社交选择理论（五）

虽然批准投票实施了一种“是”/“否”或“通过”/“失败”的替代方案的评分，但Balinski和Laraki（2007年，2011年）提倡更普遍的基于评级的社交选择方法。 在其提案下，选民每次分配到例如熟悉的学校等级A，B，C等熟悉范围的替代方案，然后将这些等级聚集到集体等级中，基于哪个替代方案可以选择获胜的替代品。 他们首选的本提案版本 - 他们称之为“大多数判断” - 将每个替代的集体成绩定义为相对于单独分配的等级的中位数等级，即将个人分成等级的等级，其等级没有更低的等级和等级的等级。更高。 例如，如果替代方案从一组五个人接收到等级A，B，B，E和E，则中位数是B.当个体的数量甚至时，可能存在中位数或“中间人”等级的间隔。 这种定义集体等级的一种有吸引力的特征是“除了中等间隔中的等级以外的每一级都被绝对大多数判定都是太高或太低的绝对谴责（Balinski和Laraki 2007：8723）。 Balinski和Laraki进一步争辩说，该提案将引导选民以直观可理解的格式表达替代品的评估，并如下所述所述授予真实性。

要进行正式化，我们是所有可用等级的集合（用于分级比例的'），其中S是非空的，从最高到最低点线性排序。 例如，s可以是{a，b，c，d，e}或{区分，优点，通过，失败}。 每个人都对X中的替代方案分配的函数是一个函数gi，它从集合s中分配给每个元素x∈x一个等级gi（x）。在n，⟨g1，g2，...，gn⟩中的个体中的等级分配组合称为a等级分配的个人资料。 级别聚合规则是分配给等级分配的每个轮廓⟨g1，g2，...，gn⟩（在可允许的某些领域）的每个函数f，每个x∈x，g（x）是x的集体等级。

Balinski和Laraki提出了一些令人满意的级别聚集规则应该满足的一些条件。 特别是，他们建议f应该是（i）为个人级别分配的所有可能轮廓的通用领域定义; （ii）在熟悉的对待所有替代品的熟悉感; （iii）同样熟悉的对待所有选民的匿名感; （iv）在某种意义上一致认为，如果所有人分配相同的等级，这成为集体等级; （v）单调在意义上认为，如果有些人为替代方案（其他等级相等的其他成绩），这不会降低所产生的集体成绩，如果所有人提高年级，则相应地提高了集体成绩; （vi）在某种意义上独立于无关的替代方案，即任何替代方案的集体成绩仅取决于该替代方案的个别等级，而不是其他替代方案的个人等级，（vii）连续（当何时是真实数字的子集）替代方案的小型变化的感觉仅导致集体成绩的小变化。 满足条件（i）至（vii）的级别聚合规则称为社交分级函数。

Balinski和Laraki表明，在社交分级功能中，所谓的“订单方法”脱颖而出。 对于任何给定的个人级分配的配置文件⟨g1，g2，...，gn⟩，订单方法（用参数k）分配给每个替代x∈X，否则替代地分配了替代方案，即列表G1中的kth最高等级x），g2（x），...，gn（x）。 订单方法的最突出的示例是上面已经提到的中值方法，其分配给每个选项，它已经单独分配了中位数。 这是具有参数k =（n + 1）/ 2的订单方法，当n是奇数时。 （当N是偶数时，定义需要一些调整。）以下结果保存：

定理（Balinski和Laraki 2007）：如果它是一个订单方法，则社交分级功能是分级的战略证明。

在这里，如果满足两个条件单方面改变他或她的个人成绩; 而第二，当个人的替代Xī的年级低于集体分配的成绩时，这种个人可以在单方面改变他或她的个人年级来最多提升（而且从不降低）X的集体等级。 分级的战略证明意味着，当目标是将集体成绩分配给X和选民的替代方案时，每个都试图实现尽可能接近他们的个人成绩的集体等级，他们不会被激励以歪曲他们的成绩。 简而言之，真实的表达成绩将是一个（弱）的主导战略。

但是，如果使用集体分配的等级选择其中一个替代方案，则策略性地投票的激励可能会重新调用。 随着Balinski和Laraki指出，'[W]母鸡排名是主要目标而不是成绩，法官的战略行为可能会改变'（2007：8724），排名战略证明，而不是分级战略证明在社交分级功能（同上）中无法实现，这是一个与Gibbard-Satterthwaite定理有点类似的结果。 请注意，单独的集体等级通常不足以确定独特的获胜替代品; 两个或多个替代方案可能每个接收相同的高档。 这提出了如何在成绩中打破此类联系的问题，并且已经提出了许多可能的标准。 有关讨论，请参阅Fabre（2021）。

