弗雷格的逻辑（六）
鉴于基本法IV，实际上，迫使丛林凝血的逻辑成为二价的逻辑，我们可能想知道在Begriffsschrift-Axioms 5和6的逻辑中发挥了这一角色的公理发生了什么。Axiom 5和Axiom 6在Grundgesetze的推导中非常早期被证明，但是，与基本法律II一样，Frege实际上是识别和证明更普遍的版本。 有问题的定理是：
判断条件{术语f（不是a）} {术语f（环境a）}
Ⅳ型胶原
判断条件{术语F（环境a）} {术语（不是a）}
体外诊断
他分别呼叫IVC和IVD（1893/1903：§51）。
3.3.5基本法律诉
它有点令人惊讶的是，弗雷格介绍了现在臭名昭着的基本法V.Frege的介绍，弗雷格只是指出：
值范围平等可以始终转换为平等的一般性，反之亦然。 （1893/1903：§20）
然后说明Axiom：
判断（ἐf（\ varepsilon）=ἀg（\ alpha））=（所有哥特式术语f（哥特式a）= g（哥特a）））
基本法v（1893/1903：§20）
基本法V的Grundgesetze制定比在高阶逻辑中的众所周知的现代“翻译”是一个很好的比特，例如：
∀x∀y（第（x）=§（y）↔∀z（x（z）↔y（z）））
量子范围的范围在概念或属性上。 基本法V的Grundgesetze制定不仅需要每个概念都有相应的扩展，而且还需要任何功能（概念或不）的任何功能都具有值范围。 因此，基本法V的格雷轭排配制也捕获类似于：
∀f∀g（第（f）=§（g）↔∀z（f（z）= g（z）））
由于在高阶逻辑概念的现代治疗中是不同的函数的不同类型，而不是作为在Grundgesetze中的功能的子类，而不是严格地说，而不是相当于这些现代配方中的任何一种。
3.3.6基本法六
Grundgesetze的最终公理，基本法VI，管理反斜杠的行为：
判断a = backslashἐ（a = varepsilon）
基本法VI（1893/1903：§18）
此Axiom将显式的反斜式操作员的非正式定义进行了一部分。 如果“γ”是由“Δ”命名的对象的单例扩展名称，则将反斜杠应用于“γ”的结果与“Δ”命名相同的对象。 但基本法律vi在将反斜杠应用于不是单例扩展名称的名称时，没有任何关于结果的结果。 我们可能会想知道为什么Frege没有添加这种情况的第二个公理，例如：
判断条件{所有哥特A not术语b =ἐ（哥特式a = varepsilon）} {术语反斜杠b = b}
从Grundgesetze的演绎系统中没有这种原则导致弗雷格的方法引起思想。 问题上的问题是Frege是否会符合他的逻辑来完成 - 即，他是否会把它证明在Grundgesetze语言中表达的每个逻辑真理。 Michael Dummett表明：
毫无疑问，弗里格将宣称他的公理，与他们没有体现的额外非正式规定，因为产生了完整的理论：对他对更高阶理论的不完整意识意识到是一种不合理的。 （1981：423）
Dummett的规定是在Grundgesetze§10中的“置换争论”结束时与他们的单身延伸的真实值识别。 然而，缺乏第二个基本法vi的实例是，弗雷格已经意识到杂志的逻辑的不完整（它不矛盾），因为他未能包括在预期的解释上显然是真实的原则。 对他对他实际上包括在他的逻辑中的逻辑原则中的一个明显差距的认识（鉴于他提供的非正式语义阐释，他对他的逻辑的预期解释）远远不同于主张他意识到原则当然，二阶逻辑的不完整性。
有趣的是，哈克指出（2012年：CH.2）弗雷格索赔后来在Grundgesetze中，一个命题“是，它似乎无法推动”（Frege 1893/1903：§114）。 Frege小心宣称，原则是无法动产的，因此他不会声称这是真的（即，他不会用“判断符号”作为判断，但他也抑制了这是假的。哎呀攻击案件这一点识别他的系统潜在的不完整性（或者至少是与§114发行的派生的一致子系统）。什么可以防止弗雷格证明所讨论的索赔，以及允许Depekind以自己的类似原则来证明类似的原则算术（Dedekind 1888）的治疗是，后者具有各种选择的非正式版本，而Frege则包括在Grundgesetze的逻辑中没有正式版本的选择（Heck 2012：Ch。2）。这是一个重要的观察，但没有必要这种复杂，以得出结论，弗里格可能已经认为他的制度不完整。
