分支时间（一）

分支时间 (BT) 是一个多用途标签，主要用于表示 (i) 一类结构（BT 表示或 BT 框架），可能还指定义它们的公理理论；(ii) 一类用于时间和模态逻辑的语义学（BT 语义学）；以及 (iii) 一个关于我们的宇宙及其时间和模态特征的形而上学概念（时间的分支概念或 BT 概念）。

广义上讲，BT 表示是历史（或编年史，或可能世界）和时刻（或节点）的复合体，旨在表示给定系统所有可能的时间发展。直观地说，历史代表系统在时间上完整的（可能的）发展，而时刻代表其最小的时间“片段”。与非分支模态结构不同，BT 表示允许不同的历史在一定时间段内重叠或重合，然后分裂或分支。[1] BT 框架是旨在提供 BT 表示的数学结构，即形式定义的 BT 表示。在本条目中，我们将主要关注标准 BT 框架或树（参见图 1）。

树形图，其中节点为矩，连接节点的线为历史。扩展说明链接如下

图 1：一棵树，其中 h0–h3 为历史，m0–m6 为矩。[图 1 的扩展说明见附录。]

标准 BT 框架是形式化工具，可用于各种不同的目的，但其中两个应用在哲学中发挥着核心作用，堪称经典。这些框架最初是由索尔·克里普克 (Saul Kripke) 和亚瑟·普赖尔 (Arthur Prior) 引入和发展起来的，其应用也正是基于这些应用。

第一个典型应用是定义一族用于时态模态逻辑的语义学，现在称为分支时间语义学，该语义学在哲学逻辑和计算机科学领域得到了独立发展。分支时间语义学具有相当的哲学意义，例如在历史模态的分析和未来偶然语句的处理方面。

第二个典型应用是为一个非常特殊的系统建模，即我们（据称）不确定的、充满主体的宇宙。分支时间语义学的概念认为，与其他非树状结构相比，标准的分支时间语义学框架更能代表我们的宇宙及其时间和模态特征。鉴于存在着不同的构想树及其表征现实的方式，因此最好将分支时间语义学视为一族形而上学观点，这些观点不必共享一个实质性的形而上学核心。尽管如此，BT 概念既非空洞亦非无足轻重，因为树是否比其他结构更适合表示我们的宇宙，是一个合理的哲学分歧问题。

第 1 节介绍分支时间和 BT 表示背后的主要思想。第 2 节介绍树和不确定系统的相关表示。第 3 节和第 4 节分别探讨 BT 框架在时态模态逻辑语义学和形而上学中的典型应用。

1 分支时间入门

2 分支时间的表示

2.1 树。捆绑树。

2.2 非分支表示

2.3 分支时空的表示

3 时态模态逻辑的分支时间语义

3.1 递归语义

3.2 后语义学提案

3.3 计算机科学中的分支时间语义

4 关于分支时间的哲学观点

4.1 分支时间概念的多样性

4.1.1 分支时间实在论和分支时空实在论

4.1.2 现实未来主义

4.1.3 不对称观点

4.1.4 语义学与形而上学

4.2 对分支时间概念的一般挑战

参考文献

学术工具

其他网络资源

相关文章

1. 分支时间入门

分支时间 (BT) 框架是形式定义的 BT 表示，具有结构和表示特征。从结构角度来看，BT 框架是分支结构，直观地说，是由互连路径组成的网络，其中每条路径都可以被认为是一个节点链。分支结构在我们的经验中无处不在，例如树木、河流、循环系统和道路系统。与其他分支结构相比，BT 框架的特殊之处在于其表征功能：BT 框架旨在表征给定系统所有可能的时间发展，在哲学中，该系统通常等同于整个宇宙。更具体地说，在 BT 框架中，路径被称为历史，表示事件的完整过程，而节点被称为时刻，表示瞬时或时间上最小的事件。历史通常被定义为按时间（或因果，或时间模态）优先关系排序的最大时刻链。所有历史都是相互关联的：通过沿着历史向前和/或向后移动，我们可以从框架中的任何其他时刻到达框架中的任何时刻。历史可以在两个时间方向上分支，即：我们既可以有面向未来（或正向）的分支，也可以有面向过去（或反向）的分支（见图2）。我们将使用标准BT框架或（BT）树[2]来表示只允许正向分支而不允许反向分支的BT框架。在本条目中，我们将重点介绍树，并对反向分支的BT框架进行一些简单的评论。

该图同时显示了正向分支和反向分支的树。扩展说明链接如下

图2：正向分支和反向分支。[图2的扩展说明在附录中。]

简而言之，标准BT框架或树是抽象的表示，它们被理解为表示我们的宇宙（或其他系统）及其所有可能的发展；树是时刻和历史的复合体，其中历史是时间有序时刻的最大链；所有历史都是相互连接的，并且不会向过去分支。让我们通过更深入地探讨每个斜体概念来扩展这一特征。

