社交选择理论（六）

5.4判断聚合的可能性

5.4.1放松通用领域

如在偏好聚合中，避免目前不可能结果的一种方法是放宽通用领域。 如果个人判断集的可接受简介的领域仅限于满足特定的“凝聚力”条件的那些，则主张大多数投票会产生一致的集体判断。

最简单的凝聚力条件是单向对齐（列表2003b）。 如果N中的个体可以从左到右排序（例如，在某些认知或意识形态维度）中，则⟨j1，j2，...，jn⟩是单一的，jn⟩是单一的对齐，使得每个命令P∈X，个人接受P（即，具有p∈ji的那些）全部到左侧，或者所有人都在拒绝p（即，与přji）的那些。 表8给出了一个例子。 这里，个人按照命令1-2-3-4-5从左到右订购，并且每个命令接受命题的个人（对应于表格的真实'条目）都是拒绝命题（对应于'虚假'条目）的相反方面。 对于满足这种条件的任何简档，大多数判断与相对于给定的左右排序（如果n是奇数）（表8中的单独3）或者与两个中间人的判断集（如果n是偶数）。 假设个别判断是一致的，大多数判决将继承它们的一致性。 通过暗示，在非限制性对齐的域，主张大多数投票将满足上述判断汇总规则的其余条件（假设没有多数关系）。

个人1。个人2。个人3。个人4。个人5

p真正的真假为false为false

q真正的真正的真正的真假

r为false为false为false真正的真实

p∧q∧r为false为false为false为false为false

表8：单向对齐

与偏好聚集中单峰的情况类似，对于一致的多数判断，有几种限制性的条件已经足够了。 一种这样的条件（在饮食中引入和列表2010A，提供了一个调查）概括了森的三维价值限制。 一个简介⟨j1，j2，...，jn⟩是值限制性的，如果每一个最小的不一致子集y⊆x具有一对元素p，则没有单独的i∈n具有{p，q}⊆ji。 值限制阻止X的任何最小不一致的子集成为多数接受，因此确保了一致的多数判断。 适用于偏好议程，价值限制减少到森同等命名的条件。

5.4.2放松集体合理性

虽然广泛接受了集体判决的要求，但是，集体判断完整的要求（以x）更具争议性。 为了支持完整性，可以说，除非应该集体裁决，否则X不包括给定的命题。 反对完整性，人们可能会说有情况的情况，其中对特定命题（或一组命题）的分歧程度如此之大，即在不希望的或反驳的情况下形成集体观点。

判断汇总规则违反了集体完整性，同时满足（全部或大多数）所介绍的其他条件包括：一致规则，其中，任何个人资料⟨j1，j2，...，jn⟩，j = {p∈x：p∈ji为所有i∈n}; 超级仪表规则，其中，用于任何配置文件⟨j1，j2，...，jn⟩，j = {p∈x：| {i∈n：p∈ji} |＞qn}对于合适的验收配额q∈（0.5,1）; 基于结论的规则，逻辑上独立命题（及其否定）的子集y⊆x被指定为一系列的结论和j = {přy：| {i∈n：p∈ji} |＞n / 2}。 在表5的多成员法院示例中，结论的集合简称为y = {r，¬r}。

给予一致的单独判断集，一致规则保证了一致的集体判断集，因为几个一致的一个命题总是一致。 Supermajority规则也保证了一致的集体判断，只要选定Q为至少（k-1）/ k，其中k是X的最小不一致子集的大小（Dietrich和List 2007a）。 原因是组合：相关规模的任何k个不同的超级性别总是至少有一个共同的个人。 因此，对于任何最小的不一致命题（大部分k）都是超级性的，至少一个人必须接受该集合中的所有命题，与此个人的一致性相矛盾。 最后，基于规则，最后，通过建设产生一致的集体判断，但总是留下不确定的不一定。

