数学解释（一）

数学解释的哲学分析涉及两个不同但相互关联的研究领域。第一个领域探讨的是数学能否在自然科学和社会科学中发挥解释作用的问题。第二个领域探讨的是数学解释是否存在于数学本身之中的问题。因此，本条目概述了这两个领域的贡献，展示了它们与哲学、数学和科学史的相关性，阐明了它们之间的联系，并指出了通过深化我们对该主题的理解可以预期获得的哲学回报。

1. 经验科学中的数学解释

1.1 一些历史回顾

1.2 解释理论

1.3 数学模型与理想化

1.4 解释的不可或缺性论证

2. 数学中的数学解释

2.1 一些历史回顾

2.2 数学解释模型

3. 与其他争论的联系

参考文献

学术工具

其他网络资源

相关文章

1. 经验科学中的数学解释

几乎所有最成功的经验科学都大量运用了数学。此外，科学家经常强调解释他们所发现的某些现象的价值。因此，人们自然会思考数学是否适合用于解释自然现象，以及这些贡献可能是什么。在科学哲学中，大多数解释论证都将解释与对原因的恰当描述联系起来（参见 Salmon 1984、Cartwright 1989，Woodward 2003、Strevens 2008 以及 Beebee、Hitchcock & Menzies 2010 概述）。几乎每个人都承认数学工具是追踪或表征因果关系的绝佳手段。例如，数学可以用来解释哈雷彗星的轨道周期为何为 75 年。经验科学中关于数学解释的大部分争论集中在更具争议性的案例上：数学在非因果解释中可能扮演什么角色（如果有的话），以及这些案例如何挑战这种或那种因果解释的解释（Reutlinger & Saatsi 2018）？

一种被强调的案例旨在解释某些过程的可能性或不可能性。例如，为什么我们不能把 23 颗草莓平均分配给三个朋友（Lange 2013），或者为什么我们可以将 81 张邮票排列成 9 乘 9 的阵列？合理的解释似乎是：23 不能被 3 整除，以及

9

×

9

=

81。

9

×

9

=

81。

这两个数学事实都不是导致该过程特征的原因，因此我们似乎找到了一个非因果性的解释，其中数学只是解释的一部分。其他过程的可能性或不可能性，则由研究自然系统结构或形式特征的其他数学领域来解释。例如，为什么我们不能绕柯尼斯堡的桥梁绕一圈，并且每座桥梁恰好过一次（Pincock 2007，Molinini 2012）？这可以用桥梁网络的抽象结构来解释。为什么可能存在稳定的行星轨道？有人提出的一种解释是借助时空维度（Woodward 2003）。另一种非因果数学解释涉及现象中一个显著或令人惊讶的特征，该特征可以通过对情况进行数学分析来识别。该特征可能与最小化过程相关，或者由于数学原因而特别具有弹性或稳定性。或许讨论最多的案例是三种周期蝉的生命周期长度：为什么它们的长度要么是13年，要么是17年（Baker 2005, 2017）？一种解释是，13和17是质数，而质数生命周期赋予了它们相对的适应性优势，使其在躲避捕食者和争夺食物等稀缺资源方面更具优势。其他广义的进化案例包括蜂巢的六边形形状（Lyon & Colyvan 2008, Räz 2017, Wakil & Justus 2017）以及向日葵种子的形状（Lyon 2012）。关于这些最优性解释如何在生物学和经济学中发挥作用，已有大量文献（Potochnik 2007，Rice 2015，2021）。然而，数学的这种解释贡献也可以在其他领域找到。例如，为什么肥皂膜遵循普拉托定律（Lyon 2012，Pincock 2015a）？这可以通过在约束条件下的表面最小化过程来解释。这种情况的数学性质对于这些定律所呈现的特征至关重要。其他情况则取决于对某些过程的稳定性或不稳定性进行数学分析。例如，为什么所谓的柯克伍德空隙会出现在我们太阳系的小行星带中（Colyvan 2010）？占据某些空间区域是不稳定的，因此从这样的区域出发的小行星极有可能离开该区域。类似的分析可以解释土星环的模式，或桥梁等工程结构的倒塌。（另请参阅 Ashbaugh、Chicone & Cushman 1991、Colyvan 2001、Lipton 2004、Baker 2015a 和 Lange 2017 等一系列其他示例。）

