正式认识论（四）

4.1认知模态逻辑

模态逻辑的语言与普通的典型逻辑相同，但使用额外的句子运算符，◻，抛出以表示必要性。 如果句子φ不仅仅是真的，但必然是真的，我们写◻φ。

然而，有很多必要性。 有些东西是必要的，如tautologies。 其他人可能不会逻辑上是必要的，但仍然必须表达必要。 （Hesperus和磷是相同的，是一个流行的例子;更有争议的候选人是上帝的存在或关于父母来源的事实，例如，Ada Lovelace的父亲是拜伦勋爵的事实。）

但是，这里的必要性是认识的必要性，鉴于我们所知道的，必须真实的事情的必要性。 例如，它对您必须认识到这句话的作者是人类的。 如果你不知道已经知道（也许你没有考虑过这个问题），鉴于你所知道的其他事情，它必须是真实的：人类是地球上唯一能够构建正式认识论的连贯调查的唯一众生，这是一个调查（我希望）。

在认知模态逻辑中，写Kφ而不是◻φ是有道理的，其中kφ意味着已知φ是真的，或者至少遵循已知所知道的。 被谁知道？ 这取决于应用程序。 让我们假设我们正在谈论你的知识，除非另有说明。

认知模态逻辑应该包括哪些公理？ 嗯，命题逻辑的任何Ta文学应该是定理，如φίφ。 就此而言，与K算子类似的k算子有效的公式，如Kφkkφ，也应该是定理。 所以我们只需通过最粗壮的方式，通过使它们所有公理方式来实现所有这些公式定理

（P）任何句子表的古典逻辑规则有效的句子是一个公理。

采用P立即使我们的公理列表无限。 但它们都很容易被真实表方法识别，所以我们不会担心它。

超越古典逻辑，所有所谓的“正常”模态逻辑共享一个公理，对于认知应用，看起来非常明智：

k（φ⊃ψ）⊃（kφ⊃kψ）

如果你知道φ⊃ψ是真的，那么如果你也知道φ，你也知道♥。 或者至少，如果φ⊃ψ和φ做，则从您知道的情况下遵循。 （这里的'K'代表了'Kripke'，不是为了“知识”。）通过所有“arethic”模态逻辑共享的另一个常见公理也看起来很好：

kφ⊃φ

如果你知道φ，它必须是真的。 （注意：K和T实际上是公理模式，因为这些形式的任何句子都是公理。所以这些模式中的每一个实际上都是无限的许多公理，所有相同的一般形式。）

对于这些公理，我们将添加两个推理规则。 第一个熟悉古典逻辑，指出从φ⊃ψ和φ，一个可以导出ψ。 正式：

φ⊃ψ，φ⊢ψ

第二个规则是模态逻辑的特定，并且从φ可以推断kφ的状态。 正式：

φ⊢kφ

NEC规则看起来立即怀疑：它不是真实的知名吗？ 实际上，否：我们的逻辑只承认MP从他们遵循的公理和事物。 因此，只有逻辑事实将受到NEC规则的影响，这些事实是必要的：他们要么是所知，要么他们所知道的，因为他们完全没有假设。 （NEC代表“必要”，在本系统中认识到必要的。）

三个Axiom Schemas P，K和T以及推导规则MP和NEC，完成了我们的最小认知模态逻辑。 他们允许我们派生一些基本定理，其中一个是我们将在下一节中使用的一个基本定理：

定理（∧分布）。 k（φ∧ψ）⊃（kφ∧kψ）

（有关证明的技术补充）。 本定理粗略地说，如果您知道一个结合，那么您知道每个都会。 至少，每个结合都是从你所知道的（我将离开这个限定赛，从现在开始隐含），这似乎非常明智。

我们可以证明更有趣的东西吗？ 在这里和那里有一些调整，我们可以派生一些关于我们知识的极限的一些非常引人注目的结果。

4.2知名度悖论（A.K.A.教堂惠田悖论）

真正的一切都知道吗？ 或者是否有一些真理，即使原则上也是如此？ 由惠誉（1963年）普及的着名论点，最初是由于Alonzo Church（Salerno 2009）表示没有：一些真理是不可知的。 因为如果所有真理原则上都是可见的，我们就可以得出所有真相已经熟悉，这将是荒谬的。

