弗雷格的逻辑（五）

让我们现在看看在这里逻辑中的推理是如何称为“arbara”的推理。 从两个命题：

“所有平方根1是第四根的第四根”

并：

“所有第四根的根源为1”

我们可以推断：

“所有平方根1是八分之一的1”

如果我们现在写下房屋：

判断所有哥特式条件{术语哥特式A ^ 2 = 1} {术语哥特式a ^ 4 = 1}判断所有哥特式条件{术语哥特式a ^ 4 = 1} {术语哥特式a ^ 8 = 1}

然后我们无法应用我们的推理模式; 但是，如果我们写下房屋，我们可以如下：

判断条件{术语x ^ 2 = 1} {术语x ^ 4 = 1}判断条件{术语x ^ 4 = 1} {术语x ^ 8 = 1}

在这里，我们有§15的情况。 以上我们试图以这种方式使用罗马信来表达一般性，而是因为我们观察到普及的范围不会被充分划分而被遗弃。 现在，我们现在通过规定罗马信的范围包括与判决中风相比，在命题中的所有内容中包含一切。 因此，虽然我们可以表达否定的一般性，但人们永远可以通过罗马信来表达对一般性的否定。 因此，不再存在歧义。 然而，很明显，普遍的字母和凹面的普遍表达并没有呈现多余的。 我们对罗马信的范围的规定只是为了划分最窄的程度，而不是最广泛的。 因此，仍然允许让范围扩展到多个命题，以便罗马信件适合在德国信件的推断下服务，以其严格的范围，无法服务。 所以，当我们的罚款是

判断条件{x ^ 2 = 1} {x ^ 4 = 1}

和

判断条件{x ^ 4 = 1} {x ^ 8 = 1}

然后为了使推理得出结论

判断条件{x ^ 2 = 1} {x ^ 8 = 1}

我们暂时扩展了“X”的范围，包括两个场所和结论，尽管每个命题中的每一个即使没有这种延伸也会持有。 （1893/1903：§17）

关于这段经文有许多重要的事情需要注意。 首先是，这种新颖的罗马字母一般装置（与Begriffssschrift的逻辑相比）通过恰好关于我们在本文早些时候提前提出的模式的拼图的激励。 有关的推断是一个假设三段论的版本（在Grundgesetze§15中阐述，以及以下哪个），但问题是相同的。 有问题的规则允许我们，对于任何表达Δ，γ和θ来移动：

判断条件术语\ Delta术语\γ判断条件术语\γ术语\ theta

到：

判断条件术语\ delta术语\ theta

但是，如果是贝格迪德斯科夫逻辑的情况，涉及公式的罗马信：

判断条件术语x ^ 2 = 1术语x ^ 4 = 1判断条件术语x ^ 4 = 1术语x ^ 8 = 1

只是缩写：

判断所有哥特式条件{术语哥特式A ^ 2 = 1} {术语哥特式a ^ 4 = 1}判断所有哥特式条件{术语哥特式a ^ 4 = 1} {术语哥特式a ^ 8 = 1}

然后，我们没有严格地说，有这个规则的场所的实例，因此无法前进到所需的（并且正确）结论。 因此，我们需要对罗马字母一般性设备的替代理解。

弗赖吉表明，当我们执行假设三段论的相关例子时，我们暂时扩展了罗马信“X”的范围，以便它包括两个场所和结论。 因此，罗马字母“x”表示在所有三个格费的所有三个命题中统一地表示“相同的对象（这可能是任何可能的对象），我们可以应用假设的三段论。

3.2.1.2高阶量化和罗马字母

Frege还允许通过罗马字母一般设备表达第二阶和三阶量化。 因此，如果“Δ”是对象的名称，那么

判断f（\ delta）

是一个正确的grundgesetze命题如果只有，对于任何第一级函数f，才能将f施加到“Δ”命名的对象的结果是真实的。 同样，如果“φ（ζ）”是第一级功能名称，那么：

判断m_ \ beta（\ phi（\ beta））

是一个正确的grundgesetze命题如果只为每个第二级函数f，则仅当每个第二级函数f应用于“φ（ξ）”的函数的结果是true（1893/1903：§25）。 虽然Frege确实通过罗马一般性设备明确地提供了第三阶量化的处理（与他对凹凸的处理不同，但是限于第一和二阶），但他不提供任何排序的第四或高阶量化的任何符号。

