密封逻辑（二）

2.5 Montague，Tichë，Bressan和Gallin

Carnap的想法被Richard Montague，PavelTichë和Aldo Bressan独立延伸和正式。 全部采用了一些版本的Kripke / HITIKKA可能的世界语义，而不是更专业的卡内曲线结构。 所有处理的强度在功能上。

部分，Bressan希望为物理提供逻辑基础。 与物理学的连接是这样的。 例如，当我们说些什么，例如，我们的意思是，如果我们进行了某些实验，我们将获得某些结果。 这并不认为我们确实进行了这些实验，因此出现了备用状态（或案件，作为Bressan调用它们）。 因此，需要一种丰富的模态语言，其中包含数字以及物理对象。 在Bressan 1972中，开发了一个详细的模态系统，具有全型层次结构，包括Matrinipia Mathematica中的数字。

Montague的工作主要是在1960年和1970年的蒙塔图，并具有自然语言作为其主要动机。 治疗是语义的，但在Gallin 1975中提出了一种公理系统。 逻辑加入公共化是一种完整的理论体系，每种类型的海拔物体。 关于Henkin模型的模拟证明了完整性，熟悉高型古典逻辑。

Tichć创建了一个非常类似于Montague的海面逻辑系统，从英语中开始，在Tichë1971中，在Tichë1988中有详细的演讲。不幸的是，他的工作并没有被广为人知。 像Montague的语义一样，Tichë的正式工作是基于一个类型的层次结构，该层次结构与每个类型级别的扩展到扩展，但在某些方面超出了蒙塔梅。 一方面，强化不仅取决于世界，还取决于时间。 对于另一个，除了加重和扩展之外，Tichtichý还考虑了建筑。 这个想法是表达确定了强烈和扩展，这本身是一个正式的过程，其中复合表达式使用进入其制作的更简单的表达式; 换句话说，建筑水平的合成性。 使用这款正式机械，“1 + 4”和“2 + 3”规定不同的建筑; 它们的含义并不简单地被他们在此所讨论的内容表现中捕获。

3.特定的密集逻辑

如前所述，正式的海拔逻辑已经开发出与更高类型，教堂，蒙塔图，布雷斯山，Tichë的完整层次。 这种逻辑可以相当突出，但是卡内帕的想法经常（当然并不总是总是）在这种逻辑的核心中，这些想法很简单，并且足以允许讨论几个常见的普遍性问题。 不知何故，基于它的感觉（内涵，含义）一个指定短语可以在不同状态下指定不同的条件下的不同事物。 例如，“行星的数量”被认为在古代（计数地球）中指定6。 在1781年的天王星发现后立即“行星数量”被认为是指定7.如果我们作为祖人构思的宇宙的认识状态，以及宇宙在1781年之后构思的宇宙，在一个状态下“的宇宙”行星“指定6和另一个，它指定7.在任何状态下都不是人们错误的行星概念，而是关于构成宇宙的事态。 如果我们抑制了如何确定涵义的所有问题，则如何何字挑选参考，以及作为可能的事态的所有问题，即，如果我们抽出所有这些问题，每个指定项的共同特征是指定可能会从状态变为状态 - 因此它可以是由各种函数正式化到对象。 这种裸体骨骼的方法足以处理许多其他难以解决的问题。

为了使事情保持简单，我们不会考虑完整类型的层次结构一阶足以让基础跨越。 例如，加勒1975的逻辑的一阶片段足够。 这里提出的特定制剂来自于2004年的配件，延伸拟合和MendelsoHn 1998.谓词字母是强烈的，因为它们在每个版本的Kripke风格语义上，具有依赖可能的世界的解释。 这里考虑的唯一其他封口项目是由可以在不同可能的世界中指定不同对象的常量和变量代表的个体概念。 同样的想法可以扩展到更高类型，但在这种相对简单的水平上已经看到了贡献的想法。 隐藏逻辑通常没有任何内容，除了强调 - 扩展被推断但不明确。 然而，一种太小的方法可以使生活变得艰难，因此我们在这里我们明确允许对象和各个概念来到物体上的范围。 每种量化有两种量化。 扩展和密集物体都是一流的公民。

