分支时间（二）

对于束和对可接纳历史的限制，人们可以有两种不同的态度。人们可以按照范·本瑟姆 (van Benthem, 1996: 206–208) 的观点认为，由于集合（历史）通常是在特定情境下考虑的，并且带有特定的目的，因此没有理由考虑所有可能的集合（历史）；最好是限定与所涉目的相关的集合的量化范围。这种处理方式的一个例子可以在 Stirling (1992) 的论述中找到，他为计算机科学时态逻辑中的分支（或路径、运行或历史）集合确定了有趣的（一阶和二阶）闭包性质。

相反，基于描述充分性的立场则由 Thomason (1984: 151–152) 和 Belnap、Perloff 提出。以及徐（2001：200-203）。这些作者认为，当考虑某些特定的不确定性场景时，捆绑树会导致矛盾的断言。关于他们论点的回应，请参阅Øhrstrøm和Hasle（1995：268-269）及其关于未来偶然性的条目§5.2，其中讨论了与坎普框架或奥卡姆框架非常相似的结构（“莱布尼茨系统”）（见下文§2.2）。

另一种捆绑树表示被范·本瑟姆（1999）称为几何表示。在几何方法中，矩和历史都被视为原始实体，后者对前者没有集合论和本体论上的依赖，就像在许多几何表示中看待点和线一样。在这种方法中，历史被具体化了。因此，与标准的基于矩的视角不同，几何表示将矩和历史视为同等重要的。[6] 一个几何结构是一个四元组 G=(T,H,≺,E)，其中 T 和 H 是集合，≺ 是 T 上的树关系，E 是 T 和 H 之间的二元关系。H 的元素旨在表示历史，E(m,h) 可以理解为“m 位于 h 上的矩”。Zanardo (2006b: Def. 6.1) 中给出了这些结构的（一阶）性质，其结果是 H 的元素实际上表示历史：对于每个 h∈H，集合

ˉ

h

={m∈T:E(m,h)} 是 (T,≺) 中的历史。此外，对于 h 遍历 H 的所有

ˉ

h

的集合，是该树中的一个丛。

2.2 非分支表示

在文献中可以找到其他用于表示不确定系统的模态结构。这些结构可以称为非分支表示，因为它们自然地被认为表示不相交的世界，而不是重叠的事件过程。正如我们将在下文中看到的，这些结构与捆绑树之间存在严格的联系。例如，这使得在分支时间逻辑的语义中可以互换使用前者或后者（参见§3）。然而，即使在许多逻辑和数学目的上与捆绑树等同，非分支结构似乎也反映了关于历史模态性和未来不确定性的不同哲学概念（例如，参见Belnap、Müller & Placek 2022；6-8、13-22；Restall 2011：228-231）。

Kamp框架（Thomason 1984）是一个三元组K=(K,W,≈)，其中W是一组世界，K是一个函数，它将线性序Kw=(Tw,＜w)分配给W中的每个元素。因此，每个Kw都可以被视为一段历史。这意味着每个Tw的元素都可以被视为时间结构中的矩。时间的分支特征用 ≈ 表示，它是一个函数，它将每个时刻 t∈⋃w∈WTw 赋予一个在所有世界 w 的集合上的等价关系 ≈t，使得 t∈Tw。w≈tw′ 的本义是历史 Kw 和 Kw′ 直到 t 时重合。然后，还要求：(1) 如果 w≈tw′，则 {t′∈Tw:t′＜wt}={t′∈Tw′:t′＜w′t}；(2) 如果 w≈tw′ 且 t′＜wt，则 w≈t′w′。

Kamp 框架的定义明确了这些结构与树之间的关系。给定一个Kamp框架 K=(K,W,≈)，等价类集合 [(w,t)]={(w′,t):w≈tw′} 可以赋予二元关系≺K，其定义如下：

[(w,t)]≺K[(w′,t′)] 当且仅当 w≈t′w′ 且 t＜w′t′

(参见 Zanardo 2006b: 4)。可以很容易地验证≺K 是定义明确的，并且是树关系。然后，类 [(w,t)] 可以被视为树 TK 中的矩。此外，对于 W 中的任意 w，集合 {[(w,t)]:t∈Tw} 是 TK 中的历史 hw。

树以自然的方式生成 Kamp 框架。给定一棵树 T，令 WT 为 T 中所有历史的集合，令 ≈T 为恒等函数（图 5）。对于所有历史 h,h′∈WT 和所有矩 m∈T，我们设 h≈Tmh′，当且仅当 m∈h∩h′。KT=(KT,WT,≈T) 为 Kamp 框架的证明非常简单。

