密封逻辑（五）
4.3表示
我们一直在讨论句子，更常见的是免费变量的公式。 熟悉的tarskian语义为这里提供了理解的基础，但我们需要修改和扩展来处理构造。
空间s上的部分函数是将值分配给某些的函数，但不一定是s的所有。否则，它是一个函数，其域是S.对于部分函数f，f（x）≃y表示x位于f和f的域中的函数。）= y。 （最后我们在提前的示例中妥善考虑我们使用的使用≃。）部分关系是来自k-tuples到{t，f}的部分函数。 我们结构的鉴定关系是通常的意义的关系，但这是一部分关系，我们可能会发现自己定义。
假设我们有一个结构⟨d，r1，...，rn‖，并假设我们有一个与之相关的LPCR语言。 该结构中的估值V是从单个变量到D的各个变量以及从D的辅助关系符号映射到D上的部分关系。我们想与每个估值V从LPCR公式到真理值的映射电视，但由于骗子的事情可以是可扩展的，电视必须是部分功能，因此我们必须小心，即使是命题连接等熟悉的东西。 已经开发了各种三种有价值的逻辑; 也许是最常见的是Kleene的强大的三价逻辑，受到递归理论的动机，并且从真理理论的工作中熟悉。 下表说联系和量词是如何表现的。 未明确涵盖的案件被认为是那些拒绝真相估值的案件。 （例如，如果x的真值值未定义，则¬x的情况也是如此。）
电视（¬x）≃t电视（x）≃f
电视（¬x）≃f电视（x）≃t
电视（x∧y）≃t。电视（x）≃t和电视（y）≃t
电视（x∧y）≃f。电视（x）≃f或电视（y）≃f
电视（x∨y）≃t。电视（x）≃t或电视（y）≃t
电视（x∨y）≃f。电视（x）≃f和电视（y）≃f
电视（（∀x）x）≃t。电视'（x）≃t为v的所有x-variants v'
电视（（∀x）x）≃f。电视'（x）≃f为v的一些x-variant v'
电视（（∃x）x）≃t。电视'（x）≃tv的一些x-variant v'
电视（（∃x）x）≃f。对于所有X-Variants V'的电视'（x）≃f
这仍然留下了交易的公式。 假设我们有以下内容。
φ0其中{p1（x1）≃φ1，...，pk（xk）≃φk}
我们制作两个简化假设，以使我们的讨论过于复杂。 我们假设没有φi包含嵌套where子句。 基本思想充分阐述了这种情况，但一切都延伸到普通情况而没有太多的困难。 这是一般要求，XI中的变量是“本地”到PI（XI）≃φi，即，它们被认为是在该公式中绑定。 为此，我们添加了另一种简化的假设：Xi中的变量是φI中可能出现的唯一变量。 大致这意味着我们没有参数，只有局部变量。 这有助于我们讨论杂乱较少的事情。 同样，一切都延伸到更普遍的情况，没有根本的变化。
继续（23），考虑以下方程的相关组E.
p1的（的x1）≃φ1
的p2（x2的）≃φ2
⋮
pk（xk）≃φk
当然，难点是允许在一个或多个φj中发生每个PI，甚至可能在φi中，因此e是自我参照。 在许多计算机编程语言中，一个人看到像x = x + 1这样的东西。 它被解释为开始编程器，这取得了X的当前值，添加1，并再次调用结果x。 右边的X发生的X有'之前的值，左侧的出现具有“后”值。 类似地，让我们将e的成员视为（同时）分配陈述。 ≃右侧的PI出现是当前值，左侧的发生是下一个值。 考虑所有P1，......，PK，我们可以将E作为定义映射部分关系的k - 元组的功能（在这些关系符号的'值之前）到部分关系的k元组（'之后这些关系符号的'值）。 现在这里是细节更加正式。
假设我们有一个k-tuple，...，pk⟩的部分关系，每个I的PI的ARITY都匹配部分关系变量pi。 这是我们的输入（'之前的值）。 对于每个我想要定义我们呼叫P的输出部分关系
'
一世
，与pi相同的arity，所以⟨p
'
1
，...，p
'
k
⟩用作我们的整体输出（'''值后）。 要做到这一点，我们必须在p
'
一世
（d）映射到T，当它映射到f时，当它未定义时，对于从D的组件的每个D.井，将V作为分配给每个辅助关系符号PI的估值相应的部分关系PI（这是我们之前的值为“部分关系符号进入），并将其分配给xi的变量为d的相应成员。 现在，简单地让p