基于评分的社会选择方法的关键挑战是确保等级对所有选民具有常见的意义。 除非“A'-Reade，例如所有选民具有相同的意义，否则整个汇总单独分配的等级的行使不会有意义。 一些选民可能比其他选民更加艰难，而且还可以推断出一个选民的“A的等级是一个比另一个的”B'等级更强的质量信号。 就像森的SWFL方法一样，只有在我们可以承担福利的人际可比性时，才能避免社交选择的不可能性结果，因此只有当等级在适当的意义上同时可比同时相当，我们才能使基于分级的方法允许我们进行有意义的社交选择。 关于基于评分的方法的批判的技术开发，参见Morreau（2016年）。

5.判决的汇总

集体决策的目的不需要以社会偏好的顺序选择替代替代方案或若干替代品的排名。 相反，许多决策机构必须在多个逻辑上连接的命题上汇总各个判断，进入集体判断套件。

法院可能必须根据是否存在有效合同以及是否存在违规行为，判断被告是否责任违反合同。 专家面板可能不得不判断大气温室气体浓度是否将超过2050的特定阈值，是否存在从更大的温室气体浓度与温度增加的因果链，以及温度是否会增加。 立法者可能不得不判断特定目的是否是社会所需的，拟议的政策是实现这一结束的最佳手段，以及是否追究该政策。

在每种情况下，“aggreganda”不仅仅是偏好排序，福利分配或某些替代方案的额定值，如前一节中讨论的模型中。 相反，“aggreganda”是一些相互联系的问题的整个判断或信仰系统。 判断汇总理论代表他们使用正式逻辑。 在本节末尾，我们还简要考虑概率判断或归立的汇总。

5.1判断聚集的悖论

当代判断汇总理论领域受到一系列“悖论”的启发，我们开始了。 Kornhauser和Sager（1986）描述了以下问题，现在称为“Doctrinal Paradox”。 （ARSTER 2013年ARSTER 2013发现了一个结构上类似的问题，由Poisson 1837指出。）一位三法官法院必须对以下命题作出判决：

P：被告在合同义务不做行动X.

问：被告做了X.

r：被告对违约负责。

根据法律学说，房屋P和Q共同必要，足以结束。 假设个别判断持有表5所示的视图。

p（义务）问（行动）r（责任）

判断1。真。真。真

判断2。假。真。假

判断3。真。假。假

大多数真正的真正的虚假

表5：“Doctrinal Paradox”的一个例子

虽然每个个人法官尊重相关的法律教义，但P的大多数是Q，Q大多数人，但仍有大多数反对R-In违反法律学说。 法院面临困境：它可以随着房地（P和Q）的大多数判断，并通过逻辑推理（逐个问题或基于前提的方法）达成“责任”判决; 或者与大多数判断结论（r）并达成“不承担责任”判决，忽略了本地的大多数判决（逐个案例或基于结论的方法）。 “教义悖论”在于这两种方法可能导致相反的结果。

我们可以从这个例子中学习另一个教训。 相对于法律教义，大多数判决是逻辑上不一致的。 正式表达，该组多数被接受的命题，{P，Q，而不是R}相对于约束R，如果仅（p和q），则不一致。 这种观察是判断聚集的最近正式逻辑的文献的起点。

不一致的多数判决的可能性与法律教义或其他明确的副限制的存在没有与2001年的Pettit 2001所指出的，谁称之为“话语困境”）。 例如，假设专家小组必须对三个命题进行判断（及其否定）：

P：大气二氧化碳将超过600ppm到2050。

如果p然后q：如果大气二氧化碳超过2050，则将在2100℃的温度增加超过3.5°。

问：2100升温度升高超过3.5°。

如果个别判断如表6所示，大多数判断都是不一致的：尽管判断了个人一致的判断，但是一组多数被接受的命题，{P，如果p然后q，而不是q}则是逻辑上的。

p。如果p然后q。q

专家1。真。真。真

专家2。假。真。假

专家3。真。假。假

大多数真正的真正的虚假

表6：散注不一致

注意，表5和6中的判断模式在结构上等同于导致髁架悖论的偏好模式，当我们重新诠释那些判断的判断“x的命题”x的命题“是”y“的命题时，'Y是优选的如表7所示（列出和Pettit 2004;沿着这些行的偏好解释，在Guilbaud [1952] 1966）中，如表7所示 在这里，多数人被接受的命题相对于传递性的约束不一致。