第一节的其余部分将探讨关于非因果数学解释的争论的历史（第一节第一部分）及其对各种科学解释理论的意义（第一节第二部分）。本节随后将讨论与这些解释的特征密切相关的另外两个争论：数学模型如何能够解释其高度理想化的特征（第一节第三部分），以及数学在科学中的解释作用如何支持对纯数学的柏拉图式解读（第一节第四部分）。

1.1 一些历史回顾

数学有助于解释物理世界吗？还是它实际上阻碍了我们理解那些解释自然现象如何发生和为什么发生的物理机制？本文无法全面论述这一复杂的主题，但以下几点评论将有助于读者理解这个问题的历史重要性。

亚里士多德在《后分析篇》中描述了他对科学知识的理想，其中包括对原因的认识：

我们假设自己拥有对某事物的绝对科学知识，这与诡辩家偶然的认知方式相反。当我们认为我们知道事实所依赖的原因，即事实本身的原因，而非其他原因，并且认为事实只能是它本身。(BWA, 111, Post. An. I.1, 71b 5-10)

这里讨论的原因（aitia）指的是亚里士多德的四种原因：形式原因、物质原因、动力原因和最终原因。如今，亚里士多德的译者和注释者更喜欢将 aition [aitia] 翻译为“解释”，这样四因论就变成了对四种解释类型的阐述。例如，以下是 Barnes 对前面引用段落的翻译：“每当我们认为我们意识到对象所基于的解释就是它的解释，并且不可能有其他解释时，我们就认为我们理解了更简单的事物（而不是以诡辩的方式偶然理解）。”（CWA，115，Post. An. I.1，71b 5-10）

但是，我们如何获得科学知识呢？科学知识是通过论证获得的。然而，并非所有逻辑上令人信服的证明都能为我们提供产生科学知识的论证。在科学论证中，“前提必须是真实的、主要的、直接的、更为人所知的，并且先于结论，而结论与前提进一步关联，如同原因的结果。” （BWA，112，Post. An. I.1，71b 20-25）巴恩斯译本写道：“如果理解如我们所设想的那样，那么，论证性理解尤其必然依赖于那些真实、原始、直接、比结论更熟悉、先于结论并能解释结论的事物。”（CWA，115，Post. An. I.1，71b 20-25）

因此，在《后分析篇》I.13中，亚里士多德区分了“事实”的论证和“推理事实”的论证。虽然两者在逻辑上都具有说服力，但只有后者反映了所研究现象的因果结构，从而为我们提供知识。我们可以分别将它们称为“非解释性”论证和“解释性”论证。

在亚里士多德的体系中，物理学虽然包含因果推理，但并未被数学化。然而，亚里士多德还广泛讨论了所谓的混合科学，例如光学、谐波学和力学，并将它们描述为“数学科学中更偏向物理的学科”。这些混合科学与纯数学领域之间存在着从属关系（参见 Dear 2011）。例如，谐波学从属于算术，光学从属于几何学。亚里士多德毫不怀疑，物理现象存在数学解释：

因为经验科学家需要了解事实，而数学家需要了解原因；后者拥有解释的论证，但他们往往并不知道事实，正如那些思考普遍性的人由于缺乏观察而往往不了解某些细节一样。（CWA，第一卷，128，Post. An. I.13，79a1-79a7）

