弗雷格的逻辑（四）

这里特别重要的是，在Grundagesetze的逻辑内，水平笔划不受其应用于判断内容的应用：水平笔划可以有意义地应用于任何名称。 由于Frege坚持认为所有函数在适当类型的所有参数上定义，因此必须在所有对象上定义由水平笔划表示的函数。 因此，当应用于不是真实值的对象时，它输出错误。

结果，虽然Frege要求将判断笔划附在上面引用的判断中风的解释中，但在丛林凝血仪的逻辑中，我们可以通过附加判断来实现将判断行程附加到任何名称Δ的效果中风到“环境δ”，获得：

判断（环境\ Delta）

如果水平笔划是判断笔触的一部分，并且给定（如下讨论），可以将多个海线融合到单个水平中，然后上述判断相当于：

判断\三角洲

或者是后者形成的。 因此，“判断2”（或者至少，“判断（环境2）”是在Grundgesetze的逻辑中形成良好的判断，尽管是不正确的。

3.1.2否定行程

在Grundgesetze的逻辑内，否定笔划是一个有机函数符号，它附加到对象的名称 - 在Frege的术语中，它命名为第一级概念。 与水平一样，否定笔划将任何正确名称转换为真实值名称：

我们不需要特定的标志来声明真实值是假的，所以我们具有符号，所以我们的符号将每个真实值转变为其对面，在任何情况下都是必不可少的。 我现在规定：

函数的值

不是\ xi

对于该函数值的每个参数是假的false

环境\ XI

是真的，它是所有其他参数的真实。 （1893/1903：§6）

因此，如果否定笔划以真实值“Δ”的名称为前缀，则“不是Δ”命名为真，如果“Δ”名称为false，则命名为false，如果“Δ”名称为真则。 但是，如果“Δ”不命名为真实值，则“不是Δ”命名为真实。

弗雷格的治疗否定卒中作为总功能有奇怪的后果。 例如，如果“Δ”是除了真值值之外的任何对象的名称，那么“不是Δ”名称为真，因此我们有：

判断不\ delta

Frege明确指出，“判断不2”是正确的判断（1893/1903：§6）。

3.1.3条件中风

在GrundgeSetze的逻辑内，Frege的条件笔划是一个二进制函数符号，它附加到弗雷格的对象的名称，条件中笔记名称是一个第一级关系：

接下来，为了能够指定概念和其他重要关系的下面，我介绍了两个参数的函数：

条件术语\ zeta术语\ xi

通过规范，如果True被视为ζ参数，则其值应为false，而任何不是真实的对象将被视为ξ争论; 在所有其他情况下，函数的值应为真实。 （1893/1903：§12）

条件笔划是总功能：给定任何两个正确的名称“δ”和“γ”：

条件术语\ delta术语\ gamma

如果“Δ”未命名为true（即，名称为false或不命名为真实值），则是True的名称，或者“γ”名称为True; 它否则说明错误。 因此，对于任何名称“Δ”，无论如何：

条件术语2术语\ delta

是真实的名称，因此：

判断条件术语2术语\ delta

在Grundgesetze的逻辑中是一个正确的判断

弗雷格称条件的较低分量（现代读者将术语术语）条件的子组件，以及上部组件（现代读者会称之为的）超级群。 如我们对Begriffsschrift逻辑的讨论所指出的，有条件的笔划结构可以以多种方式解析为超级组分和子组件。 例如，给定适当的名称“Δ”，“γ”，“θ”，“λ”和“ξ”，我们可以解析复杂的表达式：

条件{term \ delta} {术语条件{term \ gamma} {术语条件{term \ theta} {术语条件术语\ lambda项\ xi}}}

与任何一个：

条件{term \ gamma} {术语条件{term \ theta} {术语条件术语\ lambda术语\ xi}}条件{term \ theta}}条件{term \ theta} {术语条件术语\ lambda项\ xi条件术语\ lambda术语\ xi

或“ξ”作为超级群（每次阅读的一个，两个，三个或四个子组件）。 虽然Frege介绍了条件中风，好像它是从对象对的简单二进制第一级功能，但在他对条件中风的操纵时（特别是在推理条件中风的推理规则中），他将处理条件卒中更像是一种开放式的n-ary函数名称，它将单个参数作为超级群体，但它可以采用任何（有限）的参数作为其子组件。 由于许多弗雷格的推理规则是在添加，消除或重新定位超级组件和子组件方面制定的，因此这种系统歧义具有深远的影响，对诸如壁龛内的迹象。

