数学解释（二）
1.2 解释理论
1.1 节概述了亚里士多德传统的两大遗产：解释需要原因，以及提供解释需要给出基于规律的论证。自 20 世纪 60 年代以来，科学哲学领域的争论表明，人们可以优先考虑某一遗产（Salmon 1989）。亨普尔对解释的演绎-法则学分析要求，解释必须是从真实前提出发的演绎有效论证，其中至少有一个前提是科学规律（Hempel 1965）。亨普尔和其他秉承这一广泛传统的经验主义者都谨慎地避免将原因置于解释的核心。即使在亨普尔的一些批评者，例如 Kitcher 的批评中，这一点也显而易见。他强调解释的统一力量。对Kitcher而言，解释是演绎论证方案的一个实例，其中所采用的方案是根据我们所接受的主张的整体特征来确定的（Kitcher 1989，更多讨论参见2.2.2节）。
相比之下，Salmon的研究说服了许多科学哲学家，使他们相信解释只需提供有关解释目标的因果信息（Salmon 1984, 1989）。对于Salmon和其他秉持这一传统的学者而言，解释不需要定律，甚至不需要是论证。这种方法的一个发展保留了Salmon对因果机制作为一种特殊过程的强调。所谓的“新机械论者”拥护比Salmon更广泛的因果机制概念，并将对某些目标的解释与产生该目标的机制联系起来（Machamer, Darden & Craver 2000）。其他因果解释方法包括戴维·刘易斯（David Lewis）的因果关系反事实分析（Lewis 2004）和伍德沃德（Woodward）的干预主义理论（Woodward 2003, 2021a）。尽管刘易斯和伍德沃德之间存在差异，但他们都允许在没有机制的情况下进行因果解释。这使得他们的解释方法更容易推广到非因果案例。
关于非因果数学解释的哲学讨论可以根据其与这些关于科学解释的争论的更普遍的关联性进行分类。一种立场主张需要恢复类似亨普尔（Hempel）对定律的强调或基彻（Kitcher）关于统一性的主张（Baron 2019）。另一种立场则从因果解释的论述中进行推广，以便能够涵盖这些数学案例（Saatsi & Pexton 2013, Reutlinger 2016）。第三种立场则对解释持多元论立场，并认为解释有多种不同的类型，无法被归入上述两种解释中的任何一种（Pincock 2018, 2023）。
兰格对非因果解释的广泛讨论，可以被视为一种勇敢的尝试，旨在维护基于规律的科学解释方法，这种方法可以追溯到亨普尔（和亚里士多德）时期（Lange 2013, 2017）。兰格关于规律的研究强调了如何识别具有适当模态强度的断言，从而有助于解释（Lange 2009）。不妨对比一下“所有金立方体的体积都小于1立方英里”和“所有Ur-235立方体的体积都小于1立方英里”。前者是偶然的，而后者具有一定程度的必然性。这使得后者能够为解释做出贡献。兰格的数学解释方法扩展了这一点，使得数学主张能够因其特殊的必然性而以独特的方式在解释中发挥作用。这使得数学能够为兰格所谓的“约束解释”做出贡献，这种解释表明某些结果是如何必然发生的（Lange 2017，第二章）。兰格就是这样处理草莓除法案例以及像柯尼斯堡桥这样的案例的。其他数学解释则依赖于所涉及量的维度或某些过程的统计特征（Lange 2017，第五、六章）。在每一种类型的案例中，数学主张的模态特征使其能够进行解释，正如普通科学定律的模态特征使其能够进行解释一样。
毫不奇怪，许多哲学家对兰格的提议提出了质疑，其方式与萨蒙反对亨普尔演绎法理学进路的方式类似（Pincock 2015a, Reutlinger 2017b, Saatsi 2018）。例如，克雷弗和波维奇反对这种观点，他们认为，在缺乏对解释的因果约束的情况下，兰格的提议缺乏任何合适的世俗基础，因此将过多的目标表征视为解释（Craver & Povich 2017, Lange 2018a）。作为一名广义上的解释机械论者，克雷弗似乎倾向于否定非因果数学解释的可能性（Craver 2014）。他的合著者波维奇针对这些情况提出了一个更具建设性的建议，允许基于各种世俗或本体论基础的解释（Povich 2020, 2021）。波维奇提出了一种相当于处理非因果解释的新共识：如果提出的解释以正确的方式与正确的反事实相关，那么它就是合理的（Woodward 2018, Rice 2021）。然而，目前尚无关于哪些类型的反事实检验足以解释的共识（参见 Lange 2021a 中对这种方法的一些反对意见）。
一种选择是将数学主张视为支配某种情境的定律，并在数学允许我们评估一系列反事实情景时，赋予其解释力。这是 Reutlinger 的提议，它刻意放宽了 Woodward 对干预措施的要求（Reutlinger 2016、2017a、2018；Reutlinger、Colyvan & Krzyzanowska 2022）。例如，在柯尼斯堡桥梁的案例中，数学主张表明，在一些实际桥梁缺失的反事实情景中，桥梁的回路是可能的。Reutlinger 的结论是，数学主张通过指出是什么对感兴趣的特征产生了影响，从而解释了现实世界中正在发生的事情。但可以说，这种方法过于自由了。假设我们问为什么我们有
