ergodic层次结构（一）
ergodic层次结构（eh）是ergodic理论的核心部分。 它是动态系统可以拥有的属性的层次结构。 它的五个水平是遍历性，弱混合，强化混合，Kolmogorov和Bernoulli。 虽然EH是一个数学理论，但其概念已广泛应用于统计物理学，随机性陈述的基础，以及关于混乱性质的讨论，以及其他科学的经济学。 我们介绍EH并讨论其应用程序。
1.动态系统
2.崇拜
3. ergodic层次结构
4. ergodic等级和统计力学
4.1 Boltzmannian SM
4.2吉布斯SM
5. ergodic层次结构和随机性
6.“无申请”费用
7. ergodic等级和混乱
结论
参考书目
学术工具
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相关条目
1.动态系统
ergodic理论的研究对象是一种动态系统。 我们首先使用一个简单的示例介绍一些基本概念，从中抽象了动态系统的一般定义。 对于动态系统的现代概念的简要历史，以及EH的相关概念见附录，部分A.
铅球悬挂在春天的天花板上。 然后我们将其拉下来，让它走。 球开始振荡。 球的机械状态完全由位置X的规格和其质量中心的动量p; 也就是说，如果我们知道X和P，那么我们知道关于球的机械状态的一切。 如果我们现在在一个矢量空间中连接x和p，我们可以获得系统的所谓的相空间X（有时也称为“状态空间”）。[1] 这在图1中示出了用于向上和向下移动的球的状态的二维相空间（即，相位空间具有用于球位置的一个尺寸，并且其动量是一个尺寸）。
图1
图1：球在春天的运动。
X的每个点代表球的状态（因为它给出了球的位置和动量）。 因此，球状态的时间演化由X中的线表示，所谓的相空间轨迹（从现在从“轨迹”）表示，显示系统在每个时刻的相位空间中的位置。 例如，让我们假设在时间t = 0，球位于点x1处，然后移动到x2，在那里它在时间t = 5到达。 该运动由线段连接点γ1和γ2在x中表示。 换句话说，通过表示球（瞬时）状态的点的运动，球的运动在X中表示，并且所有状态在一定时间内联合形成轨迹的所有状态。 这一点的运动有一个名称：它是相流φT。 相流告诉我们，如果我们指定在T = 0的位置，则球在一些稍后的时间t; 或者，隐喻地说，φT将球的状态拖动在X中，使得状态的运动表示真实球的运动。 换句话说，φT是系统时间演进的数学表示。 在时间t = 0的球的状态通常被称为初始条件。 然后，φT告诉我们，对于相位空间中的每个点，如果选择它是初始条件的选择。 在我们的具体示例中，点γ1是初始条件，我们具有γ2=φt= 5（γ1）。 更一般地说，让我们呼叫球的初始条件γ0，并在稍后的时间t，γ（t）是其状态。 然后我们具有γ（t）=φt（γ0）。 这在图2a中示出。
图2
图2：阶段空间中的演变。
由于φt告诉我们x中的每一个点如何及时发展，它也告诉我们一组点如何移动。 例如，在X中选择任意设置A; 然后φt（a）是在系统的动态下的T时间单位之后的图像。 这在图2b中示出。 考虑到一组点而不是单点，当我们考虑这种数学形式主义的物理应用时很重要。 我们永远无法确定弹簧上弹弹跳的确切初始条件。 无论我们如何测量γ0，都会有一些测量误差。 因此，我们真正想知道在实际应用中的内容并不是如何精确的数学点演变，而是如何在初始条件γ0周围的一组点演变。 在我们用球的榜样中，进化是'驯服'，因为该组保持原始形状。 正如我们将在下所看到的那样，情况并非总是如此。
X的一个重要特征是它具有所谓的测量μ。 我们熟悉许多上下文中的措施：从数学的角度来看，我们将其归因于一行的一部分的长度，我们属于飞机的一部分的表面，以及我们归因于空间段的卷是措施。 措施只是一种将“大小”属于空间的一部分的设备。 虽然X是一个抽象的数学空间，但是措施的主要思想保持不变：它是量化集大小的工具。 所以我们说，该组A的μ（a）的方式与我们说普通空间的某个点收集（例如位于瓶子内侧）的一定程度上有一定的体积（例如一升）。
