相关逻辑（二）
然而，目前尚不清楚Beall等人的条件。 （2006）是右连接使用，至少在一些较弱的相关逻辑方面。 一些较弱的系统的一个美德是它们可用于形式化天真集合（参见第6节）。 Zach Weber（2010）具有正式的天真集理论，使用此条件来定义子集关系。 不幸的是，所得到的系统在其上可以证明每种配方都是微不足道的。
4.证明理论
通常被认为是范式相关性逻辑的逻辑是逻辑R.对于R的公理化，参见逻辑R.
现在有几种方法对R的证明理论。由于格雷戈里薄荷（1972）和J.M.Dunn（1973）和称为“显示逻辑”的优雅且非常一般的方法，存在逻辑R的否定碎片的否定碎片的搜索结石。由Nuel Belnap（1982）开发。 但是，由于安德森和Belnap，我只会处理相关逻辑R的自然扣除系统。
安德森和Belnap的自然扣除系统是基于Fitch的古典和直觉逻辑的自然扣除系统。 理解这种技术的最简单方法是通过查看一个例子。
1。一个{1}羟脯氨酸
2。（一个→b）{2}羟脯氨酸
3。B {1,2} 1,2，→e
这是一个简单的案例。 设置括号中的数字表示用于证明公式的假设。 我们将称他们为“索引”。 结论中的指数表明，哪些假设真正用于得出结论。 在以下“证明”中，第二个前提并不真正使用：
1。一个{1}羟脯氨酸
2。b {2}羟脯氨酸
3。（一个→b）{3}羟脯氨酸
4。B {1,3} 1,3，→e
这种“证明”真的只是表明来自A和A→B到B的推断是相关的。 因为第2号未在下标中出现结论，所以第二个“前提”并没有真正算成一个前提。
同样，当相关的暗示被证明时，必须使用前任的假设来证明得出结论。 以下是含义证明的示例：
1。一个{1}羟脯氨酸
2。（一个→b）{2}羟脯氨酸
3。B {1,2} 1,2，→e
4。（（a→b）→b）{1} 2,3，→i
5。A→（（a→b）→b）1,4，→i
当我们排出假设时，如在本证明的第4行和第5行中，假设的数量必须真正发生在该公式的下标的，即成为含义的所从的。
现在，索引系统似乎允许无关的房屋蠕变。一种方式，其中可能似乎可以通过使用结合介绍来侵入。 也就是说，它似乎我们可以随时通过DIP说明：
1。一个{1}羟脯氨酸
2。b {2}羟脯氨酸
3。（A＆B）{1,2} 1,2和i
4。B {1,2} 3，＆e
5。（b→b）{1} 2,4，→i
6。A→（B→B）1,5，→i
对于相关的逻辑师，第一个前提是在这里完全不合适的。 要阻止如此，Anderson和Belnap如此，请提供以下结合简介规则：
从AI和Bi推断（A＆B）I。
此规则表示，在使用的结合简介规则之前，两个要联合的配方必须具有相同的索引。
当然，对自然扣除制度有很多更多（见Anderson和Belnap 1975和Anderson，Belnap和Dunn 1992），但这就是我们的目的就足够了。 通过至少一些相关逻辑捕获的相关性的理论可以在相应的自然扣系统如何记录房地实际使用方面来理解。
5.一些相关性逻辑系统
在Anderson和Belnap的工作中，相关性逻辑的中央系统是相关意见的逻辑E和相关意义的系统r。 这两个系统之间的关系是E的有关结缔组织应该是严格的（即需要）相关的含义。 要比较两个，Meyer将必要的运算符添加到r（以生成逻辑NR）。 然而，Larisa Maksimova发现NR和E的重要意义 - 即NR（自然翻译）的定理不是E的定理。这使得一些相关的逻辑学与码头留下了一些。 他们不得不决定是否采取NR或E成为相关征必制度。 如果选择e，那么也许它不合理地说蕴涵是与逻辑必需品一起相关的相关意义。 可能是有关和含义以其他方式相关。