弗雷格不需要一个公理，涵盖了在GrundgeSetze的正式系统中的算术中的算术中的算法中的应用程序的应用程序的应用程序（并且我们可以在他设想的真实推导中展示他也不需要它复杂分析）。 因此，他不需要将其添加到他的基本法律上。 弗雷格的正式系统只需要包括其重建算术和分析的逻辑原则 - 他的项目不需要在现代意义上证明的验证，因此我们不应该感到惊讶，他将制定的逻辑已经出现（弗雷格，到他的读者，以及我们）相当明显不完整（有基本法律v没有使它不一致，因此琐碎地完成）。
3.4 Grundgesetze推动规则
尽管弗雷格的逻辑仍然很常见，但弗雷格制剂表现出对面的推理规则比现代演绎系统。
首先，我们提醒已经讨论的三种推断规则的读者，并且可以在没有任何评论或标签的Grundgesetze的逻辑内应用于派生中的推导。 这些是子组件的置换，相同的子组件的融合以及横向的融合。 除此之外，Frege还引入了六项推断规则。
3.4.1广义模式Ponens
首先是概括的模式Ponens（术语“广义Modus Ponens”不是Frege的，他称之为这个推断“推断（a）”），这是弗雷格的描述：
如果一个命题的子组件不同于缺乏判断行程的第二个命题，则可以通过抑制该子组分来推断出从第一个提出的命题。 （1893/1903：§14）
简单地说，如果一个人已经证明了一款Gundgesetze条件，并且还有一个有条件的子组件，那么可以推断从条件中删除该子组件的结果。 假设我们已经证明了Grundgesetze命题：
判断条件{term \ delta} {术语条件术语\ gamma项\ theta}
然后，如果我们也有“判断Δ”，那么我们可以得出结论：
判断条件术语\伽马术语\θ
在此应用程序中，我们正在解析有条件的条件，这样“Δ”是相关的子组件，以及：
判断条件术语\伽马术语\θ
超级奴隶。 另一方面，如果我们有“判断γ”，那么我们就会结束：
判断条件术语\ delta术语\ theta
将“δ”和“γ”视为子组件，“θ”为超级群。 广义模式的应用由固体水平线表示。 这是过渡符号的第一个实例（1893/1903：§14）。
这条规则是在Begriffsschrift中发现的Modus Ponens的简单版本的一个非常强大的泛化，或者包括在使用线性符号的现代演绎系统中。 考虑到转换需要多少步骤：
a1→（的a2→（3号→（页a4→（5号→（a6的→（a7→（奥迪a8→b）））））））
和a8到：
a1→（的a2→（3号→（页a4→（5号→（a6的→（a7→b））））））
在典型的自然扣系统中。 在Grundgesetze的逻辑内，Frege可以在一步中进行类似的扣除。 关于Frege推理规则的类似的评论适用于其他规则，这些规则利用了Grundgesetetze公式可以以多种方式（即泛化假设）解析为子组件和超级股份三段论，广义对象和广义困境）。
Frege允许普遍形式的广义模式Ponens的多个同时应用。 因此，如果我们已被证明：
判断条件{term \ delta} {术语条件术语\ gamma项\ theta}
然后，我们证明了“判断Δ”和“判断γ”，我们可以同时消除两个子组件，用双水平线（1893/1903：§14）标记过渡。
3.4.2广义假设三段论
下一个推论规则是概括的假设三段论（这是再次新颖的术语 - 弗雷格称这个规则“推断（b）”）：
如果在一个命题中发生相同的符号组合作为超级组件，并且在另一个命名中作为子组件发生，则可以推断出一个命题，其中后一种功能的超级组件作为超级群和所有的所有子组件，并保存所提到的特征作为子组件。 但是，两者都需要的子组件只需写一次。 （1893/1903：§15）