从更正式的角度来看，一个度量分配给SET X的某些子集（见正式定义的附录B）。 这可以以不同的方式完成，因此存在不同的措施。 考虑平面的示例。 有一种措施只需分配给该区域区域的平面的每个适当区域。 但现在想象一下，我们在飞机上倒了一桶糖。 糖均匀分布; 在某些地方有很少的堆，而其他地方几乎没有糖。 与区域测量不同的措施是分配给区域的一个数字，该区域等于该区域上的糖量。 其中一个措施尤为重要，即所谓的lebesgue措施。 这项措施具有直观的解释：它只是我们通常在几何中使用的措施的精确形式化。 间隔[0,2]具有LEBESGUE测量2，间隔[3,4]具有lebegues测量1.在两个维度下，侧面具有LEBESGUE测量2的平方具有LEBESGUE测量4; 虽然这听起来很简单，但措施的数学理论是相当涉及的。 我们说明附录，B部分中衡量标准理论的基础知识，避免在下面的衡量标准理论中提出上诉。
到目前为止讨论中的基本要素是相空间x，时间evolutionφt和测量μ。 这些也是抽象动态系统定义的成分。 一个抽象动态系统是一个三重[x，μ，tt]，其中{ttμt是一个时刻}是一系列自体形态，即x的一系列变换与tt1 + t2 =的属性。所有X∈X（Arnold和Avez 1968,1）的TT1（TT2）; 我们在下面的时间说更多。[2] 在上面的示例x中是球运动的相位空间，μ是Lebesgue测量，并且TT是φT。
到目前为止，我们描述了TT，以给出系统的时间演变。 现在让我们从更多数学的角度来看这一点：TT的效果是它在T时间单位经过时，它在X中的另一个点分配到x中的另一个点。 在上述实施例中，在T = 5秒之后，γ1映射到φt下的Γ2上。 因此，从数学的角度来看，系统的时间演变由X的映射到自身上，这就是为什么上述定义将TT作为X的映射映射到自身上。 这样的映射是一种处方，它告诉您X中的每个点x，在其上映射的其他点（从现在在我们使用x上表示x中的任何点，并且它不再像上面的例子一样站在上面的位置。
在ergodic理论中研究的系统是正常的确定性。 这意味着如果该系统的两个相同的副本在一个时刻在同一状态下，则它们必须在未来的所有时间瞬间处于相同状态。 直观地说，这意味着对于任何给定的时间，只有一种方式可以向前发展。 关于确定主义的讨论，参见专家人（1986年）。
应该指出的是，在抽象动态系统中没有特别的解释。 我们有动力与机械师的示例的定义，但是动态系统没有与该上下文相关联。 它们是自身的数学对象，因此可以独立于特定应用研究。 这使得它们在许多不同的域中成为一个多功能工具。 事实上，在其他地区使用动态系统，与物理，生物学，地质和经济学不同。
有许多不同类型的动态系统。 三个最重要的区别如下。
离散与连续时间。 我们可以考虑时间的时间的瞬间或时间的连续因素。 为了便于介绍，我们将在第一种情况下说明时间是离散的，并且在第二个案例中是连续的。 这只是一个方便的术语，对时间是否基本上是离散或连续的影响。 在上面的例子中，具有球时间是连续的（被认为是实数）。 但通常会将时间视为离散的时间很方便。 如果时间是连续的，那么T是一个实数，自动形态是{tt|t∈r}，其中R是一组实数。 如果时间是离散的，则t处于SET Z = {... -2，-1,0,1,2，...}，并且自动形式是{tt|t∈z}。 为了表明我们正在处理一个离散的家庭而不是一个连续的家庭，我们有时用'tn'替换'tt'; 这只是一个概念重要性的符号公约。[3] 在这种系统中，从一个时间到下一个时间的进展也被称为“步骤”。 例如，在人口生物学中，我们经常想知道人口如何在典型的繁殖时间上生长（例如一年）。 在这种群体的数学模型中，X中的点代表群体的尺寸（而不是球的位置和球动量，如上面的例子），并且转化Tn表示N时间单位后群体的生长。 一个简单的例子是tn = x + n。
自平坦的自然家族具有一个映射的有趣的财产。 正如我们上面所见的那样，所有自动形态都满足TT1 + T2 = TT1（TT2）。 从这一点，它遵循tn（x）= t