81
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枚邮票。这是一个数学真理：
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=
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，
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，
因此我们可以将邮票排列成
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×
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9
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的阵列。所以，如果我们不能将邮票排列成
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×
9
9
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的阵列，那么我们就不会有
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枚邮票。但是，
9
×
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=
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9
×
9
=
81
这个真理并不能解释为什么我们有
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81
枚邮票。
另一种选择是将数学断言视为原因。这样，当一个假设该断言为假的“反数学”最终对所讨论的目标产生影响时，该断言才具有解释性。这种反数学涉及不可能的世界，在这个世界里，必然的真理被证明是错误的。这是 Povich 采取的选项（Povich 2020, 2021）。Baron 与 Colyvan 和 Ripley 合作提出了另一系列类似的提案（Baron, Colyvan & Ripley 2017, 2020）。Baron 等人借鉴了 David Lewis 评估与因果关系相关的反事实的程序：考虑通过奇迹般变化产生的情景，这种变化刚好足以使反事实的前提成立。此外，Baron 等人要求与这种数学转变有关的自然界特征也以相应的方式改变。例如，对于蝉的案例，核心的数学主张是与非素数周期相比，素数周期使交集最小化。因此，在12、13、14、15、16、17和18年（由生态约束确定）中，素数13和17相对更适合。Baron等人考虑了假设13不是素数的后果。他们认为，如果13不是素数，那么除了1和13之外，它还会有其他因数。因此，拥有13年的生命周期并不会赋予任何相对的适应性优势。因此，在这个不可能的世界里，蝉不会进化出13年的生命周期。这是为了表明13的素数性质对13年生命周期蝉的进化产生了影响。（另见2.2.1节关于纯数学的类似辩论。）
这些关于不可能世界的本质以及我们对其的认知途径的提议存在着紧迫的问题（Kasirzadeh 2021a）。Baron本人在其著作中提出了另一种反对意见，他发展了另一种数学解释的思路（Baron 2020）。Baron与Baker和Lange一样，旨在识别一类对自然现象真正或独特的数学解释（Baker 2005, 2009a, Lange 2013）。这些案例的特殊之处在于，数学解释了一切，但其解释方式并非表述或描述某些非数学解释因素，例如原因或其他世俗差异制造者。Baron 普遍担心的是，仅仅使用反数学解释无法区分运用数学的解释和真正的数学解释。我们可以通过最初的邮票案例来理解这一点：为什么我们可以将邮票排列成 9
×
9
9
×
9
的阵列？因为我们有 81
81 枚邮票，而 9
×
9
= 81。9
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= 81。这个案例通过了 Baron 等人的反数学测试，因为如果 9
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不等于 81
81
，那么我们的 81
81 枚邮票就无法排列成 9
