ergodic层次结构（完结）

直观地，过去的一个事件与我们的预测有关，如果涉及过去的事件考虑到我们的预测，或者更具体地说，如果它降低或提高未来事件的概率，则会有所不同。 换句话说，p（在exb处

t1的

1

）-p（at）是BT1预测的相关性的衡量标准：BT1如果P（在|b处）是正相关的

t1的

1

）-p（at）＞ 0，如果p（在|b处）负相关

t1的

1

）-p（at）＜0，如果p（在|b处）无关紧要

t1的

1

）差分方程（时）= 0。 出于技术原因，事实证明，通过稍微不同但相同的相关性概念，通过将方程的两侧乘以P（BT1）来获得从上面获得的。 因此，我们采用以下定义。 BT1的相关性是

r（bt1，在）= p（在与bt1）差分方程（时）p（bt1）。

这种定义的概括到具有多于一个组B的情况（如上所述）是简单的。

相关性用于阐明不可预测性。 直观地，过去的过去的事件越越少，系统的可预测性就越少。 然后可以以各种方式改进此基本思路。 首先，我们获得的不可预测性的类型取决于应用（R）的事件类型。 例如，如果它的概率不仅是BT1或其他“孤立的”过去的事件，而是整个过去的概率，则增加了不可预测性的程度。 其次，事件的不可预测性随着该事件对过去事件BT1对事件的概率依赖性而随着事件之间的时间距离而迅速降低。 第三，AT的概率可以独立于过去的事件简单账台，或者它可以仅与平均值独立于这些事件。 这些想法利于EH的分析作为不可预测性的层次结构。

在我们提供这样的分析之前，需要两次进一步的步骤。 首先，如果概率对于在动态系统中理解随机性的概率，则概率分配必须反映系统的属性。 因此，我们必须将上述概率连接到系统的功能。 自然选择是系统的测量μ。[21] 因此，我们假设事件处的概率等于所有t的集合A：P（AT）=μ（a）的量度。 这可以推广到联合概率，如下所示：

p（在与bt1）=μ（a∩tt1→tb），

对于所有时间t＞t1的所有瞬间和系统相位空间的所有子集A和B。 TT1→TB是从T1到T的系统的动态下设置B的图像。 我们将该假设引用作为假设（P）的概率（P），其图8中所示。同样，这种条件自然是通知与多个事件BTI的关节概率的情况。 授予（p）及其概括，（r）反映了系统的动态特性。

图8

图8：条件（p）。

在简要介绍分析的下一个要素之前，让我们提到有关概率是否与系统测量的关联是合理的问题。 Prima Facie，相位空间的措施可以具有纯几何解释，并且不一定与不确定性的量化有任何关系。 例如，我们可以使用措施来确定表的长度，但这种措施无需与不确定性有关。 这种关联是否合法取决于手头的病例和对措施的解释。 然而，对于统计物理学的兴趣系统，它是自然的，并且确实标准假设系统状态在相空间X的特定子集中的概率与A的测量成比例。

要引入的最后一个元素是系统的相位空间的两个子集A和B之间的相关性的概念，其定义如下：

c（一个，b）=μ（a∩b）-μ（一）μ（b）。

如果C（A，B）的值是正（否定），则A和B之间存在正（负）相关性; 如果为零，则A和B不相关。 然后立即从上面的那个之后

r（bt1，在）= c（tt1→tb，一个）。

（RC）构成欧洲委员会解释为客观随机性等级的基础。 授予该等式，事件BT1的主观概率相关性反映了系统的客观动态特性，因为对于不同的变换T R（BT1，AT）将表示BT1的不同类型的概率相关性。

要使用（RC）来使用，重要的是要注意，可以根据相关性编写定义上述各种级别的等级。 考虑到我们正在处理离散系统（因此我们有TT1→TB = TKB，其中k是从T1和T）所需的时间步骤，这些等式读取：

遍历

林

n→∞

1

n

n-1

σ

k = 0

c（tkb，a）= 0，适用于所有a，b⊆x

弱混合

林

n→∞

1

n

n-1

σ

k = 0

| C（TKB，A）| = 0，对于所有A，b⊆x

强搅拌

林

n→∞

c（tnb，a）= 0，适用于所有a，b⊆x

k混合

林

n→∞

支持度

b∈σ（n，r）

| C（b，a）| = 0，对于所有A，A1，...，ar⊆x

伯努利

C（TNB，A）= 0，对于Bernoulli分区的所有B，A的A.

