数学解释（五）

卡西尔扎德 (2021) 和兰格 (2022) 批评了使用反事实模型来构建数学解释的做法。卡西尔扎德质疑解释性证明的被解释项是否能够像反事实解释所要求的那样，在数学语境中进行有意义的变化。兰格则认为，反事实解释反而受到过多非平凡真反数学的威胁。卡西尔扎德和兰格都强调，回答“如果情况不同会怎样”问题的能力与数学的解释力无关。最后，值得注意的是，在Jansson (2018)的著作中，我们也可能发现对使用结构方程框架建模因果关系以外的依赖关系（因此也可以说在数学语境中建模依赖关系）的批评。

并非所有用于数学解释的外部主义模型都是对Steiner理论的修改，或以反事实的方式表达。例如，Pincock (2015b)提出，当一个证明援引的实体比其所证明的定理主题更为抽象时，就将其归类为解释性证明。Wilhelm (2021)和Poggiolesi（即将出版）对解释性证明的分析提出了不同的建议，其视角与Pincock的方法相似。在他们的案例中，确定不同证明的解释力需要在逻辑系统中对证明进行形式化。而对Wilhelm而言，证明的解释力来自于形式化证明的简单性和深度之间的平衡，波焦莱西将解释性证明与非解释性证明区分开来，因为只有在前者的（形式化版本）中，我们才能见证从假设到证明所要建立的定理，概念复杂性的增加。

2.2.2 数学解释的内在主义模型

弗里德曼在1974年的一篇论文中对任何连贯的科学解释（因此也大概是数学解释）提出了挑战：他认为任何这样的解释都需要表明解释如何产生理解。“我不明白科学哲学家在提出解释关系理论时，怎么能忽视‘理解’和‘可理解性’这样的概念”（弗里德曼 1974, 8）。虽然外在主义或本体论的解释并不直接关注弗里德曼的挑战，但它们并不否认解释与理解之间的联系。然而，它们只是没有将理解作为解释的决定性特征。相比之下，内在主义或认识论的解释则直接应对了这一挑战。

在科学哲学中，科学理解的主要概念之一是统一论模型，该模型认为解释通过统一不同的现象来提供理解。尽管这一观点在直觉上无疑颇具吸引力，但关键问题在于，统一的概念能否更加精确，以便我们能够区分什么是解释，什么不是解释。弗里德曼（1974）是这方面的早期尝试，尽管他的提法很快就被证明存在一些技术问题（参见Kitcher 1976）。另一方面，Kitcher是统一论方法的主要支持者。他的建议是将统一视为减少用于提供解释的论证模式的数量，同时尽可能全面地解释所解释的现象：

理解现象不仅仅是减少“根本上的不可理解性”，而是在最初看似不同的情境中发现联系和共同模式。在这里，从前提结论对到推导的概念转变至关重要。科学通过向我们展示如何反复使用相同的推导模式来推导许多现象的描述，从而增进了我们对自然的理解。在论证这一点的过程中，它教会我们如何减少必须接受为最终（或粗暴）的事实类型的数量。因此，我将试图阐明的统一标准将基于这样一个思想：E(K) 是一组推导，它在最小化所采用的推导模式数量和最大化所生成的结论数量之间实现了最佳权衡。 （Kitcher 1989, 432）

让我们将其更正式一些。我们从一组假设一致且演绎封闭的信念集合K开始（非正式地，我们可以将其视为理想科学界在特定时刻认可的一组陈述；Kitcher 1981, 75）。K的系统化是指任何一组论证，这些论证可以从K中的其他句子推导出K中的一些句子。K上的解释性存储E(K)是K的最佳系统化（Kitcher在此通过声称E(K)是唯一的来进行理想化）。对应于不同的系统化，我们有不同程度的统一。最高程度的统一由E(K)给出。但是，根据什么标准才能判断一个系统化方法是否最佳呢？有三个因素：模式的数量、模式的严格性以及从统一中可推导出的一系列后果。

关于基彻的提议，有两点需要说明。首先，他对理论统一性的论述主要被认为是针对科学解释的普遍问题，尽管他认为其观点的优点之一在于可以扩展到数学领域。其次，基彻的模型并非旨在解决解释性证明与非解释性证明之间区别的局部问题（所有其他论述都如此）；而是为如何系统化具有解释价值的整个知识体系这一全局问题提供了一个新颖的视角。基彻模型在解释性证明中的应用已在两个相反的方向上进行了探索。一方面，Hafner 和 Mancosu (2008) 用三种不同的方法检验了 Kitcher 模型，以证明关于实数闭域的定理（参见 Brumfiel 1979）；作者表明，该模型对这些方法的解释力做出了预测，这与来自数学实践的判断相矛盾（另见 Pincock 2015b）。另一方面，Frans (2021) 不仅重新评估了统一性理解（一种解释性理解）对数学的价值；此外，他还通过大量不同的例子，从毕达哥拉斯定理到前 n 个整数之和等于 n(n+1)/2 的定理，表明证明可以促进统一性理解。