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9
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的阵列。然而，这里的数学主张似乎只是追踪邮票的非数学特征，因此 Baron 和其他人不想将其视为一种特殊的数学解释。Baron 的结论是，除了相关反数学的真理性之外，还必须施加一些额外的要求。在此，Baron 回顾了 Kitcher 的观点，即解释是一种特殊论证方案的实例（Kitcher 1989），其中这些方案是通过适当统一我们所接受的主张的过程而找到的（有关对此建议的反对意见，请参阅 Pincock 2023 和 Povich 即将出版的著作）。其他近期关于非因果数学解释的研究似乎也回归了这些争论的一些原始来源。例如，Lange 认为，理解纯数学在经验科学中的解释力的最佳方式是采用亚里士多德式的纯数学诠释（Lange 2021b）。
Lyon 提出了另一种将数学解释与因果解释联系起来的方法，即借鉴 Jackson 和 Pettit 的“程序解释”概念（Jackson & Pettit 1990）。程序解释不会援引导致感兴趣结果的属性。相反，这种解释诉诸于一个属性
A
�，它保证了属性族中某个成员的存在，而某个这样的属性
B
� 导致了感兴趣的结果。正如里昂总结其提议时所说：“如果一个经验事实的解释是一种程序解释，并且以程序不可或缺的方式运用数学，那么这种解释就是数学的——也就是说，它有数学在进行解释工作”（里昂 2012，568）。该提议的一个担忧是，它包含了一些数学仅仅代表某些因果相关属性的情况，例如上面提到的邮票案例：编程是一种过于不加区分的关系，无法避免这种担忧（萨特西 2012）。一些本体论结构实在论者（Ladyman & Ross 2007，French 2014）寻求一种全面的方法来处理因果关系与数学之间明显的紧张关系。他们将世界的基本形而上学结构等同于数学结构。如果人们采用这种结构实在论，那么数学在经验科学中的解释力将得到令人满意的分析。在基础物理学中，科学家将直接研究基础数学结构，因此那里的解释本质上是数学的。在生物学或经济学等非基础领域，科学家将研究最终基于某种数学结构的世界特征。因此，非基础科学中的许多解释都是数学的，这再次合情合理。因果解释将与更基础的数学解释完全一致。很少有哲学家愿意采取这种形而上学的立场来解决关于数学解释的问题，尽管至少有一位物理学家捍卫了这种方法（Tegmark 2014）。
另一种不那么形而上学的解决这些难题的方法是保留因果解释如何运作的论述，并用关于各种非因果解释如何产生的独特论述来补充它（Pincock 2015a，Pincock 2018，以及Knowles 2021a的批评）。这种解释多元化也让人联想到亚里士多德传统的一个方面。解释多元论者面临的一个挑战是理解科学家赋予解释的价值：如果解释种类繁多，毫无共同之处，那么拥有一个解释又怎么会有特殊的价值呢？对此挑战的一种回应是，掌握一种解释就能产生科学理解，但这种科学理解的性质和价值仍然是一个活跃的争论话题 (Rice & Rohwer 2021)。另一种回应是捍卫一种限制性的解释一元论。事实证明，这种关于解释的一元论过于狭隘，以至于科学中根本没有数学解释 (Zelcer 2013, Kuorikoski 2021)。这让人想起1.1节中提到的文艺复兴时期辩论的一方。
另一种多元论源于假设因果解释涉及新机械论者所倡导的机制，从而允许以不同方式运作的其他类型的解释。一类得到广泛讨论的案例是所谓的“拓扑”解释。这些解释诉诸结构性或基于网络的特征来解释系统的某个方面（Kostic 2020, 2023, Ross 2021）。一种观点认为，拓扑解释是非因果、非机械的解释，它们基于另一种解释性相关特征。例如，Kostic 和 Khalifa 认为，要理解拓扑解释，需要一种优先考虑科学家解释目标的非本体论方法（Kostic & Khalifa 2021, 2022）。另一种观点认为，适当灵活的机制概念可以将真正的拓扑解释视为机械解释（Bechtel & Abrahamsen 2010, Bechtel 2020, Huneman 2010, 2018, Brigandt 2013, Green et al. 2018）。与伍德沃德和刘易斯反事实因果解释方法所引发的争论一样，主要问题在于什么才算机制，以及非机制如何具有解释性（Janson 2018，Janson & Saatsi 2019，Andersen 2020，Jha et al. 2022）。
最近，一些作者试图通过论证所有科学解释都依赖于非表征性的表达性元素（McCullough-Benner 2022，Hunt 即将出版）来恢复某种解释一元论。如果这种观点正确，那么只要数学能够被看作执行作者所定义的任何表达功能，理解数学解释就不难。因此，表达性方法的可行性取决于关于纯数学解释的问题，这些问题将在1.4节和2.2节中进行探讨。