抽象表征。BT框架通常被认为是抽象表征，无需完全投射到现实中。明确它们究竟表征什么是一个重要的哲学问题，我们将在§4中讨论。

矩。矩表示空间上最大且仅具有瞬时或最短持续时间的事件。树通常定义为对 (M,≺)，其中 M 是矩的非空集，时间优先关系≺是符合连通性原则和无后向分支原则（见下文）的严格偏序关系。

正如 Belnap、Perloff 和 Xu 所观察到的，

矩的概念……是牛顿的思想。它与我们日常的概念相去甚远，并且它是非相对论的。它继承了拉普拉斯妖的难以置信的预设，即因果顺序的基本项应该是完整的瞬时世界切片，而不是较小的局部事件或点事件。然而，这仍然是对真理的一个有价值的近似。(2001: 139)

在分支时空框架（BST框架，参见Belnap 1992；Belnap, Müller & Placek 2022）中，这种理想化被消除，其中矩作为基本构建块的角色被空间上较小的事件所取代（参见下文§2.3、§4.1.1）。

历史。每个历史都代表一个在空间和时间上完整的、可能的事件进程。历史通常被定义为矩的极大集，按≺线性（或完全）排序。

连接。对于框架中的任意两个不同时刻，要么一个先于另一个，要么存在一个与这两个时刻均≺相关的时刻。直观地讲，这意味着整个框架构成了一个单一的、连通的历史结构。

连通性反映了这样一种观点：BT框架模拟的是统一系统可能的演化，而不是大量不相交的可能性。

无后向分支。如果两个不同的时刻m，m′在时间上先于另一个时刻w，则m和m′是≺相关的，这意味着它们属于每个包含w的历史。换句话说，每个时刻的过去都是线性顺序的。

从历史上看，无后向分支反映了引入BT表示背后的哲学动机。 1958 年，非常年轻的索尔·克里普克 (Saul Kripke) 给亚瑟·普赖尔 (Arthur Prior) 写了一封信，首次对 BT 框架进行了半正式的描述（克里普克的信写于 1958 年 9 月 3 日，现藏于牛津大学博德利图书馆普赖尔藏书箱 4 中；有关更多历史背景，请参阅未来队伍的条目）。普赖尔非常重视克里普克的建议，并在20世纪60年代正式发展了它（1960、1962、1966a、b、1967a、b、1968a、b）。他认为，时态-模态逻辑的语义学、跨时间和可能世界的身份问题、主体性问题、自由意志问题以及未来的偶然性问题，都是时态-模态逻辑框架在诸多逻辑哲学领域中都非常有用的工具。普赖尔认为，在所有这些领域，哲学家和逻辑学家都很少关注可能性会随时间而变化这一事实。

当被告知某事是可能的，即可能发生时，问“它何时可能发生？”“它何时可能发生？”总是一种有益的练习（但哲学家们却很少这样做）。 （Prior 1960: 688）

在当代哲学术语中，Prior 所指的那种时间敏感的模态（可能性、必然性、偶然性）被称为历史的。历史模态是时间不对称的：所有过去和现在的事件都是历史必然的，只有未来的事件才是历史偶然的。因此，历史偶然事件也被称为未来偶然事件。（出于传统的歧义性，我们也使用“未来偶然事件”来表示预测未来偶然事件的断言及其对应的句子。）除了锚定在时间上的历史可能性之外，我们还可以设想锚定在时空区域或特定主体上的可能性。这些“局部”可能性有时被称为实在的（例如，参见 Müller 2012；Placek 2012；Rumberg 2016a；Belnap, Müller, Placek 2022）。二叉树搜索框架是正式研究现实可能性的工具。[3]

直观地说，历史和现实的偶然事件是我们作为主体所关注的可能性类型。从抽象意义上讲，现在你可能从未开始阅读此条目。然而，鉴于你确实开始阅读此条目，这种可能性已不复存在。相比之下，你停止阅读此条目仍然是一个真实的可能性。抽象（形而上学、逻辑）模态与历史（实在的、“局部的”）模态之间的区别在我们作为主体的自我表征以及我们的推理、认知和语言实践中发挥着至关重要的作用，这一点无论怎么强调都不过分。在普赖尔看来，这种区别不仅仅是人类的建构，也植根于独立于心智的现实。普赖尔信奉非决定论，并认为至少某些特定事件是客观“开放”的，并非在其原因中已经存在（例如，参见普赖尔 1967a：第 7 章；另见因果决定论条目）。

在当代关于分支时间的争论中，许多哲学家都认同普赖尔的观点，认为历史模态纯粹是客观的（独立于心智的），并且根植于具体的现实。他们认为，客观模态与认知模态之间存在着深刻的分歧，特定的具体事件与定性的可重复状态之间存在着深刻的分歧。