n
1
（x），即Tn是T1的第n个迭代。 在这个SENSE T1生成{tt|t∈z}; 或者，换句话说，{tttt|t∈z}可以“减少”到T1。 因此，一个经常丢弃下标'1'，只需调用地图“T”，并将动态系统写入三X，μ，T]，在那里据了解T = T1。
为了便于介绍，我们现在使用离散的转换。 我们在下面制定下面的定义和定理随身携带持续转变，无需进一步ADO，以及我们明确地说并单独处理两种情况。
测量保持与非测量保持变换。 粗略地说，如果设置的尺寸（如上面示例中的SET A）的大小在时间内不会改变，则测量变换（如上面的示例中的SET）：一组可以改变其形式，但它不能缩小或增长（相对于测量值）。 正式，T是X上x：μ（a）=μ（t-1（a））中的x x：μ（a））仅在x：μ（a））上的x x：μ（a）是映射到下面t的一组点的量度保留的变换 这是t-1（a）= {x∈x|t|t（x）∈a}。[4] 从现在开始，我们还假设我们考虑的转换是衡量保存的。[5]
总之，从现在开始，除非另有说明，否则我们考虑离散措施保持转换。
为了介绍ergodicity的概念，我们必须介绍X.数学上的函数f的阶段和时间均值，函数在x个数字中分配每个点。 如果数字总是真实的，则该功能是一个真实值的函数; 如果数字可能是复杂的，那么它是一个复值函数。 直观地我们可以将这些数字视为代表兴趣的物理量。 调用弹跳球的示例，F可以例如在相空间x中分配每个点，系统在该点的动能; 在这种情况下，我们将具有f = p2 / 2m，其中m是球的质量。 对于每个功能，我们可以采取两种平均值。 第一个是无限时间平均f *。 一般时间平均的概念来自日常情况。 你连续三个星期六玩彩票。 首先，你赢得了10美元; 在第二个你什么都赢了; 在第三个你赢得50美元。 您的平均收益（10美元+ 0 + $ 50）/ 3 = 20美元。 技术上讲这是一个时间平均水平。 这个简单的想法很容易在动态系统中使用：遵循系统的演变随着时间的推移（并记住我们现在正在谈论的是离散时间的平均值），请在每个步骤中取得相关功能的值，添加值，然后通过步数划分。 这种收益率
1
k
k-1
σ
我= 0
f（德州仪器（x0）），
在哪里
k-1
σ
我= 0
f（德州仪器（x0）），
只是一个缩写
f（x0）+ f（t1x0）+ ... + f（tk-1x0）。
这是k步骤后F的有限时间平均值。 如果系统的状态继续无限地发展，我们永远不会永远跟踪系统，那么我们得到无限时间平均值：
f * =
林
k→∞
1
k
k-1
σ
我= 0
f（德州仪器（x0）），
其中符号'lim'（来自拉丁的石灰'，含义边界或限制）表示我们让时间倾向于无限（在数学符号：∞）。 一个点应该特别注意，因为它后来会变得至关重要：上面表达式的X0。 时间平均值取决于系统启动的位置; 即，它们取决于初始条件。 如果该过程以不同的状态开始，则时间平均值可能是不同的。
接下来我们有空间平均值
ˉ
f
。 让我们再次从一个口语中开始：特定学校的学生的平均身高。 这很容易计算：只需拍摄每个学生的身高，加起来所有的数字，并将结果除以学生的数量。 技术上，这是一个空间平均水平。 在这个例子中，学校的学生对应于X的点; 事实上，我们计算每个学生一次（例如，我们没有考虑约翰的身高两次，省略Jim的）对应于为X中的每个点给出平等“权重”的度量的选择。在我们的示例中没有吊坠，这是故意的：空间平均与系统的动态无关（这就是从时间平均值关闭的内容）。 空间平均的一般数学定义如下：
ˉ
f
=∫xf（x）dμ，
其中∫x是相位空间x上的积分。[6] 如果空间由离散元素组成，就像学校的学生一样（他们是“离散”，你可以计算它们），那么积分变得等同于我们在确定人口的平均高度时相同的总和。 如果x是连续的（作为上面的相位空间），事情有点涉及。
2.崇拜
通过这些概念，我们现在可以定义ergodicity。[7] 动态系统[x，μ，t]是ergodic iff
f * =
ˉ
f
