ergodic层次结构（三）

但是Boltzmann知道简单地假设P（MJ）=Cμ（MJ）不会解决问题，除非假设在系统的动态方面可以是合理的。 这是ergodicity进入场景的地方。 如上所述，ergodic系统具有在与其尺寸（相对于μ）成比例的相空间的每个部分中支出一部分时间的性质。 如我们所见，均衡状态是最大的宏峰。 实际上，均衡状态远大于其他州。 因此，如果我们假设系统是令人互识别的，那么大部分时间都在平衡！ 然后，将P（MJ）分解为时间平均值：P（MJ）是系统在状态MJ中在州MJ中的时间分数。 我们现在拥有Boltzmann的框架在美国前面的主要元素：（a）在宏稳定中分区系统的相位空间，并表明均衡状态是迄今为止最大状态; （b）采用概率的时间平均解释; （c）假设有问题的系统是ergodic。 然后遵循该系统最有可能在均衡中找到，这是第二种法律的（概率形式）。

三个反对意见已达到这一思路。 首先，指出，假设ergodicity以两种方式太强烈。 首先，证明感兴趣的系统真的是ergodic的极度困难。 与有时被断言的相反，甚至没有在具有硬反射壁的立方盒中移动的n个弹性硬球系统已经被证明是ergodic的ergodic n; 已被证明仅适用于n≤4。 为此，人们可以回答看起来像失败的东西，似乎对他人来说是一个挑战。 数学的进展最终可以解决这个问题，并且至少有一个最近的结果证明了乐观：辛巴尼（2004）表明，对于任意的自然数N，尺寸3或更大的圆环上的N硬球系统是遍历的。

遍世性似乎太强烈的第二种方式是，即使最终我们可以通过相关系统遍及遍历的证据，假设太强大，因为有些系统被称为ergodic，但它们的行为根据第二法。 Bricmont（2001）调查KAC环模型和N个不象的anharmonic振荡器的系统相同的质量，并指出两个系统表现出热力学行为，但它们不能是ergodic。 因此，热力学行为不是必需的遍历。 Earman和Redei（1996，第70页）和Van Lith（2001，第585页）辩称，如果对于热力学行为不是必需的，因此遍及性不能为这种行为提供令人满意的解释。 除了ergodicity之外，必须具有以外的属性来解释系统在系统不是ergodic的情况下的热力学行为，或者甚至对于ergodic的系统，甚至必须存在对平衡的方法的完全不同的解释。

为了应对这种反对，vranas（1998）和Frigg和Werndl（2011）认为，大多数未能是ergodic的系统以可指定的方式是“几乎是ergodic”，这足够好。 我们在讨论下面讨论Gibbsian SM时讨论Vranas的方法，因为这是他提出了他建议的背景。 Werndl和Frigg（2015A，2015B）提供了Boltzmannian均衡的替代定义，利用ergodic分解定理来表明即使系统不是ergodic，它将花费大部分时间均衡，如Boltzmann所设想的（大致是ergodic分解定理，说明每种措施保存系统的相位空间都可以分成部分，以便在每个部分都是ergodic;详情请参阅Petersen 1983）。 Frigg（2009）建议利用几乎所有Hamiltonian系统是不可集成的事实，并且这些系统具有所谓的Arnold纤维网，即系统的大区域，系统的运动是ergodic的。 Lavis（2005）重新检查了KAC环模型，并指出即使系统不是ergodic，它具有遍历分解，足以保证均衡方法。 他还挑战了上述批评的假设，提供了对均衡量的方法，以确定所有系统共同的一个（且只有一个！）属性。 实际上，可能是不同的属性对不同系统中的均衡方法负责，并且没有理由排除此类解释。 总而言之，所有这些答复的主台是，即使ergodicity Simpliciter可能没有资源来解释均衡方法，有些合格的属性。

第二个反对意见是即使是遍历性获得，也不足以给我们我们所需要的东西。 正如我们上面所看到的那样，ergodicity伴随着资格“几乎到处”。 这种资格通常被理解为表明，可以无损，可以忽略一组尺度零。 这个想法是落在一组测量零中的点是“稀疏”，因此可以忽略。 此举是否具有合法的问题被称为“衡量零问题”。

由于各种原因，简单地忽略措施零似乎是有问题的。 首先，一组测量零可以是相当“大”; 例如，Rational Numbers在实数内测量零。 此外，如果将集合与除了措施之外的性质相比，则不需要（甚至出现）一组测量零。 例如，我们可以判断其基数或贝尔德类的“大小”，而不是其措施，这导致我们对集合尺寸的不同结论（Sklar 1993，PP。182-88）。 假设无法发生测量零的事件也是错误的。 实际上，测量零，不可能是不同的概念。 在某些时候，系统是否处于一个特殊的初始条件之一，其中空间和时间意味着无法平等是一个无法通过上诉措施解决的事实问题; 指出，这种点在衡量标准中稀缺的理论确实解决了这个问题，因为它并不意味着它们也很稀缺。