[N] 任何向后分支都只对客观具体的事件有意义。[…] 一个特定的具体情境显然可能先于各种不一致的先行事件，“就我们所知”而言。正是为了排除这种对“可能”的认知或信念式用法，我们才如此反复地强调，我们目前关注的是“客观”的可能性。其次，任何向后分支都适用于“状态”或其他可重复的部分信息载体。毫无疑问，当前的“状态”可以从两个先前不相容的状态中的任何一个状态中获取。（贝尔纳普，佩洛夫，& Xu 2001: 184)

简而言之，“无后向分支”条件反映了这样一种观点：事件e在时刻m是否具有历史可能性，完全取决于e是否可从m的因果历史性路径中获取（即，它位于m的过去或未来）。因此，e在m的历史可能性并不取决于e是否与m时可用的知识相容，也不取决于其他类似于e的事件是否可以从m获取。

当“无后向分支”与“连接”结合时，“无后向分支”蕴含着“历史连接”：对于框架中的任意两个不同时刻，要么一个先于另一个，要么存在一个先于两者的时刻。采用“历史连接”具有哲学上有趣的后果。让我们明确其中一种后果。

历史可能性是一个非常严格的可能性概念，在标准的BT框架中，我们也可以定义更具包容性的概念。首先，我们可以定义一个过去历史可能性的概念：事件 e 在 m 处是过去历史可能性，当且仅当 e 在某个时刻 m′ 具有历史可能性，而该时刻要么先于 m，要么与 m 相同。我们还可以定义一个绝对的、与树相关的可能性概念：事件 e 在树中是可能的，当且仅当它在树中的某个时刻具有历史可能性。历史联系确保了这两个可能性概念的一致性。根据历史联系，过去历史可能性是 BT 框架内可定义的最广泛、最具包容性的可能性概念。

很自然地，假设过去历史可能性的概念与给定初始条件的物理可能性的概念相一致，当初始条件设定为任意遥远的过去时。许多哲学家认为，如此理解的物理可能性，与形而上学可能性相比，仍然具有局限性，形而上学可能性是哲学传统上认可的最广泛的可能性概念。如果这种说法正确，那么通过采用历史关联，我们使得时间树框架不适合用来建模形而上学模态性（关于时间树与形而上学模态性之间的关系，参见例如 Prior 1960；J. L. Mackie 1974；Lewis 1986: 4；P. Mackie 2006；MacFarlane 2008）。

2. 分支时间的表示

2.1 树。捆绑树。

如上所述，树是分支时间最常见的表示。这些结构被正式定义为 T=(T,≺) 对，其中 T 是（矩的）集合，≺ 是时间优先关系，具有以下性质（表达式 m≺m′ 表示 m 在时间上先于 m′；⪯、≻ 和 ⪰ 的定义显而易见；当 m⪯m′ 或 m′≺m 时，两个矩 m,m′ 被称为可比的）：

非自反性。对于不存在 m 的情况，m≺m；

及物性。如果 m≺m′ 且 m′≺m″，则 m≺m″；

连接性。对于任意两个矩，存在一个与它们都可比的矩；

无向后分支（或向过去的线性）。如果 m′≺m 且 m″≺m，则 m′⪯m″ 或 m″≺m′。

无后向分支和连接共同意味着：

历史连接（或左连通性）。对于所有 m 和 m′，存在一个 m″，使得 m″⪯m 且 m″⪯m′。

树 T=(T,≺) 中的历史是一个集合 h⊆T，它由≺线性排序，并且对于包含是最大的，也就是说，如果 h′ 是 T 的线性排序子集，且 h⊆h′，则 h′=h。可以证明（利用选择公理），T 的每个线性排序子集都可以扩展为一个历史。m 的未来定义为 {m′∈T:m≺m′}。m 的未来（或 m 分支）是 m 的未来与包含 m 的历史的交集。m（或 m-主干）的过去的对称概念定义为 {m′∈T:m′≺m}。

连通性意味着我们最多只需两步（向前或向后）就能从任意时刻到达任意时刻。如果放弃连通性，我们将得到由不相交树组成的结构，有时也称为森林（例如，参见 Goranko、Kellerman 和 Zanardo 2023）。

如果没有省略向后分支，则对关系≺的唯一条件是它是一个非自反连通偏序。因此，在任何时刻，时间都可能向过去分支，并且 BT 结构可以被视为一组十字路口（参见图 3）。如此设想，十字路口是时间有向的，因为我们可以将它们分为向前分支的岔路口和向后分支的岔路口。从 m 出发的前向分支自然被理解为表示在 m 时刻开启的历史可能性，而后向分支则表示在 m 时刻开启的认知可能性，即与 m 时刻可用的知识一致的可能性。然而，其他解释也是可能的（例如，我们可以将两个分支理解为表示认知可能性）。后向分支结构具有潜在的应用，但迄今为止尚未得到充分探索，例如，在分支现实中处理知识和其他命题态度。[4] 我们预计，在本文的未来版本中，它们将得到更广泛的关注。

