数学解释（四）

本书中，我们绝对且明确地拒绝给出这种[…]类型的证明[先验证明]。所有结果都对所有实数闭域都得到一致证明。我们对先验证明的哲学反对意见是，它们可能在逻辑上证明一个结果，但除了实数的特殊情况外，它们并不能解释它。(Brumfiel 1979, 166)

如前例所示，解释性证明可以分为多种类型，并以不同的方式进行解释。最近的一场争论集中在归纳证明是否具有解释性的问题上。一方面，兰格（Lange，2010）认为归纳证明不具有解释性。他的论证依赖于一种从固定数 k 开始向上和向下归纳推理的形式，其中 k≠1。根据兰格的观点，如果普通数学归纳法证明具有解释性，那么从固定数 k 开始向上和向下归纳推理证明也具有解释性，其中 k≠1。但如果是这样，那么解释的典型不对称性（数学解释也是如此）就不成立了：对于某个属性 P，P(1) 是 P(k) 解释的一部分，P(k) 也是 P(1) 解释的一部分。Baker (2009b) 反驳了兰格的论证，他反对普通数学归纳法证明与向上和向下归纳推理证明之间的解释等价性。Hoeltje 等人 (2013) 反驳了兰格论证中一个未被承认的假设，即全称句可以解释其实例。Dougherty (2017) 的攻击思路基于 Lange 需要预设一个有问题的证明同一性概念，他用另一种同一性标准对此进行了质疑，该标准用两个等价刻画（第一个诉诸同伦类型论的语言，第二个使用证明的代数表示）阐明。Baldwin (2016) 和 Lehet (2019) 都捍卫了归纳法在数学中的解释价值：Baldwin 对归纳论证为何具有解释性给出了积极的思考，而 Lehet 则着重探讨了归纳定义，她认为这些定义在数学中可能是一种解释。

解释性证明和非解释性证明之间的区别也适用于其他类型的证明，例如使用图表进行解释的证明（参见 D’Alessandro 2020，Brown 1997），或通过类比进行解释的证明（参见 Lange 2017）。重要的哲学活动集中于那些通过揭示理由或根据（results）来解释定理为何为真的证明。正如 Lange (2021c) 所强调的，在此语境中，“根据”一词不应理解为与近期关于形而上学基础的文献（例如，参见 Correia 和 Schnieder (2002)）相关。我们更应该思考 Smithson (2020) 等人所发展的“概念基础”概念。 “基础”的概念在哲学家和数学家（例如博尔扎诺（参见 Kitcher 1975、Mancosu 1999 和 Sebestik 1992）或古诺（参见 Mancosu 1999））中有着辉煌的渊源，最近的贡献也强调了它在数学领域的价值（参见 Betti 2010、Detlefsen 1988、Jansson 2017、Pincock 2015b、Poggiolesi 和 Genco 2023）。事实上，正如科学文献中普遍认为因果解释追踪的是世界中的因果关系，并通过揭示某一事实成立的原因来进行解释一样，接受（至少是某些）数学解释性证明追踪的是数学领域中的基础关系，并通过阐述定理成立的理由或理由来进行解释，这似乎是合理的。

2.1 一些历史回顾

由于分析哲学对数学解释研究的贡献仅可追溯到 Steiner 1978a，因此人们可能会怀疑该主题是奎因科学理论概念的副产品（参见 Resnik & Kushner, 1987, 154）。一旦数学和自然科学被置于同一基础之上，就有可能将统一的方法论应用于这两个领域。因此，在数学中寻找解释就像在自然科学中一样合情合理。然而，这种历史重构是错误的。自亚里士多德以来，对数学事实的数学解释一直是哲学反思的一部分。我们已经在1.1节中看到亚里士多德对“事实”的证明和“推理事实”的证明之间的区别。两者在逻辑上都是严谨的，但只有后者能够解释其结果。亚里士多德也曾声称，数学中存在“推理事实”的证明。只有这些证明才能被称为“解释性”证明，其中一些证明将是数学证明。

亚里士多德关于数学解释性证明的立场在古代就已受到挑战。普罗克洛在其《欧几里得几何原本第一卷评注》中阐明了这一点。他报告说：“许多人认为几何学并不探究原因，也就是说，它不问‘为什么’这个问题。”（Proclus 1970, 158–159；更多关于 Proclus 关于数学解释的论述，请参阅 Harari 2008）。Proclus 本人也指出，欧几里得《几何原本》中的某些命题，例如 I.32，并非“推理事实”的证明。欧几里得 I.32 指出，三角形内角和等于两个直角。如果这个证明是用亚里士多德意义上的科学三段论来给出的，那么三段论的中间部分必须提供事实的“原因”。但普罗克洛斯认为，欧几里得的证明并不满足亚里士多德的这些限制，因为对辅助线和外角的依赖并非“因果”：