'x优选Y''Y优选Z''x优选z'

个人1

（更喜欢X到Z）真。真。真

个人2

（喜欢y到z到x）假。真。假

个人3

（更喜欢z到x到y）真。假。假

大多数

（更喜欢X到Z到Z到X，一个'循环'）真。真。假

表7：Condorcet的悖论，主意重新解释

一般组合结果载有所有这些现象。 如果它是逻辑上不一致的集，则调用一组命题最小不一致，但其所有合适的子集是一致的。

命题（Dietrich和List 2007a; Nehring和Puppe 2007）：如果才有何处，才能产生不一致的集体判决，如果要提出判决的命题（及其否定），则可能会产生不一致的集体判断。三个或更多命题的最小不一致的子集。

在表6,5和7的示例中，最小不一致的大小（至少）三组是：{p，如果p然后q，而不是q}，这是最小的不一致的简单符; {p，q，而不是r}，如果（p和q）且仅限于（p和q），则相对于侧约束r是最小的不一致; 并且{'x优选到Y'，'Y是优选的，对Z'，'Z优于X'}，其相对于优选的传递性约束最小的不一致。

5.2基本框架和一个简单的不可能性结果

判断汇总的问题可以正式化如下。 让n = {1,2，...，n}是一组个体（n≥2）。 要制定判决的命题由命题逻辑（或其他表达富裕的逻辑，例如谓词，模态或条件逻辑，如饮食中尤其讨论）所讨论的。 我们将议程界定为一个有限的命题，在单一否定下关闭（¬）。[11] 例如，x可以是{p，¬p，p→q，¬（p→q），q，¬q}，如专家面板盒中。

每个人都有一个判断ji，被定义为子集Jiëx，并被解释为我接受的个人的命题集。 如果它是一个逻辑上一致的命题主题[12]并完成（相对于x），则判断集是一致的，如果它包含每个命令否定对P，¬p∈x的成员。

判断跨越个人，⟨j1，j2，...，jn⟩的组合称为配置文件。 判断聚合规则f是分配给每个配置文件的函数⟨j1，j2，...，jn‖（在可允许配置文件的某些域中）一个集体判断集J = F（J1，J2，...，JN）⊆x，解释为集团作为整体接受的一套命题。 如前所述，当F从上下文清楚时，我们为与⟨j1，j2，...，jn⟩相对应的集体判断集写作。 同时，对于普遍来说，我们对j（例如一致性或完整性）的合理性要求没有进入判断聚合规则的定义。

判断聚合规则的最简单示例是主张大多数投票。 这里，对于任何配置文件⟨j1，j2，...，jn⟩，j = {pəx：| {i∈n：pəji} |＞n / 2}。 正如我们所看到的那样，这可能产生不一致的集体判断。

考虑以下条件在聚合规则上：

通用域：F的域是一致和完整的单个判断集的所有逻辑上可能的配置文件集。

集体合理性：对于F的任何配置文件⟨j1，j2，...，jn⟩，集体判断集J是一致的，完整的。

匿名：对于任何两个配置文件⟨j1，j2，...，jn⟩和⟨j

*

1

，j

*

2

，...，j

*

n

⟩是彼此的置换，f（j1，j2，...，jn）= f（j

*

1

，j

*

1

，...，j

*

n

）。

Systematic：对于任何两个配置文件⟨j1，j2，...，jn⟩和⟨j

*

1

，j

*

2

，...，j

*

n

⟩在f和任何p的域名，q∈x，如果为所有i∈N，p∈ji且仅在q∈j

*

一世

，然后p∈j如果q∈j*才。

前三个条件类似于偏好聚合中的通用领域，排序和匿名。 最后的是无关替代方案独立的对应物，虽然更强大：它要求（i）对任何命题p∈x的集体判断（其中二进制排名命题如'x是y'是一个特例）依赖于个别命题在P（独立部分）和（ii）个人和集体判断之间的依赖模式在X（中立部分）的所有命题中都是相同的。 正式，独立是具有量化限制为P = Q的特殊情况。 命题大多数投票满足所有这些条件，除了集体合理性的一致部分。

定理（列表和Pettit 2002）：如果{p，q，p∧q}⊆x（其中p和q是相互独立的命题和'∧'也可以被'∨'或'→'更换），则不存在判断聚合规则满足普遍领域，集体理性，匿名和系统性。

