数学解释（三）

巴特曼还提出了另一个观点，对传统的模型解释方法提出了更严峻的挑战。即，由此操作产生的、与其中一个模型相关的“数学理想化”对整个解释至关重要。在海洋的例子中，我们无法断言，在一个模型中，海洋的无限深与实际海面上波浪的特性具有解释相关性。这种理想化所依赖的仅仅是深度超过了某个阈值。其他情况可以使用类似的“伽利略式”理想化来处理，从而消除真实解释中的谬误（Weisberg 2007）。但在巴特曼的案例中，例如相变案例，他明确表示，他认为理想化对于解释至关重要：“这些非传统的理想化在涉及运算或数学过程时发挥着至关重要的解释作用，但并不代表所讨论的系统”（2010, 23）。如果接受这一观点，那么这些案例将会削弱传统方法的适用范围。

在物理哲学中，关于这些理想化对于所讨论的解释的重要性，已经进行了广泛的讨论（Belot 2005、Bokulich 2008、Norton 2012、Lange 2015a、Franklin 2018、Sullivan 2019、Strevens 2019、Rodriguez 2021）。另见 Easwaran 等人，2021 年）。一些批评 Batterman 的人认为，这些案例可以通过避免这些理想化，或像我们处理无限深的海洋那样处理这些理想化来解释。其他批评 Batterman 的人则认为，对这些模型所代表的内容进行更有选择性的解读，可以让人们承认这些理想化对于生成解释至关重要，但它们并非字面上就包含在解释本身中。例如，对这些案例采用反事实方法会将解释与模型生成的一些反事实联系起来。Batterman 等人则回应说，所有这些批评都未能公正地对待所讨论的现象或科学家对其解释的看法 (Morrison，2018 年；Batterman，2019 年；McKenna，2021 年)。

其他替代传统数学建模和解释方法的方法也已开发出来，它们以其他类型的案例为主要动机 (Rizza 2013, Berkovitz 2020, Kasirzadeh 2021b, McKenna 2022)。这些研究的主题之一是对 Batterman 观点的概括，即科学解释通常涉及许多模型，这些模型与解释目标的表征关系比通常允许的更为复杂。例如，Kasirzadeh 考虑了一个案例，其中包含两个具有不同空间尺度的数学模型，用于描述肤色模式形成的过程 (Kasirzadeh 2021b)。生物学家寻求对这两个过程之间如何相互关联的解释。Kasirzadeh 认为，这种解释需要在最初两个模型所包含的数学知识之外，额外引入“桥梁数学”。附加的数学知识通过描述微观过程如何产生意想不到的宏观结构，为解释做出了贡献。麦肯纳（McKenna）更进一步，论证了“模型无法用纯数学术语拼凑起来”的案例的重要性（McKenna 2022）。在麦肯纳的主要案例中，为了进行大规模气候建模，开发了各种海冰渗透率模型。没有一个单一的海冰数学模型能够证明足以为大规模模型提供正确的参数。相反，不同的海冰模型与关于海冰形成样本的高分辨率经验数据结合使用。这些案例对于由这些建模技术产生的解释的意义，很可能是一个持续争论的主题。

1.4 解释的不可或缺性论证

许多哲学家对科学中的非因果数学解释感兴趣，因为它们似乎支持对纯数学进行柏拉图式诠释的解释的不可或缺性论证。 Colyvan 和 Baker 一直是此类论证最热心的捍卫者（Colyvan 2001, 2010, Baker 2005, 2009a, 2022）。Colyvan 在其 2001 年出版的著作中，提出了一个关于数学实体（如自然数）存在的普遍不可或缺性论证：

1.

我们应该对所有且仅对那些对我们最好的科学理论不可或缺的实体做出本体论承诺；

2.

数学实体对我们最好的科学理论而言是不可或缺的。

因此：

3.