具有对应 Kamp 框架的树。扩展描述链接如下

图 5：具有对应 Kamp 框架的树。[图 5 的扩展描述见补充材料。]

尽管树与 Kamp 框架关系密切，但 K→TK 和 T→KT 之间的对应关系并非彼此的逆（模同构）。一般而言，结构 K(TK) 不同于 K，因为 TK 可能包含不对应于 K 中任何世界的历史（参见 Zanardo 2006b）。 TK 中形式为 hw 的历史集合构成这棵树中的一个可能真丛。相反，T(KT) 同构于 T。

T×W 框架可以定义为 Kamp 框架，其中对于所有 w,w′∈W，Kw=Kw′。因此，我们上面关于 Kamp 框架与树之间的对应关系的论述也适用于 T×W 框架。需要注意的是，由这些框架生成的树是同步树。给定一个 T×W 框架 K，对于 TK 中的任意两个历史 hw 和 hw′，我们定义函数 σw,w′ 为 σw,w′([(w,t)])=[(w′,t)]。很容易证明，所有 σw,w′ 的集合是同步的。

Ockham 框架由 Zanardo (1985) 引入，并由 Zanardo (1996) 进一步研究。直观地，奥卡姆框架可以被视为从一棵树衍生而来，其方法是将树中的历史视为不相交的集合，每个集合都按关系 ＜ 线性排序，并用等价关系 ∼ 表示矩的同一性。形式上，奥卡姆框架是一个三元组 O=(W,＜,∼)，其中 W 为非空集，＜，＜ 和 ∼ 是 W 上的二元关系，具有以下性质：(1) ＜ 和 ∼ 互不相交 (w<w′⇒w≁w′)；(2) ＜ 是不相交线性序的并集；(3) ∼ 是等价关系；(4) 如果 w∼w′，则 ∼ 限制为 {w″:w″＜w}×{w″:w″＜w′} 为保序双射。

树 T 中，m∈h 的对集 (m,h) 可以通过以下方式赋予 Ockhamist 框架结构：如果 h=h′ 且 m≺m′，则 (m,h)＜(m′,h′)；如果 m=m′，则 (m,h)∼(m′,h′)。如此定义的框架记为 OT（图 6）。

具有对应 Ockhamist 框架的树。扩展描述链接如下

图 6：一棵树及其对应的 Ockhamist 框架。[图 6 的扩展描述见附录。]

反过来，给定一个 Ockhamist 框架 O=(W,＜,∼)，我们可以自然地定义一棵树 TO。该树中的矩是等价类 [w]∼，树关系 ≺ 定义为：如果 w″＜w′，且 w″∈[w]∼，则 [w]∼≺[w′]∼。上述性质 (4) 保证 ≺ 是（定义良好且）树关系。W 的每个 ＜-连通分量 C，即 W 的每个最大子集 C，对于所有 w,w′∈C、w≤w′ 或 w′≤w，都确定一个历史 hC={[w]∼:w∈C}。与坎普框架的情况类似，所有 hC 的集合是 TO 中的束 B，因此，通常 OTO 和 O 不是同构结构（而 TOT 和 T 是）。

2.3 分支时空的表示

在 Belnap (1992) 一书中，纽埃尔·贝尔纳普 (Nuel Belnap) 提出了一个雄心勃勃的计划，将相对论和非决定论结合在一个严格的框架中。许多关于该主题的出版物都遵循并发展了这项工作，其中包括 Belnap、Müller 和 Placek (2022) 的著作，后者以专著的形式总结了这些发展。在本节中，我们概述了这种创新方法的主要方面：也与上文讨论的分支时间表示相关。

分支时空 (BST) 理论的主要目标是在相对论的背景下表征各种可能性。因此，该理论的基本概念是（可能的）点事件和因果序关系 (＜)，它们是 BST 中矩和时间序的对应概念。正如 Belnap (2012) 明确指出的那样，BST 理论旨在从两个不同的方向脱离牛顿框架：从确定性到非确定性，从经典物理学到相对论。这包括关注相对论中因果独立性的概念，即类空分离（见下文）。

一个 BST 结构（用 Belnap 的术语来说，我们的世界）是一对 W=(W,＜)，其中 W 是一个非空集（点事件集），＜ 是 W 上的严格偏序（⩽、＞ 和 ⩾ 的定义显而易见）。如果 e1⩽e2 或 e2⩽e1，则称 e1 和 e2 可比。二叉树（BST）的公理不包含向过去的线性关系（但它们暗示了因果顺序关系的密度和连续性）。因此，与二叉树（BT）不同，三点事件可以构成一个因果汇合图：e1＜e2＞e3，其中 e1⩽̸e3 且 e3⩽̸e1。由此推论，我们可以根据 e

