社交选择理论（二）

Condorcet认为每个人都比在做出正确的判断（能力假设）时比随机更好，并且在鉴于世界状况（独立假设）的情况下，不同的个人判断是随机独立的。 正式地，设法，让V1，V2，...，VN（大写字母）表示生成特定单独投票V1，V2，...，VN（小写字母）的随机变量，并设v = F（v1，v2，...，vn）表示结果随机在给定聚合规则F下表示社会决策v = f（v1，v2，...，vn）的变量，例如多数规则。 Condorcet的假设可以说明如下：

能力：对于每个人的i∈n和世界的每个状态x∈{-1,1}，pr（vi = x | x = x）= p＞1/2，其中p在各个和状态下都是相同的。

独立性：不同个人V1，V2，...，VN的投票彼此独立，X的每个值x∈{-1,1}上的条件。

在这些假设下，大多数投票是一个很好的真理 - 跟踪者：

定理（Condorcet的陪审团定理）：对于世界x∈{-1,1}的每个状态，正确的大多数决定的概率，pr（v = x | x = x）大于每个人的正确投票的概率pr（VI = x | x = x），并收敛到1，随着个体的数量增加。[1]

第一个结合（'大于每个人的概率）是非渐近的结论，第二个（'收敛到1'）渐近结论。 一个人进一步证明，如果世界的两个状态具有相同的先前概率（即，Pr（x = 1）= pr（x = -1）= 1/2），则大多数规则是最可靠的所有聚合规则，最大化pr（v = x）（例如，本yashar和Nitzan 1997）。

虽然陪审院经常被调用展示民主的认知案情（最近的讨论，但参见，例如，Landemore 2012和Gudin和Spiekermann 2018），其假设是高度理想主义的。 能力假设不是概念索赔，而是经验上的索赔，并取决于任何给定的决策问题。 虽然平均（不一定是平等的）在1/2以上的个人能力可能足以进行Condorcet的结论（例如，Grofman，Owen和Feld 1983; Boland 1989; Kanazawa 1998），[2]定理如果个人是随机剂（没有比硬币折腾的更好并且没有比硬币折腾更好），或者如果它们比随机更糟糕（P＜1/2），则停止持有。 在后一种情况下，正确的多数决定的概率小于每个人的正确投票的概率并将其融合到0，因为陪审团大小增加。 定理的结论也可以在较少的极端情况下（Berend和Paroush 1998），例如，当每个个人的可靠性虽然超过1/2，但随着陪审团规模的增加，即将到来的1/2逐渐减少。

同样，独立假设是否为真，取决于有问题的决策问题。 虽然Condorcet的结论是对个人票之间的一些相互依存性的结论，但这些相互依赖性的结构很重要（例如，Boland 1989; Ladha 1992; Estlund 1994; Berend和Sapir 2007; Pivato 2017）。 如果所有人的投票都与彼此完全相关或模仿少数意见领导者，则集体判断并不比少数独立个人之间的判断更可靠。

珍珠对因果关系（2000年）所采用的贝叶斯网络已经被用来模拟选民依赖性对陪审团定理的影响，并区分条件独立的强大和较弱的变种（Dietrich和2004年的名单;饮食饮食和斯佩克曼2013）。 这项工作表明，在现实的假设下，Condorcet的渐近结论未能持有，并且最多的大多数决定收敛的可能性最多地收敛到一个严格低于1的人数（例如，陪审团证据不是概率误导性）。 此外，Dietrich（2008）据称，Condorcet的原始两个假设从未同时合理，从此，即使它们都是真的，也无法获得一次性支持的证据。

最后，游戏理论工作挑战了陪审团定理的隐含假设，即选民将永远揭示他们的判断。 即使所有选民更喜欢错误的集体判决，它们也可能仍然有激励措施来误导他们的个人判断。 这可能会发生，当事人的事件发生关键的结果时，选民希望通过对他或她自己的私人判断投票来引发正确的集体判断的可能性，而不是符合它（Austin-Smith和1996年银行; Feddersen和Pesendorfer 1998）。