3.2.1.3罗马字母如何工作

我们现在继续前进到第二个问题：如何，罗马信函设备是如何工作的？ 我们如何了解Frege的想法，即涉及罗马字母的一般设备的表达“表示”但不是“名称”真实值，以及我们如何理解其范围必须包含它们所发生的整个判断的想法（除，可能是判决中），但可以扩展到包括多个配方一次吗？ 正确的方法来解决这些问题的答案是一个相当大的争议问题。 Landini表明Frege在变量作业的想法（Landini 2012）的想法上打手势，这是一个不完全发展的想法，直到TARSKI（1933）; 虽然Heck建议，但是，在辅助名称（即“额外的”名称中未包含在对象语言级词汇表中）的罗马字母，归功于罗马字母，例如，在其中，例如表单的表达式：

判断\ phi（x）

（或者在推理中组合在一起的多个此类表达式）表示才能且仅当“φ（n）”是True的名称，无论辅助名称“N”表示（HECK 2012）。 对于这种定量方的这种治疗的现代版本，请参阅配偶（1972）。 这里没有尝试过解决这一辩论。

3.2.2值范围运算符

鉴于其在Russell的悖论和Frege逻辑学项目的崩溃中，Gundgesetze中最臭名昭着的原始概念是Frege的价值范围运营商。 值范围符号或“平滑呼吸”，将来自第一级函数的第二级功能命名为对象。 给定任何第一级别函数名称“φ（ξ）”，该对象由Analary第二级“平滑呼吸”操作员的应用程序命名为“φ（ξ）”：

ἐ（φ（ε））

是“φ（ξ）”命名的函数的值范围。 与GrundgeSetze的逻辑中的其他原始函数符号不同，Frege没有给出价值范围运算符挑选的函数的显式定义（出于充分原因，由于唱人的定理，没有这样的功能！），而是透析关于基本法律的非正式版本的概念：

我用这个词：

“功能φ（ξ）具有与功能相同的值ψ（ξ）”

始终与单词共同参考：

“功能φ（ξ）和ψ（ξ）始终具有相同的参数的相同值”。

（1893/1903：§3）

值范围运算符的最重要应用之一是其在第一级概念中的应用，并且可以从现代的角度和松散地说话中被认为是弗雷格呼叫扩展的生成对象，从这些概念的特征函数的图表。 扩展“逻辑上的”表现得非常类似于（天真）的集合，但敏感（或仅仅是明智的）读者应该谨慎地归因于我们自己的现代视图，了解集合到Grundgesetze扩展。 为了深入检查弗雷格对延伸性质的思考的发展，参见培训（1984）。

Frege识别可以使用不对应于现代数学中的广泛应用的任何值操作员构造的另一个对象的子类对象：双重值范围。 给定任何二进制第一级别函数名称“φ（ξ，ζ）”，我们通过将值范围运算符应用于“φ（ξ，ζ）”（绑定）形成“φ（ξ，ζ）”的双值范围“φ（ξ，ζ）”由“ξ”）标记的参数场所，获得了一元第一级函数名称“ἐ（φ（ε，ζ））”。 我们现在通过将值范围函数施加第二次来获得“φ（ξ，ζ）”的双重值范围为“ἐ（φ（ε，ζ））”，以获得“ἀἐ（φ（ε，α））”，该名称为双倍“φ（ξ，ζ）”命名的函数的值范围（1893/1903：§36）。

对双重值范围的需求提供了一个非常实际的解释，因为它通常是杂志的高阶量子范围范围通常而不是仅仅超过现代系统中的概念和关系。 给定二进制关系符号“φ（ζ，ξ）”，第一步的结果 - 即“ἐ（φ（ε，ξ））” - 不是概念，而是将对象映射到值范围的函数。 因此，有价值范围的引入要求Frege不仅仅是概念和关系，而且更常见，进入他的高阶本体 - 见Landini（2012：Ch.4）以进一步讨论。

Frege仅定义了第一级功能的值范围。 当然，他本可以扩展概念，以便直接获取二级和三级函数的对象级别模拟。 但是，没有必要，因为我们可以通过在一级函数上通过重复应用程序“将”二级和更高级别的函数减少到一级函数。 例如，给定二级概念名称“fβ”将第一级函数映射到真实值，我们可以通过首先构建概念的概念的名称来构建对象级模拟，仅当该对象是命名概念的第一级函数的值范围通过“fβ”地图到真实：

并非所有哥特式f条件{term \ xi =ἐ（f（\ varepsilon））} {not term \ mathcal {f} _ \ beta（f（\ beta））}

