社交选择理论（三）_数学联邦政治世界观

标准示例是多个规则：这里，对于任何配置文件⟨r1，r2，...，rn⟩和任何x，y∈x，xry，如果且才有z x x，xpiz} |≥| {i∈n：对于所有z≠y，ypiz} |。非正式地，替代方案是社会排序，数量最喜欢他们每个人的顺序。多个规则避免了髁塞的悖论，但运行到其他问题。最值得注意的是，对每个其他替代方案的多数 - 替代的替代方案可以在多个规则下获胜：如果34％的选民在Z上方x上方x上方x，则在x上方的33％等级z上方x上方x，多个规则在x上方x上方x上方x。和z，而成对大多数投票将在x上方x上方y等级x（y是condorcet获奖者）。通过无视个人的低级替代方案，多项规则也违反了弱帕礁原则。然而，在“受限制的信息环境”中可能是合理的，其中投票过程仅收集有关选民的顶级偏好的信息，而不是他们的全部偏好排名（Goodin和List 2006）。

违反无关替代品独立性的偏好聚合规则的第二个例子是波尔达数量（例如，1990年）。这里，对于任何简档⟨r1，r2，...，rn⟩和任何x，y∈x，xry，如果σi∈n| {zəx：xriz} |≥σi∈n| {zəx：yriz}。非正式地，每个选民为每种替代方案分配得分，这取决于其偏好排名中的等级。最优选的替代方案获得了k（其中k = | x |）的得分，第二优选替代的k-1的得分，第三种最优选的替代的k-2，等等。然后，替代方案是在投票中的分数的总和方面的社会上订购：最大总和的替代方案是顶部的，第二大总和下一个替代方案等等。

要了解如何违反无关替代方案的独立性，请考虑在表3和4中的四个替代方案（x，y，z，w）中的单个偏好排序的两个简档。

个人1。个人2到7。个人8到15

第一个偏好。y。x。z

第二偏好。x。z。x

第三偏好。z。哇y

第四偏爱。哇y。哇

表3：个人偏好排序的简档

个人1。个人2到7。个人8到15

第一个偏好。x。x。z

第二偏好。y。z。x

第三偏好。哇哇y

第四偏爱。z。y。哇

表4：个人偏好排序的略微修改的简介

在表3中，四种替代品的波尔达评分是：

X：9⋅3+6⋅4= 51，

Y：1⋅4+6⋅1+8⋅2= 26，

Z：1⋅2+6⋅3+8⋅4= 52，

W：1⋅1+6⋅2+8⋅1= 21，

导致社会偏好在y过度y过度x上。在表4中，波尔达评分是：

x：7⋅4+8⋅3= 52，

Y：1⋅3+6⋅1+8⋅2= 25，

Z：1⋅1+6⋅3+8⋅4= 51，

W：7⋅2+8⋅1= 22，

导致在y过度Z上X的社交偏好。两种配置文件之间的唯一区别在于单个1的偏好排序，甚至在这里x和z的相对排名也没有变化。尽管表3和4中的X和Z之间的单独偏好，但X和Z之间的社会偏好是逆转的，违反无关替代方案的独立性。

这种违规行为在现实世界的投票规则中是常见的，并且他们将偏好聚合可能易于战略投票和/或战略议程设定。在第3.5节中，我在战略投票的情况下说明了这一点。

3.4自由悖论

虽然弱的帕累托原则可以说是箭头条件中最不争议的原则之一，但森（1970A）提供了一个批评，当汇总规则被解释为表决法时适用，而是作为社会策划者的社会评估方法可以用社会可取性的顺序排列社交替代品。在这里，替代方案被理解为粗暴的选举选择，而是更丰富地指定的社会状态。森表明，在这个环境中，帕累托原则与“自由主义”的原则冲突，他建议 - 一个社会策划者应该尊重。

自由主义原则要求每个人都有一些基本权利，以使他或她的偏好有时是社会决定性的影响（即，不能被其他人的偏好覆盖）。直观地，每个人都有一个个人领域，其中一个人应该能够决定发生什么。为了给出一个微不足道的例子，我独自应该能够决定我是否右侧或在我的左侧睡觉，也应该对其他人来说都是真的。因此，如果两个社交替代方案，x和y，x和y仅相对于个人睡眠的侧面而不同，那么个人我在x和y之间的偏好应该决定x和y之间的社交偏好。（回想一下，该替代方案都被理解为丰富的社会州。）森的“最小的自由主义”要求表示，社会中至少有两个人在两个替代方案之间存在这样的决定性。这些要求是“最小”，因为我们理想地想要两个人，而是每个人都有这样的权利，我们理想地希望那些涉及每个人的权利，每个权利都超过一对替代方案。