从理论上是语义上的基本想法，而不是证明，尽管AXIOM系统和Tableau系统都存在。 即便如此，技术细节也可以成为巴洛克，所以尽可能地分开非正式的介绍，这足以从其正式的对方获得一般的想法，这是更专业的兴趣。 假设具有模态逻辑的普遍熟人（尽管有一个非常简短的讨论，但建立符号，从作者到作者各种各样的问题。 应该注意的是，在这里使用模态语义，通常以两种方式使用。 经常有一个特定的Kripke模型，尽管它可以非正式地指定。 例如，我们可能会考虑一个Kripke模型，其中各种瞬间和所有过去的模型，稍后的状态可以从早期访问。 例如，当讨论“法国之王”时，这种模型是在例如瞬间概念含糊不清楚的概念时启蒙。 但除了这种使用非正式指定的具体模型外，还有正式的Kripke语义，这是一个数学上精确的东西。 如果建立了某种东西，例如◻（x⊃y）⊃（◻x⊃◻y）在所有正式的Kripke模型中有效，我们可以假设我们将在我们模糊地指定直观的模型中，无论我们如何尝试更精确。 非正式模型渗透我们的讨论 - 他们的基本属性来自正式的语义。

3.1命题模态逻辑

从命题字母，p，q，...，使用∧，∨，¬和其他命题连接，以及◻（必要）和◊（可能）作为模态运算符来建立一个命题语言。 这些运营商可以被认为是含有的，故乡，颞兴，难以思绪 - 这将是最终的重要性，但它目前没有。 同样，可能有一个以上的版本的◻，就像在具有多个知识的知识逻辑中 - 这也没有任何基本差异。

克莱波克语义对于命题模态逻辑是现在，这是一个非常熟悉的事情。 以下是建立符号的快速演示，并指出Frege的提案是如何适合的。在此百科全书中的模态逻辑中可以找到更详细的演示。

3.1.1非正式版本

模型包括一系列国家，一些国家与哪些国家有关，也有一些规范，其中一个命题字母持有这些州。 各国可能是现实世界的国家在不同时期，或者知识的国家，或者信仰，或者现实世界可能是不同的情况。 这里有一个数学抽象。 我们并不试图定义所有这些国家可能“意思”，我们只是假设我们拥有它们。 然后，相对于状态，将评估更复杂的公式作为真假或假。 在每个州，命题结缔组织有习惯的经典行为。 对于模态运算符。 如果x本身在与该状态相关的每个状态（在所有可访问状态下）都是如此，则这必然是x的◻x是真的。 同样，如果在某些可访问状态下x为真，则可能x可能是x。 如果我们想到以认识到的事项，可访问性表示兼容性，如果x在与该状态兼容的所有状态都是这种情况的情况下，则x在状态下已知。 如果我们认为事物，可访问的状态可以被认为是替代现实，如果x在所有可能的替代状态中是这种情况的状态，则x是必要的。 这些是现在，非常熟悉的想法。

3.1.2正式版本

帧是一个结构⟨g，r⟩，其中g是非空集，R是G. G的二进制关系是G的成员是状态（或可能的世界）。 R是一种可访问性关系。 对于γ，δ∈g，γrδ被读取“Δ可从γ访问。” 帧上的（命题）估值是映射，v，它分配给每个命题字母从帧的状态映射到真实值，true或false。 为简单起见，我们将缩写V（p）（γ）（p，γ）。 命题模型是结构M =⟨g，r，r，v⟩，其中⟨g，r⟩是框架，v是该框架上的命题估值。

给定命题模型m =⟨g，r，v⟩，在状态γ处于真实的公式X的概念将被表示为m，γ⊨x，并且其特征在于以下标准规则，其中p是原子的。

是，γ⊨p⇔v（p，γ）=真正

m，γ⊨x∧y。⇔m，γ⊨x和m，γ⊨y

...⇔...

m，γ⊨◻x。⇔m，δ⊨x为γrδ的每一个Δε

m，γ⊨◊x。⇔m，δ⊨x具有γRδ的一些δ∈g

假设我们考虑使用密集/延伸区分的公式。 给定模型m，到每个公式x都可以将函数关联，调用fx，将状态映射到真值值，其中我们设置fx（γ）= true，以便m，γ⊨x。

