信仰修订的逻辑（二）

3.修订

修订的操作*的两个主要任务是（1）将新的信仰P添加到信仰集K，（2）以确保所产生的信念k * p是一致的（除非P是不一致的，除非除非不一致）。 第一个任务可以通过P由P扩展来完成。 第二个可以通过以前的否定¬p缩小来完成。 如果信仰集不暗示¬P，则可以在不损失一致性的情况下添加P。 这种子层的组成导致以下修订的定义（Gärdenfors1981，Levi 1977）：

Levi Identity：

k * p =（k÷¬p）+ p。

如果÷是部分符合收缩，那么以这种方式定义的操作*是部分符合修订。 这是AGM模型中修订的标准构造。

部分符合修订已经过公理特征。 操作*如果才能满足以下六个假设，则是部分符合修订版：

关闭：

k * p = CN（k * p）

成功：

p∈k* p

包括：

k *p⊆k+ p

真空：

如果¬p∉k，则k * p = k + p。

一致性：

如果p一致，k * p是一致的。

extensionality：

如果（p↔q）∈cn（∅），则k * p = k * q。

这六个假设通常称为基本的Gärdenfors假设修订。 他们最有争议的是成功。 它意味着，响应于不一致的输入句，认知代理将获得一个不一致的信念集，根据她们所有的句子都是真实的。 即使对于一致的输入句，也是争议的成功。 对于认识的代理人来说，不难难以考虑一些陈述，这么令人难以置信，没有什么可以让她相信它们。 对于不满足成功的信仰修订模型，请参阅第6.3节。 和6.4。

以下两项补充假设是标准曲目的一部分：

superexpansion：

k *（p＆q）⊆（k * p）+ q

subexpansion：

如果¬q∉cn（k * p），那么（k * p）+q⊆k*（p＆q）。

这些假设与补充过的收缩后密切相关。 让*是通过Levi Identity从部分达到收缩中定义的部分达到修订。 然后*只有÷满足联合重叠，才满足超细素。 此外，如果唯一满足联合夹杂物，则满足区别，如果才满足区别。

Hans Rott介绍了以下假设：

析取为：

k *（p∨q）等于K * p，k * q和k *p∩k* q之一。

罗特表明，在六个基本AGM的存在假设中，两个补充AGM假设，超越陪伴和区别，既暂停，否则且仅当拆除保障持有。

4.可能的世界建模

相信国家的替代模型可以由可能的世界（Grove 1988）构建。 在逻辑的概率中，由一个可能的世界意味着语言的最大一致的子集。 一个命题是指一组可能的世界。 主张和信仰集之间存在一对一的对应关系。 每个信仰集可以由提议（可能的世界各地）表示，这些主张包括那些包含所讨论的信仰的可能世界。

对于任何集合的句子，Let [A]表示包含作为子集的可能世界的集合，并且类似于任何句子P让[P]是包含P作为元素的可能的世界的集合。 如果a不一致，那么[a] =∅。 否则，[a]是一组非空的可能世界。 （假设⋂∅等于整个语言。）如果k是信仰集，那么⋂[k] = k。

命题账户提供了一个直观清晰的信仰变革方面的画面。 使用几何表面可以方便地代表这组可能的世界。 在图1中，矩形表面上的每个点代表了可能的世界。 标记为[k]的圆形表示那些可能的世界，其中k的所有句子都是真的，即可能世界的集合[k]。 标有[P]的区域代表了那些可能的世界，其中句子P是真实的。

图1

图1. k通过p修复。

在图1中，[k]和[p]具有非空交叉点，这意味着k与p兼容。 因此，k的修订是不相信违法的。 通过放弃与p不相容的[K]的元素来获得其结果。 换句话说，通过[p]修改[k]的结果应等于[k]∩[p]。

如果[k]和[p]不相交，则必须在[k]之外寻求修订的结果，但应该是[p]的子集。 一般：

修订[k]的结果是[p]的是[p]的子集

非空如果[p]是非空的

等于[k]∩[p]如果[k]∩[p]是非空的

可以显示这种简单的修订规则，以确切对应于部分符合修订。

修订后的信念状态不应与原始信仰状态[K]不同，而不是[P]的激励。 这可以通过要求通过[p]的修订结果的结果包括[p]的那些元素来实现，这些元素尽可能靠近[k]。 为此目的，[k]可以被认为是由同心球系统包围（就像在David Lewis的反事条件的帐户中）。 每个球体代表与[k]的接近或相似度。