'
一世
（d）≃tv（φi）。 通过这种方式，新的部分关系p
'
一世
被指定，更通常是它们的向量，⟨p
'
1
，...，p
'
k
⟩。 该组等式E可以被认为是指定功能转换K-Tuple⟨p1，...，pk⟩进入⟨p
'
1
，...，p
'
k
⟩。 让我们调用这个功能[e]，并写[e]（⟨p1，...，pk⟩）=⟨p
'
1
，...，p
'
k
⟩。
如果我们要有公式E在逻辑环境中表现良好，则每个PI都应该具有相同的估值，无论我们看到它，我们都不应该区分我们一直在呼叫左侧和右侧的情况; pi和p
'
一世
应该是一样的。 换句话说，我们希望有部分关系P1，...，PK解释P1，......，PK，所以[e]（⟨p1，...，pk⟩）=⟨p1，...，pk⟩-'在'和'之后'值同意。 这被称为[e]的固定点。 因此，我们需要知道[E]有一个固定的点，如果它有多个，那么我们可以选择一个合理的候选人，我们可以选择最好的候选人。
如果f和g是从空间s到r的两个部分函数，则一个写入f⊆g意味着每当f（x）ψw而不是g（x）≃w时。 然后对于相同ARINITY的两个部分关系P和Q，p⊆q表示定义P（d）时，q（d）所以，均具有相同的真值值。 我们可以通过设置⟨p1，...，pk⟩⊆⟨q1，...，qk⟩，如果pi⊆qi为每个i，我们可以将此扩展到k元组。 并不难以表明上面定义的功能[e]，并基于（23），具有单调性的属性：如果⟨p1，...，pk⟩⊆⟨q1，...，qk⟩然后[e]（⟨p1，...，pk⟩）⊆[e]（⟨q1，...，qk⟩）。 有一个非常一般的单调映射理论，如此，从中遵循[e]确实具有一个固定点。 此外，如果存在多于一个，那么有一个独特的一个是最少的，因为它是与任何其他任何其他的关系。 这个最不固定的点是我们上面提到的最佳候选者。 它包含任何固定点必须具有的信息。
现在我们完成了如何评估公式（23）。 首先，构造相关的等式集，E。接下来，构建功能[e]。 [e]有一个最小的定点，让我们说它是⟨f1，...，fk⟩。 最后，使用FI评估φ0以为每个I解释PI。 生成的真相值或未确定的是与（23）关联的值（表示）。
我们现在已经表示如何将真理值或未定义与LPCR的每种公式相关联（在我们的简化假设下）。 我们有（部分）表示。
4.4感觉
LPCR的每个公式指定其评估的算法，即确定其真实值（如果可能的话）。 Moschovakis用该算法识别公式的感觉。 两种评估到相同结果的公式，从而具有相同的表示，可能具有不同的感测，因为相关的算法是不同的。 例如，在（20）中，我们给出了一个定义偶数的公式。 这是另一种这样的公式。
偶数（x）
我们将其留给您以验证（25）还定义了偶数。 它直观地合理于（20）和（25）使用不同的算法评估，因此具有不同的感官。 但当然这必须精确。 所需要的是算法之间的统一比较方法。 在这里，我们只是简要介绍了想法。
来自Moschovakis 1989的一般机械，称为正式的递归语言，FLR。 使用它彻底探索递归定义和固定点。 涉及我们这里的语言LPCR，嵌入FLR，甚至允许嵌套的子句和参数，我们在我们对表示的讨论中忽略的东西。 在FLR中，存在用于将递归定义转换为正常形式的方法，这不能进一步减少。 正常形式具有非常简单的结构，由一组自引导方程组成，根本没有嵌套。 正常形式最清楚地揭示基本评估结构。 在使用单个结构时，⟨d，r1，...，rn‖，所有正常形式都将由一组通用的功能构建。 这使得可以轻松比较正常形式。 这个想法是，如果嵌入到FLR时的两种LPCR公式，则具有不同的正常形式，两种配方具有不同的感官。 当然，必须采取一些合理的灵活性。 例如，仅通过重命名变量或方程的切换顺序不同的两组等式不与任何基本的方式不同。 据了解，如果两种LPCR配方在嵌入FLR时具有真正不同的正常形式，则定义两个LPCR配方以具有不同的感官。 这符合一个人想要一个有意义的非正式条件。 MoSchovakis甚至证明了这一重要定理，即刚定定义的感觉平等是在自然条件下可判定的。