最小的自由主义：至少有两个不同的个人I，j∈n谁对至少一对替代品的决定性; 即，至少有一对（独特）替代方案x，y∈x，使得对于每个简介⟨r1，r2，...，rn⟩，xpiy意味着xpy，并且Ypix意味着ypx，并且至少一对（不同的一对））替代方案x *，y *∈x使得对于每个简介⟨r1，r2，...，rn⟩，x * pjy *表示x * py *，y * pjx *暗示y * px *。

为了说明最小的自由主义和弱帕礁原则之间的冲突，森要求我们想象一个由两个人，猥亵和伪装组成的社会，面临着谁（如果有的话）应该阅读一个有争议的书，Lady Chatterley的情人。在森的故事中，猥亵大多数喜欢伪装读书（替代x），第二次更喜欢他（刘德）阅读本书本人（替代y），最不喜欢两者读这本书（z）。伪装大多数更喜欢既没有阅读书（Z），第二次更喜欢他（伪装）阅读书籍本书（x），最不喜欢猥亵阅读书（Y）。假设猥亵在y和z对y和z的决定性是决定性的，因此社会应该更喜欢y到z。假设伪装在这对X和Z上具有决定性，因此社会应该更喜欢Z到x。但由于猥亵和伪装都更喜欢X到y，弱帕匹省原则（适用于n = {lewd，prude}）意味着社会应该更喜欢x到y。因此，我们面临的社交偏好周期：x是社会优选的Y，Y是社会优选的z，z和社会优选的z到x。森概括了这个问题 - 现在称为“自由悖论”如下。

定理（森1970A）：不存在满足普遍域，社会偏好的非循环性，弱帕礁原则和最小自由主义的偏好聚合规则。

结果表明，如果我们希望尊重个人权利，我们有时可能必须牺牲Paretian效率。因此，森的谈到了“不可能是帕特海自由主义”。另一种结论是，只有当可接受偏好概况的领域适当地限制，才能与最小的自由主义兼容，例如允许的偏好，例如“宽容”或不是“Meddlesome”（Blau 1975）的偏好，才能兼容最小的自由主义; Craven 1982; Gigliotti 1986; Sen 1983）。刘德德和普鲁德在Sen的榜样的偏好是'Meddlesome'。他们每个人都拥有另一个私人球体。

然而，若干提交人通过争辩说，他的“最小自由主义”条件使用个人权利概念不足（例如，Gaertner，Pattanaik和Suzumura 1992; 1992; Dowding和Van Hees 2003）。

3.5 Gibbard-Satterthwaite定理

到目前为止，我们已经讨论了偏好聚合规则，该规则将个人偏好排序的映射配置为社会偏好关系。我们现在考虑社交选择规则，而不是其产出，而不是几个获胜的替代品。正式地，社交选择规则F是分配给每个配置文件⟨r1，r2，...，rn⟩（在可允许配置文件的某些域中的域）的函数，这是一个社交选择集f（r1，r2，...，rn）⊆x。通过定义f（r1，r2，...，rn）= {x∈X，xry}，可以从偏好聚合规则f导出社交选择规则f。r = f（r1，r2，...，rn）; 反向通常不持有。我们称之为有时选择的替代方案f。[6]

CondorCet获奖者标准定义了社交选择规则，其中，对于每个轮廓⟨r1，r2，...，rn⟩，f（r1，r2，...，rn）包含x中的每个替代方案，或者至少与相对的其他替代方案大多数投票。如Condorcet的悖论所示，这可能会产生一个空的选择集。相比之下，多个规则和波尔巴计数诱导始终产生非空选择集的社交选择规则。他们还满足以下基本条件（最后的|≥3）：

通用域：F的域是完整和传递各个偏好排序的所有逻辑上可能配置文件集。

非专政：不存在一个单独的i∈n，使得f的所有⟨r1，r2，...，rnə在f，yrix范围内的f和全x中，其中y∈f（r1，r2，...，rn）。[7]

范围约束：F的范围包含至少三种不同的替代方案（以及X中的所有替代方案）。

当补充有适当的绑定标准时，可以进一步制作“重叠”的多个和波尔巴规则：

坚定性：社交选择规则F始终产生独特的获胜替代品（单例选择集）。（然后写入X = F（R1，R2，...，RN），以表示个人资料⟨r1，r2，...，rn⟩的替代方案。）