2.4多数规则的功利辩论

多数统治的另一个相应主义论证是功利主义而不是认识。 它并不需要存在集体决策的独立事实或国家，所以应该追踪。 假设每个选民从集体决定中获得一些效用，这取决于决定是否与他或她的投票（偏好）匹配（偏好）：具体而言，每个选民从他或她的投票和集体结果之间的比赛中获得1的效用，以及0的效用不匹配。[3] 然后，Rae-Taylor定理说明，如果每个人具有相同的先前概率，则偏好两个替代方案中的每一个，大多数规则最大化每个个人的预期实用程序（参见，例如，Mueller 2003）。

相关的是，多数规则最大限度地减少了令人沮丧的选民的数量（定义为失去侧的选民），并最大化跨选民的总实用程序。 Brighouse和Fleurbaey（2010）概括了这一结果。 定义选民我在决定中的股份，DI，作为他或她的首选结果与他或她的不适应结果之间的公用事业差异。 Rae-Taylor定理依赖于隐含的平等赌注假设，即每个i∈n的DI = 1。 Brighouse and Fleburbaey表明，当允许赌注会因选民而异时，总效用最大化而不是大多数规则，而是通过加权多数规则，每个人的投票权重与他或她的股权成比例。

3.偏好的聚合

在社会选择理论的核心是偏好聚合的分析，理解为两种或更多社会偏替的几个个人偏好排名的聚合，进入了这些替代方案的单一，集体偏好排名（或选择）。 arrow（1951/1963）引入了仍然标准的基本框架。

3.1基本框架

考虑个体的一个设置n = {1,2，...，n}（n≥2）。 让x = {x，y，z，...}是一组社交替代品，例如可能的世界，政策平台，选举候选人或货物的分配。 每个人都有一个优先订购RI，在这些替代方案中：X上的完整和传递二进制关系。[4] 对于任何x，y∈x，xriy意味着个人我将弱更喜欢x到y。 如果xriy而不是yrix

跨越个人的优先排序组合，⟨r1，r2，...，rn‖称为轮廓。 偏好聚合规则f是分配给每个配置文件的函数⟨r1，r2，...，rn‖（在可允许的配置文件的某些域中）社交偏好关系r = f（r1，r2，...，rn）x。当f很清楚时从上下文中，我们只需写入与⟨r1，r2，...，rn‖相对应的社交偏好关系的r。

对于任何X，y∈x，XRY表示x是社会弱优先于y。 如果XRY和不是YRX（'x严格地是社会优先于y'），我们也会编写xpy，如果XRY和YRX（'x和y是社会相关的'）。 对于普遍性，R为完整和传递的要求不会内置于偏好聚合规则的定义中。

偏好聚合规则的范式示例是成对大多数投票，如露天电池所讨论的。 在这里，对于任何简档⟨r1，r2，...，rn⟩和任何x，y∈x，xry，如果至少当许多人都有xride具有yrix，则只有yrix，正式| {i∈n：xriy} |≥| {i∈n：yrix} |。 正如我们所看到的，这并不保证及时社会偏好。[5]

不及物多数偏好如何频繁？ 可以表明，导致周期性多次偏好的偏好曲线（在所有可能的组中）的比例随着个体的数量（n）和替代品（| x |）的数量增加而增加。 如果所有可能的偏好曲线都同样可能发生（所谓的“公正的文化”情景），因此大大选民中的大多数循环应该可能在大型选民中（Gehrlein 1983）。 （技术工作进一步区分“顶级循环”和循环低于可能的冷静次级替代方案。）然而，在某些系统的，甚至小的偏差下，循环的概率可以显着降低与公正文化（名单和古信器2001：附录3; Tsetlin，Regenwetter和Grofman 2003; Regenwetter等人2006）。