这是一个概括的，更强大的版本的熟悉规则假设三段论，利用子组件的“平等”状态：给出了一个杂志的命题，以及第二个命题，其超级股份是第一个子组件的子组件，我们可以推断出在第一次命题中取代相关子组件的命题与第二个命题的子组件。 例如，如果我们派生了两个：
判断条件{term \ delta} {术语条件术语\ gamma术语\ theta}和判断条件{term \ gamma} {术语条件术语\ sigma项\ delta}
然后我们可以将这些组合起来获取：
判断条件{term \ sigma} {术语条件术语\ gamma项\ theta}
注意，我们将两次出现的“γ”组合成一次发生。 广义假设三段论的应用是通过新类型的过渡符号表示的，虚线水平线“ -
- ”，以及泛化假设三段论的多个同时应用由双重虚线“= = = =”表示。 概括的假设三段论是一种从贝格里夫斯科兴奋的逻辑的基于强大的基于结构的公理2。
3.4.3广义对比
第三种推论规则是概括的对象（弗雷格称这个规则只是“对比”）。
一个可以通过超级组件释放子组件，提供一个同时逆转每个的真实值。 （1893/1903：§15）
广义对象使我们能够使用任何子组件“切换”杂交凝聚率的超级组件，提供一个“同时逆转每个”的真实值“。 回顾弗雷格将否定描述为“借助于每个真实值转变为其对面的标志”（1893/1903：§6），这相当于添加单一的否定或从中删除单个否定（如果至少一个否定存在），每个有问题的公式。 因此，如果我们派生了：
判断条件{term \ delta} {术语条件{not term \ gamma} {term \ theta}}
然后广义对象将允许我们获得以下任何一种：
判断条件{not term \ theta} {术语条件{not term \ gamma} {not term \ delta}}
（一）
判断条件{term \ delta} {术语条件{not term \ theta} {不是不是术语\ gamma}}
（b）
判断条件{term \ delta} {术语条件{not term \ theta} {term \ gamma}}
（c）
判断条件{不是术语条件{not term \ gamma} {term \ theta}} {not term \ delta}
（d）
使用过渡符号“×”表示广义对施加的应用。 广义对象是一种从BegriffsSchrift逻辑的基于强大的基于规则的Axiom 4版本。
3.4.4广义困境
第四条推断规则是普遍的困境（Frege称之为“推断（C）”）：
如果两个命题在其超级组件中同意，而其中一个子组件的不同之处在于仅由前缀否定行程的子组件不同，那么我们可以推断出一个共同的超级股份特征作为超级群体的命题两个命题的所有子组件，除了两个提到的功能作为子组件。 在此，两个命题中发生的子组件只需要一次写入。 （1893/1903：§16）
因此，如果我们派生了表格的丛林凝聚命题：
判断条件{term \ delta} {术语条件术语\ gamma项\ theta}
（一）
判断条件{term \ sigma} {术语条件{not term \ delta} {term \ theta}}
（b）
我们可以推断：
判断条件{term \ gamma} {术语条件{term sigma术语\ theta}}
广义困境由点虚线“⋅-⋅-⋅-〗”表示。
广义的困境是唯一的官方公理或在Grundgesetze逻辑中发现的官方公理或规则，除了明确涉及价值范围的逻辑之外，这在Begriffsschrift的逻辑中没有一些清晰（即使是较弱）的模拟（假设我们将公理5和6计数为至少非常松散的基本法律IV-id-ide上面），尽管该规则的类似物当然是在早期的系统中导出（以当代术语填写它）。 在注意到Begriffsschrift的序言中，他已经限制了尽可能少的公理和推理规则，弗雷格写道：