该论点需要略微扩展我们的认识逻辑，以适应知识性的概念。 对于我们而言，K表示已知的（或由已知的），而知名性添加了额外的模态层：可以知道什么。 所以我们的语言需要一个句子运营商◊表示形而上学的可能性。 因此，◊φ意味着“它可以确定φ是真实的”。 事实上，◊φ只是¬◻¬φ的短暂，因为什么不一定是假可能是真的。 所以我们实际上可以添加◻，而是假设像K算子一样，它遵守NEC规则。 （与K算子的NEC规则一样，我们可以始终从φ从φ派生◻φ，因为我们只能在φ是逻辑事实的第一个地方导出φ。）◊只是通过定义。

通过这种添加到我们的语言，我们可以派生以下引理（参见推导的技术补充）：

引理（未知数是不可知的）。 ¬◊k（φ∧¬kφ）

这个引理基本上说你无法知道这个种类的事实，“φ是真的，但我不知道这是真的”，这似乎非常明智。 如果您知道这样的联合，第二个结合将是真的，这与您了解第一个与之相反。 （这是∧分布证明有用的地方。）

然而，这种合理的LEMMA几乎可以立即引领一些真理的不知情。 假设对于还原，至少原则上可以知道一切都是真实的。 也就是说，假设我们作为一个公理：

知识无限制

φ⊃◊kφ

然后，我们将能够衍生出几条线，即实际上已知一切都是真实的，即，φ⊃kφ。

1。（φάkφ）⊃◊k（φάςKφ）知识无限制

2。¬（φίλ）1，未知是不可知的，p

3。φ⊃kφ。2，p

如果K代表上帝所知道的，那就没关系。 但如果K代表你或我知道的东西，那似乎荒谬了！ 不仅有真相我们不知道，大多数事实甚至都不遵循我们所知道的。 没有限制的知识似乎是这里的罪魁祸首，所以似乎也有一些我们无法知道的东西，即使原则上也是如此。 但是有关更多讨论，请参阅惠誉的知识悖论。

4.3自我知识

即使我们无法知道一些东西，我们也可能无限地访问我们自己的知识吗？ 我们至少能够辨别我们是否知道什么？ 在形而上学必需品的逻辑中的流行公理是所谓的S4 Axiom：◻φ⊃◻◻φ。 这表明无论是必要的。 在认知逻辑中，相应的公式是：

kφ⊃kkφ

这粗略地说，每当我们知道某些东西时，我们都知道我们知道。 HITIKKA（1962）着名的倡导者，包括KK作为认知逻辑的公理。 但由于Williamson（2000）造成的一个有影响力的论据。

遵循幸运的知识不可能拥有的想法。 具体来说，要了解一些事情，一定是你不能很容易错了。 否则，虽然你可能是对的，但它只是运气。 例如，您可能会正确猜测我的桌子上的罐子里有967个jellybeans，但即使你是对的，你才幸运。 你不知道有967个Jellybeans，因为没有你注意到差异的情况很容易有968个果冻模糊。

要将这个“禁运”的想法正式化，让命题φ1，φ2等。说果冻骨骼的数量至少为1，至少为2等。我们假设你的眼球jellybeans的数量，而不是仔细计算它们。 因为你是大量果冻果冻的不完美估计，所以你无法知道罐子里有至少967个果冻蛋白。 如果您认为至少有967个Jellybeans，您可以轻松归因于思考至少968，在这种情况下，您将错误。 因此，我们可以在这种情况下正式化“不容易错误”的想法，如下所示：

安全

kφi⊃φi+ 1当我很大时（至少100假装）。

这个想法是，知识需要误差的余量，在我们的例子中至少有一个果冻的边缘。 据推测，多于一个果冻，但至少有一个。 在真实数字的一个果冻中，您无法从虚假中辨别出真相。 （见Nozick（1981），了解关于知识的“毫无运气”的不同概念，Roush（2005年）正式地以概率术语形式形式。）

尽管如此，这是你现在所知道的，这是你现在所知道的事情：安全论文是真的。 所以我们也有：

安全知识

K（kφi⊃φi+ 1）当我很大时。

与KK的安全知识结合起来产生了荒谬的结果：

1。kφ100假设

2。kkφ1001，kk

3。K（kφ100⊃φ101）安全知识

4。kkφ100⊃kφ1013，k

5。kφ1012,4，mp

重复步骤（2） - （5）对于φ101，φ102，...，φn

是。 kφn是-1，mp

是'。 φn是，t

鉴于在线（1）上的假设，你知道罐子里有至少100个果冻蛋白（你可以明白地看到），我们可以表明罐子里的jellybeans比银河系中的星星有更多的jellybeans。 设置高达足够高，果冻蛋白甚至超过宇宙中的粒子！ （请注意，我们不依赖于此派生中的任何地方，因此可以使用像线（1）等非逻辑假设和安全知识。）