复杂条件笔划结构的多次子组分读数有两个值得一提的后果。 首先，弗雷格指出，在阅读：

条件{term \ delta} {术语条件术语\ lambda术语\ theta}

其中Δ和λ是两个子组件，每个子组件都与子组件的其他“订购”效果完全相同的角色无关紧要（1893/1903：§12）。 因此，此表达式名称与以下相同的真实值为：

条件{term \ lambda} {术语条件术语\ delta术语\ theta}

Frege介绍了推动规则（一个可以在没有注释的派生中应用的一个），其允许任意重新排序子组件。 该规则从BegriffsSchrift的逻辑到Axiom 3的杂轭凝血比模拟。

沿着类似的线条：

条件{term \ delta} {术语条件术语\ delta术语\ theta}

命名与以下相同的真实值为：

条件术语\ delta术语\ theta

Frege介绍了推理的推断规则，允许一个人从第一公式移动到第二个，并且允许相同的子组件的“融合”一般（同样可以在没有评论的情况下应用在派生中）。 Frege继续注意，这些推理规则通过任何数量的子组件来推广到条件笔划结构。

判决中风的3.1.4等效

现在我们考虑了我们自然的东西（虽然我们已经注意到了，而是相当同时）认为是Grundgesetze逻辑的命题片段，我们需要返回水平笔划。 Frege表明否定行程，条件行程和判断行程可以被理解为仅仅是在其形式化中涉及的实际垂直“笔画”或涉及的行，它们的符号的附加水平部分被理解为水平的单独发生（参见（参见）1893/1903：§5，§6和§12）。结果，对于任何名称“Δ”，所有内容都是：

不是δ，

不是（环境δ），

环境（不是δ）和

环境（不是（环境Δ））

命名相同的真相值（1893/1903：§6），以及任何名称“Δ”和“γ”，全部：

条件\ delta术语\ gamma

（一）

环境（条件术语\ Delta术语\ Gamma）

（b）

条件术语（环境\ delta）术语\ gamma

（c）

条件{term \ delta} {术语（环境\ gamma）}

（d）

条件{术语（环境\ delta）} {术语（环境\ gamma）}

（e）

环境（条件{term \ delta} {术语（环境\ gamma）}）

（f）

环境（条件{术语（环境\ delta）} {term \ gamma}）

（g）

环境（条件{术语（环境\ delta）} {（环境伽玛）}）

（h）

命名相同的真实值（1893/1903：§12）。 Frege的调用这些等价命令，以及用另一种表达式替换上面的表达式之一，同等配方，水平融合的转换。 与子组件的置换相同和相同子组件的融合，弗雷格允许在GrundgeSetze派生中（1893/1903：§48）内的水平熔断（和“不熔断”）水平而不评论。

细心的读者可能会想知道为什么弗里格选择他实际上的特定功能。 如果“Δ”不是真实值的名称，他可以没有定义否定，以便“不是Δ”命名为真实的真实值？ 我们现在处于一个职位来提供这个问题的答案：否定行程和条件中风必须融合的事实需要融合，即否定行程的特定定义和弗赖尔格提供的条件行程是唯一一个可能的方法，鉴于他的方式定义水平冲程（Berg＆Cook 2017）。

3.1.5平等标志

我们现在达到贝格利夫威德与丛林逻辑之间的另一个戏剧性差异。 既然他已经引入了感觉/参考区分，弗雷格可以解释“A = a”和“a = b”（两者都是真实）之间的内容差异的差异。 因此，在Grundgesetze弗雷格的平等标志中定义为一个人预期的逻辑：

我们已经使用平等标志，同时签名来形成示例，但有必要规定更精确的内容。

'γ=δ'

指的是真，如果γ与δ相同; 在所有其他情况下，它是指错误。 （1893/1903：§7）

请注意，他已经转移到使用传统的身份符号“=”，而不是特殊符号“≡”，他在Begriffsschrift中介绍了概念内容的姓名。 很好的概述了弗雷格的感觉/参考区分的发展，特别注意的是在克雷梅勒（2010年）中可以找到不同逻辑的角色逻辑的作用。