令人惊讶的是，这种条件清单与以下进一步要求发生冲突。

策略 - 证明：不存在于某些单独i∈n可操纵的f的f的轮廓⟨r1，r2，...，rn⟩，其中可操纵性意味着以下内容：如果我提交假偏好订购r

一世

（≠ri），赢家是一种替代的y'，我严格地更喜欢（根据ri），如果我提交真正的偏好订购ri，则赢得替代y。[8]

定理（Gibbard 1973; Satterthwaite 1975）：没有满足普遍领域，非专政，范围限制，解决和战略证明的社会选择规则。

这一结果提出了关于社会选择规则不同要求之间的权衡的重要问题。一项独裁统治，总是选择独裁者最喜欢的替代品，是琐碎的战略。独裁者显然没有激励策略性地投票，而其他人也是如此，因为结果只取决于独裁者。

要了解BORDA计数违反了战略证明，请调高上面表3和4的示例。如果表3中的个人1如实地提交偏好订购yp1xp1zp1w，则Borda获奖者是z，正如我们所看到的那样。如果个人1错误地提交偏好排序xp1yp1wp1z，如表4所示，波尔巴获胜者是x。但是，个人1根据他或她的真实偏好排序（表3）而喜欢X到Z，因此他或她有激励策略性地投票。

Moulin（1980）表明，当社会选择规则的领域仅限于单峰值偏好概况时，成对大多数投票和其他所谓的“中位投票”方案可以满足GibBard的其余条件 - Satterthwaite定理。同样，当集体决策仅限于单独的二元选择时，其中丢弃范围约束，大多数投票满足其余条件。如果删除，则来自定理的其他可能的逃生路由打开。在始终选择所有替代方案的限制情况下，其他条件是完全满足的。

战略证明的要求也受到挑战。一系列论点是，即使在Gibbard-Sattershwaite定理的技术意义上存在战略激励，也不一定会对他们行事。他们需要有关其他偏好和足够的计算能力的详细信息来弄清楚最佳的战略修改的偏好是什么。既不达到任何要求。 Bartholdi，Tovey和Trick（1989）表明，由于计算复杂性，一些社会选择规则对战略操纵有抵抗力：对于选民来说，这可能是一个难以解决战略性的人。在这个静脉中，哈里森和麦当内尔（2008）提供了实验证据，提示“Kemeny规则”，旨在避免露头周期的成对大多数投票的延伸是“行为激励 - 兼容”：即，战略操纵是艰难的。

Dowding和Van Hees（2008）认为，并非所有形式的战略投票都是规范的问题。他们区分“真诚”和“虚伪”的操纵形式，并争辩说，只有后者而不是前者是规范的麻烦。当一个选民（i）投票的妥协替代方案时，真诚的操纵发生在由此增加的替代方案，（ii）真正更喜欢削弱替代替代方案，否则将赢得替代。例如，在2000年美国总统选举中，拉尔夫·纳迪尔的支持者（一名胜利机会的第三方候选人），他投票给Al Gore增加了他殴打乔治W·布什的机会在（i）的意义上从事真诚操纵（ii）。多项规则易于真诚操作，但不容易受到严重操纵的影响。

4.福利措施的汇总或定性评级

回应偏好聚合的不可能性结果的一种方法是争辩说，单纯的替代品排列，以优先顺序提供了不足的信息，以制定令人满意的集体决策。这个想法是，如果我们丰富了社会选择的信息基础，我们可以避免一些消极结果。这可以至少两种方式完成。首先得到了最受关注的，是用更丰富的福利测量取代优先顺序，这可能允许人际关系的比较。本节的大部分将致力于此提案。第二个，最近的热门建议是取代优先订单，具有替代品的定性评级。这将在部分末尾讨论。

4.1森的箭头框架延伸

建立在箭头框架中的假设是序列是序号，而不是中间单个可比较：优先顺序不包含关于每个人的偏好强度或如何相互比较不同的个人偏好的信息。诸如“个人1的替代x多于单个2的替代x或者”单个l的陈述比单独的x到x到x y的切换更喜欢从x *到y *'的切换被认为是毫无意义的。

