hume的作品在很大程度上涉及精神上的话语，单词，心理形象，特定想法，抽象想法，印象等的意义。 在想象和构思之间的众所周知的区别是产生了很多关于视觉图像在心理表现中的独特作用的讨论。 20世纪20世纪的认知科学的发展自然地带来了某些哲学家和心理学家更接近，我们找到了一些作者，其作者很容易属于两个学科（1983年; Dennett 1981; FODOR 1981; FODOR 1981）。

基于内部恢复的图像是心理学早期发展的主要关注，直到行为方式在纪律中成为主要的。 在行为主义时代，与任何严肃的研究议程中排除了与心理检查的任何与心理检查有关的事情。 最后，当20世纪60年代，精神图像的主题在心理学中卷土重来时，研究人员采用了更加卑微的心理意象议程，而不是之前的：并非所有的心理表现都涉及图像，而图像是在心灵中操纵信息的许多方式之一。 此外，由于行为主义的影响，承认，内省不足以探索图像，但需要通过实验确认有关精神图像的主张，以表明我们成功地将心理事件展示。 也就是说，如果一定的心液内省告诉我们是真实的，那么这种精神状态会有可观察的外部后果。

因此，认知科学家之间的当代图像辩论是关于图片类似图像存在作为心理表示的声称，以及我们如何解释某些实验。[14]

kosslyn（1980,1994）和其他图案员（Shepard＆Metzler 1971）目前的实验数据来支持他们的位置，即我们的一些心理图像更像是图片的线性形式（例如，自然语言或人工象征语言）重要方面，即使不是所有视觉心理图像和图片都是完全相同的。 相反，Pylyshyn（1981）和其他描述者（Dennett 1981）提出了关于心理图像的图像状状态的问题，并且争论心理图像由结构化描述形成。 对他们来说，心理图像以语言而不是图片的方式代表，因此，没有图片类似的视觉心理图像。

辩论的双方有时将哲学理论用作支持因素。 例如，Imagery辩论中的图片员在哲学中发现了现代感觉 - 基准理论非常接近他们的观点。 通过同样的令牌，感应基准理论的批评者认为，心理图像的错误图形视图主要来自我们对普通语言的混淆，并声称心灵形象是Epiphenomena。

5.3图的认知作用

在没有大量参与图像辩论中，一些研究人员专注于图表或图片 - 而不是传统的句子形式在我们的认知活动中发挥作用。 （2015年4月; Hamami＆J.Mumma 2013）基于猜想人类在其推理中采用了关于具体或抽象情况的推理（见Howell 1976; 1976年），一些认知的猜测科学家专注于我们各种认知活动中的图像或图表的功能，例如记忆，想象力，感知，导航，推论，解决问题等。 这里，通过内部心理图像或通过外部绘制图来获得“视觉信息”的不同性质已成为研究的主要话题。 尽管这些作品中的大多数都认为有心理图像（即，他们接受窥视师的声明），但严格地说他们不必承诺认为这些图像存在于我们认知中的基本单位。 描述符不必丢弃对图像功能的讨论，而只需要添加这些图像不是存储在我们的内存中的原始单元，而是更像语言的句子（参见Pylyshyn 1981）的结构化描述。

搜索图表的不同角色引导了研究人员探讨了不同形式的外部或内部表示的差异，主要是在图解和句子表示之间。 许多重要结果已经在认知科学中产生。 从Larkin和Simon的经典案例研究（1987）开始说明表示系统之间的信息和计算等价之间的差异，Lindsay的工作位于这种计算差异所在的位置，他称之为“非演绎”方法。 如上简要指出，该推理过程由Barwake和Shimojiima（1995），即Shimojiima（1995）称为“自由乘坐”，即结论似乎自动从房屋的代表自动读出的推断。 在Gurr，Lee和Stenning（1998）和Stenning和Lemon（2001）中，就解释程度的“直接性”而言，对图解的唯一性进行了解释，据称这一财产是相对的，而且因此，“有些骑行比其他骑行更便宜”。 在思想中，王和李（1993）的作用，将正式框架作为正确的视觉语言的指导。 此时，我们非常接近多模态推理设计理论和AI研究的应用方面 - 通过为可视推理提供计算支持来提供这些学科。

与想象的心理表现问题有关是考察各种图解系统的语义，以及他们可以一般地教导我们语言的性质（例如，Goodman 1968）。 例如，罗伯特康明斯（1996年）在其他人中，据称，已经注意到了涉及曲目的陈述，并且重点关注“结构表现形式”的概念，类似于图解的代表可以有助于阐明代表本身的性质。 我们认为，上面提出的考虑因素给我们一些关于这种类型的索赔的实证处理，至少 - 取决于所用的成像物体和关系，不正确的推断模式应该是可预测和可检测的。 一个重要的，如果有点熟知，这个主题的文章是Malinas 1991.这里麦丽莎纳斯通过相似的概念探讨了图片表示和“真理”图片，并考虑了关于图形表示的各种语义难题。 他开发了Peacocke的描述“中央论文”（Peacocke 1987），在视野中的图像物质和他们的引用之间有经历的相似之处产生了描述的关系。 他继续为图片提供正式的语义，这些语义是“类似于理想语言的语义”的图片。

摘要

我们开始激发图表的哲学兴趣，通过他们在人工理学中的作用及其与一般语言研究的关系，以及多模态信息处理。 然后，我们通过审查欧拉和伦纳的历史发展，通过Peirce的工作来解释了图解系统的表达力量和视觉清晰度的权衡，以奔跑和锤子最近的工作。 有人认为，作为传统的线性证明计算可以提供与传统的线性证明相同的逻辑状态。 然后，我们通过检查图解系统上的空间限制以及它们如何影响正确性和表现力的空间限制来解释图解和推理的一些潜在陷阱。 我们通过测量其他图表系统，对计算机科学和认知科学中产生的图表的兴趣，并在思想哲学中介绍了图像辩论。