这不排除从几个判断转换到一个新的判断，这只通过这种单一的推理模式以间接方式转换为直接的方式，以便缩写。 事实上，这可能是以后的申请。 以这种方式，因此，会出现进一步的推理模式。 （1879A：前言）
然而，在Frundgesetze的前言中，Frege指出了策略中相当显着的转变：
为了获得更大的灵活性并避免过度长度，我允许自己默认使用子组件（条件）的置换和相等子组件的融合，并且没有减少推理模式和最小后果的模式。 有人熟悉我的小书Begriffsschrift将从它中聚集在这里也可以满足最严格的要求，也可以在范围内得到相当大的增加。 （1893/1903：前言）
据推测，这是普遍的困境，特别是弗雷格在这里考虑到。
3.4.5凹版介绍
Frege的下一个推理规则（遵循我们对贝格里夫斯的逻辑中类似规则的讨论）调用凹版介绍（Frege调用这条规则“将罗马信转换为德国字母”），管理两个设备之间的交互在grundgesetze中表达普遍性，罗马字母一般性设备和凹版：
每当它发生在一个和同一个德语字母的命题中时，可能会更换罗马信。 与此同时，后者必须放在一个如此超级群体前面的凹面上方，其中罗马信不会发生。 如果在这个超级组件中，则包含德国信的范围，并在此范围内发生罗马信，然后将被介绍的德国信件与前者不同。 （1893/1903：§17）
机械地说，这与贝格里德斯科兴奋剂逻辑中的凹版介绍的版本相同。 用于标记凹面介绍的过渡符号是“
⏝
“。
3.4.6罗马信淘汰
虽然凹凸介绍允许我们从用罗马字母表达的一般性转移到与凹凸表达的一般性，而基本法律II（与广义Modus Ponens相结合）允许我们从与罗马字母表达的展会表达的一般性移动据尚不，我们无法从表达一般性（任何排序）的命题移动到特定实例（Begriffssschrift的逻辑不包含名称，因此此缺陷在那些早期系统中不是缺点）。 弗赖吉通过介绍我们所谓的罗马信消除规则（Frege称这种规则“）所描述的，他描述如下：
当通过标签引用一个命题时，我们可能会通过统一替换命题内的罗马字母以相同的正确名称或同一罗马对象标记来实现简单的推断。
同样，我们可以用一个或两个参数的一个名称或罗马标记的相同名称或罗马标记的一个名称或罗马标记，所以可以用一个或两个参数的相同名称或罗马标记来替换所有出现的罗马函数字母“f”，“g”，“h”，“f”，“h”，具体取决于罗马字母表示一个或两个参数的函数。
当我们引用法律（IIB）时，我们可以通过第二级功能的相同名称或罗马标记替换两种级别的同名“Mβ”的发生。 （1893/1903：§48）
罗马信消除允许两种应用程序。 第一个和最简单，涉及统一替换具有正确名称的特定罗马信。 但罗马信淘汰规则还允许我们用罗马对象标记替换单个罗马字母。 因此，使用此规则，通过用罗马对象标记“不是y”来替换罗马字母“x”，我们还可以从“判断φ（x）”中获取“判断φ（不是y）”。 同样，给定表格的网格命题“判断f（δ）”我们可以推断出“判断不δ”（通过用函数名称“判断不”或“判断不是g（不是δ）”（通过替换罗马字母）的roman letter“f”“f”与罗马函数标记“不是g不是”）。罗马信淘汰规则的最明显和最重要的应用之一是在引入公理的“实例”时，由于Frege不要求我们明确地写作公理。相反，我们可以引用由AXIOM的任何“实例”导致将罗马字母消除规则（一个或多次）应用于公理本身。
此推断没有转换符号，因为当在应用上面列出的其他规则之一时使用以前导出的公式作为前提时应用。
这一点结束了我们对弗雷格·贝格里夫斯科夫瀑布和格雷克雷泽发现的逻辑系统的调查。 但它远非弗雷格对逻辑思考的结论。 虽然Frege最终被遗弃了他的逻辑学项目，以及他的逻辑系统的那些部分导致了矛盾（基本法律V和VI，并且价值的概念更普遍地）鉴于Russell Paradox，他继续为许多人教授逻辑课程年。 对Frege的后期观点感兴趣的读者应在悖论之后咨询补充散文弗赖吉的逻辑。