将（RC）应用于这些表达，我们可以阐明每个不同层次的难以预顾的不可预测性的性质。

让我们从呃的顶部开始。 在Bernoulli系统中，目前状态的概率完全独立于过去发生的任何事情，即使过去只有一次退回。 所以知道系统的过去并不提高我们的预测能力; 过去是无关紧要预测未来。 这一事实常常总结在伯努利系统与硬币折腾一样随机的口号。 然而，我们应该强调，这对于伯努利分区的事件而言，这是真实的; Bernoulli系统的表征是关于除Bernoulli分区以外的任何随机属性分区的沉默。

k混合更难以分析。 我们现在必须解决如何理解Σ（n，r）的问题，该组的最小Σ-agraga

{tkaj|k≥n; j = 1，...，r}

我们早些时候回避了。 我们分析的重要事项是以下类型的集合是成员

σ（n，r）：tkaj0∩tk+1aj1∩tk+2aj2∩...，

索引ji范围超过1，...，r。 由于我们可以自由地选择A0，A1，...，AR，我们可以随时选择它们，以便它们是系统的过去历史：系统在AJ0 k的时间返回，在AJ1 k + 1次延迟时呼叫（粗谷物）遥控过的系统 - 'Remote'因为我们只考虑超过k次速度的状态。 然后k混合条件说，随着时间往往无限的时间，系统的整个遥控历史与预测未来发生的事情无关紧要。 通常，Bernoulli系统通过专注于Bernoulli分区中的事件来将Bernoulli系统与K-Systems进行比较。 关于该分区K比Bernoulli弱。 差异在限制和远程历史中。 在伯努利系统中，未来是独立于整个过去的（不仅遥控过去），而且在不采取限制的情况下，这是真的（在K混合独立性的情况下只获得限制）。 但是，这只适用于Bernoulli分区; 它可能会或可能不会持有其他分区 - 伯努利系统的定义一无所有于这种情况。[22]

强大混合的解释现在是直截了当的。 它说，对于任何两个组A和B，已经在B k时，如果时间趋于无穷大，则回来与未来在一段时间内的可能性无关（即，当N倾向于无穷大时）。 换句话说，由于A和B之间的时间距离变大，过去的事件B变得越来越无关。 这种情况比k混合较弱，因为它只指出了未来在遥控器中独立于孤立的事件，而K混合意味着整个遥控历史的独立性。

在弱混合系统中，过去可能与预测未来，即使在遥控器中也是如此。 弱混合条件仅表明这种影响必须足够弱，因为它是这种情况的情况，即未来事件与过去事件之间的相关性的绝对值平均消失; 但这并不意味着所有单独的相关性消失。 因此，在弱搅拌的系统中，过去的事件可以与未来相关。

最终，ergodicity意味着根本没有衰减相关性。 ergodicity条件仅说，所有过去事件的所有过去事件的相关性（以及没有绝对值的情况的平均值为零。 但这与过去和未来之间的每个瞬间之间存在强烈的相关性兼容，条件是阳性和负相关的平均相关。 所以在ergodic系统中过去不会变得无关紧要。 因此，ergodic系统根本不是随机的（在上面介绍的随机感）。

6.“无申请”费用

了解实际系统行为的这些见解如何？ 经常听到的反对（我们已经遇到的第4节已经遇到过）是，由于大多数系统（包括那些我们最终感兴趣）根本没有ergodic，因此EH和更常见的遍历理论是无关的。[23]

这笔费用乍看之下的急性较小。 首先，重要的是要强调它不是纯粹的应用程序数量，使物理概念很重要，而是是否存在一些重要的系统是遍历的。 并且存在这样的系统的示例。 例如，所谓的“硬球系统”（以及它们的一些更复杂的变体）是气体分子动态的有效理想化，这些系统似乎是ergodic;有关详细信息，请参阅Berkovitz，Frigg和Kronz 2006，第3.2节，Vranas（1998）和Frigg和Werndl（2011）。