扩展描述链接如下

图 3：以时刻 m 为中心的时间定向十字路口。[图 3 的扩展描述在附录中。]

在 BT 框架的许多应用中，在属于不同历史的时刻之间施加某种同步至关重要。例如，反事实断言似乎涉及一种超越历史的时刻识别：“如果我现在在伦敦，我会直接去大英博物馆”（参见，例如，Thomason & Gupta 1980；Di Maio & Zanardo 1994）。但必须注意的是，并非每棵树都能被赋予共时性。树的定义并没有给历史强加任何拓扑结构。我们可以拥有在某些部分密集而在其他部分离散的历史。特别是，两个不同的历史在它们不重叠的部分可能具有不同的拓扑结构。

当树被视为一个不确定宇宙的表示时，很自然地假设所有历史都同构于实数集R。在这种情况下，给定两个不同的历史 h 和 h′，它们的集合论差异 h∖h′ 和 h′∖h 也是同构的，并且这两个集合之间的任何保序双射 σ 都可以被认为是它们之间的同步。因此，我们可以说这棵树是可同步的。换句话说，对于任何 m∈h∖h′，σ(m) 都可以被视为 h′∖h 中“与 m 相同的时刻”。值得注意的是，h∖h′ 和 h′∖h 可以以无穷多种方式同步。因此，一般来说，为了得到一棵同步树，我们还必须明确地提供历史之间的一组双射。

形式上，如果存在一个函数集合 Σ，其中 h 和 h′ 的值域覆盖 T 中的历史集合，并且对于所有 h,h′,h″，满足：(1) σh,h′ 是从 h 到 h′ 的保序双射；(2) σh,h′ 是 h∩h′ 上的恒等式；(3) σh′,h 等于 σ

−1

h,h′

（即 σh,h′ 的逆）；以及 (4) 组合 σh,h′∘σh′,h″ 等于 σh,h″。对 (T,Σ) 称为同步树。[5]

在同步树中，双射集合 Σ 决定了 T 上的一个关系：我们可以写成 m↔Σm′，当且仅当 m′=σh,h′(m)，其中 h,h′ 为某个值。根据 Σ 中函数的性质，可以很容易地证明 ↔Σ 关系定义明确，并且是一个等价关系（参见 Di Maio & Zanardo 1994），这可以自然地理解为一种同时性。Belnap 的《代理逻辑》（尤其是成就 stit）中考虑的树是同步树，但这种同步性是通过“瞬间”这一原始概念确定的（Belnap, Perloff & Xu 2001: 7A.5）。树中的时刻集合被“水平”划分为瞬间。每个瞬间也被假设与每个历史都有唯一的交集，并且瞬间保留了瞬间之间的时间关系（参见图 4）。事实证明，通过划分为瞬间所确定的等价关系具有与 ↔Σ 相同的性质。因此，考虑时刻与考虑共时性是一样的。

示例图。下方为扩展描述链接。

图 4：时刻。[图 4 的扩展描述见附录。]

定义共时性的另一种方法是考虑度量树 (Burgess 1979: 577)。也就是说，假设存在一个从 T×T 到 R 的函数 d，使得 d(m,m′) 可以看作是 m 和 m′ 之间的距离。如果给定一个参考时刻 m0，则函数 d 可以看作一个时钟：d(m0,m) 是 m 相对于 m0 的时间（可能为负）。当然，为了对“时刻 m 的时间”有一个令人满意的定义，还需要一些进一步的技术细节。例如，我们必须为与 m0 不可比的时刻定义这个概念。但最终我们可以得出一个合理的共时性定义。

时刻的存在，以及存在共时性，在树状宇宙表示中，这是一个强有力的本体论假设。Belnap、Perloff 和 Xu 等人实际上也承认了这一点：

瞬间学说让人回想起牛顿的绝对时间学说——因此值得怀疑。我们使用它，但并不信任它。(2001: 194)

改进这一点确实是 Belnap 分支时空理论的一个关键动机（见下文§2.3）。

树的概念通常通过考虑捆绑树来推广，即对 (T,B)，其中捆绑树 B 是历史的集合，并且对于每个时刻 m，B 中的某个历史包含 m。因此，树也可以看作是平凡捆绑树 (T,B)，其中 B 是所有历史的集合。使用非平凡捆绑树作为 BT 表示，相当于认为并非所有历史都代表事件的可能进程。从这个意义上讲，集合 B 可以被认为是可接纳历史的集合。