在该模型中，修订[p]的结果应该是[k]的[p]与[k]周围的窄球，其具有与[p]的非空交叉点，如图2所示。该构造是由Adam Grove（1988）发明的，谁还证明，这种基于球体的修订对应于过渡关系部分符合修订。 遵循它还与基于壕沟的修订完全相同。

图2

图2.基于球体的k通过p。

可能的世界模型也可用于收缩。 在收缩中，对世界“可能”的限制（与代理人的信仰兼容）被删除。 因此，可以扩大这些可能性，从而通过[p]的[k]的收缩将导致[k]的超集。 此外，新的可能性应该是P不持有的世界，即，它们应该是¬p持有的世界。 在[k]和[¬p]具有非空的交叉点时，在不空的交叉点的情况下，不需要放大¬p，因此可能是不变的。因此，原始信念将不变。 总之，应根据以下规则执行收缩：

[p]收缩[k]的结果是[k]的联合和[¬p]的子集

非空如果[¬p]是非空的

等于[k]∩[¬p]如果[k]∩[¬p]是非空的

信仰抑制收缩在图3中示出了图3中的收缩可以显示与部分相遇收缩确实相对应。 此外，当添加到[k]的整个[¬p]时的特殊情况对应于完全满足收缩。 另一个极端情况，当仅在表面上的一个元素（表面上的“点”）添加到[k]对应于maxichoice收缩。 因此，在M的MAXICHOICOCE收缩中，P只有一个可能的方式，其中p可以是假的（¬p可以是真的）。

图3

图3. k的收缩p。

格罗夫的球体系统也可用于收缩。 在基于球体的收缩中，添加那些属于围绕[k]的最近球体的那些元素，该元素具有与[¬p]的非空交叉点。 该过程如图4所示。基于球的收缩对应于过分关系部分满足收缩。

图4

图4. k的基于球的收缩。

5.信仰基地

5.1增加的表现力量

在上述方法中，信仰集中的所有信仰都是同样的意义上的，因为它们都是在自己的权利中认真对待的感觉。 但是，由于逻辑关闭，信念集包含许多不值得认真对待的元素。 因此，假设信仰集包含句子P，“莎士比亚写下哈姆雷特”。 由于逻辑关闭它，它也包含句子p∨q，“莎士比亚写道哈姆雷特或查理狄更斯写了哈姆雷特”。 后一句话是“仅仅是逻辑的后果”，应该没有自己的身体。

已经引入了信仰基地来捕捉人类信仰结构的这种特征。 信仰基础是一系列句子，这些句子不是（由于限制案例除外）在逻辑后果下关闭。 其元素代表了独立于任何其他信仰或信仰的信念。 不在信仰基地的信仰集的那些要素是“仅仅是衍生的”，即，他们没有独立的立场。 通过这种方式，可以说，采用信仰基地的模型可以达到对自然语言的亲和力，而不是似乎在诸如AGM等模型中似乎可以实现的似乎可以实现的效果，这些是似乎可以使用信念集作为信仰集的表示。 （在采用超负力逻辑的模型中可以获得对自然语言的仍有更高程度的亲和力;参见Berto 2019.）

在信仰基础模型中，在信仰基础上进行更改，该基座未逻辑关闭。 潜在的直觉是，仅仅派生的信念不值得留住自己的缘故。 如果其中一个失去了它在基本信仰中的支持，那么它将自动丢弃。

对于每个信仰基地A，存在表示根据A保持的信念的信念集CN（a）。另一方面，一个和相同的信念集可以由不同的信仰基础表示。 从这个意义上讲，信仰基地比信仰套装具有更具表现力的力量。 作为一个例子，两个信仰基础{p，q}和{p，p↔q}具有相同的逻辑封闭。 因此，它们在代表同样信念的意义上静态相同。 另一方面，以下示例表明它们在更改操作中的行为意义上并不动态等同。 他们可以被采取代表不同的持有相同信念的方式。