虽然平等标志的定义现在是简单的，但是Frege的使用与现代谓词逻辑中使用平等符号的方式有所不同。 在使日常平等索赔如“2 + 2 = 4”之类的情况下，弗雷格使用平等标志，但他也使用真实值名称相同的符号，以表达声明，真实值名称是相同真实值的名称 - 也就是说，所讨论的表达式等价物。 这解释了Frege对定义命题运营商的讨论的明显监督。 Frege未明确提供Grundgesetze内的材料的定义，尽管他可以轻松地沿标准线条作为两个条件的结合定义物料：

不是条件{术语条件术语\ delta项\ gamma} {不是术语条件术语\ gamma项\ delta}

如果“Δ”和“γ”都是真实值的名称，那么这个定义的概念和弗雷格的原始均等标志命名的函数输出相同的值。 如果“Δ”和“γ”中的一个或两个是正确的名称，但不是真实值名称，那么应用于这些参数的复杂物料条件的值可能与应用于它们的平等标志的值不同。 例如：

不调条件{术语条件第1术语第2术语} {不是术语条件第2术语第1术语1}

是真的名称，而“1 = 2”是假的名称。

Frege指出，身份符号与水平组合允许我们构建将真实值映射到True的函数，以及其他对象为false（1893/1903：§5）：

\ xi =环境\ xi

这种真实价值概念有助于我们解决与BegriffsSchrift逻辑与Grundgesetze逻辑之间的一个深度差异相关的技术问题。

回想一下，弗里奇指出的是他可以补充的序言中的序言：

判断（不是一个当量A）

对于逻辑，并且该原理将简化了呈现，因为它意味着Axiom 5和Axiom 6。我们还指出，对于贝格利夫夫特的逻辑，这一权利要求是正确的，因为所讨论的量词仅限于判断内容。 然而，事情不同，但是，在堵塞的逻辑内，由于在凝结凝血释放解释中，相同的公式（以“相识”纯粹地句法理解，因此受“=”）的替换为“=”）是假的。 让“Δ”成为任何不是真实值的对象的名称。 然后“不是Δ”是真实的名称，因此“不是不是δ”是假的名称，“Δ”和“不是不是δ”，不命名相同的对象。 所以“不是δ=δ”是假的名称。

我们可以使用刚刚讨论的真实价值概念来构建逻辑绘制的正确判断，以捕获所考虑添加到Begriffsschrift的原理弗赖特的直观导入：

判断条件{术语（a =环境a）} {术语（a =不是a）}

简而言之，如果“Δ”命名为真相值，则“Δ”和“Δ”的双重否定名称为相同的对象。

3.1.6通用量化两种形式

接下来是量词。 在Grundgesetze的逻辑中，与（严格讲）在Begriffsschrift逻辑中，Frege动员了两种不同形式的通用量化。 第一个是最简单的：凹陷。 凹部（带有关联的德语字母）是一种直接的第二级概念，将第一级函数映射到真实值：

[...]让：

所有哥特式一个术语\ phi（哥特式a）

如果函数φ（ξ）的值是针对每个参数的真实，并且否则为false，则参考True。 （Frege 1893/1903：§8）

Frege不包括“φ（ξ）”必须是概念的名称，因此“判断所有哥特式A + 1”是在Grundgesetze的逻辑中是一种良好的判断，尽管是不正确的逻辑。 实际上，他无法完全强加任何此类限制，因为必须以完全相同的方式为所有第一级函数定义二级函数，因为必须为所有对象定义第一级函数。

在GrundgeSetze的逻辑中，凹陷，如否定行程和条件中风，“保险丝”，水平。 换句话说，以下所有名称相同的真实值（即，等价物）：

所有哥特的一个术语\ phi（哥特a），

环境（所有哥特式一个术语\ Phi（哥特A）），

所有哥特式一个术语（环境\ phi（哥特式a）），和

环境（所有哥特式一个术语（环境\ phi（哥特式a）））

弗赖尔格还允许融合或不融合的横向于达到衍生内没有评论的凹陷（1893/1903：§8）。

弗赖尔格通过现在熟悉的方法明确地介绍了二阶量化的符号：识别哪个（在这种情况下第三级）函数这样的量词名称。 如果“fβ”是第二级函数名称（并且下标发生的“β”绑定在应用“fβ”的参数中发生的“β”的对象级别出现），那么：

