ergodic层次结构（二）
EH是动态特性的嵌套分类。 层次结构通常表示为由以下五个级别组成：
Bernoulli kolmogorov⊂强搅拌⊂弱混合⊂ergodic
该图旨在表示所有伯努利系统都是Kolmogorov系统，所有Kolmogorov系统都是强大的混合系统，等等。 因此，EH中的所有系统都是ergodic。 然而，匡威关系不持有：并非所有ergodic系统都是弱混合，等等。 在后续的是ergodic但不弱混合的系统中被称为ergodic并且类似地用于接下来的三个水平。[8]
图4A。图4B
（4a的）（4b）
图4：混合
通过以下实施例可以直观地解释混合，首先由Gibbs使用在引入混合概念时。 从一杯水开始，然后添加苏格兰威士忌; 这在图4A中示出。 鸡尾酒（苏格兰酸+水）的体积C是μ（c），并且加入到水中的苏格兰的体积是μ（s），因此在c℃的浓度为μ（s）/μ（c）。
现在搅动。 在数学上，搅拌由时间evolution t表示，这意味着t（s）是苏格兰苏格兰塞在一个混合时间的单位之后占据的区域。 直观地说，如果苏格兰的浓度等于μ（S）/μ（C）的浓度，则鸡尾酒不仅相对于全体积的流体，而且相对于该体积的任何区域V等于μ（S）/μ（c）。 因此，饮料在时刻彻底混合了
μ（tns∩v）
μ（v）
=
μ（s）
μ（c）
对于任何体积V（非零测量）。 现在假设鸡尾酒的体积是一个单位：μ（c）= 1（我们可以在不损失一般的情况下，因为总是一个单元系统，其中玻璃的体积是一个）。 然后鸡尾酒彻底混合了iff
μ（tns∩v）
μ（v）
=μ（s）
对于任何区域V（非零测量）。 但是在搅拌结束之前必须大的情况下搅拌良好搅拌？ 我们现在不要求饮料必须在任何有限时间内彻底混合，但只有它接近被彻底混合的状态，因为时间往往是无限的：
林
n→∞
μ（tns∩v）
μ（v）
=μ（s）
对于任何区域V（非零测量）。 如果我们现在将玻璃与阶段空间x相关联，并用x的两个任意子集A和B替换苏格兰斯和卷V，那么我们得到了所谓的强混合的一般定义（通常也称为“混合”）：系统很强烈混合IFF
林
n→∞
μ（tnb∩a）=μ（b）μ（一）
对于X的所有子集A和B.可以通过允许波动来放宽混合的这种要求。[9] 也就是说，而不是要求鸡尾酒达到混合的均匀状态，我们现在只要求平均混合它。 换句话说，我们允许苏格兰威士忌或水的气泡可能每一次又播出，但是它们以这种波动的方式这样做，因为随着时间的推移，这些波动趋于无穷大。 这以直接的方式转化为数学。 在某个时间N与理想混合状态的偏差为μ（tnb∩a）-μ（b）μ（a）。 这些偏差的平均值消失的要求激发了弱混合的概念。 系统弱混合IFF
林
n→∞
1
n
n-1
σ
k = 0
|μ（tnb∩a）-μ（b）μ（一）| = 0
对于X的所有子集A和B.垂直笔画表示所谓的绝对值; 例如：| 5 | = | -5 | = 5。 迄今为止我们介绍的三种动态特性之间存在严格的含义关系：强大的混合意味着弱混合，但反之亦然; 弱混合意味着崇拜，但反之亦然。 因此，强混合的状况较强，弱混合，弱混合的条件比遍义。
EH中的下一个更高级别是K系统。 与ergodic和混合系统的情况不同，遗憾的是，不遗憾的是解释这种系统的标准定义的直观方式，并且该定义是不能从它的特征读出K-Systems的特征（我们在附录中说明附录中的这个定义）。 由于Cornfeld等人（1982,283），通过定理，k-systems的最不直接的方式是由康菲尔德等人（1982,283），他们证明动态系统是K-system iff它是k混合。 系统是用于任何子集A0，A1，...，x的AR的k混合IFF（其中R是您选择的自然数）以下条件：
林
n→∞
支持度
b∈σ（n，r）
|μ（tnb∩a）-μ（b）μ（一）| = 0
其中Σ（n，r）是由该组产生的最小Σ-agrab
{tkaj|k≥n; j = 1，...，r}。
它远非明显，这所谓的Sigma代数是什么，因此这种情况的内容并不立即透明。 我们将在第5节中回到本问题，我们提供了直观阅读这种情况。 时间是与混合条件的相似之处。 强大的混合是，琐碎，相当于