′

1

和 e

′

3

是否跟随因果汇合，来考虑两种不同的上行分叉 e

′

1

＞e

′

2

＜e

′

3

。

两个图分别用于因果扩散和分支扩散。扩展描述链接如下。

图 7：因果扩散和分支扩散。 [图 7 的扩展描述见补充材料。]

通过 BT 表示的可能性分支不允许向后分支，而相对论时空则允许。那么，在第一类图中（Belnap 称之为因果弥散），点事件 e

′

1

、e

′

2

和 e

′

3

必须属于同一时空，而第二类（分支弥散）的分叉则被赋予了严格的模态意义。

这些考虑直接引出了历史的概念，它在二叉树（BST）中也扮演着至关重要的角色。与二叉树（BT）类似，仅包含一个历史的结构可以被视为确定性宇宙的表征。然后，考虑到相对论，历史 h 中的任意两个点事件 e1 和 e2 都必须在 h 中有一个后续的见证者，也就是说，对于某个 e3∈h，e1⩽e3⩾e2 必须成立。具有此性质的 W 的子集称为有向子集。因此，二叉树中的历史是 W 的有向子集。它们也要求是最大值，这意味着每个历史都是向下闭合的，并且（向上）闭合以形成因果汇合。 d 维 Minkowski 时空（d≥2）是历史的例子。如果存在一个包含两个点事件的历史，则称这两个点事件是相容的。

一般而言，二叉树（BST）中的历史并非线性有序集，但它们具有二叉树（BT）中历史的许多共同性质。具体而言，W 的每个有向子集都可以扩展为一个历史。此外，由于二叉树（BST）中假设了历史连通性，因此任何两个历史都有非空交集。Belnap (1992) 中关于二叉树（BST）的原始公理也暗示任何两个历史的交集都有一个最大元素，称为选择点。然而，正如 Belnap、Müller 和 Placek (2022) 所指出的，可以考虑其他方案。

给定一个结构 (W,＜)，二叉树（BST）理论允许将类空分离定义为不可比性加相容性。图 7 左侧的点事件 e

′

1

和 e

′

3

是类空分离的，而在右图中，e

′

1

和e

′

3

彼此之间既不是因果上的未来，也不是因果上过去的，更不是因果上同时的。因此，在给定的历史中，类空分离就是不可比性，这与相对论时空中的相应定义相符。

本节考虑的相对简单的框架在Belnap、Müller和Placek（2022）以及其他著作中得到了广泛的发展，从而获得了一个结合相对论和非决定论的严格理论（Müller 2010, 2013；Placek 2010；Belnap、Müller和Placek 2022）。我们在此仅提及，BST理论对因果关系和概率的分析允许表示概率相关性（参见Belnap 2005），并且Belnap、Müller和Placek（2022: 8）给出了其在量子相关性中的应用。

BST 的表示 (W,＜) 容易受到类似于我们为 BT 考虑的变体（或替代表示）的影响，这同样会涉及关于新结构适用性的讨论。例如，从树到奥卡姆框架的转变可以适用于 BST。我们可以将结构 (W,＜) 中的所有历史视为不相交集，并用等价关系表示 (W,＜) 中点事件的相等性。我们得到结构 (W∗,＜∗,∼)，其中 W∗ 是不相交集合的并集 ⋃i∈IWi，并且 ＜∗=⋃i∈I＜i，其中每个 ＜i 都是 Wi 上的偏序关系。由于每个 (Wi,＜i) 都旨在表示一段历史，因此我们还必须假设这些结构是有向的。与奥卡姆框架的情况一样，关系 ∼ 模仿 (W,＜) 中的相等性。需要注意的是，在这种情况下，上叉 e1＞∗e2＜∗e3 只能解释为因果扩散的例子。分支扩散可以用以下形式的图表示：e1＞∗e2∼e

′

2

＜∗e3，其中 e2≠e

′

2

.

3. 时态模态逻辑的分支时间语义

树，或上述相关的集合论结构，构成了时态模态逻辑的分支时间语义的基本框架。[7] 本节（§3.1-§3.2）的大部分内容致力于讨论与分支时间哲学辩论特别相关的分支时间语义。我们将结合一个简单的先验命题语言 L 来讨论这些方法，该语言包含一个未来算子 F（“有时会如此”），其对偶为 G（“总是如此”），一个过去算子 P（“有时如此”），其对偶为 H（“总是如此”），以及一个历史可能性算子 ◊（“在历史上仍然可能如此”），其对偶为 ◻（“已经确定”）。在呈现这些语义时，我们预设了递归语义（或称真语义）和后语义之间的区别，用 MacFarlane (2003, 2008, 2014) 的术语来说。L 的递归语义 S 是 L 中句子相对于特定求值点的真值的标准、塔斯基式递归定义。基于 S 的 L 后语义是对语境中真值的直接定义（类似于 Kaplan 1989 的定义），它基于由 S 递归定义的真值概念。直观地说，真语义为 L 中的每个句子提供了相对于每个求值点的真值条件，而后语义则告诉我们 L 中的哪些句子相对于哪些语境为真。