所有哥特法F术语\ mathcal {f} _ _ \ beta（哥特式f（\ beta））

命名声称的真实值，对于每个第一级功能φ（ξ），将以“fβ”指定为φ（ξ）的函数的结果是真实（1893/1903：§24）。 因此，与BegriffsSchrift的逻辑不同，Grundgesetze的逻辑涉及用于第一和二阶量化的不同量子，而是仅引入单个量程，有时函数范围和其他时间范围在参数上范围范围这些功能根据上下文。

Frege不会引入第三或高阶凹版量化的符号，因为从实际的角度来看，他从不需要它：相反，他使用了他的价值范围运算符“减少”格隆凝血（如下所述的各种结构的水平，以便它们在范围内他的第一阶和二阶凹版。

最后，我们有定义中风。 与BegriffSschrift一样，Frege使用定义笔划“定义符号”指示句子何时是定义：

为了通过已知的那些人介绍新的迹象，我们现在需要双程定义，这是一个与水平的双重判断 - 中风相结合：

定义符号

使用它而不是判断中风，而不是判断的东西。 借助于一个定义，我们通过确定它是具有与已经已知符号组成的名称具有相同的感觉和与名称相同的引用来引入新名称。 从而与解释标志共同参考新迹象; 因此，定义立即成为一个命题。 因此，我们被允许引用一个定义，就像一个命题替换判决行程的定义中风。 （1893/1903：§27）

对定义中风的这种解释与贝格里夫斯夫谢蒂上的解释之间有没有差异，但值得注意的是，格雷琴定义所需的平等判断只会断言“A”和“B”具有相同的指点，而不是这样他们有这种感觉。 因此，Frege明确规定，格雷凝血定义的续集和序列具有相同的意义。

3.2 Grundgesetze的新运营商

3.2.1一般性的设备：罗马字母

3.2.1.1罗马信件的基础知识

我们开始讨论eBGriffsschrift逻辑中没有发生的新观念，其第二种手段在Grundgesetze中表达一般性：罗马字母一般性设备。 乍一看，这可能是令人惊讶的，因为罗马信件被用作表达Begriffsschrift中的一般性的装置，如上所述。 但在Begriffsschrift中，他们（至少）仅仅是缩写的缩写，最初发生在有关公式中。 然而，在Grundgesetze的逻辑中，罗马字母是一个完全新的，独立的泛化设备。

限制我们对最简单的情况的关注，其中小写罗马字母“x”表示“（在Frege的术语中）一个对象，其中”φ（ξ）“是任何第一级功能名称：

判断\ phi（x）

如果且仅当“φ（ξ）”的函数输出为每个可能的参数输出True，则是一个正确的GrundgeSetze命题，否则否则不正确（1893/1903：§17）。

精明读者将注意到（弗雷格之后）我们对罗马信的讨论不遵循我们对水平，否定行程，条件行程或凹版讨论中使用的一般模式。 简而言之，我们尚未识别表达式“φ（x）”的函数（其中“x”是指罗马字母一般设备的发生），而是仅在涉及罗马字母一般设备的判断时进行说明。

Frege永远不会给出罗马字母一般性设备的函数识别定义 - 即，他从不识别由该特定逻辑设备表示的特定的第二级功能。 这是一个简单的原因：他这样做是这样的，（i）这将可能是与同一“订单”的凹版的实例所挑选的功能相同; （ii）它适用于杂交公式内的子表达式，但它不是; （iii）事实上，它不会具有它的范围的灵活性。 因此，包含罗马字母的表达式不是名称：

我将仅呼叫名称这些标志或指示某事物的迹象组合。 罗马字母和这些存在的迹象的组合因此不是它们仅表明的名称。 包含罗马字母的符号的组合，并且当每个罗马字母被名称替换时，它始终导致正确的名称，我将调用罗马对象标记。 此外，包含罗马字母的标志的组合，并且当每个罗马字母被名称替换时，始终导致函数名称，我将调用roman函数标记或roman标记的函数。 （1893/1903：§17）

鉴于罗马字母的普遍性设备似乎是一个非常不同的角色，而不是在grundgesetze中发现的其他逻辑概念，读者可能想知道（a）为什么Frege全部包括它，并且（b）我们应该理解的方式，究竟，我们应该理解。 第一个问题的答案比较简单，答案到第二个，较少。 弗雷格解释了罗马字母的一般性设备如下：