由“fβ”命名的第二级概念的对象模拟是该第一级概念的值范围：

ἀ（不是全部哥特式f条件{term \ alpha =ἐ（f（\ varepsilon））} {not term \ mathcal {f} _ \ beta（f（\ beta））}）

这种机动很一般。 任何时候都可能在grundgesetzze内，希望第二级或三级功能的对象级模拟，可以使用此技巧来构造这样的对象。

3.2.3反斜杠运算符用于明确的描述

Grundgesetze逻辑的最终原始符号是反斜杠。 Backslash是一个有机的第一级函数映射对象的对象：

[...]我们可以通过引入功能来帮助自己：

∖ξ

通过规范区分两种情况：

如果对于参数，则存在对象Δ，使得ἐ（Δ=ε）是参数，则功能∖的值是Δ本身。

如果对于参数，则没有对象Δ，使得ἐ（Δ=ε）是参数，那么参数本身就是函数∖的值。

（1893/1903：§11）

一些术语有用：给定任何正确的名称“Δ”，让我们调用“ἐ（Δ=ε）”的对象“Δ”命名的物体的单例扩展。 然后：

“∖γ”是与“Δ”的共同参考，如果“γ”命名为“Δ”命名的物体的单例延伸

“∖”否则是“γ”的共参照。

更简单地，反斜杠是一个“单身剥离”设备。

Frege利用反斜杠作为一个明确的描述运营商。 在现代处理中，一个明确的描述操作员“ι”附着到谓词，并且给定谓词“φ（x）”，“ix（φ（x））”表示满足谓词“φ（ξ）”的唯一对象（如果存在这样）。 然而，弗赖尔格在通过价值范围运算符的连续应用程序中保持降低水平的策略，将其确定的描述运营商定义为应用，而不是概念，而是对其价值范围的应用。 因此，其中“φ（ξ）”是概念名称“∖”表示映射到由“φ（ξ）”命名的概念的唯一对象，如果存在这样的概念，并且表示由“ἐ（φ（ε））”否则。

3.3 Grundgesetze的公理

Begriffsschrift的逻辑与GrundgeSetze的逻辑之间的显着差异是前者取决于许多公理，但是推理的很少的推断规则，而后者取决于更少的公理但更多的规则。 Grundgesetze的逻辑包含仅仅是六个公理，现在称为基本规律，包括处理价值范围和反斜杠运算符所需的完全新的公理。 然而，这不仅仅是重组。 相反，在GrundgeSetze regge的逻辑中取代了eBgriffsschrift中发现的许多公理，具有更灵活的规则，因此在其应用中更强大。 对于富裕的血统攻击成为基本法的特征的有敏感讨论（而不是从基本法律和推论的基本法律和规则导出的任何其他逻辑真理）及其与证明的关系，见Pedriali（2019）。

3.3.1基本法我

弗雷格的基本法我看起来很熟悉，因为至少至少说句法，它只是贝格里德斯的逻辑中的Axiom 1：

判断条件{术语a} {术语条件术语b术语a}

基本法我（1893/1903：§18）

在Grundgesetze Frege中证明基本法律我如下：

我们现在将为罗马信函设置一些一般法律，我们将不得不利用以后。 根据§12：

判断条件{术语\ gamma} {术语条件术语\ delta项\ gamma}

只有γ和δ是真实的，而γ不是真实的，才是错误。 这是不可能的; 相应地：

判断条件{术语a} {术语条件术语b术语a}

（1893/1903：§18）

鉴于上面的讨论（和Frege的仔细使用“γ不是真实”而不是“γ是虚假的”，而不是“γ是虚假的”在基本法的辩解中，即使当“γ”和“δ”命名的物体不是真实价值观。 鼓励读者验证，例如：

条件{术语2} {术语条件第3术语第2术语}

是真实的名字。 弗雷格指出：

判断条件术语A术语a

是上述基本法I的制定的特殊例子，通过用“a”替换“b”而融合等同的子组件（1893/1903：§18）获得。 鉴于其明显的实用程序，Frege列出了这一点作为基本法的第二版本，我们可以用作原始公理而不明确导出它。

3.3.2基本法II

基本法II看起来也熟悉，因为它是来自Begriffsschrift的逻辑的Axiom 9的Grundgesetze模拟。 现在，Frege对物体的层次结构，第一级功能，第二级功能和第三级功能的层次结构明确的概念，现在他具有不同的量词，分别在这个层次结构内的实体的不同“级别”中，他小心制定“一阶”版本和“二阶”版本的基本法则。 第一个版本，基本法IIa是：