林
n→∞
μ（tnb∩a）-μ（b）μ（一）= 0
所以我们看到k混合增加了强烈混合的东西。
在通过我们希望提及K-Systems的另一个重要属性：可以证明K-Systems有阳性Kolmogorov-Sinai熵（Ks-entropy）; 有关详细信息，请参阅附录，第C节.KS-熵本身没有直观的解释，但它以有趣的方式涉及动态系统理论的三种其他概念，这些都具有直观的解释。 首先，Lyapunov指令是一种措施，最初是最初附近的轨迹平均偏离的速度，并且它们通常用于混沌理论，以表征系统动态的混沌性质。 在某些情况下（基本上，系统必须是可分辨率和遍历的）可以证明只有当它有积极的Lyapounov指数（Lichberg和Liebermann 1992,304）时，才能证明动态系统具有正ks-熵。 在这样的系统中，最初任意关闭轨迹呈指数分歧。 这个结果被称为Pessin的定理。 其次，序列的算法复杂度是再现序列所需的最短计算机程序的长度。 一些序列很简单; 例如， 一百万'1'的字符串很简单：基本上重现的程序是'写'1'一百万次'，这很短。 其他人很复杂：序列中没有模式5％8£yu @ * ms！} ＜74 ^ f那个可以利用，因此一个程序再现序列基本上读取'写5％8£yu @ * ms！} ＜74 ^ f'，其长度与序列本身相似。 在离散情况下，轨迹可以表示为沿着该轨迹的系统的状态对应的符号序列。 然后，如果系统是K-System，则其KS-熵等于其几乎所有轨迹的算法复杂性（Brudno 1978）。 这现在被称为Brudno的定理（Alekseev和Yakobson 1981）。 第三，香农熵是未来结果不确定性的常见措施：熵越高，我们越来越不确定，我们就会发生什么。 人们可以证明，给定某些合理的假设，Ks-熵相当于Shannon熵的广义版本，因此可以被视为对过去事件（Frigg 2004）的未来事件的不确定性的措施。
Bernoulli系统标志着EH的最高级别。 为了定义Bernoulli系统，我们首先必须介绍X分区的概念（有时也称为“x”的粗谷物）。 X的分区是X的划分为不同的部件（分区的所谓的'原子'），使得这些部件不重叠并共同覆盖X（即，它们是相互排斥的和共同穷举）。 例如，在图1中，存在具有两个原子（左侧和右侧部分）的相位空间的分区。 更正式地，α= {α1，...，αm}是x的分区（和αi它的原子）iff（i）分隔的任何两个原子的交叉点是空集，并且（ii）所有原子的联合是x（测量零）。 此外，重要的是要注意分区仍然是系统动态下的分区。 也就是说，如果α是分区，则TNα= {TNα1，...，TNαm}也是全部n的分区。
当然，存在许多不同的方式分区相空间。 在下面我们将研究不同的分区如何彼此相关。 这一联系中的一个重要概念是独立性。 让α和β是X的两个分区。根据定义，这些分区是α和β的所有原子αi的IFFμ（αi∩βj）=μ（αi）μ（βj）和β的所有原子βj。 我们将解释这一定义的直观含义（并证明在第4节中致电致电它“独立”; 暂时我们只是用它作为一个正式的定义。
使用这些概念，我们现在可以定义伯努利转换：变换T是伯努利转换IFF，其中x的分区α使得T在不同时刻的α的图像是独立的; 也就是说，分区......，T-1α，T0α，T1α，......都是独立的。[10] 换句话说，T是伯努利转换IFF
μ（δi∩βj）=μ（δi）μ（βj）
对于TKα的所有原子ΔI和所有K≠L的TLα的所有原子βj。 然后，我们将α称为Bernoulli分区，如果T是Bernoulli自动形式，即Bernoulli转换映射X自身，我们将调用动态系统[x，μ，t]一个伯努利系统。
让我们通过众所周知的示例来说明这一点，面包师的转换（如此命名，因为它与面团捏合的相似性）。 该转换将单位正方形映射到自身上。 使用标准笛卡尔坐标，转换可以写如下：
t（x，y）=（2倍，
y
2
）对于0≤x<
1
2
和
t（x，y）=（2倍-1，
y
2
+
1
2
）对于
1
2
≤x≤1