在回应中，可以说两件事。 首先，折扣尺度零是物理学的标准实践，问题不具体到遍历理论。 因此，除非有一个有充分的理由怀疑特定的措施零国家实际上是重要的，否则可能会争辩说证据的责任是那些认为在这种情况下折扣的人是非法的。 其次，SM在这么多案件中的作用的事实表明它们确实是稀缺的。

第三批评很少明确明确阐明，但显然在当代Boltzmannnian方法的背景下，如艾伯特（2000），它拒绝了Boltzmann的起点，即假设P（MJ）=cμ（mj）。 Albert介绍了另一种假设，基本上在所谓的过去的假设上提供两个宏观条件之间的过渡概率，宇宙在低熵状态（大爆炸）中存在的问题。 Albert然后争辩说，在这种账户中，狂欢变为闲置的轮子，因此他拒绝它与SM的基础完全无关紧要。 然而，这可能太过于仓促。 虽然Ergodicity Simpliciter是无法证明Albert的概率假设，但是需要另一种动态假设，以使这假设是真的（Frigg 2010）。

4.2吉布斯SM

在Gibbs的方法的基础上，概念转变。 Boltzmannnian框架的研究对象是一个单独的系统，由大量但有限数量的微观成分组成。 相比之下，在GIBBS框架内，研究对象是所谓的集合：一个非星期性许多副本的虚构集合（它们是相同的相位空间，动态和测量），但恰好在不同的状态。 例如，气体的集合包括不同状态的相同气体位的无限副本：一个集中在盒子的左下角，一个是均匀分布的等等。重要的是要强调，那么合并是虚构的，或“心理”正在考虑的一个系统的副本'（Schrödinger1952,3）; 或者，它们可以被认为是整个系统可能的状态的集合。 因此，重要的是不要将与诸如气体分子的微观物体的集合混淆！

该集合的一个系统的瞬时状态由其相位空间中的一个点指定。 因此，整个整体的合奏状态由系统的相位空间上的密度函数ρ指定。 从技术的角度来看，ρ是如我们在第1节中遇到的f。我们此外假设ρ是概率密度，反映出从区域R中随机选择的系统的状态的概率密度，使得概率在R中的状态是p（r）=∫rρdμ。 使这更直观地考虑以下类比。 你玩了一种特殊的飞镖：你把木板固定在墙上，用作你的飞镖板。 出于某种原因，您知道驾驶室特定地点的DART降落的概率由图7所示的曲线给出。然后，您被问到您的下半场左半部分的概率是什么。 答案是1/2，因为曲线下面的表面的一半是左侧的一半。 Dart Loard然后扮演系统状态空间的角色，电路板的一个地区（这里左半）起到R的角色，并抛出飞镖扮演从集合中挑选系统的作用。

图7

图7：飞镖板

重要的是它允许我们计算期望值。 假设游戏是这样你就可以一磅如果飞镖击中左半部分和三磅，如果它在右半角落在一半。 你的预期收益是多少？ 答案是1/2×1磅+1 / 2×3磅= 2磅。 这是期望值。 同样的想法是在SM工作。 例如，物理幅度如压力与相位速度上的功能f相关联。 然后，我们计算这些大小的期望值，通常由⟨f⟩=∫fdμ给出。 在GIBBSIAN SM的背景下，这些期望值也被称为阶段平均值或集合平均值。 它们具有核心重要性，因为这些值用作观察值的预测。 因此，如果您想使用形式主义预测实验中将观察到的内容，首先必须弄清楚概率密度ρ是什么，然后找到与您感兴趣的物理量对应的函数F，然后计算相平均值。 在实践中，这些步骤都不容易，工作的物理学家大部分时间都花费这些计算。 但是，如果我们对此“食谱”潜在的概念问题感兴趣，这些困难不需要占据我们。

根据定义，如果不会随时间变化，概率密度ρ是静止的。 鉴于可观察量与相位平均有关，并且在表征系统的宏观参数的恒定方面定义了平衡，因此将分布的平稳性作为平衡的必要条件，因此静止分布产生恒定平均值是自然的。 因为这个原因，GIBBS指的是作为“统计均衡条件”。