我们应该对数学实体做出本体论承诺（Colyvan 2001, 11）。

本体论承诺的概念最早由奎因提出（Quine 2004, Putnam 2010）。这些承诺反映了人们应该相信存在的东西。前提1与对这些信念的自然主义方法相关，该方法声称这些信念应该由我们最佳科学理论的特征决定。对奎因而言，一个人的本体论承诺取决于将其科学理论最佳地组织成一阶逻辑，而最佳组织的定义则由一致性和简单性等常规科学标准决定。科利文在其书中举出的一些案例援引了数学实体对我们最佳理论的解释性贡献。如果我们假设科学的目标之一是解释，那么某种组织可能是最佳的，部分原因在于它能够解释各种科学现象。

在梅莉亚与科利文的交流之后，这种不可或缺性论证的解释性版本变得更加突出（梅莉亚 2000, 2002, 科利文 2002）。梅莉亚认为，对数学实体进行不可或缺的量化不足以支撑本体论承诺。任何此类承诺都可以通过“狡辩”的策略来取消，例如加上“但我不接受任何数学实体的存在”。例如，一个人可以用数字来数自己有多少苹果和梨，并得出结论：苹果比梨多。但梅利亚随后会补充说，他拒绝自然数的存在，从而取消了这一承诺。科利文回应说，当数学实体解释某事时，这种补充是不连贯的，梅利亚也表示同意：“如果有明确的例子表明，数学对象的假设会导致与理论实体假设所提供的效用增加，那么支持原子存在的同类考虑似乎……电子和时空同样支持数、函数和集合的存在”（Melia 2002, 75–76）。关于不可或缺性和柏拉图主义的争论随后主要转向了对案例的评估。

贝克接受了梅莉亚的挑战，重新表述了论证，使解释性问题成为核心。贝克还引入了新的案例，例如蝉的案例，旨在更清晰地阐明原子与数之间的对应关系。在贝克的表述中，论证如下：

1′.

我们应该理性地相信，任何在我们最好的科学理论中发挥着不可或缺的解释作用的实体都存在。

2′.

数学对象在科学中发挥着不可或缺的解释作用。

3′.

因此，我们应该理性地相信数学对象的存在（Baker 2009a, 613，前提重新编号）。

前提1′对解释的强调当然与奎因的规范化过程相一致。因为例如，我们选择最能解释蝉特性的理论。如果我们随后找到该理论的最佳规范，就会发现它将蕴含素数存在。因此，前提1′的全部主张是，无论这些本体论承诺最终是什么，人们都应该认可。然而，还有第二种支持前提1′的方法：人们可以诉诸推理来推导出最佳解释，并将其用于支持关于电子等不可观测实体的科学实在论。贝克有时将其不可或缺性论证的吸引力与科学实在论联系起来：“科学实在论立场的一个关键支柱在于，通过推断最佳解释（IBE）来证明在特定情况下不可观察理论实体的假设的合理性……只有双方都认真对待IBE，不可或缺性之争才能真正展开，这表明解释在这场辩论中至关重要”（Baker 2005, 225）。诉诸IBE，通过将我们的注意力引向某些解释目标（例如某些蝉的生命周期长度），从而避免了奎因式的严格限制。如果我们是科学实在论者，那么我们就会接受使用IBE来支持我们关于各种实体存在的主张。因此，如果我们发现最佳解释也包括像素数这样的抽象对象，那么我们也应该接受它们的存在。

关于这一解释性不可或缺性论证的三种担忧可以有效地区分开来。第一个担忧是，该论证在某种程度上是循环论证，是回避问题，或者未能正确识别我们认知数学实体存在的基础。斯坦纳在1978年有力地提出了这一观点。斯坦纳主张数学解释的存在，并声称自己知道抽象的数学实体的存在。然而，“没有任何解释性论证能够证明数学实体的存在”（1978b，20）。其原因归于摩根贝瑟：“我们无法描述没有数字的世界会是什么样子，因为描述任何可想象的体验（除了完全的虚空）都预设了它们的存在”（1978b，19-20）。关键似乎在于，为了使解释性论证得以进行，我们必须能够比较某个目标的数学和非数学解释。但如果目标总是“预设”某些数学实体的存在，那么这种比较就不可能实现。Bangu 通过指出所讨论的案例中有多少目标具有数学特征，例如蝉的生长期，进一步阐述了这一观点（Bangu 2008, 2012，参见 Baker 2021a 的回应）。因此，人们的担忧仍在继续，只有当我们使用数学实体来表征目标现象时，数学解释在科学中才是不可或缺的。Pincock 也抱有类似的担忧：如果目标的表征是弱数学术语，那么只需要弱数学理论来解释这些目标，并且这些理论很容易获得一种名义主义的解释，从而保留其解释力（Pincock 2012，参见 Baker 2015b 对这些担忧的回应）。