用单词的单词（x，y）在单位方形中具有小于1/2的x坐标的单位正方形，转换t加倍x的值并将Y的值减半。 对于具有大于或等于1/2，T的X坐标的所有点（x，y），将X进入2x-1和y进入Y / 2 + 1/2。 这在图5A中示出。
图5A
图5A：面包师的转型
现在将上述附图的左侧部分所示的两个区域视为分区α= {α1，α2}的两个原子。 然后易于看出α和tα是独立的：μ（α1∩tα2）=μ（α1）μ（tα2），并且类似于α和Tα的所有其他原子。 这在图5B中示出。
图5B
图5B：α和Tα的独立性。
人们也可以证明所有其他迭代的独立性也是如此。 因此，面包师的转换与分区α是伯努利转换。
在文献中，伯努利系统通常使用所谓的移位映射（或伯努利班次）引入。 我们在此简要说明Shift映射如何与Bernoulli系统有关贝克转换的例子; 对于更一般的讨论，请参见附录，D部分。在单位方形中选择一个点，并将其x和y坐标写为二进制数字：x = 0.a1a2a3 ...和y = 0.b1b2b3 ...，所有ai和bi是0或1.现在将两个字符串一起放回中间的点，以形成一个无限字符串：s = ... b3b2b1.a1a2a3 ......，它可以代表系统的状态作为“标准”二维向量。 然后一些直截了当的代数表明了这一点
t（0.a1a2a3 ...，0.b1b2b3 ...）=（0.a2a3a4 ...，0.a1b1b2b3b4 ...）。
从这一点看，在我们的“一个字符串”表示点的指向T点的操作，将点向右移动一个位置：ts = ... b3b2b1a1.a2a3 ......因此，面包师的转换相当于换档无限的零和zero。[11]
有两种进一步的概念对于伯努利系统的理论至关重要，是Bernoulli弱的财产和伯努利很弱。 这些属性在表明某些转变实际上是Bernoulli的作用起着至关重要的作用。 Baker的转换是具有几何简单Bernoulli分区的少数例子之一，因此常常不能直接证明系统是Bernoulli系统。 然后，一个人的几何简单分区是弱Bernoulli弱，并且由于ornstein而使用定理来实现，如果系统是弱bernoulli，则存在该系统的Bernoulli分区。 这些概念的数学和同等的相关证据是复杂的，它们的呈现超出了本入口的范围。 感兴趣的读者称为Ornstein（1974）或盾牌（1973）。
4. ergodic等级和统计力学
EH，特别是讲言本身的概念，在统计力学（SM）的基础上发挥着重要作用。 在本节中，我们审查了这些角色。
讨论SM面临立即问题。 在许多物理领域的基础辩论可以作为他们的出发点普遍接受的形式主义。 SM的东西不同。 不同于，相对论理论，SM尚未发现普遍接受的理论框架，更不用说典范制定。[12] 我们在SM中找到的是不同的不同方法和学校，每个都有自己的程序和数学仪器。[13] 然而，所有这些学校使用的两个理论框架中的任何一个（略有变体），其中一个都可以与Boltzmann（1877）和Gibbs（1902）相关联，从而可以作为“Boltzmannian”来分类或'gibbsian'。 出于这个原因，我们将SM的演示文稿分为两部分，一个用于这些方法中的每一份。
在讨论这些理论讨论之前，让我们简要介绍一个常见的例子的SM的基本原则。 考虑一个被限制在盒子的左半部分的气体。 现在取下分离盒子的两半的屏障。 结果，气体迅速分散，并继续这样做，直到它均匀地填充整个箱子。 气体已接近平衡。 这提出了两个问题。 首先，如何均衡表征？ 也就是说，系统均衡需要什么？ 第二，我们如何表征均衡的方法？ 也就是说，均衡方法的突出特征是什么以及系统的特征使它成为这种方式？ 这些问题是以SM的两个分特索尼语解决：均衡SM和非平衡SM。
有两种不同的方法描述了像气体的扩散一样的过程。 热力学描述了使用少数宏观变量的系统（在气体压力，体积和温度），同时忽略气体的微观结构。 就热力学而言，涉及的问题可能是连续性而不是由粒子组成 - 它只是不会有任何差异。 因此，热力学称为“宏观理论”。