在满足进一步要求的所有静止的分布中，加波比的最大熵原则，发挥特殊作用。 GIBBS熵（有时称为“合奏熵”）被定义为

sg（ρ）= - kb∫ρlog（ρ）dμ。

Gibbsian最大熵原理然后要求SG（ρ）是最大的，给出了系统上施加的约束。[16]

最后一个条款是必不可少的，因为不同的约束是单一的不同分布。 共同选择是保持系统中的能量和粒子数。 可以证明在这些情况下，SG（ρ）对于所谓的微常规分布（或微常规合奏）的最大值是最大的。 如果我们选择保持颗粒数量的常量，同时允许在给定的平均值周围的能量波动，我们获得所谓的规范分布; 如果我们还允许粒子数围绕给定的平均值波动，我们发现所谓的宏观规范分布。[17]

这种形式主义非常成功，因为可以为广大的系统获得正确的预测。 但这种形式主义的成功相当令人费解。 第一个也是最明显的问题涉及系统和合奏的关系。 GIBBS方法中的概率分布在集合中定义，形式主义提供集合平均值，并且均衡被视为集合的属性。 但我们真正感兴趣的是单一系统的行为！ 集合的属性是什么 - 一个虚构的实体，由真实系统的无限许多精神副本组成 - 告诉我们关于实验室表上的一个真实系统？ 更具体地说，为什么整体的平均值与在均衡的实际物理系统上执行的测量中发现的值相符？ 没有明显的原因，为什么这应该是这样的，事实证明，ergodicity在回答这些问题方面发挥着核心作用。

常见的教科书智慧证明使用阶段平均值如下。 正如我们所看到的，GIBBS形式主义将物理量与系统的相位空间有关。 制定测量这些数量之一的实验需要时间，并且假设测量设备寄存器不是所讨论的函数的瞬时值，而是在测量持续时间内的时间平均值。 因此，时间平均是经验可访问的。 然后，仍在继续，尽管测量需要缩短人类标准的时间，但与典型分子过程发生的微观时间尺度相比，它是长期的。 因此，假设测量的有限时间平均值近似等于测量功能的无限时间平均值。 如果我们现在假设系统是ergodic，那么时间平均值等平均值等平均值。 后者可以容易地从形式主义中获得。 因此，我们发现了追捧的连接：Gibbs形式主义提供了阶段平均值，由于遍历，等于无限时间平均值，并且这些是良好的近似，等于从测量获得的有限时间平均值。

至少有两个原因存在问题。 首先，从测量需要一些时间，它没有遵循实际测量的是时间平均值。 例如，可以是通过测量装置提供给我们的值的情况只是在测量的最后一刻假定的值，而不管是先前的值是（例如，它只是最后一个指针读数登记的指针）。 因此，我们需要一个参数来结束测量确实产生时间平均值。 其次，即使我们认为测量确实产生有限时间平均值，也使得具有无限时间平均值的这些平均值是有问题的。 即使测量的持续时间是长期的实验标准（不需要这种情况），有限和无限的平均值也可能呈现非常不同的值。 这并不是说他们一定要不同; 他们可以重合。 但他们是否确实是一个经验问题，这取决于调查下系统的细节。 在用无限时间平均值替换有限时间时，需要注意，并且在没有进一步的论据的情况下无法识别它们。

Mally和Zabell（1980）通过建议解释仍然调用ergodicity的均衡理论成功的方法来应对这一挑战，但避免了令人吸引人的时间平均值。 这解决了上述问题，但遭受了通过SM的形式主义成功处理的许多系统的困难不是ergodic。 为了规避这个困难的vranas（1998）建议用他所谓的ε-ergodicity来替代崇拜。 直观的系统是ε-ergodic，如果它是令人讨厌的，如果它不在整个相位空间上，而且在它的很大一部分上（其上没有ergodic的那些部分，其中ε非常小）。 他的方法背后的主要想法是挑战普遍认为的信念，即使一个系统只是一个'小位'非ergodic，那么它表现得以完全“or-ergodic”的方式。 瓦兰纳斯指出，有一个中间地面，然后认为这个中间地面实际上为我们提供了我们所需要的一切。 这是一个有前途的提案，但它面临着三个挑战。 首先，需要表明所有相关系统都是ε-ergodicity。 其次，到目前为止的论点只开发了微生物合奏，但人们想知道是否，如果是的话，它是如何适用于规范和宏大的合奏。 第三，它仍然基于均衡特征在于静止分布的假设，因为我们将在下面看到，这是在制定可行的GIBBSIAN非平衡理论方面是一种障碍。