我们会发现，所谓的“证明”有时具有论证的性质，能够将通过定义寻求的内容作为中项来建立，这是完美的论证形式；但有时它试图通过符号来证明。这一点不容忽视。尽管几何命题总是从所研究的事物中推导出其必然性，但它们并不总是通过论证方法得出结果。例如，当[从]三角形的外角等于两个对角的内角这一事实得出三角形内角和等于两个直角时，这怎么能被称为基于因果的论证呢？中项在这里不只是用作符号吗？因为即使没有外角，内角也等于两个直角；因为即使它的边没有延长，它仍然是一个三角形。 （Proclus 1970, 161–162）

此外，普罗克洛斯还认为，反证法并非“论证推理事实”的证明。文艺复兴时期普罗克洛斯的重新发现引发了一场关于数学证明因果性的深远争论，即上文提到的“数学确定性问题”（有关这场争论的更多信息，请参阅1.1节）。1547年，亚历山德罗·皮科洛米尼打响了第一枪。皮科洛米尼的目的是驳斥一种传统观点，即数学的确定性源于其使用亚里士多德意义上的“科学证明”（此类证明在文艺复兴时期被称为“potissimae”）。由于“potissimae”证明必须是因果性的，皮科洛米尼反驳了这一论点，认为数学证明不具有因果性。这引发了文艺复兴时期和十七世纪最有趣的认识论争论之一。那些否认数学证明“因果性”的人（皮科洛米尼、佩雷拉、伽森狄等）通过提供数学实践中的具体证明例子（通常出自欧几里得的《几何原本》）来论证，他们声称这些例子无法以亚里士多德式的因果推理方式重构。相比之下，那些希望恢复数学“因果性”的人则旨在表明所谓的反例可以轻易地纳入“因果”证明的范畴（克拉维乌斯、巴罗等）。有趣的是，辩论中的两种立场都假设数学证明可以进行三段论推导（Mancosu & Mugnai 2023）。Mancosu 1996 和 Mancosu 2000 详细阐述了相关历史发展。这里更重要的是要认识到，基本直觉——解释性论证与非解释性论证之间的对立——有着悠久而成功的历史，它对17世纪以后的数学和哲学发展产生了深远的影响。例如，Mancosu 1999指出，19世纪两位重要的数学哲学家博尔扎诺和古诺将数学哲学的核心问题解释为如何解释解释性论证与非解释性论证之间的区别。在博尔扎诺的案例中，这体现为Grund（根据）和Folge（结果）理论。Kitcher 1975首次将博尔扎诺解读为提出了一种数学解释理论（近期贡献参见Betti 2010和Roski 2017）。在古诺（Cournot）的案例中，这体现在“逻辑秩序”（ordre logique）与“理性秩序”（ordre rationelle）的对立中（参见Cournot 1851）。在博尔扎诺（Bolzano）的案例中，他试图重构分析和几何的部分内容，以便其论述仅使用“解释性”证明，这也导致了重要的数学成果，例如他对中介值定理的纯解析证明。

在本节的总结中，我们还应该指出，数学中还有另一种解释性思考的传统，包括密尔（Mill）、拉卡托斯（Lakatos）、罗素（Russell）和哥德尔（Gödel）。这些作者的动机是将数学（和/或其基础）视为本质上是假设-演绎的，这使得他们将数学活动与科学中解释性假设的出现方式进行类比（更多详情参见Mancosu 2001）。与归纳主义相关的是Cellucci 2008、2017，他们强调了数学解释与发现之间的联系。

2.2 数学解释的模型

从以上内容可以看出，哲学家和数学家都曾诉诸数学中的解释概念，并且在此类解释活动出现的不同语境中，证明扮演着特殊的角色。但是，解释性的证明与不解释性的证明之间有何区别？应该如何对解释性证明进行阐述？这里出现了两种可能性。一方面，可以采用自上而下的方法，从一个通用的解释性证明模型入手，然后尝试了解它对实践的解释效果如何。另一方面，可以采用自下而上的方法，首先尽可能避免对特定理论框架的任何承诺。之后，再尝试对反复出现的数学解释性证明类型进行分类，并尝试了解这些模式是否具有异质性，或者是否可以归入一个通用的解释中。

