弗雷格的逻辑（三）

判断条件{术语a} {不是不是术语a}

公理6（公式41,1879a：§19）

这些公理，加上弗雷格的Modus Ponens版本，填写了我们可能认为是贝格里夫斯奇特逻辑的命题部分。 Łukasiewicz证明，这些公理的现代转录，加上弗雷格版的现代转录，以及具有命题量词的古典逻辑，以及他还证明了（现代转录）Axiom 3在另一个公理加上的（现代转录）的上下文中是多余的，再次，Modus Ponens（Łukasiewicz1934）。 当然，关于将Frege的符号转换为现代人的通常警告，并假设他对判断内容的概念（在公理1到6中发生的量词的范围）与更现代的命题或句子的概念相同，适用于结果。

Frege对公理5和6的讨论，还提供了弗里夫斯在Begriffsschrift的组成和Grundgesetze的组成之间发生的弗雷格逻辑思想中发生的一种变化的良好插图。 在Begriffsschrift Frege的序言中指出：

我稍后意识到该公式（31）和（41）可以组合成单个

判断（不是一个当量A）

这使得更多的简化成为可能。 （1879A：前言）

这个原则，与Axiom 7和Frege的Modus Ponens版本相结合，确实需要公理5和6.此外，有一个原因认为这一原理在非正式的语义弗赖尔格提供BegriffSschrift，自（在BegriffsSchrift）变量仅限于判断内容，并且似乎很少有理由怀疑不是A不是A表示的判断内容与由A表示的判断内容相同。

然而，所有这些都受到重要警告：Begriffsschrift逻辑内的量子被限制为Grundgesetze中的量子。 在BegriffsSchrift Frege的逻辑内要求量化器受到限制，以便将逻辑运营商应用于相关量子范围内的实体的结果导致判断内容。 因此，对映射的贝格夫对逻辑有效了的公式不再有效地对丛林凝视的理解有效。 特别是，正如我们所看到的那样：

判断并非所有哥特式A（不是哥特式A =哥特式A）

在Grundgesetze的逻辑的预期解释（一致，无价值的碎片）的预期解释是正确的。

接下来的两个公理是相对简单的。 Axiom 7（公式52）提供了相同的不可分辨率的公理版本：

判断条件{术语C EQUIV D} {术语条件术语F（c）项F（d）}

公理7（公式52,1879a：§20）

这种公理的更强大版本将在Grundgesetze的逻辑中进行外观。

和公理8（公式54）向我们提供自我认同：

判断（C EQUIF C）

公理8（公式54,1879a：§21）

同样，此公理适用于任何参数C（即，对任何内容），而不仅仅是对象。

Axiom 9（公式58）是为了我们的目的有点更有趣，而不是为了它所说的话，而是因为它留下了什么。 公理9本质上允许我们替换德国信件的凹陷绑定，罗马信的条件的凹陷：

判断条件{所有哥特式术语f（哥特式a）} {术语f（c）}

公理9（公式58,1879a：§22）

请注意，Frege不提供此Axiom的相应二阶版本（正如他在Grundgesetze中所做的那样） - 将读取该公理，如覆盖第一和二阶案件，从而沿着以下方式表达某些东西：

对于任何函数f和任何参数c，使得f（c）是判断内容：如果对于任何参数a，使得f（a）是判断内容，f（a）是一个事实，那么f（c）是一个事实。

而不是：

对于任何（第一级）函数f以及任何对象c：如果对于任何对象a，f（a）是一个事实，则f（c）是一个事实。

2.2.2推理规则

关于推理规则。 在Begriffsschrift的序言中，Frege声称他只使用一种推理模式：

在§6中，在§6到单个推理中的限制是由以下事实奠定了在将这种贝格里夫的基础上铺设了原始元素，如果要实现展示性和顺序，则原始元素尽可能简单。 （1879A：前言）

有问题的规则是Modus Ponens的版本，哪个Frege解释如下：

从§5中给出的解释，显然来自两项判断

判断条件术语B术语a

和

判决项b

新的判断判决了一个如下。 在上面列举的四个案例中，第三个被排除在外

判断条件术语B术语a

和第二和第四个由判决B，所以只有第一个留下。 （1879A：§6）

Frege的四个案例是参考A和B的四种可能的组合，或者未能成为有条件中风的解释中给出的事实。

乍一看，这似乎是Modus Ponens的熟悉规则，但实际上它是一个更复杂的很好。 Frege经常将规则应用于包含罗马字母的配方对。 记住，在Begriffsschrift罗马字母是prenex凹级码头的缩写，这是弗雷格在他对此规则的解释中使用的简单案例是过渡的真正速记：