另一方面，有那些拒绝R和E的相关逻辑员。有那些，如Arnon先行，他接受比R的逻辑更强（亚申请1990）。 还有那些像Ross Brady，John Slaney，Steve Giambrone，Richard Sylvan，Graham牧师，Greg Restall等人），他认为越来越弱于R或E.一个极其弱的系统是逻辑S.罗伯特迈耶和errol martin。 正如马丁已证明，此逻辑不包含形式A→A的定理。 换句话说，根据S，没有命题意味着自己，没有表格A的参数，因此A'是有效的。 因此，此逻辑不会有效地进行任何循环参数。
有关这些逻辑的更多详细信息，请参阅Logic E，Logic R，Logic NR和Logic S的补充品。
在有利于较弱的系统中，与R或E不同，其中许多是可判定的。 这些较弱的逻辑中的另一个特征使它们具有吸引力的是它们可用于构建天真集合理论。 Naïve集合理论是一种集体理论，包括作为定理的天真理解Axiom，viz。，对于所有公式a（y），
∃x∀y（y∈x↔a（y））。
在基于强大的相关逻辑的基于e和r等理论，以及古典集理论，如果我们添加天真理解公理，我们就可以得到任何公式。 因此，据说基于诸如E和R的系统的Naïve设定为“微不足道”。 以下是使用逻辑R的推断原则的天真设施理论的琐事的证据草图。让P成为一个任意命题：
1。∃x∀y（y∈x↔（y∈y→P））朴素的理解
2。∀y（y∈z↔（y∈y→P））1，存在实例化
3。z∈z↔（z∈z→p）2，通用实例化
4。z∈z→（z∈z→p）3，Df的↔，＆-iminatim
5。（z∈z→（zəz→p））→（z∈z→p）收缩的原理
6。z∈z→p。4,5，modus ponens
7。（z∈z→p））→z∈z。3，Df的↔，＆-iminatim
8。z∈z。6,7，Modus Ponens
9。p。6,8，modus ponens
因此，我们表明在这个天真的集合理论中可以衍生任何任意命题。 这是臭名昭着的咖喱悖论。 这种悖论的存在导致了Grishen，Brady，Restall，牧师和其他人放弃了收缩的公理（（a→（a→b））→（a→b））。 布拉迪表明，通过去除收缩，加上一些其他关键词，我们获得了一个可以接受天真理解的逻辑，而不会变得微不足道（Brady 2005）。
就自然扣除系统而言，收缩的存在对应于允许房屋不止一次使用。 考虑以下证明：
1。一个→（一个→b）{1}羟脯氨酸
2。一个{2}羟脯氨酸
3。A→B {1,2} 1,2，→e
4。B {1,2} 2,3，→e
5。A→B {1} 2-4，→i
6。（a→（a→b））→（a→b）1-5，→i
可以实现收缩的推导是我们的下标的所设置的事实。 我们不会跟踪一个假设在其推导中使用的次数（多次）。 为了拒绝收缩，我们需要一种计算假设的使用数量的方法。 因此，无收缩系统的自然扣除系统使用相关性数字而不是集合的“多重网” - 这些是特定数字计数的出现次数的结构，而是它们发生的顺序。 即使可以构建较弱的系统，也可以跟踪使用假设的顺序（参见阅读1986和Restall 2000）。
对于其中三种更好的知名和更广泛使用的弱相关逻辑，B，DK和DJ，请参阅它们的补充：
逻辑B，DJ和DK。
6.与主流相关逻辑密切相关的系统
有一些系统应该被称为相关的相关性，这不是主流相关逻辑。 一个这样的系统是格雷厄姆牧师的逻辑N4。 呈现此逻辑的最简单方法是解释其语义。
N4的模型包括一组被划分为正常和非正常世界的世界。 在每个世界中，根据Dunn的语义在上文第2节中解释的，在上文第2节中解释，否定，否定，在每个世界中，公式都是如上所述的一个。 但是暗示的治疗相当有趣。 在普通世界中，似乎→B的含义A→B是真实的，只有在每个世界W中，如果A在W中是真的，则B在W中也是如此。 如果存在至少一个世界，则含义是错误的，并且b是假的。 在非普通世界中，含义是真实的，随机误。