与其他不可能性定理一样，这一结果最好解释为描述聚合规则不同条件之间的权衡。 结果一直以各种方式推广和加强，从Pauly和Van Hees（2006）的证明，如果匿名被削弱到非专政减弱，那么不可能持续的证明（对于其他概括，请参阅饮食中2006年和Mongin 2008）。

5.3更多一般不可能的结果

正如我们所看到的，在偏好聚合中，可能性和不可能结果之间的“边界”很容易抽取：当只有两种决定替代方案时，可以满足上述偏好聚合规则的所有追逐者（以及工作组成的大多数规则）; 当有三种或更多种替代方案时，会有不可能性的结果。 在判断聚合中，相比之下，图片更复杂。 重要的是x中的命题数量，但它们之间的逻辑互连性质。

不可能的结果在判断汇总的结果具有以下通用形式：对于给定类别的议程，满足特定条件集的聚合规则（通常，域条件，合理性条件和一些响应性条件）是不存在的或退化的（例如，独裁者）。 不同类型的议程触发了本计划的不同实例，在聚合规则上具有更强或更弱的条件，这取决于议程的属性。 在数学上相关但诠释的框架中首次由Nehring和Puppe（2002年，2002年，其他互联网资源）发现了议程的组合性质的意义（2002年，其他互联网资源）（通过所谓的财产空间，战略式社交选择）。 三种议程脱颖而出：

一个非简单的议程：X有三个或更多命题的最小不一致的子集。

配对否定的议程：x具有最小的不一致子集y，可以通过否定其中的一对命题来呈现一致。 （同等地，X不是同构上的一组命题，其一个命题，其唯一连接是¬和↔在标准命题逻辑中的一个命题;看到Dokow和Holzman 2010A。）

路径连接的议程（或完全被阻止，在Nehring和Puppe 2002中，其他因特网资源）：X中的任何一对偶然命题都通过条件征询路径连接。 正式地，对于任何缺点P，q∈x，存在p1，p2，...，pk∈x，具有p1 = p和pk = q，使得p1条件需要p2，p2条件需要p3，...和pk-1条件需要pk。 （这里，如果pi∪y需要PJ，则PI条件仍然需要PJ，对于与每个PI和¬pj一致的一些y⊆x;并且如果{p}，NOR {¬p}逻辑上不一致，则P是偶然的。）

一些议程有两个或更多这些属性。 我们“教义悖论”和“话语困境”示例中的议程既不简单又配对。 为了说明，请从专家面板示例中获取议程，x = {p，¬p，p→q，¬（p→q），q，¬q}。 它是非简单的，因为它具有最小的尺寸3，即{p，p→q，¬q}，它是配对的，因为它具有最小的不一致子集，即y = {p，P→Q，¬q}，我们可以找到一对命题，即{p，¬q}，这样如果我们用y拒绝y y y拒绝，结果集是一致的（注意{¬p，p→q，q}是一致的）。 具有所有三个组合属性的议程的示例是偏好议程，x = {'x优选为y'，'y是优选的，'x是优选的，对z'，'z是优选的，a'}，假设优选是传递的，并且完整，并且有三个或更多个备选X，Y，Z，......定义了优选。 以下结果包含：

定理（Dietrich和List 2007b; Dokow和Holzman 2010a;在Nehring和Puppe 2002上建立，其他互联网资源）：如果x是非简单的，配对的，并且连接，则不存在满足通用域的判断聚合规则，集体合理性，独立性，无情的保存（要求任何一致的轮廓⟨j，j，...，j⟩，f（j，j，...，j）= j）和非独裁统治。[13]

应用于偏好议程，该结果将箭头的定理（严格偏好排序）作为推论（用于前体结果，参见Nehring 2003）。[14] 因此，可以将Arrovian偏好聚合作为判断聚合的特殊情况重新诠释。

该文献包含了本定理的几种变体。 一个变体落下了路径连接的议程属性，并加强了对系统性的独立性。 第二种变体降低了成对否定性的议程属性，并对聚合规则施加了单调性条件（要求额外的支持从未损害接受的命题）（Nehring和Puppe 2010，由Nehring和Puppe 2002重新制定了结果，其他互联网资源）。 最终变型在施加系统数据和单调性（同上）的同时降低了路径连接和配对否定性。

在每种情况下，议程属性不仅足够，而且（如果n≥3）所必需的（Nehring和Puppe 2002 [其他互联网资源]，2010; Dokow和Holzman 2010A）。 还要注意，路径连接意味着非简单性。 因此，不需要在定理的条件中列出非简单性，但在丢弃路径连接的变型中需要它。