4.5算法无需有效
“算法”一词表明有效，但这里它正在更一般的意义上使用，作为一组指令，由于我们的有限局限性的原因，我们可能无法实际执行。 再次考虑范例公式，（22）。 如果其中一个φi中包含正位置（或负位置中的通用量词）中的存在量化，则可以被认为是通过域D调用系统搜索，以便验证证人。 这对于合理的域来说是合理的。 但是，如果φi应该在正位置或存在量词中包含通用量词，则必须为域的每个成员验证某些东西，除非域是有限的，否则这不是人工任务。 尽管如此，我们普遍认为我们了解量化。 我们正在处理的是相对于这种理解的算法。
Quantifiers的问题是不可避免的，因为我们经常使用感觉和参考讨论。 考虑罗素的治疗明确的描述。 在这种“A有属性B”被“恰好有一件物业A有一个物业A并且它具有属性B”所取代。 要说只有一件事有一个人说有些东西有属性A，其他一切都没有。 这的第一部分涉及存在量词和第二部分是通用的。 然后，如果在正位置发生明确描述，我们具有通用量化的正面发生，并且如果发生在负位置，则我们具有存在量化的负面发生。 任何一种方式都出现了重要的问题。 Moschovakis并未声称将感觉和参考转换为可计算的东西，但只需提供可以合理地正式化使用算法的广义概念所涉及的想法的数学机械。
有一秒钟的相关问题，缺乏有效性进入。在我们对表示的讨论中，我们考虑了一组方程（24）的集合和与他们相关的功能[e]。 回想一下，[e]映射的k组与部分关系的k元组。 我们指出，[E]将是单调的，并且通过非常一般的结果，这种功能总是具有最小的定点。 有一种以上的方式表明这一点。 一个众所周知的论点对此具有明显的算法味道。 它如下。 从部分关系的最小k元组开始 - 这是每个部分关系始终未定义的k组。 打电话给这个t0。 将功能[e]施加到T0，获取T1。 将功能[e]应用于T2，等等。 很容易显示t0⊆t1⊆t2⊆...... 我们有t0⊆t1，因为T0处于与每个K元组的关系。 通过单调性，我们有[e]（t0）⊆[e]（t1），但这称t1⊆t2说。 等等。 继续使用这种增加的序列，最终将达到[E]的最小固定点。
但这是非常误导的。 “继续”是什么意思？ 我们有T0，T1，T2，...... 其中没有一个可能是一个固定点。 例如，假设我们通过（20）甚至（x）的功能进行这种结构。 然后t0将是⟨e0，o0⟩，其中e0和o0都是无处不在的未定义1 - 地方关系。 我们将其留给您来检查我们连续Ti =⟨ei，oi⟩在我们有以下内容的情况下，没有显示未定义的情况。
我ei显着性
1的e1（0）= t o1（0）= f
2 e2的（0）= t氧气（0）= f
e2的（1）= f氧气（1）= t
3的e3（0）= t o3（0）= f
的e3（1）= f o3（1）= t
的e3（2）= t o3（2）= f
⋮⋮⋮
T0，T1，T2，......是一个固定点，但是有一个明显的限制概念，称为TΩ，累积沿途产生的结果。 这是该示例中最不固定的点。
但迭代并限制可能还不够。 考虑以下阐述（20）。
φ（x）≡a（x）其中{e（x）≃x=0∨（∃y）（s（y，x）∧o（y）），
o（x）≃（∃y）（s（y，x）∧e（x）），
一个（x）≃x=1∧（（∀y）（e（y）∨o（y））}
由（26）产生的一组方程具有（20）的两个成员，还有一个用于A.使用这些等式，为了得出（1），我们必须已经有一个E（y）或O（y）中的一个，评估每个数字y的t。 如果我们执行上述概述的结构，我们将无法为e和o进行这一点，直到阶段ω，因此我们必须更一步，在我们达到一个固定点之前，我们必须进一步一步。
可以给出越来越极端的例子。 固定点结构可能必须持续到较大且较大的Transfinite Ordine。 这是一个众所周知的现象，特别是在真理理论中的区域。 它无法避免。 顺便提及，应该指出的是，Kripke在他对真理治疗中引入的机器具有自然的嵌入LPCR，但我们不会在这里讨论这一点。