n4是一个相关的逻辑。 它具有可变共享属性。 它具有一个非常简单而直观的语义。 然而，它是非常薄弱的逻辑。 它不包含任何用于含义的传递结构。 它有一个传递规则。 它不包含对施加分析，也不包含对施加的规则形式。
另一个非常有趣的逻辑是Neil Tennant的核心逻辑。 创建相关逻辑的“谬误”是为了避免的是Ex Falso QuodLibet，或爆炸 - 从矛盾到任何命题的推动。 c.i. 刘易斯通过一点论点辩护爆炸。 他从前提p＆¬p开始。 通过联合消除，他派生，p，并通过分离介绍，p∨q。 从前提下，他也通过结合消除来源¬p。 因此，他有p∨q和¬p。 由这些，通过析出三段论，刘易斯派生Q。 主流相关逻辑人通过拒绝析出三段论来阻止此论点。 然而，拒绝析出三段论已成为相关逻辑最有争议的方面之一。
然而，Tennant的核心逻辑接受了分离的三段论。 它还接受结合消除和分离介绍。 实际上，核心逻辑支持我们在直觉逻辑的证明理论中找到的所有标准原始规则。 因此，人们可以说核心逻辑中的连接的含义只是他们在直觉逻辑中的含义。 有什么不同的是其对证据的结构规则之一 - 它拒绝了其最常规形式的逻辑后果的传递。
然而，与相关性逻辑密切相关的另一个逻辑系统是威廉省分析含义的逻辑。 分析暗示是为了满足一种非常强的可变共享形式的愿望。 除非B中的所有变量包含在A中，否则不可暗示A→B.除了满足这种强大的可变共享原理，否则需要限制缺陷介绍的原则。 因此，代替具有→（a∨b）作为所有公式a和b的定理，该模式仅在B中的所有命题变量也是在A中的时才有效。对施加的原则和一些含义的传递原则也必须是限制。
分析含义已经通过套件提供了优雅的世界语义。 精致增加了可能的世界模型主题问题的域名。 如果它在所有可访问的世界中保留了真相并且也是所有主题的情况，那么似乎也存在于世界上的真相也是前所未有的问题（FORE 1986）。
有关分析含义和相关逻辑的比较，请参阅Routley等，1982，第96-101页。 有关分析含义的详细审查和辩护，请参阅Ferguson（2017年）。
7.相关性逻辑的应用和扩展
除了提供更好的思想概念和征兆的概念和提供基础的激励应用，并为天真集合提供基础，相关逻辑已被对哲学和计算机科学的各种用途。 在这里，我会列出几个。
DUNN基于相关逻辑开发了一个基于相关逻辑的内在和基本特性理论。 这是他的相关预测理论。 简单地放置，我有一个属性f相关的iff（x = i→f（x））。 非正式地，如果表现出具有该属性的那件事，则对象具有相关的属性。 由于相关意义的结果是本身不足以使这种含义的真实性不足，因此事情可以具有无关紧要的属性和相关性。 Dunn的配方似乎至少捕获了我们使用内在财产的概念的意义。 向语言添加模态允许将基本属性的概念正式化作为必然和本质上的属性（参见Anderson，Belnap和Dunn 1992，第74节）。
相关逻辑已被用作除集合以外的数学理论之外的基础。 Meyer基于逻辑R. Meyer为Peano算术的变化产生了一个定性证明，即他的相关算术没有0 = 1作为定理。 因此，Meyer在相关算术的背景下解决了希尔伯特的核心问题之一; 他使用合理意味着相关算术绝对一致。 这使得相关的PEANO算术成为极其有趣的理论。 不幸的是，正如梅耶和弗里德曼所示，相关算术不包含经典Peano算法的所有定理。 因此，我们无法从此推断出古典的Peano算术绝对一致（参见Meyer和Friedman 1992）。