3.2箭头定理

从成对大多数投票中抽象，箭头建议在偏好聚合规则上提出以下条件F。

通用域：F的域是完整和传递各个偏好排序的所有逻辑上可能配置文件集。

订购：对于F的任何配置文件⟨r1，r2，...，rn⟩，社会偏好关系r是完整的和传递的。

弱帕礁原理：对于任何个人资料⟨r1，r2，...，rnə在f的域中，如果为所有i∈N，xpiy，那么xpy。

无关替代品的独立性：对于任何两个型材⟨r1，r2，...，rn⟩和⟨r

*

1

，r

*

2

，...，r

*

n

⟩在f和任何x的域名，y∈x，如果为所有i∈N，则ri的x和y之间的排名与r一致

*

一世

在x和y之间排名，然后xry如果xr * y。

非专政：不存在一个单独的i∈n，使得对于所有⟨r1，r2，...，rn⟩，xpiy在f和所有x的域中，xpiy意味着xpy。

通用域需要聚合规则应对其投入中的任何水平的“多元主义”。 订购需要它产生“合理”的社交偏好，避免了露头周期。 弱的帕累托原则要求所有人严格偏爱替代x，所以社会也是如此。 无关的替代方案的独立性要求任何两个替代方法x和y之间的社交偏好仅取决于x和y之间的个人偏好，而不是在其他替代方案上的个人偏好。 非专政要求没有“独裁者”，他们总是决定社会偏好，无论其他人的偏好如何。 （请注意，除排序外，成对大多数投票满足所有这些条件。）

定理（arrow 1951/1963）：IF | x |＞2，不存在满足普遍域的偏好聚合规则，订购，弱帕累托原则，无关的替代品的独立性，以及非专政。

显而易见的是，该结果涉及其他类型的排序的聚合，与偏好排序不同，例如（i）在若干假设（序数归属）上的信念排序，（ii）单个决策者可以使用的多个标准来生成一切决策选项的所有事项的排序，以及（iii）要和解的相互冲突的价值排名。

箭头定理已经应用的其他此类聚集问题的示例包括：群体聚集问题（例如，1954年5月; Hurley 1985），理论选择（例如，Okasha 2011; CF.Morreau 2015），证据融合（例如，Stegenga 2013），将多个相似性排序的聚集成一般认为的相似性排序（例如，Morreau 2010; Kroedel和Huber 2013），决策下规范不确定度（例如，Macaskill 2016），以及面对解释选择的竞争标准（Hattiangadi 2020）的激进解释。 在每种情况下，箭头定理的合理性取决于箭头常年框架和定理条件的具体符号。

一般来说，如果我们考虑arrow的框架，并且他的条件是不可或缺的，arrow的定理引起了一个严峻的挑战。 为了避免它，我们必须放弃五个条件中的至少一个或放弃对排序的聚合规则的输入中的至少一个，并捍卫更丰富的输入，如下所述，我们考虑来自箭头定理的非独裁逃生路线。

3.3偏好聚集的可能性

3.3.1放松通用领域

一种避免箭头定理的一种方法是放宽通用领域。 如果汇总规则是接受满足某些“凝聚力”条件的输入仅作为输入的首选项配置文件，那么诸如成对大多数投票之类的聚合规则将产生完整和递交的社交偏好。 最着名的凝聚力是单峰值（黑色1948）。

如果替代方案可以从“左”（例如，在某些认知或思想尺寸上）对齐，则单峰值⟨r1，R2，...，rn⟩是单峰值，使得每个单独具有最优选的位置与降低相对的对齐作为替代方案的偏好从最优选的位置获得更多的距离（任一个方向）。 正式地，这需要存在在X上的线性排序ω，使得对于替代x，y，z∈x的每个三倍，如果y在x和z相对于ω之间位于ω之间，则Xriy和Zriy（这条规则出来的情况不是这种情况洞穴在x和z之间，在y）。 在一些民主背景下，单峰是合理的。 例如，如果X中的替代品是不同的税率，例如，每个人可能具有最优先的税率（对于自由主义者而言，比社会主义的个人更低），并且更喜欢其他税率，因为它们从理想中获得更多遥远。

Black（1948）证明，如果聚合规则的域限制为满足单峰值的单个偏好排序的所有简档的集合，则不能发生大多数周期，并且中位数相对于相关左右对齐的最优选的替代方案是a Condorcet获胜者（假设n是奇数）。 然后，成对大多数投票然后满足箭头条件的其余部分 - 箭头也详细讨论了一点（1951/1963）。

具有类似含义的其他域限制条件包括单腔，单峰值的几何镜像（Inada 1964），分为两组（同上）和拉丁大方（病房1965），后者更多复杂的组合条件（有关审查，请参阅Gaertner 2001）。 SEN（1966）表明，所有这些条件都意味着较弱的条件，三维值限制。 它要求，对于替代x，y，z∈x的每个三倍，存在一个{x，y，z}和一个等级r∈{1,2,3}，使得在x，y和z之间的第一个位置中没有任何单独排名。 例如，所有个人都可以同意x，y和z之间的y不是底部（r = 3）。 Triple-Wise值限制足以用于差异的多数偏好。