如果我们加入Williamson在这些理由上拒绝KK，那么哲学的回报是什么？ 依赖KK的持怀疑态度可能被解除。 例如，一个怀疑论者可能会争辩说，要知道一些东西，你必须能够排除任何竞争的替代方案。 例如，要知道外部世界是真实的，你必须能够排除你被笛卡尔的恶魔（Stroud 1984）所欺骗的可能性。 但是，你还必须能够排除你不知道外部世界的可能性是真实的，因为这是你知道它是真实的替代方案。 也就是说，您必须k¬¬kφ，因此kkφ（greco 2014）。 因此，这种持怀疑态度论点的驾驶前提是kk论文，我们已经看到了拒绝的理由。

当然，其他持怀疑态度的争论不依赖KK。 例如，不同的持怀疑态度始于笛卡尔邪魔的受害者与现实世界中的人完全相同的证据，因为他们的体验状态难以区分。 但如果我们的证据在这两种情况下是一样的，我们就没有理由相信我们是一个而不是另一个。 威廉姆森（2000年：Ch。 GIST是，我们并不总是知道我们在特定情况下有哪些证据，就像我们并不总是知道我们所知道的那样。 事实上，威廉姆森认为，我们自己的思想的任何有趣特征都受到类似的论点，包括它看起来φ：aφkaφ面向类似的kφ⊃kkφ的还原。 有关进一步的分析和批评，请参阅Hawthorne（2005），Mahtani（2008），Ramachandran（2009），Cresto（2012）和Greco（2014）。

5.第五次案例研究：社会认识论

当我们研究整个社区时，不仅仅是孤立的人，就会发生有趣的事情。 在这里，我们将在研究人员之间查看信息共享，并找到两个有趣的结果。 首先，自由分享信息实际上可以损害社区发现真相的能力。 其次，社区成员之间的不信任会导致一种极化。

我们还将在此过程中介绍一个新工具：计算机模拟。 可以从Github下载重现本节结果的Python代码。

5.1 Zollman效果

想象一下，一些医疗状况有两种治疗方法。 一个治疗良好，其效果是众所周知的：它有.5机会在任何特定情况下固化条件。 另一个治疗是新的，可能会稍微变得更好或略差：.501成功的机会，或者.499。 研究人员不确定它是它的。

目前，一些医生对新的治疗令人缘害，其他医生更加乐观。 所以有些人在患者身上尝试，而其他人则坚持旧的方式。 由于它发生乐观主义者是对的：新的治疗是优越的：它有一个.501成功的机会。

那么，新的治疗的优势最终会成为社区内的共识吗？ 随着收集和共享的数据的数据，如果新的治疗稍好，它不应该清楚地清楚吗？

不一定。 尝试新治疗的人可能会遇到一串运气。 初步研究可能会产生不太恒星的结果，这不准确反映新的治疗的优越性。 毕竟，它只比传统治疗略好。 所以它可能无法立即显示它的勇气。 如果没有，乐观主义者可能会在有机会证明自己之前放弃它。

减轻这种危险的一种方法是限制医学界中的信息流。 以下Zollman（2007），让我们通过模拟来证明这一点。

我们将创建一个“医生”网络，每个网络都具有自己的最初信用，新的治疗是优越的。 那些以上债务的人将尝试新的治疗，其他人会坚持旧的。 通过一行连接的医生互相共享他们的结果，然后每个人都会使用贝叶斯定理（§1.2.2）来更新他们看到的任何结果。

我们将考虑不同尺寸的网络，从3到10名医生。 我们将尝试三种不同的网络“形状”，一个完整的网络，轮子或循环：

显示了三个网络，每个网络有六个节点。 第一个标记为“完整”，具有所有六个节点，排列在六角形中，每个节点到每个其他节点。 第二个标记为“轮”，具有五个节点，其中包含中心的第六节点; 五边形边界周围有线条，从中心节点到每个外节点的一条线。 第三个标记为“循环”，所有六个节点都排列在六角形的六边形，六边形边界周围，没有内线。

三个网络配置，这里用6名医生说明

我们的猜想是循环将是最可靠的。 一位没有误导误导结果的医生将在那里造成最小的伤害。 分享他们的结果可能会阻止他们的两个邻居学习真相。 但网络中的其他人可能会继续调查，并最终学习关于新治疗的优越性的真相。 然而，车轮应该更容易受到意外错误信息，并且完整的网络最脆弱。

以下是细节。 最初，每位医生被分配了一种随机信用，新的治疗优越，从[0,1]间隔均匀选择。 那些凭据以上的人将尝试在1,000名患者上进行新的待遇。 通过使用具有概率的虚拟硬币的1,000“翻转”来随机确定成功的数量.501的头部（成功治疗）。