在投票背景下，这种假设可能是合理的，因为我们经常可能无法从选民中引出比他们的序数排名从选民中引出更多信息。但在福利评估背景下 - 当社会策划者寻求以社会福利的顺序排列不同的社交替代方案时，可以证明使用更丰富的信息。 SEN（1970B）广义箭头的框架来包含这种更丰富的信息。

如前所述，请考虑个体（n≥2）的集合n = {1,2，...，n}和社交替代方案的集合x = {x，y，z，...}。现在，每个单独的i∈n都有一个福利函数wi，这些替代方案为每个替代的x∈x分配了一个实数wi（x），解释为我在替代x下的福利的量度。 x上的任何福利功能都会在x上引起有序，但逆转不是真的：福利函数编码更多信息。跨越个人，⟨w1，w2，...，wn⟩的福利功能的组合称为配置文件。

社会福利功能（SWFL）也表示f，是分配给每个配置文件⟨w1，w2，...，wn⟩（在可允许配置文件的某些领域）的函数，社会偏好关系r = f（w1，w2，...，wn）在x上，熟悉的解释。同样，当F从上下文中清楚时，我们为社交偏好关系写入⟨w1，w2，...，wn⟩的社交偏好关系。 SWFL的输出类似于偏好聚合规则的输出（再次，我们不会将R的完整性或传递性建立在定义[9]中，但其输入是更富有的。

我们从中获得的取决于我们允许自己在确定社会的偏好方面使用的大部分信息：技术上，这取决于我们对福利的可测量和人际可比性的假设。

4.2福利的可衡量性和人际同类可比性

通过将实数分配给替代方案，福利概况包含大量信息，超过X上的排序概况。许多不同的数字分配给替代方案可以产生相同的排序。但我们可能不会考虑有意义的所有这些信息。其中一些可能是数值表示的伪影。例如，配置文件⟨w1，w2，...，wn⟩及其缩放版本⟨10⋅w1,10⋅w2，...，10⋅wn⟩之间的差异，其中一切以比例项相同，可能就像长度测量之间的差异一样厘米和英寸。这两个简档可能被视为完全相同信息的替代表示，恰好在不同的尺度上。

为了表达关于哪些信息的不同假设是由福利函数的简档和哪些信息而不是（并且应该尽可能地看到哪些信息），引入有意义的语句的概念是有助于介绍的。关于有意义陈述的候选人的一些陈述的一些例子是以下（目前的制剂来自2003年的名单;对于早些时候的分析，请参阅BOSSERT 1991和BOSSERT和WEYMARK 1996：第5节）：

水平比较：个人我在替代x下的福利至少与单独的j在替代y下的福利一样大，正式wi（x）≥wj（y）。（如果i = j，并且人交往，则比较是封对话，如果i∈J）

单位比较：[个人我的福利增益或损失的比率如果从替代x1切换到替代x1]到[单独的j的福利增益或丢失如果从替代的y2切换到替代x2]是λ，其中λ是一些实数（（Wi（x1）-wi（y1））/（wj（x2）-wj（y2））=λ。（再次，如果i = j，则是interpryersonal，如果i j。）

零比较：在替代x下的个人I的福利大于/等于/小于零，正式符号（Wi（x））=λ，其中λ1{-1,0,1}和符号是一个真正的负数映射的真实函数。-1，零至0，严格的正数到+1。

如上所述，箭头的视图是，只有在内的内部水平比较是有意义的，而所有其他类型的比较都不是。 SEN（1970b）将福利的可衡量性和人际可比性正式化（i）定义关于福利档案的等价关系的各种假设，该福利概况指定的两个配置文件作为“包含相同信息”的“包含相同的信息”时，以及需要任何配置文件等价类生成相同的社交偏好排序。在上面介绍的三种比较陈述中，有意义的比较陈述是每个等同类中不变的那些。箭头的常剧假设可以表示如下：

序号可测量，没有人际比较（ONC）：两个曲线⟨w1，W2，...，wn⟩和⟨w

，w

，...，w

⟩每当每个i∈n，w时包含相同的信息

一世

=φi（Wi），其中φi是一些正数单调转换，可能不同于不同的个体。

因此，任何轮廓中的个体福利功能都可以任意单调地转化（“拉伸或挤压”）而不提供信息损失，从而裁定出任何人际关系比较甚至内在的单元比较。

如果福利是基本上可测量的，但仍然是人际不可比的，我们有：

无间际比较（CNC）的红衣主教可测量性：两个曲线⟨w1，W2，...，wn⟩和⟨w

，w

，...，w

⟩每当每个i∈n，w时包含相同的信息