判断所有哥特式A所有哥特式e条件{术语哥特式a} {术语哥特式e}

和

判断所有哥特式一个术语哥特式a

到：

判断所有哥特式术语哥特式e

其中量词范围在判断内容内。 因此，这条规则，因为他适用于贝格里夫斯科，并不是主题规则模式。 相反，它是一种类似于以下内容的模拟（在现代符号中）：

∀a1∀a2...∀an∀b1∀b2...∀bm∀c1∀c2...∀ck

（φ1（a1，的a2，...一个，b1的，b2的，... bm）→φ2（a1，的a2，...一个，c1，c2的，... ck））

[P2]∀a1∀a2...∀an∀b1∀b2...∀bm（φ1（a1，a2，...，b1，b2，... bm））

[C]∀a1∀a2......∀an∀c1∀c2∀an∀c1∀c2...∀ck（φ2（a1，a2，...，c1，c2，... ck））

关于规则有两件事可以注意到，以这种方式理解。

首先，一旦我们认识到（德语信函绑定）量子在任何规则的任何实例中缩写的（德语字母绑定）量词所扮演的角色，很明显弗莱格的辩护是完全不充分的。 Frege的论点将足以获得规则的特定替代实例，其中没有罗马字母出现。 但它并没有解决更多的一般原则，这些原则编纂了他实际上的方式适用于整个贝格里夫斯科的规则。

其次，实际上，这根本不是一个规则，而是无限多规则的模式：一个用于各个变量A1，A2，A2的每个三联序列 b1的，b2的，... bm; 和C1，C2，... CK，不仅在每个实例中的AIS，BIS和CI的数量可能会有所不同，但它们的类型（请记住，这些是参数变量和函数变量，而不是对象变量和函数变量）也可能有所不同。 鉴于他的兴趣是给予特定普遍逻辑真理的特殊逻辑原则，这一规则的强烈示意性味道似乎不太可能困扰弗赖奇。 因此，弗里格省将完全不同的（虽然有点不清楚）叙述罗马信件在Grundgesetze中的作用，但弗雷格仍然可能是不熟食的。

虽然Frege声称，这种版本的Modus Ponens是他唯一的推理到Begriffsschrift的唯一推断规则，但他在稍后在工作中修改了这一要求，并指出：

在逻辑中，在亚里士多德之后，列举了一系列推理模式; 我至少在所有案例中使用了这一判断，其中新判断来自一个以上的单一判断。 （1879A：§6）

弗雷格的两条规则涉及从单一判断到单一判断的转型，是我们将调用凹版引入和替代规则（Frege不给他们名称）的规则。

Frege解释了凹版规则 - 如下所示：

斜体字母可以始终由判断中尚未发生的哥特式字母替换，在判断行程之后立即插入凹版。 例如， 而不是：

判断x（a）

一个人可以放：

判断所有哥特式一个术语x（哥特式a）

如果a仅发生在参数 - x（a）的位置：它也清楚：

判断条件术语一个术语\ phi（a）

一个人可以派生：

判断条件{术语A} {所有哥特式一个术语\ phi（哥特式a）}

如果a是不发生a的表达式，并且如果仅在φ（a）的参数地位。 （1879A：§11）

然后，Frege提供了第二个例子，其利用了可以将条件笔划结构解析为先发制人的事实，并以多种方式（以上）：

同样，来自：

判断条件{术语B} {术语条件{术语a} {term \ phi（a）}}

我们可以推断：

判断条件{术语B} {术语条件{术语a} {所有哥特式一个术语\ phi（gothic a）}}

（1879A：§11）

Frege的凹版简介规则如下操作：给定任何包含罗马字母的公式，我们可以推断任何统一用德国字母替换罗马信的命题，并立即插入包含新的所有发生的所有发生的相同德语字母的凹版德语字母（回顾该公式可以在不止一种方式中被解析成果和前一种），或者凹面可以放在前面或整个公式（判断行程之后）。 必须选择新的德语信，以便与原始命题中已经存在的其他德国信件“冲突”。 看待一个更复杂的例子，如果“a”和“b”是没有包含罗马字母“x”的公式，而“φ（ξ）”和“ψ（ξ）”则不包含“a”，那么来自：