Inglis 和 Mejía-Ramos (2019) 最近提出了一种新颖的内部主义解释，他们将威尔肯菲尔德的理解功能模型（参见威尔肯菲尔德 (2014)）应用于数学案例。威尔肯菲尔德的方法在于颠覆弗里德曼的视角：弗里德曼要求哲学家阐明经过适当定义的解释如何产生理解，而威尔肯菲尔德则将解释定义为产生理解的事物。通过这样做，威尔肯菲尔德将阐明的负担从解释的概念转移到理解及其产生方式的概念：他认为，随着对理解的哲学论述日益复杂化，这种转变最近变得站得住脚。

Inglis & Mejía-Ramos (2019) 采用了 Kelp (2016) 的理解概念，并结合了理解产生的模态模型（参见 Atkinson and Shiffrin 1968）。基于这两个要素，Inglis & Mejía-Ramos 确定了任何数学解释性证明都可能具备的三个特性：(i) 解释性证明会将读者的注意力引向其概念上重要的部分；(ii) 它会将新旧信息重新组织成连贯的新图式；(iii) 它会降低超出工作记忆容量的可能性。

Delarivière、Frans & Kerkhove (2017)、Dutilh Novaes (2018) 和 Lehet (2021) 也发展了其他关于解释性证明的内在主义论述。

3. 与其他辩论的一些联系

最近出现了许多卓有成效的研究，将数学解释与数学之美、方法的纯粹性、对数学的理解、数学风格和数学深度联系起来。我们仅引用一两篇这样的背景研究，并鼓励读者查阅这些研究的参考文献。将数学之美与解释联系起来的最广泛的研究是 Giaquinto (2016) 和 Lange (2016)。方法的纯粹性概念长期以来一直受到数学家和哲学家的关注（参见 Detlefsen 和 Arana (2011) 以及 Arana 和 Mancosu (2012)）。关于纯粹性和数学解释的最新贡献包括 Skow (2015)、Lange (2015b)、Ryan (2021) 和 Arana (2023)。Molinini (2011)、Cellucci (2014) 和 Delariviére 等人 (2017) 探讨了数学解释与理解之间的联系。关于数学深度与数学解释之间的联系，请参见 Lange (2015c)。此外，数学和科学风格的理论家们也强调了解释性论证对于表征风格的重要性（概述请参见 Mancosu (2021)）。

在第一部分和第二部分中回顾的关于数学解释的争论中，那些引发争论的问题，也出现在心灵哲学和道德理论领域正在进行的争论中。对于心灵哲学而言，一个难题是，即使人类是一个物理实体，如何诉诸心理属性来解释人类行为。如果非心理的物理属性能够解释任何物理事件或物理事件的模式，那么心理属性似乎是可有可无的，或者说是“附带现象”。对于道德理论而言，一系列关于道德属性如何与物理世界中那些假定的非道德特征相关的问题浮现出来。就解释而言，道德属性似乎没有任何解释作用，至少对于物理事件而言是如此。然而，我们的日常实践经常在假定的解释中诉诸这些属性。因此，与心灵哲学一样，看来，我们要么必须修正我们的解释实践，要么必须在一个更全面的现实概念中为这些属性找到一席之地。

Kim 的排除论证是心灵哲学中这些争论的一个显著驱动力（Kim 2005）。Kim 认为，心理属性的存在要求这些属性能够为物理事件的解释提供一些真正的贡献。然而，Kim 认为，由于物理事件的因果封闭性，心理属性被排除在这种贡献之外，即每个物理事件都有一个纯粹的物理解释。对 Kim 的一种回应是，正确的因果解释概念为心理属性的解释留出了空间（Shapiro & Sober 2007，Woodward 2021b）。因此，心理的“解释自主性”可以通过一种与因果解释的类似概括平行的方式获得，从而允许对物理现象进行真正的数学解释（第 1.2 节）。数学解释的多元论者可以对排除论证发展出不同的回应：如果解释有多种类型，那么一种解释不会妨碍另一种解释 (Batterman 2021)。Baker (2022) 则提出了一种不同的回应，将丹尼特的意向性立场与一种能够对物理现象进行数学解释的“数学立场”进行了比较。

Harman 和 Street 对道德属性提出了解释性挑战，这些挑战可以与对数学柏拉图主义的解释不可或缺性论证的批评 (Harman 1977, Street 2006) 进行有益的比较。Harman 专注于对道德观察的解释（例如，某些行为是错误的），Street 强调了一种更广泛的关注，即解释其他现象，例如某些道德判断的普遍性（例如，谋杀是错误的）。对两者而言，挑战在于最佳解释不涉及道德属性。也就是说，道德属性对于所讨论的目标而言，在解释上是可有可无的。正如 Sinclair 和 Leibowitz 所强调的，这一论证及其回应与关于数学对象解释可有可无性的争论相呼应（Sinclair & Leibowitz 2016）。关于道德属性的争论中，Enoch 的论证是一项创新，他认为道德属性对于实践审议而言不可或缺就已足够。如果这种非奎因式的本体论承诺条件成立，那么识别出数学对象解释不可或缺性的新形式或许是可行的。关于此类论证如何扩展到数学的研究，请参阅 Leng (2016)、Baker (2016)、Enoch (2016) 和 Clark-Doane (2020)。