自下而上方法的支持者包括 Hafner 和 Mancosu (2005)、Mancosu (2008) 以及 Lange (2015b, 2015c, 2017, 2018b)。他们研究的主要特点或许在于其所考察的实例极其丰富多样；正是由于这种多样性，Lange 认为，解释性证明没有普遍的模式；最多只能说存在不同类别的解释性证明。Lange 提出了数学定理的几个显著特征，这些特征（在不同语境下）决定了解释性证明和非解释性证明之间的区别。其中，他广泛讨论了对称性和简单性。至于简单性，这相当于要求对一个简单结果的证明“利用了设置中一些类似的简单特征”（参见 Lange 2017, 257）。至于对称性，它是在处理表现出惊人对称性的数学结果时出现的一种属性：为了使证明具有解释性，它需要表明这种对称性是如何从问题设置中的类似对称性中得出的。Lange 通过概率、实分析、数论、复数和几何等数学领域的案例研究来捍卫这些属性。最具代表性的案例之一（参见 Lange 2017, 239–242）是达朗贝尔定理的证明，该定理指出，在变量 x 的 n 次多项式方程中，如果只有实数系数，则非实根总是成对出现（任何非实根及其复共轭都满足该方程）。如何解释这种对称性？通过代数运算可以给出一个非解释性的证明，但这并不能揭示结果背后的原因。根据兰格的观点，该结果的根本原因在于，复数算术的公理在用-i代替i的情况下保持不变。Bueno 和 Vivanco (2019) 指出，兰格所分离出的证明的对称性（使其具有解释性）究竟为何是对称性尚不清楚。他们认为，该证明依赖于相关结构中的一个恰当的特征。

其他自下而上方法的例子可见于 Paseau (2010)、Arana & Mancosu (2012)、Colyvan、Cusberg & McQueen (2018)、D’Alessandro (2021) 和 Ryan (2021)。每篇文章都探讨了数学实践的一个方面，并尝试用自己的方式加以阐述。自上而下的方法始于数学解释的一般理论，然后探索实践与模型的契合程度。自上而下数学解释方法的一个典型例子是基彻的统一主义理论，我们将在下文讨论。但我们也可以将这种描述应用于关于解释本质的总体观点。虽然可以列举几个例子，但这里我们提出一个有影响力的提议，它源自金（1994）。为了对不同的科学解释进行分类，金使用了“解释内在主义”和“解释外在主义”的对立。对于“解释内在主义”而言，解释是认知主体（一种理论或一组信念）内部的活动，而“解释外在主义者”则会寻找某种客观依赖关系的系统模式，解释可以追踪或与之相联系。我们将本节分为两个小节，并遵循这一划分：一部分将致力于介绍解释性数学证明的外部主义（或本体论）论述；另一部分将介绍内部主义（或认知论）论述。在外部主义论述中，我们将讨论施泰纳的理论、几种反事实数学解释理论以及其他一些提议。在内部主义论述中，我们将讨论基彻的理论，以及弗朗斯（2021）和英格利斯与梅希亚-拉莫斯（2019）提出的两种新颖的理论。

2.2.1 数学解释的外部主义模型

在现存的几种当代解释性证明的外部主义模型中，最古老、也可能是最著名的是施泰纳的论述。施泰纳的目标是找到能够表征解释性证明的标准。在讨论了抽象性、普遍性和可视性等几种可能的标准之后，施泰纳完全否定了这些标准，转而支持“要解释一个实体的行为，人们需要从该实体的本质或性质中推断出该行为”的观点（Steiner 1978a, 143）。尽管这种观点乍一看似乎直观有趣，但最终却问题重重。首先，它导致了与本质或本质属性概念相关的众所周知的难题；此外，由于所有数学真理都被视为必然的，因此这些概念在数学语境中难以应用。因此，施泰纳没有谈论“本质”，而是谈到“表征属性”，他指的是“特定实体或结构在特定实体或结构家族或领域中独有的属性”，他认为家族的概念是未定义的。换句话说，对施泰纳而言，解释性证明和非解释性证明的区别在于表征属性，前者只存在于前者中，后者则不存在于后者中。然而，这还不是全部：一个解释性证明也需要具有普遍性。改变此类证明中的相关特征（以及由此产生的某种表征性质），需要引出一系列相应的定理，这些定理由原始证明的一系列“变形”来证明和解释。