安德森（1967）制定了基于R的故乡逻辑系统，最近，相关逻辑已被用作Mares（1992）和Lou Goble（1999）的故乡逻辑的基础。 这些系统避免了具有更传统的语言逻辑的一些标准问题。 标准的语逻辑面临的一个问题是，他们使A来自AA是定理的定理的推断是有效的，其中'OA'意味着'它应该是一个'。 这个问题出现的原因是它现在是标准的，以将文化逻辑视为正常的模态逻辑。 在模态逻辑的标准语义上，如果A有效，那么所有可能的世界都是如此。 此外，OA在一个世界A的真实上是真实的，如果一个人在每个世界都是真实的。 因此，如果A是有效的公式，那么OA也是如此。 但是说似乎愚蠢地说，每个有效的公式都应该是这种情况。 为什么要么现在在厄瓜多尔下雨的情况，它应该是不是？ 在相关逻辑的语义中，不是每个世界都是正确的每个有效公式。 只有一个特殊的世界（有时称为“基地世界”，有时称为“普通世界”）使有效的公式成为真实的公式。 任何有效的公式都会在世界范围内失败。 通过在我们的模型中允许这些“非普通世界”，我们使这个问题规则无效。
其他类型的模态运算符也被添加到相关性逻辑。 FUHRMANN（1990）适用于熟悉的经典模态逻辑的常规公理，以产生相关的模态逻辑集合，并证明它们的完整性结果。 已经向Heinrich Wansing（2002），MartaBilkova，Ondrej Majer，MichalPeliš和Greg Restall（2010）等被添加到相关性逻辑中添加到相关性逻辑。 Shawn Standeber（2019）制作了一个相关版本的理由逻辑，最近增加了一个现实的Indertor到相关性逻辑。 甚至存在相关的问题和答案逻辑（见punčochář）。
Routley和Val Plumwood（1989）和Mares和AndréFhrmann（1995）基于相关逻辑提出反事条件的理论。 他们的语义增加了标准的Retley-Meyer语义是一个可访问性关系，可在公式和两个世界之间持有。 在Retley和Plumwood的语义上，A＞B在世界上持有A且仅当所有世界B这样的Saab，B持有B. Mares和Fuhrmann的语义略微复杂：A＞B在世界A且仅当所有世界B这样的世界BAB，A→B持有B（也见Brady（Ed.）2002，§10，有关两个语义的详细信息）。 Mares（2004）呈现出更复杂的相关条件理论，包括违反条件。 所有这些理论都避免了悖论的类似暗示中出现的悖论的模拟。
相关逻辑已用于计算机科学以及哲学。 线性逻辑 - Jean-Yves Girard发起的逻辑分支 - 是一种计算资源的逻辑。 线性逻辑人读取一个暗示A→B，如A型资源允许我们获得B型的东西。如果我们有一个→（a→b），那么，我们知道我们可以从A类型的两个资源获得B.但这并不意味着我们可以得到一个b从类型A类型的资源，即我们不知道我们是否可以获得→b。 因此，对线性逻辑的收缩失败。 事实上，线性逻辑实际上是缺乏收缩的相关逻辑以及通过分离的结合分配（（a＆（b∨c））→（（a＆b）∨（a＆c）））。 它们还包括两个被称为“指数”的运营商（！和？）。 将指数放在一个公式面前，使配方能够经典行动，从而说话。 例如，就像标准相关逻辑一样，我们通常不能仅为有效推理添加额外的前提，并且它保持有效。 但我们总能始终添加表格的前提！a到有效推理，并使其保持有效。 线性逻辑也具有形式公式的收缩！A，即，它是这些逻辑的定理（！a→（！a→b））→（！a→b）（参见Troelstra 1992）。 使用！ 允许治疗资源“可以复制或默认”（恢复2000，P 56）。 有关线性逻辑的更多信息，请参阅子结构逻辑的条目。