对于所有复数衡量的Lebesgue可积函数f几乎无处不在，含义几乎所有初始条件。 资格“几乎无处不在地”是非微不足道的，是统计力学基础上着名问题的来源，所谓的“测量零问题”（我们转向第3节）。 因此，值得仔细解放这种情况涉及的情况。 并非所有集合都有有限尺寸。 实际上，有一组测量零。 这可能听起来摘要，但很自然。 拿一个尺子并测量某些物体的长度。 例如，您会发现您的铅笔长17厘米长为数学语言，这意味着铅笔的一维豹纹测量为17.现在测量几何点并回答问题：点数有多长？ 答案是，这样的点没有扩展，因此其长度为零。 在数学思考中：由几何点组成的集合是测量零集。 一组两个几何点也是如此：也是两个几何点一起没有延伸，因此有尺寸为零。 另一个例子如下：您有设备可以测量平面中对象的表面。 您发现A4张的表面有623.7平方厘米。 那么你被问到一条线的表面是什么。 答案是：零。 行没有表面。 所以对于二维Lebesgue测量线来测量零集。
在ergodic理论的背景下，“几乎无处不在”的意思，根据定义，“除了一组测量零点之外，”除了X中的各个地方“。 也就是说，只要索赔被称为“几乎到处”，它意味着X中某些点可能是假的，但它们共同衡量零。 现在我们处于解释了在ergodicity定义中的短语意味着什么。 正如我们上面所看到的那样，时间平均值（但不是空间平均值！）取决于初始条件。 如果我们说f * =
ˉ
f
几乎到处都是我们的意思是所有这些初始条件，就是这样的初始条件是f *≠的情况
ˉ
f
结合在一起形成一组测量零 - 它们就像飞机中的一条线。
掌握了这种对ergodicity的定义的理解，我们现在可以讨论ergodic系统的一些重要属性。 考虑X的子集A.例如，再次思考振荡球的示例，拍摄相位空间的左半部分。 然后定义A，FA的所谓的特征函数，如下：对于A和FA（x）= 0的所有X的FA（x）= 1，对于A.不在A.将此功能插入ergodicity的定义：f
*
一种
=μ（一）。 这意味着系统状态在Set A中花费的时间比例与该集合的测量成正比。 为了使这种更加直观，假设测量是归一化的：μ（x）= 1（这是一个非常常见和非问题的假设）。 如果我们然后选择μ（a）= 1/2，那么我们知道系统在a中花费了一半; 如果μ（a）= 1/4，它将花费四分之一的时间; 正如我们将在下面看到的那样，ergodic系统的这种特性在某些统计力学方法中起着至关重要的作用。
由于我们可以自由地选择A愿望，我们立即得到另一个重要结果：只有当其轨迹可以访问正测量的所有部分时，系统才能是ergodic，即，如果轨迹通过无限次数靠近X的任何点近乎靠近X无限次数随着时间的推移往往。 这意味着ergodic系统的相位空间被称为分数不可分离的（或者也是“不可缩合”或“不可分散”）：在T（即，映射到T）下映射到自身的每个集合的每个集合不变都有0或因此，x不能分为不变的两个或更多个子空间（非零测量值），相反，非ergodic系统是可分解的。 因此，度量不可分解性和遍义是等同的。 在图3中示意性地示出了一定的分解系统。
图3
图3：可还原系统：区域P中没有点演变为区域Q，反之亦然。
最后，我们想陈述一个定理在第4节中将变得重要。一个可以证明一个系统是ergodic iff
林
n→∞
1
n
n-1
σ
k = 0
μ（tkb∩a）=μ（b）μ（一）
持有X的所有子集A和B.虽然这种条件没有立即直观的解释，但我们将在下面看到对我们在ergodic系统中找到的那种随机性来说至关重要。
3. ergodic层次结构
事实证明，ergodicity只是动态属性的整个层次的底部。 这个层次结构被称为ergodic层次结构，并且对该层级的研究是一个名为ergodic理论的数学学科的核心任务。 这种术语的选择有点误导，因为遍历是这个层次结构的底部，因此EH含有远远超过遍历的遍比，而ergodic理论的范围远远超出ergodicty。 ergodic理论（如此理解）是动态系统理论的一部分，这研究了比遍历理论更广泛的动态系统。