第二次反应始于考春的工作。 Khinchin（1949）指出，ergodic计划的问题是因为它专注于过于普遍的一类系统。 我们应该专注于统计力学相关的那些案例而不是在一般水平上学习动态系统。 这涉及两个限制。 首先，我们只需要考虑具有大量自由度的系统; 其次，我们只需要考虑一类特殊的相位函数，所谓的“和函数”。 这些功能是单粒子函数的总和，即，仅考虑一个粒子的位置和动量的函数。 在这些假设下，KHINCHIN证明，随着n变大，在能量超表面上的那些区域的测量值[18]，其中时间和空间装置的不同程度趋于零。 粗略地说，这个结果表明，对于大量的n，对于所有实际目的，系统的行为行为，就好像它是ergodic一样。

此结果的问题是它仅适用于SUM函数，特别是仅当系统的能量函数本身是一个和函数时，这不是粒子交互时的情况。 所以问题是这个结果如何概括为更现实的案例。 这个问题代表了现在称为热力学限制的研究计划的起点，其中包括Lanford，Mazur，Ruelle和Van der Linden（参见Van Lith（2001）的调查）。 它的主要问题是，在能量函数的情况下，是否可以证明'khinchin样'结果。[19] 可以在N→∞的极限中证明这种结果，如果系统的体积V趋于无穷大，则以数量n / v保持恒定的方式。

到目前为止，我们只处理均衡，一旦我们转向非均衡，事情会变得更糟。 主要问题是，吉布斯熵是一个常量的形式主义是一种结果 这排除了在增加Gibbs熵的方面对均衡方法的表征，如果我们将GIBBS熵视为热力学熵的SM对应物，这是一个人会期望的。 围绕该问题的标准方式是粗粒，然后定义所谓的粗粒粗糙的GIBBS熵。 简而言之，课程介绍相位空间，以将网格放在相位空间上，并声明网格的一个单元格内的所有点都无法区分。 该过程将连续的相位空间变为离散的单元集，然后通过说出系统状态的细胞来指定系统的状态。 如果我们在该网格上定义GIBBS熵，它就结果（出于纯数学原因），熵不再是常数，实际上可以增加或减少。 如果那个人假设系统正在混合，则从易于粒度的理论的所谓收敛定理中遵循粗粒的Gibbs熵最大。 然而，这种解决方案充满了争议，争夺争用的两个主要骨骼是粗晶的理由，以及系统混合的假设。

总而言之，ergodicity在许多尝试证明SM的位置证明了核心作用。 甚至在简单地利用遍历性的情况下最终是不成功的，在对问题的分析和寻求更好的解决方案中，有些修改的概念证明富有成效。

5. ergodic层次结构和随机性

EH通常呈现为确定性系统中随机程度增加的层次结构：这个层次结构中的越高越高，系统的行为越随意。[20] 然而，不同水平的欧洲州的定义不会明确对随机性的吸引力; 展示EH的通常方式也不涉及说明应该遵守层次结构的随机性的概念。 所以有一个关于随机性概念的问题eh，并且在什么意义上完全是eh是随机行为的层次结构。

Berkovitz，Frigg和Kronz（2006）讨论了这个问题，如果随机性在不可预测性方面被阐述，则eh最好地理解为随机行为的层次结构，在概率方面占难以预测的情况相关性。 反过来，概率相关模式依次在不同时间之间的不同类型的相关类型的不同类型的衰减方面进行了说明。 让我们一次介绍这些元素。

系统的属性可以与相位空间的不同部分相关联。 例如，在球示例中，具有正动量的性质与相空间的右半部分相关; 也就是说，它与集合{x∈x|p|p＞0}相关联。 概括这个想法我们说，对于系统的相位空间的每个子集A对应于属性PA，使系统在时间t IFF在TIF中具有该属性。 子集A可以是任意的，并且与例如具有正动量的性质不同，对应于A可能不直观的性质。 但在分析中没有任何东西遵循“直观”的物业。 然后，我们将事件定义为在时间t获取PA。

在每次t，事实上是否获得PA获取，这由系统的动态决定。 但是，我们可能不知道是否是这种情况。 因此，我们引入了表达我们不确定的认识概率，了解是否获得：P（AT）反映了在时间t的PA获得的代理人的信仰程度。 以同样的方式引入条件概率：P（ATBET1）是我们在具有PA的系统中具有PB在较早时间T1的系统的信仰程度，其中B是系统的相空间的子集。 通过通常的条件概率规则，我们具有p（ATBT1）= P（AT＆BT1）/（P（BT1）。这当然可以概括为一个事件：p（在|b

t1的

1

＆...＆b

tr

r

）在T T2的T1，Pb2处具有PB1，在T2，...，...，BR的PB1，其中B1，...，BR是系统的相空间（和R自然数）的子集，以及T1，...，...，TR是时间的连续时刻（即，T＞T1＞ ...＞TR）。