判断条件{术语A} {术语条件{术语B} {术语条件术语\ phi（x）术语\ psi（x）}}

我们可以推断出：

判断条件{术语A} {术语条件{术语B} {all gothic一个术语条件{term \ phi（gothic a）} {term \ psi（gothic a）}}判断条件{term a} {所有哥特式一个词条条件{术语b} {术语条件{term \ phi（gothic a）}}判断所有哥特式条件{术语a} {术语条件{术语b} {术语条件{term \ phi（哥特式a）}} {term \ psi（gothic a）}}}}

但不是：

判断条件{术语A} {术语条件{术语B} {术语条件{term \ phi（哥特式a）} {全哥特式一个术语\ psi（gothic a）}}}

此规则并不真正涉及“引入”在BegriffSschrift的逻辑中介绍的凹陷，因为被替换的罗马信函当然是一个凹凸实例的缩写。 相反，该规则是用于将凹陷从一个位置移动到另一个位置的手段。 因此，这里使用“condavity介绍”的名称来强调该规则与GundgeSetze逻辑中找到的联系（罗马字母在其中，因为我们将看到，而不是相应的初始凹凸的缩写，但是是一秒完全独立的设备，用于实现普遍的一般性，因此该规则涉及事先提出的凹幅）。

Frege在Begriffsschrift中推断的最终推断规则是一项替代规则：一旦证明了一个特定的公式，就可以在后面的推导中，不仅可以使用成熟的公式本身，而且也是执行任何统一替代表达式的结果罗马信件发生在原始 - 再次发生，而是要求公式和所有相关的子公式是判断内容的。 Jean Van Heijenoort争辩说，在他在Begriffsschrift的介绍论文中，弗雷格以非法方式应用他的替代法则，这将导致矛盾的方式。 请参阅补充论文所谓的贝格里德斯科夫讨论争论。

Begriffsschrift的第三部分介绍了被称为弱者和强大的关系的定义，并证明了基于这些概念的强大的归纳定理。 仔细检查这种建设超出了本文的范围 - 鼓励读者咨询Frege的定理中的进入以获取更多细节。

至少是我们的目的的贝格里德斯科夫的第三部分最重要的方面是弗雷格介绍的新一点符号：定义笔画“定义中风：除了左边两个垂直线之外的判断符号”。 定义中风最初发生在表单的公式中：

定义术语\ PHI EQUIV \ PSI

其中“ψ”是requeriendum，“φ”是验证。 在给出了操作中的定义中风的例子之后（公式69，F序列的遗传的概念），Frege解释了Begriffsschrift中的定义中风如下：

这句话与先前考虑的句子不同，因为符号发生在尚未在之前定义; 它本身给出了定义。 它没有说，“等式的右侧具有与左侧相同的内容”; 但是，“他们要有相同的内容”。 因此，这句话不是判断; 因此，要使用凯蒂安表达，也不是合成判断。 [...]

虽然最初（69）不是判断，但它仍然很容易被转换成一个; 一旦指定了新符号的含义，它就仍然固定到那时; 因此，公式（69）也持有判决，而是作为分析的判断，因为我们只能弄清楚将进入新符号。 该公式的这种双重作用由判决中风的加倍表示。 （1879A：§24）

在Begriffsschrift的定义中使用概念内容的概念（即“≡”）自动需要定义和序角具有相同的内容（即，表示同样的事实或情况），而作为逻辑的问题，将改善对在Grundgesetze中的身份的理解只需要一个逻辑，所以Defietientum和Definiens表示相同的对象。 因此，在他的非正式解释弗赖尔格明确规定，在Grundgesetze定义中，在身份符号的两侧发生的表达不仅具有相同的参考，而且具有相同的意义。

3. Grundgesetze的逻辑

对弗雷德斯斯契夫特写作与GrundgeSet的写作之间的读者感兴趣的读者应咨询Begriffsschrift和Grundgesetze之间的短暂的补充文章。 在这里，我们将直接进入后者工作中包含的正规系统。