Gärdenfors（2006年）和更常见的饮食馆和名单（2008）和Dokow和Holzman（2010B）已经表明，如果 - 在放松的完整性 - 我们需要集体判断集被减免（即，对于任何p∈x而言，我们需要集体判断通过j，必须是p∈j），我们再次面临不可能的结果。 对于导致第5.3节中审查不可能结果的同一议程，不存在令人满意的普遍领域，集体一致性和扣除，独立，单一保存和非寡领政治的判断汇总规则。 如果存在一个安全固定的子集m⊆n（'oligarchs'），例如，对于任何简档⟨j1，j2，...，jn⟩，j = {p∈ji，of ioligarchic是一个oligarchic的oligarchic}。 一致规则和独裁统治是某些i∈n的m = n和m = {i}的特殊情况。

寡头聚集规则的缺点是他们要么流逝到独裁或导致僵局，寡头之间的丝毫分歧导致犹豫不决（因为每个寡头都有每个命题都有否决权。

5.4.3放松安排系统/独立性

当我们放松安排系统性/独立性时，可以获得各种判断汇总规则。 回想一下，系统数据结合了独立性和中立要求。 只有中立的放松并没有得到我们很远，因为对于许多议程来说，独立的独立性有不可能的结果，如第5.3节所示。

违反独立的一类讨论的汇总规则包括基于前提的规则。 在这里，逻辑上独立命题（及其否定）的子集y⊆x被指定为一组房屋，如在法庭示例中。 对于任何个人资料⟨j1，j2，...，jn⟩，j = {p∈x:jy需要p}其中JY是房屋中的大多数接受的命题，正式{Přy：| | {i∈n：p∈ji} |＞＞n / 2}。 非正式地，大多数投票是在房地上采取的，以及所有其他命题的集体判断是通过逻辑含义决定的。 如果该处所构成整个议程的逻辑基础，则基于前提的规则保证一致和（缺席）完整的集体判决集。 （对于更一般的定义，请参阅Dietrich和Mongin 2010.讨论了基于前提的规则的程序和认知属性，例如，在Pettit 2001中; Chapman 2002; Bovens和Rabinowicz 2006; Dietrich 2006年。）

通过顺序优先级规则（列表2004B;见饮食中的奖励2015年进行进一步推广）的概括。 这里，对于每个轮廓⟨j1，j2，...，jn⟩，x中的命题以固定的优先顺序统称，例如，时间或遗憾的统称。 每个命题p∈x的集体判断如下。 如果对P的大多数判决与先前命题的集体判断一致，这一多数判决普遍存在; 否则，P关于P的集体判决是由事先判断的影响决定的。 通过施工，这一保证一致和（缺席）完全判断。 然而，它是路径依赖性的：所考虑命题的顺序可能会影响结果，特别是当基础的多数判断不一致时。 例如，当该聚合规则应用于表5,6和7中的配置文件（但不是8）时，集体判断取决于所考虑命题的顺序。 因此，顺序优先级规则很容易受到议程操纵。 在偏好聚集中的连续成对大多数表中发生类似的现象（例如，riker 1982）。

另一个着名的聚合规则违反了独立的规则是由基于距离的规则（2006年Pigozzi 2006，Konieczny和PinoPérez2002的建筑;米勒和Osherson 2009）。 根据判断集之间的一些距离度量来定义基于距离的规则，例如汉明距离，在其中，对于任何两个判断集J，j'⊆x，d（j，j'）= | {p∈j⇔p∈j']}。 每个简档⟨j1，j2，...，jn⟩映射到一致而完整的判断集J，最小化来自每个JIS的总和距离。 （作为旁边：适用于偏好议程，汉明远距离的规则相当于已经简要介绍的“Kemeny Rule”。）基于距离的规则可以解释为捕获识别损害判断的想法。 与基于前提或顺序优先的规则不同，他们不需要区分房地和结论或命题之间的任何其他优先顺序。

与偏好聚集一样，放松独立性的成本是造成战略证明的损失。 独立性和单调性的联合是必要的，并且足以通过战略投票的判断聚合规则的不可操纵性（Dietrich和List 2007c;相关结果，见Nehring和Puppe 2002 [其他互联网资源]）。 因此，在不放松通用领域，或集体理性，或非专政的情况下，我们通常不能达到战略证明。 在实践中，我们必须寻找渲染战略操纵机会的方式较少的威胁。