在最后一小节（§3.3），我们概述了一些专门为计算机科学应用而开发的 BT 语义。

3.1 递归语义

本节重点介绍 BT 逻辑的递归语义。该领域主要有三条主线，均由 Prior 设想：这些语义被称为递归细红线 (TRL) 语义、皮尔斯语义和奥卡姆语义（参见时态逻辑条目§5，其中详尽定义了奥卡姆和皮尔斯时态逻辑的语言和语义，并讨论了相关的技术成果）。这些语义之间的关键区别在于对未来算子 F 的解释。我们先来介绍一下递归 TRL 语义。

过去算子 P 在所有递归 TRL 语义中都具有相同的语义行为：

(Tα)

Pα 在 m 处为真，当且仅当 α 在某个 m′≺m 处为真。

对于未来算子 F，一般思想是：形式为 Fα 的公式为真，当且仅当 α 在实际未来为真（参见 Prior 1966: 157；Øhrstrøm 1981），即在细红线上的未来——即“历史将沿着的轨迹”（Belnap & Green 1994: 366）——时。这一思想可以用两种不同的方式精确表达。在阐述这些方式时，我们大致遵循了 Belnap 和 Green (1994) 的讨论。

在绝对递归 TRL 语义中，模型指定一个历史 TRL，它表示树中（唯一的）实际历史。未来算子 F 可以理解为细红线上未来时刻的真值：

(TF)

Fα 在 m 处为真，当且仅当 α 在某个 m′∈TRL 处为真，且 m≺m′。

当在实际时刻评估未来时态语句时，这种方法会给出合理的结果，但当涉及不属于TRL的时刻时，就会遇到问题（例如，当未来时态运算符嵌入模态运算符时，可能会发生这种情况，参见Belnap & Green 1994: 379；另见Thomason 1970: 270–271）。标准诊断是，唯一的TRL是不够的，必须为树中的每个时刻提供其自己的TRL。此要求在TRL语义的相对变体中得到满足。在相对（或莫林主义）[8] 递归 TRL 语义中，模型定义了一个函数 TRL()，将每个矩 m 映射到相应的细红线（参见 McKim & Davis 1976；Thomason & Gupta 1980）。在此框架中，指定未来时态语句真值条件的最简单方法是：

(TF)

Fα 在 m 处为真当且仅当 α 在某个 m′≻m 处为真，且 m′∈TRL(m)。

然而，正如 Belnap 和 Green (1994) 指出的那样，相对递归 TRL 语义要么意味着时间是线性的，要么无法验证以下自然原理：

逆行。α→HFα

此外，从哲学角度来看，TRL 在该框架中应该表示什么尚不明确：为什么假设反事实矩具有实际的未来，以及这个“准实际”的未来应该表示什么？尽管这些争论已在文献中得到探讨（参见 Braüner、Hasle 和 Øhrstrøm 1998；Braüner 2023），但递归未来演化语言 (TRL) 的观点如今已不再受欢迎，人们的注意力转向了它们的后语义对应物（参见 §3.2）。[9]

让我们转向皮尔斯语义学。皮尔斯语言与我们的标准语言 L 的不同之处在于，它不包含模态算符，而包含一个弱未来算符 f，它表达了未来可能性的概念：

(Pf)

fα 在 m 处为 (Peirce) 真，当且仅当 α 在某个 m′≻m 处为真。

皮尔斯对过去算符 P 的解读与递归未来演化语言 (TRL) 语义的解读相同。未来算符 F 的解读非常强：

(PF)

Fα 在 m 处为真，当且仅当所有经过 m 的历史都包含一个时刻 m′≻m，其中 α 为真。

这句话旨在表达这样一种观点：“任何事情都不能被说成是真正‘将要发生’（futurum），除非它‘存在于其原因之中’，以至于无法停止。”（Prior 1962: 124）换句话说，一个事件只有当其不可避免时，才真正是未来事件。皮尔斯语义学在形式上令人愉悦，它允许我们将二价性、排中律与非决定论结合起来。然而，它存在一些缺陷。例如，它抹杀了重要的语义差异，例如“将会如此”和“将会不可避免地如此”之间的差异，并且它未能验证一系列看似合理的原则，包括“逆行”原则以及以下原则：