此外，EH可用于在ergodic和非遍历系统中表征随机性和混沌。 即使一个整体的系统不是ergodic（即，如果它没有相对于整个相空间x的ergodic，则可以存在（通常存在）X的子集，系统是ergodic的。 这就是Lichtenberg和Libermann（1992，第295页）在观察到“[i] vise，ergodicity是普遍的，核心问题是定义它存在的子空间。 实际上，非遍历系统可能具有不仅是ergodic的子集，即使是伯努利！ 然后，询问这些子集是什么，他们的措施是什么，以及他们拥有的拓扑功能。 这些是在动态系统理论的部分研究中研究的问题，特别是KAM理论。 因此，kam理论并没有表明ergodic理论在分析真实物理系统的动态行为方面没有用（如经常要求保护）。 实际上，kam系统具有该区域，其中系统表现出仅仅是ergodic或伯努利行为，因此EH可用于表现这种系统的动态特性（Berkovitz，Frigg和Kronz 2006，第4节）。 此外，正如我们第4.1节所述，几乎所有Hamiltonian系统都是不可集成的，因此它们具有大区域的相位空间，其运动是遍历的。 因此，即使系统未能是ergodic兜售法院，也是研究系统动态特性的有用工具。

另一个经常听到的反对意见是eh在实践中无关，因为大多数eh（实际上，除Bernoulli除外）都是在无限的时间限制方面定义的，因此对有限时间发生的事情保持沉默。 但我们所观察的一切都是有限时间，因此EH与实际科学家练习的物理学无关紧要。

通过仔细观察限制的定义，可以将此充电散布，这表明无限限制实际上对系统的有限时间具有重要意义。 限制的定义如下（其中f是时间的任意函数）：LIMT→∞f（t）= C IFF对于每个ε＞0，所以存在T'＞0，使得所有T＞T'具有| f（t）-c | ＜ε。 用文字，对于每个数字ε，无论多么小，都有一个有限时间t'，之后F的值与c不小于ε。 也就是说，一旦我们过去t'，f的值永远不会超过ε远离c。 例如，在这种情况下，强大的混合说，对于给定阈值ε，在其中始终存在C（TNB，A）之后存在有限时间Tn（当前时间之后的N个时间）。 我们可以自由地选择ε是一个经验相关的余量，所以我们知道如果系统混合，我们应该期望在TN之后和其当前状态后系统的状态之间的相关性。 结果是，在强的混合系统中，在过去时间的状态B处于现在处于状态A中的概率而变得越来越无关，因为A和B之间的时间距离变大。 因此，系统强度混合的事实显然对其有限时间的动态行为有影响。 此外，通常（虽然并不总是）收敛性证明在收敛率下提供有效限制，并且这些界限可用于通知对给定时间的行为的期望。

由于不同水平的EH对应于不同程度的随机性，每个随机性地阐述了不同时间的系统状态之间的不同类型的相关性，可以怀疑可以在衰变的速率下找到类似的模式。 也就是说，可能旨在认为EH可以同样地表征为衰减衰减率的层次结构：例如，展示轨迹的指数发散的K系统将被指数表征相关性衰减率，而SM系统将表现出衰减的多项式速率。

这不幸的是，不起作用。 自然可能看起来，EH不能被解释为增加相关性衰减率的层次结构。 这是一个数学的事实，即没有与每个级别相关的特定衰减速度。 例如，可以构建k-systems，其中衰减是较慢的衰减。 因此，衰减率是特定系统的特征，而不是eh的水平。

7. ergodic等级和混乱

自混沌理论成立以来，如何表征混乱的问题已经有争议地讨论; 对于一项调查，见史密斯（1998，Ch。10）。 一个重要的方法家庭使用eh定义混乱。 BELOT和EARMAN（1997,155）状态强大的混合是必要的条件，并且作为k-system是一个足够的混乱系统的充分条件。 作为k-system的观点是混乱的标志，并且任何较低程度的随机性都不是混乱的经常被两个想法激励。 首先是混乱行为的想法涉及以附近轨迹的指数分歧的形式涉及动态不稳定。 因此，由于系统涉及附近轨迹的指数发散，仅当它是K系统时，得出结论（仅）ergodic和混合系统不是混沌而不是混沌而k-和B系统。 然而，值得注意的是，SM与附近轨迹的多项式发散兼容，并且这种发散有时在短期内超过指数发散。 因此，如果混乱与附近轨迹的分歧率密切相关，那么否认SM系统表现出混沌行为似乎没有充分的理由。

作为k-system的视图的第二个常见动机是混乱的标志是从零转移到正ks熵的想法标志着从'常规'到'混沌'行为的转变。 这可能表明具有阳性Ks熵是必要的并且有足够的混乱行为条件。 因此，由于K-Systems具有正ks熵，而SM系统没有，则得出结论，K系统是混沌的，而SM系统则不是。 为什么ks-熵是混乱的标志？ 有三种动机，对应于Ks熵的三种不同的解释。 首先，ks-熵可以解释为在附近的附近轨迹附近发散的意义上被解释为有动力不稳定（参见Lichtenberg＆Liebermann，1992，第304页）。 其次，Ks-熵可以连接到算法复杂度（Brudno 1978）。 然而，虽然有时被提到这种复杂性作为混乱的指示，但更难以将其连接到关于混沌的物理直觉。 第三，Ks-熵可以被解释为Shannon信息理论熵的广义版本（见Frigg 2004）。 根据这种方法，正ks熵需要一定程度的不可预测性，这足够高，以应对标题混乱。[24]