让P表示，自由党将支持补贴钢铁行业的建议，让Q Q史密斯女士，是自由主义的议员，将投票赞成该提案。

Abe有基本的信念P和Q，而鲍勃有基本的信念P和p↔q。 因此，它们相对于P和Q的信仰（在信仰设定水平上）是相同的。

Abe和Bob都接受并接受了P是错误的信息，他们都修改了他们的信仰国家，包括¬p的新信念。 之后，ABE有基本的信念¬p和q，而鲍勃有基本的信念¬p和p↔q。 现在，他们的信仰集不再是一样的。 安倍相信Q，而鲍勃认为¬q。

（在信念集模型中，如此，如此，假设虽然Abe和Bob的信仰状态由相同的信仰集代表，但这种信念集在这两种情况下与不同的选择机制相关联。Abe有一个选择机制，优先考虑Q overp↔q的选择机制，而鲍勃的选择机制具有相反的优先事项。）

只有一个不一致的信仰集（逻辑上封闭的集合），即整个语言。 另一方面，在任何非琐碎的逻辑中，许多不同的不一致信念基础。 因此，信仰基地使得可以区分不同的不一致信念状态。

在信仰修订理论中，它主要被认为是理所当然的，信仰集合对应于一致主义的认识论，而信仰基地则代表基础主义。 然而，逻辑封闭式集合的元素之间的逻辑关系不会充分代表认识的连贯性。 虽然连贯者通常声称所有的信仰都有助于其他信仰的理由，但他们几乎没有意味着这适用于“巴黎或罗马是法国的首都”等衍生信念，只有一个人相信巴黎法国首都。 因此，对信仰基地和信念集的行动之间的区别不应等同于基础歧视和连贯性之间的相同。

5.2信仰基础收缩

部分符合第2.1节中所定义的部分相遇同样适用于信仰基础。 请注意，a⊥p是一个不暗示P的最大子集合; 它们不包含p是不够的。 故

{p，p＆q，p∨q，p↔q}⊥p= {{p∨q}，{p↔q}}。

大多数基本偏移部分符合信仰群体对信仰基地的收缩。 但是，恢复不会持有相信信仰基地的收缩。 从以下示例中可以看出这一点（从ISAAC Levi（2004）采用它用于其他目的的ISAAC Levi（2004）：

让信仰集K包括一种信念，即硬币被抛出（c）并相信它降落头（h）。 认识的代理人希望考虑在遏制硬币被抛弃的假设上，它会有降落的头。 为了做到这一点，从信仰集中删除C似乎是合理的，然后重新插入I.，即执行一系列操作÷+ C.

（1）如果部分符合收缩直接在信仰集上执行，则恢复恢复，即h∈k+ C，即H与C回来。 这与合理的直觉相反。

（2）如果在k的信仰基座上执行部分相遇，则可以避免恢复。 让信仰基础是{p1，...，pn，c，h}，其中背景信念p1，...，pn与c和h无关，而h逻辑上暗示c。 然后k = cn（{p1，...，pn，c，h}）。 由于H表示C，当C被移除时，它必须去，因此k≠c = cn（{p1，...，pn}）。 当C被重新插入时，结果是（k = c）+ c = c = c = cn（{p1，...，pn，c}），其不包含h，其不包含h。

已经获得了以下代表定理，以对信仰基地（Hansson 1999）部分符合收缩。 操作÷是一个集合A如果且才能满足以下四个假设：

成功：

如果p∉cn（∅），则p∉cn（a÷p）。

包括：

一个÷p⊆a

相关性：

如果q∈a和q∉a÷p，则存在一个'，使得一个÷p⊆a'⊆a，但p∉cn（a'）但p∈cn（a'∪{q}）。

均匀性：

如果才能为所有子集A'of thep∈cn（a'），如果q∈cn（a'），则a∈P= a q q。

关联假设与恢复有关相同的信念集，即防止不必要的信仰损失。

在核心收缩的名称下提出了信仰基地收缩的替代方法。 对于任何句子P，P-kernel是最小的p-implying集，即暗示p但没有正确的子集，暗示p。 收缩操作÷可以基于简单的原理，即不应包含在÷p中的p-estern。 这可以用切口函数获得，该函数是从每个P-kernel中选择至少一个元素以进行移除。 删除由切口函数选择被选择删除的那些元素的操作称为内核收缩。 事实证明，信仰碱基的所有部分相遇是内核收缩，但一些内核收缩不是部分符合收缩。 换句话说，核收缩是部分满足收缩的概括。