1.3 数学模型与理想化
亚里士多德传统的一个假设，在1.2节所总结的著作中，经常被质疑，那就是任何提供解释的东西（即被解释项）都必须是真的。对科学模型及其解释方式的哲学研究，使许多人相信，被解释项不一定是真的。这一结论的论证很简单：科学模型可以解释，但科学模型本身并不真实。因此，真理并非解释的必要条件 (Bokulich 2011；另见 Cartwright 1983、Morrison 2015、Rice 2018 和 Yablo 2020)。
对这一论点的传统回应是，即使模型本身并不真实，也只有当它能够生成关于解释目标的某些真理时，模型才能解释 (Colyvan 2010，更多讨论见1.4节)。也就是说，只有当模型以某种方式表征其目标时，它才能解释。因此，争论的焦点在于如何理解模型的表征方式，尤其是在数学模型的情况下，以及模型的表征性特征是否足以理解基于模型的解释。一种观点认为，模型能够解释何时将目标系统以某种方式表征，以及何时表征其他事物来解释系统为何如此。例如，结果E的因果模型需要表征E以及E的某些原因C。然而，对于模型表征事物所需的条件尚无共识。
由于模型与其目标截然不同，并且模型和目标通常由不同的材料构成，因此很自然地可以得出结论，结构关系是模型表征的核心。然而，很难仅仅因为模型与目标之间存在结构关系就断言模型表征目标（Suárez 2010, 2015）。例如，一个模型与其自身同构，因此它与自身之间存在结构关系。但我们不想说一个模型代表自身。也存在一些模型-目标关系，它们缺乏任何清晰的结构特征。例如，一个模型可能代表太阳系，但实际上只包含两个点粒子，它们的运动轨迹与实际太阳系中的任何物体都不存在任何非平凡的结构关系。因此，对于一个模型来说，存在结构关系既不是代表目标的必要条件，也不是充分条件。
对这些问题的回应之一是，当主体声称模型与目标之间存在结构关系时，该模型就代表目标。这种关系可能具有相当的选择性，并涉及对模型中各种元素的重新解释（Pincock 2012，第二章；Frigg & Nguyen 2020）。例如，将地图与某个国家联系起来的投影可能相当复杂，并且涉及地图上符号指示该国的各种惯例。一些作者将代理在模型和目标之间建立的关系与推理原则联系起来（Bueno & Colyvan 2011；Bueno & French 2018）。因此，根据这些不同的提议，当代理建立了从模型到目标的某种表征关系或推理许可，并且这些联系能够真正解释该特征（例如，它们是该特征的原因）时，模型就解释了目标的某个特征。例如，一张经过适当解释的地图可以通过准确地表示未能连接这两个城市的火车网络来解释两座城市之间火车旅行的不可能性。
然后，可以使用1.2节中概述的不同解释方法来识别解释模型及其解释的内容。持解释观点的机械论者认为，数学模型可以通过表征机制来解释，而差异制造观点则需要一个解释模型来表征差异制造，即变量 X 的变化将如何伴随结果 Y 的变化。所有这些观点都认为，科学模型无需真实才能进行解释。模型只需通过表征目标的正确信息来提供一些真理即可。因此，模型中存在的关于目标的谬误并不会妨碍模型的解释力。Batterman 对这种解释模型和理想化方法提出了质疑。Batterman 的一个论点是，有些解释模型并非依靠模型中代表某些解释相关因素（例如原因或更奇特的非因果差异因素）的元素来进行解释。相反，在这种情况下，“虽然我们对物理现象有真正的数学解释，但数学实体或其属性的存在并不具有吸引力。相反，吸引力在于一种数学理想化，这种理想化源于一种将一个模型……与另一个模型联系起来的极限运算”（2010，7-8）。Batterman 在此讨论的情况涉及一种运算（称为取热力学极限），该运算将“有限统计力学模型”转化为“连续热力学模型”。这对于解释某些相变特征（包括液/气转变和磁化）的普遍性至关重要。这些特征之所以具有普遍性，是因为它们存在于微观物理特征截然不同的系统中，因此显得尤为令人费解。
Batterman 在此提出的一点是，连接模型的数学运算对于经验现象的数学解释可能具有重要意义（另见 Batterman & Rice 2014、Batterman 2019、Batterman 2021）。传统模型解释方法的捍卫者通常关注使用单一数学结构进行解释的情况。然而，传统方法的基本思想可以扩展，以处理某些数学运算的解释意义。例如，一个数学模型可以通过数学运算转换为另一个数学模型。如果此操作反映了某种具有解释意义的东西，那么连接这两个模型以及连接它们的操作可能就是解释的核心。一些理想化与这些操作相关，例如将海洋视为无限深，或将行星建模为点粒子的情况。在这种情况下，这些操作通过改变或移除对模型元素的解释来发挥作用。