将功能FX视为公式X的强烈含义 - 实际上，将其视为公式表达的命题（当然是相对于特定模型）。 在状态γ中，FX（γ）是真实值 - 将此视为该状态的X的延伸含义。 这是一种思考，追溯到弗里克的方式，他得出结论，句子的表示应该是真理价值，但这种感觉应该是一个命题。 他对所构成的一个提议有点模糊 - 刚才提出的正式化提供了一种自然的数学实体，以获得目的，并通过Carnap明确提出此目的。 很明显，数学结构以一般方式捕获弗雷格的一些想法的部分。 顺便提及，我们可以没有损失，用集合{γ∈g|fx|fx（γ）= true}替换函数fx。 功能fx只是该集合的特征功能。 像这样的设置通常被称为模态逻辑社区中的命题。 在技术上，那么，Frege对这个特定主题的想法已成为普通货币。

3.2移动到第一顺序

首先，我们讨论一些背景直觉，然后介绍正式的语义。 强化将在第3.3节中正式引入。 这里讨论的材料在（配件和孟德尔SOHN 1998，Hughes和Cresswell 1996）中可以找到更全面的开发的材料。

3.2.1现实主义和可能主义者

如果我们要在不同情况下指定不同的东西，我们需要事物。 在命题级别真理值扮演事物的角色，但是在一阶级需要更多的东西。 在古典逻辑中，每个模型都有一个域，该模型的内容和量词被理解为范围在该域的成员上。 当然，它左打开了什么构成了什么 - 任何排序的任何集合都可以用作域。 这样，如果有人因为哲学或数学考虑因素而有特殊限制，可以容纳。 因此，古典逻辑的有效性是通过设计作为一般 - 无论我们可能选择什么，都是如此，无论我们的东西是什么。

在Kripke 1963中为模态逻辑引入了类似的方法。存在域，但它留下了它们所包含的内容。 但是，还没有经典对方的并发症：在Kripke模型中有多个状态。 是否存在整个模型的单个域，或每个州的单独域？ 两者都有自然的直觉。

考虑一个版本的kripke模型，其中一个单独的域与模型的每个状态相关联。 在每个状态下，量化器被认为是与与该状态相关联的域上的范围。 这已被称为现实主义语义。 将与状态相关联的域作为实际存在于该状态的域。 因此，例如，在所谓的现实世界中，khufu的伟大金字塔在域名，但亚历山大的灯塔不是。 如果我们考虑到世界，这两个都将在域名。 通过实际的方法，我们需要对与其他国家的事物的参考文献的公式进行一些决定，但不在我们正在考虑的国家。 几种方法是合理的; 我们可以采取这样的公式是错误的，或者我们可以将它们带到毫无意义的情况下，但这似乎是不必要的限制性的。 毕竟，我们确实说了“亚历山大灯塔不再存在的灯塔”，我们认为这是真的。 因此，似乎最有用的正式版本通过状态取决于域状态的量化器，但否则允许术语参考任何域的成员。 生成的语义通常称为不同的域以及现实主义者。

假设我们使用实体主义语义，因此每个状态都有一个实际存在的事物的相关领域，但假设我们允许量词在任何域的成员上方的范围，而不区分，这意味着量词在每个状态下都在相同的集合上。 那个集合的成员是什么？ 它们是某些状态存在的东西，所以在每个状态下，它们都是可能存在的可能存在的东西。 将这些单独的结构域延伸到单一的定量领域，实际上是指我们量化过量的。 因此，其中存在单个域的语义，其中对每个状态的量子范围，相同的单个域，通常被称为可能的语法语义，或者当然是恒定的域语义。

Possibilist语义更简单地处理而不是实际的版本 - 我们有一个域而不是许多域来rangetifers。 事实证明，如果我们采用可能的方法，可以模拟实体主义语义。 假设我们有一个量化的量化，可能是一个特殊的谓词，E，我们认为在每个州的实际存在的事情处于真正存在的情况。 如果∀是在可能的域的域中的量级，我们可以考虑相对的量化符，∀x（e（x）⊃...）与实际的量化相对应。 （我们需要假设，在每个州，E某事物是真的 - 这对应于假设域是非空的。）这给出了实体主义语义的嵌入到可能性主义者中，这是可以正式说明和证明的结果。 这里将使用可能性主义语义，我们假设我们有一个可用的谓词e。