5.3信仰基地修订

构建了对信念集的扩展，K + P = CN（k∪{P}），以确保结果是逻辑封闭的。 对于信仰基础，这是不可取的，因此信仰基地的扩张必须与信仰集的扩张不同。 对于任何信仰基础A和句子P，A +'P，（非关闭）扩展A的P，是设置A1 {P}。

就像相应的信念集的操作一样，信仰基地的修订操作可以由两个子组织构成：通过p扩展和¬p的收缩。 根据Levi标识，（a * p =（a¬p）+'p），应首先发生收缩亚流量。 或者，两个子晶体可以以相反的顺序进行，a * p =（a +'p）¬p。 这种信念集不存在后一种可能性。 如果k∪{P}不一致，那么K + P总是相同的，即与整个语言相同，独立于K和P的身份，因此所有的区别都丢失。 对于信仰基础，不存在这种限制，因此有两种明显的方法可以从收缩和扩展中获得修改：

内部修订：

一个* p =（一个÷¬p）+'p

外部修订：

一个* p =（一个+'p）÷¬p

直观地，P由P由P是一种修订，其中据信P和¬P都有一个中间不一致状态，而内部修订具有中间非承诺状态，其中POR¬P也不是¬P。 外部和内部修订在其逻辑属性中不同，并且它们都不可以归入另一个。

5.4信仰基地与信仰集之间的联系

信仰基地上的收缩产生了对相应的信仰集中的萎缩。 让A成为信仰基础和K = CN（a）其相应的信仰集。 此外，让 - 成为A的收缩。它导致k的基础生成收缩的操作÷，这对于所有句子P：K∈P= CN（A-P）。 基本生成的收缩已经过公理表征。 一致的信念集K上的操作÷是通过部分满足收缩的操作来产生用于k的一些有限底座，仅当它满足以下八个假设时：

关闭：

k÷p = CN（k÷p）

成功：

如果p∉cn（∅），则p∉cn（k）。

包括：

k÷p⊆k

真空：

如果p∉cn（k），则k≠p = k。

extensionality：

如果p↔q∈cn（∅），那么k÷p = k÷q。

有限性：

有一个有限的组X，使每个句子p，k∈P= cn（x'）用于一些x'⊆x。

对称：

如果它适用于所有R，如果r⊢p，如果r⊢q，那么k p = k÷q。

conservativity：

如果k≠q不是k≠p的子集，则存在一些r使得p⊆k和r∪kq⊢p。

信仰集上的修订的操作可以基于与收缩的操作相同的感觉产生。

6.其他操作

AGM框架以多种方式扩展。 除了AGM中的三种标准类型之外，其中一些扩展还引入了新的操作，即收缩，扩展和修订。

6.1更新

认知代理可能希望将新信息添加到信仰集中有两种类型的原因。 一个人是她收到了关于世界的新信息，另一个世界改变了世界。 它是常见的第一个类型的“修订版”术语，并使用第二项“更新”。 更新的逻辑与修订的逻辑不同。 从以下示例中可以看出：

首先，代理人知道桌面上有一本书（p）或表格（q）上的杂志，但不是两者。

案例1：代理人被告知桌子上有一本书。 她的结论是桌面上没有杂志。 这是修订版。

案例2：代理商被告知，在给出第一个信息后，一本书已经放在桌面上。 在这种情况下，她不应该得出结论，桌子上没有杂志。 这是更新。

更新的一种有用方法是将时间索引分配给句子，如Katsuno和Mendelzon（1992）所提出的。 然后，信仰集不会由句子p，但句子p的对，t1⟩和时间点t1组成，在t1表示p保持该p。 在书籍和杂志示例中，让T1表示第一个语句的时间点，而T2在案例2中给出了第二信息时的时刻。 （¬（p↔q）是p和q的独家分布。 它非常自然地认为，修订的信仰集，而不是通过更新的信仰集来暗示。

6.2合并

如果信仰基础是不一致的，那么通过去除足够的可分配元件，可以一致。 此操作称为合并。 信仰基地A的整合表示为a！ 一个合理的方式来执行整合是由falsum（矛盾）合同，即a！= a÷。

不幸的是，这种巩固不一致信念基地的配方没有一个不一致的信仰集的合理的对应物。 原因是，由于信仰修订在古典逻辑内运作，因此只有一个不一致的信念集。 一旦获得了不一致的信念集，所有的区别都丢失了，并且整合无法恢复它们。