5.5概率意见汇集

避免判断汇总的不可能性结果的独特和框架 - 超越方式是放弃二进制（'是'/'否'，'真实'/'false'）格式的判断，并假设他们采取主观概率或信誉的形式。 由此产生的聚合问题是概率主义观念汇集（Stone 1961;Aczél和Wagner 1980; Lehrer和Wagner 1981; McConway 1981; Genest和Zidek 1986;和Mongin 1995）。 有些关键作品在它上预测了“二进制”判断聚合的当代文学，但最近收到了重新关注的问题。

在这种概率而不是二进制设置中，每个单独的i∈n在给定的议程x上具有意见函数pri（这里通常是一个命题代数），在这里，对于每个p∈x，pri（p）是主观概率或信仰程度（每个我分配给p的间隔[0,1]）中的实数。 通常假设功能PRI是概率的相干。[15] 目的是找到一个意见汇集规则，再次表示f，它分配给个别意见职能的每个可允许的简介⟨pr1，pr2，...，prn‖，一个集体意见函数pr，理想情况下也应该是概率的相干。 对于每个p∈x，PR（P）被解释为统称为P的主观概率或信仰程度。 在对同伴分歧的文献中可以找到结构类似的聚合问题，其中单独的认识代理人寻求将几个可能相互冲突的概率分配与某些命题 - 通常是代理人自己的概率分配和一些认识同伴 - 以便到达一切思考的概率分配（概述，参见，参见，例如，克里斯滕森和Lackey 2013）。

经典结果表明，在该概率框架中，现在可以非普遍满足与二进制案例中不可能的那些相似的条件。 这些条件是：

通用域：F的域是X.的概率上相干函数函数的所有逻辑上可能配置文件集。

集体相干性：对于F的任何简档⟨pr1，pr2，...，prn⟩在f的域中，x上的集体分配的意见函数pr是概率的相干。

零保存：对于任何简档⟨pr1，pr1，pr2，...，prn⟩和命题p∈x，如果所有i∈n的pri（p）= 0，那么统称性概率是pr（p）= 0。

独立性：对于任何两个配置文件⟨pr1，pr2，...，prn⟩和⟨pr

*

1

，pr

*

2

，...，pr

*

n

⟩在f和任何p∈x的域中，如果所有i∈npri（p）= pr

*

一世

（P），然后Pr（p）= pr *（p）。

以下持有：

定理（Aczél和Wagner 1980; McConway 1981）：假设X是包含两个以上的代数，不同等的非等效命题否定对。 然后，概率的观点汇总规则符合通用域，集体相干性，零保存和独立性，如果它只是线性池规则。

这样的规则定义如下。 让W1，W2，...，Wn≥0是用W1 + W2 + ... + Wn = 1的N个体的权重的分配。 然后，相应的线性池规则分配给概率相干意见函数的每个配置文件⟨pr1，pr2，...，prn‖，概率相干的观点函数的prn⟩集体观点函数pr = w1pr1 + w2pr2 + ... + wnpln。 因此，分配给每个命令p∈x的集体概率是分配给p的各个概率的加权线性平均值。 线性汇总规则范围从具有完全相等的权重（从而满足匿名）到一个集中在一个人（即，独裁者）上集中体重的那些。 值得注意的课程是，在二进制判断聚合的情况下表征了线性汇总规则类的表征，表征了表征的相同条件。

乍一看，人们可能认为概率的概念汇总没有任何令人不安的不可能性。 然而，线性池，因此满足上述条件的任何意见汇集规则都具有一些缺陷。 第一个是这个。 假设我们要求每当所有个人考虑两个命题P和Q概率自独立（第三个命题r），在集体概率分配中保留了这种概率独立判断。 要求这一点的理由是概率独立的判断可以编码关于哪些命题（或他们所描述的事件）的见解是因果关系或无关紧要的问题。 然而，遗憾的是，线性汇集（除了其退化的独裁形式）通常不会一致保持一致的条件独立判断（Genest和Wagner 1987），因此如果我们添加了这种保存，我们会再次获得不可能性的结果要求我们与非专政的早期条件列表。