Werndl（2009b）认为，仔细审查一个通常视为混沌的所有系统都表明强烈的混合是关键标准：一个系统是混乱的，以防它强烈混合。 正如她要注意的那样，这一索赔需要有资格：系统很少在整个相位空间上混合，但它们也没有在整个相空间上混乱。 至关重要的举动是限制对系统混乱的相空间的那些区域，然后在这些相同的区域中，系统也是强烈的混合。 因此，Werndl得出结论，强大的混合是混乱的标志。 令人惊讶的是，这也是耗散系统的真实（即，没有衡量保存的系统）。 这些系统具有吸引子，它们在吸引子上混乱而不是整个阶段空间。 那么关键点是人们可以在吸引子上定义不变（保留的）测量并表明系统相对于该措施强烈混合。 因此，强大的混合可以在保守和耗散系统中定义混乱。

搜索Chaos的必要和充分条件预先假定混沌和非混沌系统之间存在清除划分。 呃可能会挑战这个观点，因为每次尝试在某处划分到非混乱系统中划分的一条线条都会有些任意。 ergodic系统是非常常规的，混合系统不太规则，层次结构中的较高位置表现出更加随意的行为。 但是有一个特定的点，从“非混乱”到混乱发生了？ 基于eh是eh是增加随机性程度的层次，随机性程度对应于不同程度的不可预测性（参见第5节），Berkovitz，Frigg和Kronz（2006，第5.3节）表明混乱可能很好地被视为学位而不是全部或无关。 Bernoulli系统非常混乱，K-Systems略低于混乱，SM系统仍然不那么混乱，遍历系统是非混乱的。 这个建议与混乱与不可预测性密切相关的想法相连。

ergodic层次结构也被用来了解量子混乱。 Castagnino和Lombardi（2007）将量子混沌的问题分析为量子力学经典极限的特定情况，并将典型限制的混合作为量子系统必须满足于不忍耐的情况。 Gomez和Castagnino（2014,2015）将整个ergodic层次结构概括为量子背景，并争辩说，因此概括是一个有用的工具，可以理解量子混乱; 福蒂宁和伦巴第（2018年）使用呃来了解移植; 和戈麦斯（2018）讨论量子混合系统中的KS熵。

最后，混合也已经在理解结构模型误差的影响时援引。 Frigg，Bradley，Du和Smith（2014）争辩说参数误差和结构模型错误之间的区别至关重要，后者对模型预测能力的影响很大，而且迄今为止的影响。 Wilson-Mayo（2015）指出，在坚实的基础上，我们需要一个结构混乱的概念。 他通过吸引拓扑混合来提出这种概念。

结论

EH通常被认为与在确定性动态系统中阐述随机性的性质相关。 然而，目前尚不清楚，这是什么索赔的随机性概念。 EH的正式定义不会明确对随机性的呼吁，并且呈现EH的通常方法不涉及任何应该提出呃所支持的随机性概念的规范。 如第5节所述，EH可以被解释为随机性的层次，如果在不可预测性方面被阐述的程度，则在不可预测性方面被解释，这反过来在（相干）条件的信仰程度方面被解释。 为了使这些信仰程度表示为系统的动态特性，必须根据系统的动态法进行更新。 此想法是，除了仅仅是遍历系统之外，eh的不同级别对应于不同种类的不可预测性，其对应于系统过去状态与其现象之间的相关性的不同关系模式。 仅仅是ergodic系统似乎没有无随机性，因为他们的过去和现在的国家之间的相关性根本不需要腐烂。

ergodic理论在统计物理学中发挥着重要作用，呃或对其进行一些修改，构成了哈密顿和耗散系统中随机性的重要措施。 有时认为EH是对物理学的大而大的，因为真实的物理系统不是ergodic。 但是，这一费用是无理的，并且仔细看看非遍历系统揭示了一个相当不同的图片，因为可以在统计力学的基础，随机性分析和混沌理论中果断地使用EH。 最近，它还在理解自然法律中发挥了作用（2019年Filomeno，List和Pivato 2019）。