除了增加价值范围之外，贝格里夫斯科夫特的主要和最明显的差异之一，而且是Grundgesetze的逻辑，是弗雷格现在具有完全制作的严谨型理论的事实。 最基本的区别是在饱和的对象之间，以及函数（包括概念作为特殊情况），这不是，因此需要通过应用程序“完成”到一个或多个参数。

两种特别重要的功能是概念和关系。 一个概念是一元函数，使得对于任何参数（适当类型），应用于该参数的函数的值是真实值。 关系是具有两个（或更多）参数的函数，使得对于参数的任何对（或n组）（再次，适当类型），应用于该对的函数的值是真实值（Frege 1893/1903：§4，也见1893/1903：§22）。

Frege还在他们采取的争论方面进行职能。 因此，函数是且仅当它需要对象或对象（并且因此只采用对象或对象）作为参数时，函数才是一个第一级功能; 函数是第二级功能如果且仅当它需要第一级函数或函数（而且只需要一级函数或函数）作为参数; 函数是第三级功能，如果且仅当它需要第二级函数或函数（并且因此只采用第二级函数或函数）作为参数（frege 1893/1903：§21至第23节），请参见第26节）。

在下文中，我们将讨论我们对丛林逻辑的讨论分为三个部分，其中第一个考虑了贝格里夫斯科劳夫早期逻辑（虽然经常相当不同的理解），第二个呈现这些符号GrundgeSetze的逻辑新颖，第三个呈现了Axioms（现在称为基本定律）和Grundgesetze逻辑推断的规则。

3.1“旧”套装的套房

3.1.1判决中风

正如Begriffsschrift的情况一样，Grundgesetze的判决中风将表达转变为判决。 然而，与早期的系统不同，在Grundgesetze的逻辑中，判断笔触未附加到名称或情况的表达式，而是附加到名称对象（即正确的名称）的表达式：

上面已经说明，在仅仅公式中，尚未发现任何断言; 只有“2 + 3 = 5”，只指定了真实值，没有它所说的是它的两个。 此外，如果我写道“（2 + 3 = 5）=（2 = 2）”并预先假定一个人知道2 = 2是真的，即使我不会被断言，2和3的总和是5; 相反，我只会指定实际值：“2 + 3 = 5”是指与“2 = 2”相同。 因此，我们需要另一个特殊的签名，以便能够将某些东西视为真实。 为此，我让标志判断在真实值的名称之前，以这样的方式，例如：

判决2 ^ 2 = 4

据称，2的平方是4.我以这样的方式区分判断，这使得我通过判断判断思想真相的判断。 （Frege 1893/1903：§5）

因此，将判断笔划应用于缺少判断笔触的文化困难表达式的应用于问题的表达式是True的名称，其中True是由真实句子表示的对象（并且FALSE是由虚假句子表示的对象）。 表格的表达：

判断\ phi

现在不再说“φ是一个事实”，而是说“φ是（即，是相同的”的东西。 值得注意的是，在我们对弗雷格的新包装理解的讨论中，判决中风的简单账户将复杂一些。

在Grundgesetze Frege再次表明判决中风适当（1893/1903：§5），以及否定行程（1893/1903：§6），条件中风（1893/1903：§12）和凹凸（1893/1903：§8）可以被理解为仅由实际的垂直“行程”或线（或在凹部的情况下具有变量的曲线）组成，附带的符号的水平部分理解作为水平的单独发生。 在Grundgesetzze内的实际实践中，在没有附加的水平的情况下，从未出现判断冲程。 然而，与Begriffsschrift不同，水平行程确实是相对频繁的，因为操作员不同于判决中风，条件行程和否定行程。

在Grundgesetze的逻辑中，水平笔划是一个有机函数符号，它附加到对象的名称，它名称始终输出真实值的函数，无论对象输入的类型如何：

我将其视为函数名称，以便：

环境\三角洲

当δ是真的时，是真的，并且当δ不是真的时是假的。 因此，

环境\ XI

是一个函数，其值始终是真实值，或根据我们规定的概念。 （1893/1903：§5）

换句话说，如果水平被前缀为真实值“Δ”的名称，那么结果复杂名称：

环境\三角洲

命名与“Δ”命名的相同的真实值。 但是，如果“Δ”不命名真实值，则“环境Δ”名称为假。