热力学的基石是所谓的第二热力学定律。 本法描述了上述过程的突出特征之一：其单向性。 我们看到气体蔓延 - 即，我们看到他们发展朝均衡 - 但我们从不观察到自发地恢复到盒子的左半部分的气体。，我们从未看到它们在左侧偏离均衡。 这不是气体的特定特征。 事实上，不仅是气体，而且还不管他们的具体化妆如何表现出所有其他宏观系统。 这一事实在热力学的第二律规律中载入，这粗略地说明从均衡到非均衡状态的转换不能发生在隔离系统中，这与熵不能减少隔离系统（如果孤立的系统没有）相同与其环境的互动：没有热交换，没有人压缩气体等）。
但是，看看同样的天然气有一个不同的方式; 即，由大量分子组成（实验室表上的容器含有1023分子）。 当它们撞入血管壁并彼此碰撞时，这些分子在施加到它们上的力的影响下反弹。 每个分子的运动以与弹跳球的运动相同的方式受到经典力学的规律的管辖。 因此，而不是将一些宏变量归因于天然气并侧重于它们，我们可以通过研究其微观成分的动态来试图了解气体的行为。
这提出了如何看待气体适合的两种方式的问题。 由于热力学和机械方法都没有以任何方式特权，因此都必须导致相同的结论。 统计力学是解决这项任务的学科。 因此，从更抽象的角度来看，我们也可以说SM是微观物理和宏理性之间联系的研究：它旨在考虑系统的宏观行为，以控制其微观成分的动态规律。 其名称中的“统计”一词欠这一事实，因为我们将看到，只有我们将概率元素引入理论中，只能给予机械解释。
4.1 Boltzmannian SM
我们首先介绍了Boltzmannian框架的主要元素，然后转向它的ergodicity。 每个系统都可以拥有各种宏稳态M1，...，MK。 这些宏稳定物的特征在于宏观变量的值，在气体压力，温度和体积的情况下。[14] 在介绍性示例中，一个宏观状态对应于围绕左半部分的气体，另一个宏观状态对应于其散布。 事实上，这两个州具有特殊状态：前者是天然气的初始状态（也称为“过去州”）; 后者是气体“平衡状态”。 我们分别标记状态MP和MEQ。
它是博尔特扎曼方法的基本姿势之一，即宏观对Microstate的监督员，这意味着系统宏峰的变化必须伴随其Microstate的变化（用于讨论易于看见McLaughlin和Bennett 2005和其中的参考文献）。 例如，不可能改变系统的压力，同时保持其微状态常数。 因此，对于每种给定的微杆X x，恰好对应一个宏率。 让我们将此宏稳定为m（x）。 这种确定关系不是一对一的; 实际上许多不同的x可以对应于同一宏峰。 我们现在将所有Microstate X组合在一起，该X对应于相同的宏状态，其在非重叠区域中的相位空间占据相对应的宏状态。 因此，我们还使用相同的字母，M1，...，MK，以引用宏状态和相位空间中的相应区域。 这在图6a中示出。
图6b。图6b
（6a的）（6b型）
图6：X的宏稳态结构。
我们现在处于介绍Boltzmann熵的位置。 为此，我们在分配给每个设置特定音量的相位空间上有一个测量μ，因此FortiOri也宏稳定。 考虑到这一点，宏观状态MJ的Boltzmann熵可以定义为SB = kblog [μ（mj）]，其中kb是boltzmann常数。 对数的重要特征是它是单调功能：较大的MJ，其对数越大。 从这一点来看，最大的宏观状态也有最高的熵！
一个人可以表明，至少在稀释气体的情况下，玻璃螺栓玻璃熵与热力学熵一致（在意义上，两者都具有对基本状态变量相同的功能依赖性），因此可以说是合理的均衡状态是螺栓玻璃熵最大的宏观状态（因为热力学定位熵对于均衡状态最大）。 假设系统以低熵状态开启，初始状态MP（气体被挤压到盒子的左半部分）。 解释均衡方法的问题，然后回答问题：为什么最初在MP中的系统最终进入MEQ，然后留在那里？ （见图6B。）
在1870年代，Boltzmann为这个问题提供了一个重要的答案。[15] 在他的答案中，他的答案是根据自己的尺寸分配宏稳定性的想法。 因此，Boltzmann采用以下假设：p（mj）=cμ（mj）所有j = 1，...，k，其中c是常规化常量确保概率加到一个。 授予这种假设，它立即跟随最可能的状态是均衡状态（因为平衡状态占据相空间的最大块）。 从这个角度来看，了解均衡的方法，因为从不太可能的宏观术中的进化到更可能的宏观状态，最终到最可能的宏观状态。 Boltzmann认为，这是对热力学第二律法的统计理由。