然后，每位医生将它们的邻居与邻居分享结果，并通过贝叶斯定理更新所有可用的数据。 然后我们做了另一轮实验，分享和更新，其次是另一种，直到社区达成共识。

可以通过两种方式中的任一种来实现共识。 任何人都要学习真相，即通过实现高信任（我们所说的高度，新的治疗是优越的。 或者，每个人都可能达到信用.5或更低的新治疗。 然后没有一个实验进一步，所以它是不可能的卷土重来。

这是在我们每次模拟10,000次运行时发生的事情。 网络的形状和医生人数会影响社区如何找到真相的频率。 第一个因素是ZOLLMAN效应：连接网络的较少，他们更有可能找到真相。

一个图表在X-XIS上对y轴上的y轴上的“真正共识概率”的图表。 有三条曲线分别标记为“循环”，“轮”和“完整”。 “完整”曲线从.65下的概率从0.9的概率下降0.9随着试剂的数量从3到10增加。“轮子”曲线从0.8的概率达到0.95的概率，因为试剂的数量从5到10增加。“周期”“曲线从概率达到0.75以上的概率超过0.95，因为试剂的数量从4到10增加。

发现真相的概率取决于网络配置和医生数量。

但请注意，更大的社区更有可能找到真相。 为什么？ 因为更大，较少的连接网络更好地防止误导结果。 有些医生必然会得到一段时间内没有反映新治疗的真实性质的数据。 当发生这种情况时，他们的误导性结果风险污染社区的错误信息，劝阻别人试验新的治疗。 但是网络中的人越多，误导性结果就越有可能是由他人的准确的，代表结果淹没。 并且人们看到误导结果，人们的误导就越少。

这是一个动画对模拟，以说明第一个效果。 在这里，我将六位医生的起始物质设置为同样的，甚至在网络中传播：.3，.4，.5，.6，.7和.8。 我也给了它们相同的随机数据序列。 只有网络中的连接是不同的，在这种情况下，它会产生所有差异。 只有周期学习真相。 完整的网络很清早变暗，完全在26次迭代之后完全放弃了新颖的治疗。

示出了两个网络，每个网络，其中六个节点排列在六边形中。 第一个网络已完成：每个节点都有一条将其连接到其他每个节点的行。 第二个网络是一个循环：只有相邻节点通过一行连接。 节点从黑暗中彩色到光; 传奇表明，颜色较浅，博士的信用越高。 在动画的开头时，两个网络中的颜色相同：最暗节点位于9点钟位置，并且节点在六边形周围顺时针亮起。 作为动画播放，节点变暗或更轻，而标记为“epoch”的计数器从零开始，最多可达587.通过epoch 28，第一网络中的节点都变得暗，而且它们停止变化的视频的其余部分。 但第二个网络在整个视频中不断变化。 早期，大多数节点都变得黑暗，并且没有改变，但左下角和其邻居继续波动和变得更加波动。 经过一段时间，虽然他们的邻居开始做同样的事情，并且最终整个第二个网络亮了，动画结束了。

两个具有相同前方的网络遇到相同的证据，但只有一个发现真相。

[视频的替代链接]

节省了循环网络的是从.8凭证开始的医生（左下角）。 他们开始乐观地才能继续继续，在本集团遇到初始令人沮丧的结果之后。 然而，在完整的网络中，他们早些时候收到了如此多的负证据，而他们几乎立即放弃了。 他们众多邻居的负面调查结果不堪重负他们的乐观。 虽然周期将它们暴露在不那么令人沮丧的证据，但随时才能继续尝试新颖的治疗，最终赢得邻居。

作为Rosenstock，Bruner和O'Connor（2017年）所说：有时候较少，在分享科学探究的结果方面就越多。 但这种效果有多重要？ 它有多久存在，并且在实际练习中足够担心？

Rosenstock，Bruner和O'Connor认为，Zollman效果只会折磨着纪念上的“硬”问题。 这只是因为我们的两种治疗之间的差异是如此难以从Zollman效应是一个问题的数据中辨别出来的。 如果新的治疗比旧的更优于旧的待遇，请参见.7成功的机会，而不是在上面想象的

所以Rosenstock，Bruner和O'Connor将模拟与“epsilon”的不同价值重新运行，增加了新待遇的成功概率的增加。 在我们举行epsilon之前，固定在.001 = .501 - .5。 但现在我们会让它变化到.1。 为简单起见，我们只考虑一下这次完整的网络与周期，我们将持有固定的医生数量。（每轮的试验数量持续1,000）。）