另一种担忧承认科学在某种意义上存在数学解释。然而，前提2′被驳斥，因为这些解释未能涉及任何数学对象的存在。Saatsi进一步提出了这一批评，他声称数学仅通过表征物理世界的某些非数学特征来进行解释（Saatsi 2007, 2011）。按照这种解读，前提2′要求存在一些“独特”或“真正”的数学解释，但并不存在这样的解释。正如Saatsi所担忧的那样，“对于不可或缺性论证来说，真正重要的——所有重要的！——是数学是否发挥了我们应该视为本体论承诺的那种解释作用”（Saatsi 2016, 1051）。除非该论证的捍卫者阐明什么是独特的数学解释，以及它们如何涉及数学对象，否则前提 2′ 似乎存在问题。其他版本的反对意见可见于 Daly & Langford 2009、Rizza 2011、Tallant 2013、Liggins 2016、Busch & Morrison 2016、Barrantes 2019 和 Boyce 2021 的文献中（另请参阅 Panza & Sereni 2016 对这些争论的有益概述）。

第三种对前提 2′ 的担忧是由 Yablo 和 Leng 等数学虚构主义者提出的（Leng 2010, 2021；Yablo 2012, 2020）。虚构主义者接受独特的数学解释的存在，但认为这些解释并不预设任何数学对象的存在。例如，冷论证道：“我们可以生成物理现象的数学解释，这种解释不诉诸任何抽象的数学对象，而只需要关于从我们的数学假设逻辑推导出来的结果的模态真理，同时承认我们的数学理论的假设在被解释为关于所考察的物理系统时是正确的。”（Leng 2021, 10437）因此，冷可以认可贝克蝉特征的统一推导，却又不接受数学对象的存在。萨特西认为系统的物理特征才是真正的解释因素，而冷则用这些特征来解释那些正在进行解释工作的数学理论。无论如何，不​​可或缺性论证的前提2′都是错误的。Colyvan 和 Baker 支持前提 2′ 的策略主要涉及数学对象在解释中扮演的角色，类似于电子等不可观察实体在其他解释中扮演的角色。例如，在蝉的案例中，素数提供了解释目标的统一推导。这种策略最有效地对抗表征性数学解释方法。其基本思想是，科学家重视这些解释，因此任何以非数学术语重新解释它们的行为，都有可能将缺乏动机的哲学理论置于某些合法的科学实践之上。正如 Baker 和 Colyvan 在回复 Daly 和 Langford (2009) 时所指出的那样：“对诸如名义主义、因果解释理论或数学应用的‘索引’观点等哲学理论的认同，并非拒绝得到充分支持的科学和数学主张的充分理由”(Baker & Colyvan 2011, 332)。

科利文推行的第二个策略是挑战批评者用非数学的术语来重塑这些解释。拒绝这样做就等于走上了一条通往名义主义的“捷径”，而科利文认为这根本站不住脚：“当一段语言提供某种解释时，要么必须从字面上理解这段语言，要么对该语言的非字面解读就代表了真正的解释”(Colyvan 2010, 300)。这种策略对虚构主义者最有效。它包含这样一种科学解释的概念，即要求所有真正的解释都能用字面的、非隐喻的语言来表达：要解释某件事为什么会发生，我们必须从字面上说出什么导致了什么，因此，原则上必须能够避免使用虚构或隐喻工具。如果虚构主义者对纯数学的看法是正确的，那么数学就只是这样一种工具，因此他们应该能够勾勒出所讨论解释的非数学版本。虚构主义者的回应是否认这种解释的概念。