然而，关于数学能否解释自然现象的话题一直存在分歧。随着数学应用领域的不断拓展，对数学的抵制也日益加剧。其中一种矛盾的根源在于，人们试图调和亚里士多德的纯数学概念（即从物质和运动中抽象出来的概念）与物理学（自然哲学）和混合科学都研究自然现象，因此都依赖于物质和运动这一事实。例如，文艺复兴时期一场名为“数学确证问题”（Quaestio de Certitudine Mathematicarum）的重要辩论，主要集中在数学能否发挥亚里士多德赋予它的解释作用（Mancuso 1996，第一章）。一些人认为，数学缺乏因果关系，无法成为解释自然现象的“解释性”环节（另见1.2和1.3节）。到了十七世纪，随着牛顿物理学革命的到来，这个问题在解释和可理解性标准变化的背景下再次出现。Y. Gingras（2001）在一篇文章中对此进行了精彩的描述。Gingras 认为，“数学在动力学中的运用（不同于在运动学中的运用）彻底改变了十七世纪哲学家们所使用的‘解释’一词的含义”（2001，385）。Gingras 描述的，除其他内容外，是牛顿及其追随者所推崇的对力的数学处理——一种忽略了能够解释力为何以及如何运作的机制的处理——如何在十八世纪成为公认的解释标准。在提及十七、十八世纪关于引力的机械解释的讨论后，他评论道：

这一事件表明，对于可接受的“解释”（此处指引力）的评价标准正从机械解释转向数学。面对一个无法用机械解释的现象的数学表述，越来越多的参与者选择前者，即使代价是找不到后者。这是一种前所未有的现象。在整个十七世纪和十八世纪的大部分时间里，“解释”一个物理现象意味着要给出其产生过程中所涉及的物理机制……牛顿《自然哲学的数学原理》的出版标志着这一转变的开始，当机械解释与计算不符时，数学解释开始比机械解释更受青睐。（Gingras 2001，398)

耶稣会士路易·卡斯特尔（Louis Castel）是反对将“物理解释”与“数学解释”混为一谈的人之一。在《艾萨克·牛顿的普遍物理系统》（1734）中，他讨论了《自然哲学的数学原理》第三卷第十三命题（关于开普勒面积定律）。他承认该命题在数学上将平方反比定律与行星运行轨道的椭圆性联系起来。然而，他反驳道：“一个不是原因，也不是另一个的原因”（Castel 1734, 97），并且牛顿没有提供任何物理解释，而只是一个数学解释。事实上，“物理原因是蕴涵、联系和机制的必要原因。而牛顿的理论中，没有这类解释。”（Castel 1734, 121）

一些当代的讨论与这些担忧非常相似。不妨看看莫里森的著作《统一科学理论》（2000）。该书的主要论点之一是，统一和解释常常会朝着不同的方向发展，最终分道扬镳（这与统一解释理论的主张相反）。她在引言中举的一个例子让我们想起了卡斯特尔的反对意见：

另一个例子是牛顿《自然哲学的数学原理》中对陆地和天体现象的统一。尽管受到笛卡尔力学的影响，《自然哲学的数学原理》最显著的特征之一是它不再用机械原因来解释行星运动。相反，它强调力的数学形式；开普勒发现的行星椭圆轨道是用产生这些运动的力的数学描述来“解释”的。当然，万有引力的平方反比定律解释了行星运动的方式。但它并没有解释引力如何作用于物体（如何传输），也没有说明其因果性质。(Morrison 2000, 4)

Morrison 通过几个案例研究（麦克斯韦电磁学、电弱统一等）指出，统一理论所涉及的数学结构“通常很少或根本没有提供对统一理论物理动力学的理论解释”(Morrison 2000, 4)。简而言之，数学形式主义促进了统一，但并不能帮助我们解释物理现象的发生方式和原因。

我们必须就此结束这些历史评论，尽管以更系统的方式探究这些问题到19世纪和20世纪将会很有趣（不过，关于物理学史上关键节点上“解释转换”的广泛主张，请参见Dorato 2017）。

以上内容旨在为阐明在我们现在要探讨的当代科学哲学讨论中，我们仍然面临此类问题奠定基础。