有很多讨论是否在什么条件下，真实世界的偏好属于这种受限制的领域。 It has been suggested, for example, that group deliberation can induce single-peaked preferences, by leading participants to focus on a shared cognitive or ideological dimension (a‘meta-agreement’) (Miller 1992; Knight and Johnson 1994; Dryzek and List 2003）。 来自审议民意调查的实验证据，其中参与者在审议期之前和之后引发参与者的偏好，与此假设（清单，Luskin，Fishkin和McLean 2013）一致，但需要进一步的实证工作。 对于对审议诱发的“Meta-Apparation”的想法的关键评估，请参阅Ottonelli和Porello（2013）。 对于最近的计算研究，请参阅Rafiee Rad和Roy（2021）。

3.3.2放松订购

偏好聚合规则通常预计将产生作为其产出的排序，但有时我们可能只需要部分排序或不完全过境二进制关系。 一种产生传递但通常不完整的社交偏好的聚合规则是帕累托优势规则：在这里，对于任何个人资料⟨r1，r2，...，rn⟩和任何x，y∈x，xry，如果只有，对于所有i∈N，xpiy。 生成完整但通常不及物的社交偏好的聚合规则是帕累托扩展规则：在此处，对于任何配置文件⟨r1，r2，...，rn⟩和任何x，y∈x，xry，如果不是这样的情况，对于所有i∈N，ypix。 这两个规则都有一个令人反感的精神，使每个否决权能力与X y y y y y y弱的社会偏好或反对缺乏。

Gibbard（1969）证明，即使我们用他所谓的准传递措施取代过渡的要求，所产生的聚合可能性仍然非常有限。 呼叫偏好关系R准传递如果诱导的严格关系P是传递的（而漠不关心关系我不需要不变）。 如果有一个子集m⊆n（'oligarchs'），例如（i），如果，对于所有i∈m，xpiy，以及（ii），如果，对于某些i∈m，xpiy，那么xpiy，xpiy，xpiy，xpiy，那么（i）如果，如果，则致电规则寡头 Pareto扩展规则是具有m = n的寡头聚合规则的示例。 在寡头中，寡头共同决定性并具有个别否决权。 Gibbard证明了以下内容：

定理（Gibbard 1969）：IF | x |＞2，不存在偏好界限，准传递与社会偏好的完整性，弱帕匹省原则，无关的替代方案的独立性，以及非寡头政治。

3.3.3放松弱的帕累托原则

弱的帕累托原则可以难以放弃。 我们可以提升的一个案例是虚假的一致性，其中对y的一致偏好是基于相互不一致的原因（例如，Mongin 1997; Gilboa，Samet和Schmeidler 2004）。 例如，两个男人可能各自更倾向于对抗决斗（替代X）来不打架（替代Y），因为每次都过度估计他的获胜机会。 可能存在与决斗（即，赢得的可能结果）不存在相互符合的概率分配，这将“合理化”对y的一致偏好。 在这种情况下，一致的偏好是社会优选的不良指标。 然而，这个例子取决于战斗和不战斗的替代方案的事实并非完全指定的结果，但前景不确定。 可以说，在没有不确定性的情况下，弱的帕累托原则更合理。

一个聚合规则，当弱帕累托原则被删除时是一个强制规则，在任何简介⟨r1，r2，...，rn⟩中，社会偏好关系r是一个安全固定的（'强加'）订购束缚替代品。 虽然对个人偏好完全没有反应，但这种聚合规则满足箭头条件的其余条件。 另一种不那么堕落的可能性，会让一个人成为一个“反裁人”。 这里，对于任何个人资料⟨r1，r2，...，rn⟩和任何x，y∈x，我们只有yrix，我只有yrix，我是一些防爆的个人。 因此，社会偏好总是对个人的偏好相反。 正式地，除了弱帕累托原则之外，这种聚合规则满足箭头的所有条件。

虽然从民主的角度来看，应该在社会层面尊重一致的个人偏好的想法（至少当一致不是'虚假'）似乎难以竞争，我们将在3.4节中考虑帕累托原则的批评。

3.3.4轻松独立无关的替代品

获得可能的偏好聚合规则的常见方法是放弃无关的替代品的独立性。 几乎所有熟悉的投票方法超过三种或更多种替代方案，涉及某种形式的优惠投票（被要求表达完全或部分偏好排序的选民）违反了这种情况。