对前提2′的另一种批评既接受数学解释的存在，也接受这些解释涉及数学对象，但坚持认为这些解释对于我们最好的科学来说是可有可无的。也就是说，要么我们科学理论的最佳组织能够避免对数学对象的量化，要么任何诉诸IBE都不会真正支持采用这种解释。这种批评可以追溯到菲尔德的开创性著作《没有数字的科学》（Field 1980）。菲尔德在书中将“内在”解释与“外在”解释进行了对比。他声称所有数学解释都是外在的，并且对于某个目标的每一个外在解释，都存在一个针对该目标的更优越的内在解释（Field 1980, 43–44；参见 Marcus 2013）。Colyvan、Baker 等人所倡导的解释表明，尚不清楚数学解释是否总是外在的，或者内在的非数学解释是否在所有方面都更优越。再次考虑对无法穿越柯尼斯堡桥的非因果解释，或对蝉的黄金时期的进化解释。虽然肯定存在一些针对这些目标的非数学推导，但这并不能确定这些推导是否应算作解释，或者它们的解释优势是什么。或许，对前提 2′ 最有希望的辩护，是对独特的数学解释进行积极的阐释，以阐明认可此类解释如何使人们相信某些数学对象的存在。近期关于此问题的文献似乎再次引发了某种僵局。例如，不妨考虑一下 Baron 对这些解释提出的“毕达哥拉斯式”建议（Baron 即将出版）。Baron 将毕达哥拉斯主义者定义为不仅相信数学对象是抽象实体，而且声称这些抽象实体的某些内在属性也为具体实体所拥有的人。这是可能的，因为数学实体的显著内在属性是结构属性，只要具体实体以正确的结构排列，这些属性就会在具体世界中被发现。因此，这些共同的结构属性及其必要的数学关系使数学真理能够解释物理系统（例如桥梁或蝉）的特征。此外，Baron 明确指出：“在我看来，结构属性与抽象对象有着不可或缺的联系”（Baron 即将出版，25）。因此，对前提 2′ 的辩护之一就是采纳巴伦的毕达哥拉斯主义。

其他关于独特数学解释的论述支持对前提 2′ 的拒绝。例如，兰格对独特数学解释的模态解释使他赞同一种他所谓的“亚里士多德现实主义”的纯数学解释，即用一种特殊的抽象属性来解释纯数学，而无需诉诸任何抽象对象 (Lange 2021b，另见 Franklin 2008)。根据兰格的说法，理解数学真理的解释力的最好方法是假设“数学关注物理系统所拥有的数学属性”（Lange 2021b，50）。与Baron的观点一致，这些数学属性有助于解释为什么这些物理系统具有其他属性。对兰格来说，这种亚里士多德式解释的主要好处在于，物理系统的显著模态特征源于数学属性的存在。这有助于阐明数学真理及其所调用的属性在何种意义上可以解释性地先于某些目标属性。但至关重要的是，对兰格而言，这种对纯数学的解释消除了调用抽象对象的需要。如果兰格是对的，那么解释不可或缺性论证的前提 2′ 就是错误的。 （另见 Knowles & Saatsi 2021、Knowles 2021a、Knowles 2021b 和 Baker 2022 对这一前提的其他挑战。）

对不可或缺性论证存在问题的一种诊断是，该论证的结论涉及纯数学的解释，而该论证的前提则考虑数学在科学中的应用。因此，柏拉图主义者或许更应该关注纯数学实践中出现的解释性考量。这是第二部分的重点。

2. 数学中的数学解释

许多数学活动的驱动因素并非在于确定某个定理的正确性。在许多情况下，数学家并不满足于仅仅知道某个数学事实成立并对其进行反证，同时还声称新的证明具有解释性益处。这种解释活动出现在数学本身之中（参见序言），因此人们常称之为“内部”或“数学内部解释”（Baron、Colyvan & Ripley 2020、Betti 2010、Mancosu 2008）。“内部数学解释”这一表述涵盖了各种不同的现象：内部数学解释可能相当于对整个数学领域的重塑，也可能旨在为特定定理提供解释性证明。D’Alessandro (2020)、Hafner 和 Mancosu (2005)、Lange (2018b) 和 Sandborg (1997，第一章) 等学者研究了这些数学解释活动的多样性。

在这些不同的解释活动中，大部分注意力都集中在那些不仅能证明定理为真，还能说明其为何为真的证明上。虽然在具体事例上可能存在分歧，但许多数学家经常声称某些证明具有解释力，而另一些则没有。这些主张贯穿于数学史和数学哲学的各个领域（参见 Lange 2015c、2016、2017（第 7-9 章）和 Mancosu 2001）。正如 Bouligand 所说：

许多定理可以有不同的证明。最具启发性的当然是那些能够让人理解其结果深层原因的证明。 （Bouligand，1932，6，Mancosu 译）

实代数几何学家 Gregory Brumfiel 对实代数几何中的两种不同类型的证明进行了鲜明的对比，即他所说的超越论证明（即基于转移定理的证明，该定理从特定实数闭域（比如实数）上陈述的真实性推断出所有实数闭域上陈述的真实性）与……一种对所有实数闭域都一致成立的证明。第一种证明被布鲁姆菲尔德（Brumfiel）否定，认为它缺乏解释性，而第二种证明则具有解释性。用他的话说：