对斯坦纳的论述，已有两次广泛的批判性讨论。第一次是由雷斯尼克和库什纳（1987）提出的，他们认为解释性证明和非解释性证明之间的区别取决于具体情况。第二次讨论也基于数学实践中公认的实分析解释案例，为该理论提供了一个反例。由 Hafner 和 Mancosu (2005) 发展。也有人尝试改进 Steiner 的模型。例如，Weber 和 Verhoeven (2002) 开展的研究可以被视为改进 Steiner 变形概念的尝试。事实上，尽管 Steiner 认为解释涉及一系列相关的证明和定理，尽管他坚持认为每个证明都是对单个定理的解释，但 Weber 和 Verhoeven (2002) 却从证明对（P1 和 P2）的解释性入手。他们特别关注的是，为什么某一类对象

x

�

具有属性

Q

�

（证明 P1），而另一类对象

y

�

却具有属性 Q’（证明 P2）。这里，P1 和 P2 使用相同的公理和相同的逻辑规则，但 P1 使用了 x 的特征属性，而不是 y 的特征属性；而 P2 使用了 y 的特征属性，而不是 x 的特征属性。Salverda (2017) 提出了另一种丰富 Steiner 解释的尝试，他试图将这种方法应用于 2.2.2 节中讨论的那种内部主义解释视角。

在因果解释领域，一种主流观点是用反事实术语来表述的。尽管长期以来，人们一直抵制使用反事实来解释数学中的解释（参见 Lange 2017, 88, 2022），但许多作者仍然采用这种方法，或许是因为一种统一的解释理论的吸引力，该理论有望在因果和非因果语境中都成立。

根据反事实陈述，评估一个数学事实

F

�

是否能够解释另一个数学事实

G

�

可以归结为评估以下两个反事实：

CF1：

如果

F

�

不存在，

G

�

就不会存在。CF2：

如果

G

�

不存在，

F

�

就不会存在。

第一个反事实 CF1 需要为真：它直接解释了

F

�

和

G

�

之间关系的解释力。相比之下，第二个反事实 CF2 需要为假，因为它确保了

F

�

和

G

�

之间的关系是不对称的，也就是说，它表明

G

�

不能解释

F

�

。

一旦反事实被明确，反事实理论就需要明确采用什么样的反事实真值条件描述。这里（至少）自然会出现两种选择。一方面，可以使用可能世界语义来评估反事实；例如，Lewis 的基于接近度的语义学，它使数学反事实变得简单（参见 Lewis 1973 和 Stalnaker 1968），最近得到了扩展以避免这些琐碎问题（例如参见 Nolan 2001 和 Priest 2002）。这种扩展同时考虑了可能和不可能的词，可用于评估反事实 CF1 和 CF2 的真值。另一方面，人们也可以尝试采用结构方程模型的标准工具（参见 Pearl 2000）来评估 CF1 和 CF2 的真值。在这种情况下，人们将数学事实解释为变量，根据它们所代表的命题是真还是假，这些变量可以取值 1 或 0。表示

F

�

的变量是外生变量——其值由模型外部的因素决定——而表示

G

�

的变量是内生变量——其值由其他变量（在本例中为

F

�

）的值决定。为了检验反事实CF1是否成立，需要对赋值给

F

�

的变量值进行干预，并检查此变化是否会影响赋值给

G

�

的变量值。至于CF2的真值，其假值，以及解释关系所要求的不对称性，都内置于内生变量的性质之中。

Reutlinger等人（2022）和Baron等人（2020）都支持一种反事实解释理论，该理论主要在可能世界语义框架中讨论。更准确地说，Reutlinger等人捍卫了一元论解释理论的价值，而Baron等人（2020）则用一个真实的解释证明案例，举例说明了反事实方法在数学解释中的应用。

Gijsbers (2017) 提出了一种基于结构方程框架的反事实解释论，但其中 Woodward (2003) 式的“干预”概念无法应用于数学语境。正如 Woodward 所强调的，干预是变量值的因果变化。相反，Gijsbers 引入了一种“准干预主义”数学解释理论：在该理论中，准干预揭示的不对称性并非源于数学证明本身，而是源于数学实践本身（参见 Gijsbers, 2017, 59）。换句话说，不对称性不再以客观的方式被解释，而是以一种更主观的方式，与相关实践的特征紧密相关。

从某种意义上说，Gijsbers 的模型是对 Frans 和 Weber (2014) 提出的模型的补充。事实上，尽管 Gijsbers 用反事实的术语解释了证明的解释力，而没有使用干预的概念，弗朗斯和韦伯用一个机械论的解释模型来解释证明的解释力，该模型直接概括了伍德沃德的干预概念。