3.2.2可能性语义，正式

要使用的语言是命题模态语言的直接第一阶扩展。 有一个无限的对象变量列表，x，y，x1，x2，......以及所有arities的关系符号，r，p，p1，p2，......。 其中包括单个符号E和两个地方符号=。 可以添加常量和功能符号，但是让我们保持相对简单的事情以及简单的相对。 如果x1，...，xn是对象变量，p是n个地方关系符号，p（x1，...，xn）是原子公式。 我们将写入x = y代替=（x，y）。 使用命题连接，模态运算符和量词，∀和∃，建立了更复杂的公式，以通常的方式建立。 自由且绑定的变量发生具有标准表征。

一阶模型是一个结构⟨g，r，do，i⟩，其中⟨g，r⟩是一个帧，如在第3.1节中，do是一个非空对象域，我是一个解释，它分配给每个n个地方关系符号p a mapping，i（p）g到d的子集

n

o

。 我们将写入I（p，γ）作为I（p）（γ）更容易读取的版本。 需要I（=，γ）是对每个状态γ和I（E，γ）非空的相等关系，每个γ都是非空的。 模型中的一阶估值是映射v，其将DO成员分配给每个变量。 请注意，首次估值不是在解释所在的方式依赖。 第一阶估值W是估值V的X变量，如果V和W同意除X可能之外的所有变量。 在M =⟨g，d的状态γ的状态下，关于第一阶估值V的状态γ的特征如下，其中p（x1，...，xn）是原子公式：

是，γ⊨vp（的x1，...，xn）⇔⟨v（的x1），...，v（xn）⟩∈i（p，γ）

m，γ⊨vx∧y。⇔m，γ⊨vx和m，γ⊨vy

...⇔...

m，γ⊨v◻x。⇔m，δ⊨vx与γrδ的每一个Δε

m，γ⊨v◊x。⇔m，δ⊨vx用于γrδ的一些δ∈g

m，γ⊨v∀xx。⇔m，γ⊨wx对于v的每个x变型w

m，γ⊨v∃xx。⇔m，γ⊨wx为v的一些x变型w

如果在每个第一阶估值的每个第一阶模型的每个状态下，则呼叫公式有效，如上所述。 在有效性中是通常的莫代尔候选者，如◻（x⊃y）⊃（◻x⊃◻y）和通常的量化候选者，如∀xx⊃∃xx。 我们还具有混合案例，如巴仑和逆转的巴尔卡纳公式：∀x◻x≡◻∀xx，这是恒定域模型的特征，如克莱普克1963所示。由于平等的处理方式，我们有两者的有效性∀x∀y（x =y⊃◻x= y）和∀x∀y（xy⊃◻x≠y）。 关于行星数量的身份和9（Quine 1963）的身份，或晨星和晚上星（Frege 1892）的身份，以及这些身份如何在模态环境中表现的身份。 但这在这里并不是一个相关的问题。 “晨星”等的短语具有一个密集的方面，并且到目前为止概述的语义并没有考虑到密切的问题。 事实上，早晨的明星和晚上的明星是相同的对象，因为格特鲁德·斯坦因可能已经说道，“一个物体是一个物体是一个对象。” 事物和本身的必要身份不应该是一个惊喜。 很快将处理密集问题。

量化是可能的域是恒定的。 但是，如第3.2.1节中讨论的那样，可以通过使用存在的谓词，E间接地将变化的域间接达到，这使我们能够定论地介绍实际主义量化。 让∀exx缩写∀x（e（x）⊃x），让∃exx缩写∃x（e（x）∧x）。 然后，虽然∀xφ（x）⊃φ（y）有效，但假设y为φ（x）中的x自由，我们没有∀exφ（x）⊃φ（y）的有效性。 所谓的是[∀exφ（x）∧e（y）]⊃φ（y）的有效性。