判断条件{所有哥特式术语F（哥特式a）} {术语f（a）}

基本法IIA（1893/1903：§20）

弗雷格介绍了这项基本法，表达了“所有对象的持有的思想”（1893/1903：§20）。 基本法律IIA，结合Gundgesetze中使用的Modus Ponens的广义版本（和下面讨论）提供了一种从使用凹部制定的一般性推断罗马字母一般性的手段。 鉴于表格的凹版命令“判断所有哥特式Aφ（a）”，我们可以调用基本法IIA的实例：

判断条件{所有哥特式一个术语\ phi（哥特式a）} {term \ phi（a）}

并结合这些，使用Modus Ponens结束“判断φ（a）”。

二阶版本的基本法II称为“基本法IIB：

判断条件{所有哥特式f术语m_ \ beta（哥特式f（\ beta））} {术语m_ \ beta（f（\ beta））}

基本法IIB（1893/1903：§25）

请注意，在超级组件中出现“F”，以及超级组件中的“F”，是不同的变量（前者是德国字母，后者是罗马信）。

3.3.3基本法律三世

基本法律III，管理平等标志的Grundgesetze原则乍一看乍一看是一种相同的不可思议的轻微变种：

判断条件{术语g（a = b）} {术语g（所有哥特法f术语条件{gothic f（b）} {term gothic f（a）}）}

基本法三（1893/1903：§20）

如果我们通过水平替换罗马字母“g”，并且水平的应用融合，我们确实获取了相同的漏洞内容的Grundgesetze版本：

判断条件{术语a = b} {所有哥特式术语条件术语哥特式f（b）术语哥特式f（a）}

然而，基本法律III是一个比这更强大的好。

基本法律III指出，对于任何一元的第一级函数名称“φ（ξ）”和任何正确的名称“Δ”和“γ”，并不是将“φ（ξ）”命名为“Δ=”命名的真实值的函数的情况。Γ“是真的，而函数的应用名为”φ（ξ）“命名为以下命名的真实值：

所有哥特式术语哥特法F（\ Gamma）术语哥特式F（\ Delta）

是真实的东西。 因此，该公理量的要求：一种可以始终替换与命题（即，作为任何功能φ（ξ）的参数）中的相应普遍定量的表达式的平等。

当然，否定行程当然是可以代替“g”的功能之一。 因此，以下是基本法律III的替代实例：

判断条件{不是术语（a = b）} {不是术语（所有哥特式f条条件学期哥特式f（b）术语哥特式f（a））}

哪个（尽管我们尚未讨论所需的广义对比规则）相当于：

判断条件{所有哥特式F项条件术语哥特式F（b）术语哥特式F（a）} {术语（a = b）}

因此，基本法律III意味着钉孤立的身份的特写类似物。 因此，由于他证明：

判断（a = a）

首次证明：

判断所有哥特式f条条件{术语哥特式f（a）} {术语哥特式f（a）}

然后申请基本法律III（以及他的Modus Ponens的Grundgesetze版本）。 他称之为自我认同的原则IIIE（1893/1903：§50）。

3.3.4基本法IV

基本法IV是：

判断条件{不术语（环境a）=（注b）} {术语（环境a）=（环境b）}

基本法IV（1893/1903：§18）

这一原则可能似乎只不过是经典命题逻辑的熟悉原则的丛林凝聚率

（¬（δ↔¬γ））→（δ↔γ）

但是，像往常一样，我们应该小心不要读取这个公理，只应用于真实价值名称。 相反，无论名称替换为“A”和“B”，就基本法律IV的实例名称为真实。 从而：

判断条件{不是术语（环境2）=（不是3）} {术语（环境2）=（环境3）}

是真实的名称（回想一下，“环境2”和“环境3”是错误的名称，“不是3”名称真实，因此SuperComponent和基本法律IV的实例的子组件都是True的名称）。

与大多数（非价值范围）的公理和逻辑逻辑的规则不同，基本法律IV在Begriffsschrift的逻辑中没有直接模拟（但是看到下面的公理5和6的讨论），其目的似乎部分是，在参数不是真实值的情况下，执行对水平和否定的预期解释。 然而，鉴于基本法IV内的所有发生的罗马字母被水平前缀，这一原则的实际进口与古典类似物相同：给定任何两个真实值，如果第一个不等于第二个的否定，那么它们本身就是平等的。