第二个缺陷是以下内容。 假设N中的个人了解一些新信息，这些信息会提示他们对X的命题进行修改的意见，其中修改采用贝叶斯的条件化或其一些概括的形式。 如果我们汇总了他们的修订后概率分配，则是合理的，如果我们首次汇总预修订概率分配，那么结果将与我们获得的结果相同，然后根据所学到的基础上修改生成的集体概率分配信息。 更正式表达，假设L是学习信息，假设PR1 | L，PR2 | L，......，PRN | L是将N个体的意见函数调整到新信息的结果。[16] 然后，假设所涉及的所有配置文件都在我们的意见汇集规则的域中，我们要求聚合（通过f）和修订（通过|）通勤，即，

f（pr1 | l，pr2 | l，...，prn | l）= f（pr1，pr2，...，prn）| l。

再次，线性汇集（除了其退化的独裁形式之外）通常不满足这种要求（通常被称为“外部贝叶斯”），因此如果我们将其添加到我们的条件列表，以及非独裁者的列表中，我们也会得到不可能性的结果（Madansky 1964）。 随后的工作表明，如果我们通过几何而不是线性平均聚合概率，我们可以进行聚合和修订通勤（Genest 1984; Genest等，1986），尽管我们必须提升Ippation汇总规则的独立要求。 这一发现已拿起更多的最近的工作，并引发了一个小，但不断增长的哲学文学贝叶斯集团的信念（例如，迪特里希2010，2019;罗素，霍桑，和buchak 2015;以及baccelli和斯图尔特2020）。 以下关键问题是：在哪个条件下，通过汇总其成员的意见来赋予其会员的意见是什么意思，构成了一个理性的贝叶斯代理人？

其他工作已经考虑了概率的概念汇集（即非代数）议程（Dietrich和2017年）和不精确的概率（Stewart和OjeaQuintana 2018），以及更全面的态度形式聚集，其成群二进制判断聚合，概率/债务聚合和Arrovian偏好聚合作为特殊情况（例如，饮食馆和名单2010B; Dokow和Holzman 2010C）。

6.其他主题

应该明显，社会选择理论是一个巨大的领域。 在本入口中未涵盖的区域，或仅在通过时提及，包括：在风险和不确定性下的偏好和福利汇总（如何在当前排名具有风险或不确定的结果时将个别偏好或个人福利汇总为社会偏好，最多可以分配概率;例如，Mongin和Pivato 2016）; 公平部门的理论（如何在几个索赔人之间分解一个或多个可分离的或不可分割的或不可分割的商品，例如蛋糕或房屋;例如，1996年堡垒和泰勒和Moulin 2004）; 匹配的理论（如何将大学的地点分配给申请人或捐赠的器官给患者;例如，Gale和Shvery 1963; Roth和Sotomayor 1992; Klaus，Malover和Rossi 2016）; 行为社会选择理论（分析各种汇总规则下投票行为的经验证据;例如，Regenwetter等，2006）; 经验主义的社会选择理论（分析了关于人民直接司法的调查和实验;例如，Gaertner和Schokkaert 2012）; 拓扑社会选择理论（使用数学拓扑的工具研究社交选择 - 理论问题;例如，1980年的Chichilnisky; Heal 1997）; 计算社会选择理论（分析聚合规则的计算属性，包括其计算复杂性;例如，Bartholdi，Tovey和Trickve，Tope 1989; Brandt，Conitzer和Endriss 2013）; 非人动物集体决策的研究（从社会昆虫的各种动物物种中研究群体决策，以灵长类动物;参见，例如，Conradt和Roper 2003）; 和社会认识论的应用以及超越Condorcet的陪审团定理和判断汇总的社会认识论（例如，对Doxastic状态的分析及其与个体Doxastic状态的关系;例如，Goldman 2004,2010; Lackey 2016）。